第一部分考點梳理第三章函數及其圖像第16課時二次函數的實際應用知識點

二次函數的實際應用問題常見

類型（1）利用拋物線頂點坐標來求最值；（2）最值不在拋物線頂點處取得；（3）分段函數求最值問題；（4）復合函數求最值問題；（5）借助二次函數圖象解一元二次不

等式.名師點津1.

若自變量之和為10的兩個函數y1和y2

組成一個復合函數，若設y1的自變量為

x，則y2的自變量為10－x.2.

借助二次函數圖象解一元二次不等式

的關鍵是數形結合.

3.

最大值不在拋物線頂點處取得，可能

有以下兩種情況：4.

分段函數的最大值問題，需要分別求

出每段函數的最大值，然后在最大值當

中再選最大的.考點一

二次函數區間最值例1

求下列函數的最值：（1）y＝2（x－3）2＋4（2≤x≤5）；[答案]

解：（1）當x＝3時，y取最小值4；當x＝2時，y＝6；當x＝5時，y＝12，∴y的最大值為12.（2）y＝－2x2－16x＋3（－1≤x≤2）.[答案]

解：（2）y＝－2x2－16x＋3＝

－2（x＋4）2＋35.當－1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，∴當x＝－1時，y取最大值17；當x＝2時，y取最小值－37.考點二

利用二次函數模型解決幾何面

積問題

例2（1）如圖，在等腰直角三角形

ABC中，∠A＝90°，BC＝8，點D，

E分別是BC，AC邊上的點，

DE∥AB，則S△BDE的最大值是

?；4

（2）（2024·湖北）如圖，學校要建一

個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊

用籬笆圍成.已知墻長42m，籬笆長80m.

設垂直于墻的邊AB長為xm，平行于墻

的邊BC為ym，圍成的矩形面積為Sm2.①求y與x，S與x的關系式；[答案]

解：①∵籬笆長80m，∴AB＋BC＋CD＝80m.∵AB＝CD＝xm，BC＝ym，∴x＋y＋x＝80，∴y＝80－2x.∵墻長42m，∴0＜80－2x≤42，解得19≤x＜40，∴y＝80－2x（19≤x＜40）.矩形面積S＝BC·AB＝y·x＝（80－

2x）x＝－2x2＋80x（19≤x＜40）.②圍成的矩形花圃面積能否為750m2？

若能，求出x的值；[答案]

解：令S＝750，則－2x2＋80x＝750，整理，得x2－40x＋375＝0，解得x1＝25，x2＝15.∵19≤x＜40，∴x＝25.∴當x＝25時，圍成的矩形花圃面積為

750

m2.③圍成的矩形花圃面積是否存在最大

值？若存在，求出這個最大值，并求出

此時x的值.[答案]

解：S＝－2x2＋80x＝－2（x－20）2＋800.∵－2＜0，∴S有最大值.又∵19≤x＜40，∴當x＝20時，S取得最大值，此時S＝

800

m2.考點三

利用二次函數模型解決實際

問題例3

（2024·內江）端午節吃粽子是中

華民族的傳統習俗.市場上豬肉粽的進價

比豆沙粽的進價每盒多20元，某商家用

5000元購進的豬肉粽盒數與3000元購進

的豆沙粽盒數相同.在銷售中，該商家發

現豬肉粽每盒售價52元時，可售出180

盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒.（1）求這兩種粽子的進價；

（2）設豬肉粽每盒售價x元

（52≤x≤70），y表示該商家銷售豬肉粽

的利潤（單位：元），求y關于x的函數

表達式并求出y的最大值.

考點四

拋物線的實際應用例4

（1）（2024·天津）從地面豎直向

上拋出一小球，小球的高度h（m）與

小球的運動時間t（s）之間的關系式是

h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列結論：①小球從拋出到落地需要6s；②小球運動中的高度可以是30m；③小球運動2s時的高度小于運動5s時的

高度.其中，正確結論的個數是（

C

）A.

0B.

1C.

2D.

3C（2）（2024·陜西）一條河上橫跨著一

座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索L1與纜

索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC

均垂直于橋面，如圖所示，以點O為原

點，以直線FF'為x軸，以橋塔AO所在

直線為y軸，建立平面直角坐標系.已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在

拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔

BC之間的距離OC＝100m，AO＝BC＝

17m，纜索L1的最低點P到FF'的距離

PD＝2m.（橋塔的粗細忽略不計）①求纜索L1所在拋物線的函數表達式；

②點E在纜索L2上，EF⊥FF'，且EF

＝2.6m，FO＜OD，求FO的長.

∴FO＝40m或FO＝60m，∵FO＜OD，∴FO的長為40m.1.

用長12m的鋁合金條制成矩形窗框

（如圖所示），那么這個窗戶的最大透

光面積是

m2.（中間橫框所占的面

積忽略不計）（第1題）6

2.

某商廈將進貨單價為70元的某種商

品，按銷售單價100元出售時，每天能賣

出20個.通過市場調查發現，這種商品的

銷售單價每降價1元，日銷量就增加1個.

為了獲取最大利潤，這種商品的銷售單

價應降

元.5

（第3題）

4.

（2024·河南）從地面豎直向上發射的

物體離地面的高度h（m）滿足關系式h

＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物體運動的

時間，v0（m/s）是物體被發射時的速

度.社團活動時，科學小組在實驗樓前從

地面豎直向上發射小球.（1）小球被發射后

s時離地面的

高度最大（用含v0的式子表示）；

（2）若小球離地面的最大高度為20m，

求小球被發射時的速度；

（3）按（2）中的速度發射小球，小球

離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相

同.小明說：“這兩次間隔的時間為3s.”已

知實驗樓高15m，