2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第四章三角形及四邊形

4.2三角形

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1三角形的相關(guān)概念☆☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)本專題的部分，每年

考查道題分值為分，通常以

考點(diǎn)2三角形中的重要線段☆☆☆1~3,3~9

選擇題、填空題、解答題的形式考查。

考點(diǎn)3等腰三角形以及等邊三角形☆☆

在考查其他知識點(diǎn)的綜合試題里一定

考點(diǎn)4直角三角形勾股定理及其應(yīng)用☆☆☆用到本專題知識。

考點(diǎn)5直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算☆☆☆

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

定理：a2b2c2

勾股定理及應(yīng)用

勾

股應(yīng)用:主要用于計(jì)算

定

理

直角三角形的判別方法:（勾股定理的逆定理）

222

若三角形的三邊滿足abc則它是一個直角三角形.

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.三角形的相關(guān)概念

1.三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三角形的分類

三邊都不相等的三角形

（1）按邊分類：三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

直角三角形

（2）按角分類：三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

3.三角形三邊的關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

4.三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.

5.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均

大于0°且小于180°。

6.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

推論：直角三角形的兩個銳角互余。

7.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

（1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；

（2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；

（3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).

8.三角形的外角概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．

10.三角形的外角的性質(zhì)：

（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

（2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．

考點(diǎn)2.三角形中的重要線段

1.三角形的高：從三角形的一個頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高。

2.三角形的角平分線：三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與

所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。

3.三角形的中線：三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線。

（1）三角形的中線會把原三角形面積平分。

（2）一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差。

【易錯點(diǎn)提示】對三角形三條重要線段的深入理解

（1）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段。

（2）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，

另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角

形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)。

考點(diǎn)3.等腰三角形和等邊三角形

1.等腰三角形

（1）等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做

底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．

（2）等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形的兩個底角相等．

②等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合．

（3）等腰三角形的判定定理：

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．

（4）等腰三角形的面積公式

其中a是底邊長，h是底邊上的高，S是面積

2.等邊三角形

（1）等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.

（3）等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

（4）等邊三角形的面積公式

其中a是等邊三角形的邊長，h是任意邊上的高，S是面積。

3.線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

（1）線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分

線，也叫線段的中垂線。

（2）線段垂直平分線的做法

求作線段AB的垂直平分線.

作法：1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB/2的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；

說明：作弧時的半徑必須大于AB/2的長，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了．

2）作直線CD，CD即為所求直線．

說明：線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.

（3）線段垂直平分線的性質(zhì)：

1）線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.

2）線段的垂直平分線逆定理：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

說明：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一．同

時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，

畫出到線段兩個端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件．

考點(diǎn)4.直角三角形勾股定理及其應(yīng)用

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2.

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個三角形是直

角三角形.

3.勾股數(shù)：像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

【易錯點(diǎn)提示】

(1)由定義可知，一組數(shù)是勾股數(shù)必須滿足兩個條件：①滿足a2＋b2＝c2；②都是正整數(shù)．兩者缺一不

可．

(2)將一組勾股數(shù)同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)所得的數(shù)仍滿足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股數(shù))，以它們

為邊長的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm為邊長的三角形是直角三角形．

考點(diǎn)5.直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算

1.直角三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1.直角三角形兩銳角之和等于90°。

性質(zhì)2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

性質(zhì)3.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

2.直角三角形的判定

（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形。

（2）有兩個角的和是90°的三角形是直角三角形。

（3）一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形。

（4）如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足a2b2c2，那么這個三角形為直角三角形。

3.直角三角形面積公式

其中a、b是兩條直角邊的長，c是斜邊長，h是斜邊上的高，S是直角三角形面積。

4.直角三角形相關(guān)計(jì)算

（1）勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系

時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解；

（2）用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

（3）與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；

（4）勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

考點(diǎn)1.三角形的相關(guān)概念

【例題1】（2024陜西省）如圖，在ABC中，BAC90，AD是BC邊上的高，E是DC的

中點(diǎn)，連接AE，則圖中的直角三角形有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【解析】本題主要考查直角三角形的概念．根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷．

由圖得△ABD，ABC，△ADC，VADE為直角三角形，

共有4個直角三角形．故選：C．

【變式練1】（2024長沙一模）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6

【答案】C

【解析】∵1+3＝4，

∴1，3，4不能組成三角形，

故A選項(xiàng)不符合題意；

∵2+2＜7，

∴2，2，7不能組成三角形，

故B不符合題意；

∵4+5＞7，

∴4，5，7能組成三角形，

故C符合題意；

∵3+3＝6，

∴3，3，6不能組成三角形，

故D不符合題意，故選：C．

【變式練2】（2024湖南婁底一模）若一個三角形的兩邊長分別為2cm，7cm，則它的第三邊的長可

能是（）

A．2cmB．3cmC．6cmD．9cm

【答案】C

【解答】解：設(shè)第三邊長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：

7﹣2＜x＜7+2，

解得：5＜x＜9，故選：C．

【變式練3】（2024黑龍江大慶一模）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F(xiàn)在直線

l上，點(diǎn)B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數(shù)為

（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

【答案】B

【解析】∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．

∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，

∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，

∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故選：B．

考點(diǎn)2.三角形中的重要線段

【例題2】（2024四川南充）如圖，在RtABC中，C90，B30，BC6，AD平分CAB

交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，則線段DE長度的最小值為（）

A.2B.3C.2D.3

【答案】C

【解析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題意求得BAC和AC，

結(jié)合角平分線的性質(zhì)得到CAD和DC，當(dāng)DEAB時，線段DE長度的最小，結(jié)合角平線的性

質(zhì)可得DEDC即可．

【詳解】∵C90，B30，

∴BAC60，

AC

在RtABC中，tanB，解得AC23，

CB

∵AD平分CAB，

∴CAD30，

DC

∴tanCAD，解得DC2，

CA

當(dāng)DEAB時，線段DE長度的最小，

∵AD平分CAB，

∴DEDC2．故選∶C．

【變式練1】（2024哈爾濱一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（是鈍角），他打算用

折疊的方法折出的角平分線、邊上的中線和高線，能折出的是（）∠?

∠???

A．邊上的中線和高線B．的角平分線和邊上的高線

C．??的角平分線和邊上的中線D．∠?的角平分線、??邊上的中線和高線

【答案∠?】C??∠???

【解析】當(dāng)與重合時，折痕是的角平分線；

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)??B重?合?時，折疊是的∠中?垂線，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，?掌?握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

【變式練2】（2024天津一模）如圖，中，，G為的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)E，F(xiàn)

為上一點(diǎn)，且于點(diǎn)H，下列△判?斷??中，正∠確1=的∠個2數(shù)是（??）????

????⊥??

①是的邊上的中線；

②??既△是???的角??平分線，也是的角平分線；

③??既是△???的邊上的高，也△是???的邊上的高．

A．??0△?????B．1△???C．?2?D．3

【答案】C

【解析】根據(jù)三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義逐一判斷即可．

因?yàn)镚為的中點(diǎn)，

所以是??的邊上的中線，故①正確；

因?yàn)??△?，????

所以∠1是=∠2的角平分線，是的角平分線，故②錯誤；

因?yàn)??△?于??點(diǎn)H，??△???

所以??既⊥是??的邊邊上的高，也是的邊上的高，故③正確，

綜上正??確的有△2??個???△?????

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中線、角平分線和高的識別，掌握三角形中線的定義、三角形角平分線

的定義和三角形高的定義是解決此題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)3.等腰三角形以及等邊三角形

【例題3】（2024福建省）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其

中OAB與ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中

點(diǎn)，OEOF．下列推斷錯誤的是（）

A.OBODB.BOCAOB

C.OEOFD.BOCAOD180

【答案】B

【解析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；

1

A.由對稱的性質(zhì)得AOBDOC，由等腰三角形的性質(zhì)得BOEAOB，

2

1

DOFDOC，即可判斷；

2

B.BOC不一定等于AOB，即可判斷；

C.由對稱的性質(zhì)得OAB≌ODC，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；

D.過O作GMOH，可得GODBOH，由對稱性質(zhì)得BOHCOH同理可證

AOMBOH，即可判斷；

掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】A.OEOF，

BOEBOF90，

由對稱得AOBDOC，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OAB與ODC都是等腰三角形，

11

BOEAOB，DOFDOC，

22

BOFDOF90，

OBOD，結(jié)論正確，故不符合題意；

B.BOC不一定等于AOB，結(jié)論錯誤，故符合題意；

C.由對稱得OAB≌ODC，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，

OEOF，結(jié)論正確，故不符合題意；

D.

過O作GMOH，

GODDOH90，

BOHDOH90，

GODBOH，由對稱得BOHCOH，

GODCOH，

同理可證AOMBOH，

AODBOCAODAOMDOG180，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．

【變式練1】（2024遼寧沈陽一模）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則這個三角形的周長

是（）

A．22B．19C．17D．17或22

【答案】A

【解析】分兩種情況：

①當(dāng)4為底邊長，9為腰長時，4+9＞9，

∴三角形的周長＝4+9+9＝22；

②當(dāng)9為底邊長，4為腰長時，

∵4+4＜9，

∴不能構(gòu)成三角形；

∴這個三角形的周長是22．故選：A．

【變式練2】（2024山西一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為BA延長線上一點(diǎn)，且ED⊥BC

交AC于點(diǎn)F．

（1）求證：△AEF是等腰三角形；

（2）若AB＝13，EF＝12，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，求BC的長．

【答案】見解析

【解析】（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵ED⊥BC，∴∠EDB＝∠EDC＝90°，

∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，∴∠E＝∠DFC，

∵∠DFC＝∠EFA，∴∠EFA＝∠E，∴AE＝AF，

∴△AEF為等腰三角形；

（2）解：過點(diǎn)A作AG⊥ED于點(diǎn)G，AH⊥BC于H，如圖所示：

∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，

∴FG＝GE＝EF＝6，

∵F為AC中點(diǎn)，

∴AF＝FC＝AC＝AB＝，

在△AFG與△CFD中，

，

∴△AFG≌△CFD（AAS），

∴DF＝FG＝6，∴AH＝2DF＝12，

∴BH＝＝5，

∴BC＝2BH＝10，

【變式練3】（2024上海一模）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC．若AD＝4，則△ADE的周長

為．

【答案】12．

【解析】∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，

∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝DE＝AE＝4，

∴△ADE的周長＝4+4+4＝12

【變式練4】（2024河北唐山一模）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點(diǎn)B，

再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC，則∠O的度數(shù)為（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【答案】C

【解析】連接BC，如圖，

∵以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點(diǎn)B，

∴OB＝OC，

∵以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC，

∴OB＝BC，

∴OB＝OC＝BC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠O＝60°．故選：C．

【變式練5】（2024吉林一模）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、，若

的周長是20，，，則△?的??周長為??（??）????△???

??=4??=7△???

A．4B．7C．9D．11

【答案】C

【解析】先根據(jù)的周長公式求得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，

根據(jù)的周△長??公?式計(jì)算，即可得到??答=案9．??=????=??

∵△??的?周長是20，

∴△???

∵??+??，+??=，20

∴??=4，??=7

??是=線9段的垂直平分線，

∵??，??

∴同?理?，=??，

?的?周=長??，

∴故△選?：??C．=??+??+??=??+??+??=??=9

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的

距離相等是解題的關(guān)鍵．

【變式練6】（2024南京一模）如圖，中，平分，且平分，于，

Δ?????∠?????⊥??????⊥?????⊥??

于．如果，，則．

???=5??=3??=

【答案】4

【解析】連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，

繼而可證得??，可得??=，?再?證得，得到，?設(shè)?=??，

由Rt△????，R即t可△得??方?程??=??，解方程△求??出??，△進(jìn)?而??可求得??．=????=?

連接???，??=，??+??5??=3+????

????

平分，，，

∵??∠，?????⊥????⊥?，?

∴??=??且平∠?分??=，∠???=90°

∵??⊥??，??

∴在??=??與中，

Rt△??，?Rt△???

??=??

??=??，

∴Rt△???，?Rt△???(HL)

∴在??=?和?中，

△???△???

，

∠???=∠???=90°

∠???=∠???

??=??，

∴△????△，???(AAS)

∴設(shè)??=??，則，

??=?，??=，?，，

∵??=5??=，3??=???????=??+??

∴5??=3+?

解得：，

?=，1

∴??=1，

∴故?答?案=為?：??4．??=5?1=4

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．準(zhǔn)確作

出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解是解決問題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)4.直角三角形勾股定理及其應(yīng)用

【例題4】（2024吉林省）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深

度，其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點(diǎn)C，BC0.5尺，BC2尺．設(shè)AC的長

度為x尺，可列方程為______．

2

【答案】x222x0.5

【解析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，運(yùn)用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)AC的長度為x尺，則ABABx0.5，在Rt△ABC中，由勾股定理即可建立方程．

【詳解】設(shè)AC的長度為x尺，則ABABx0.5，

∵ABBC，

由勾股定理得：AC2BC2AB2，

2

∴x222x0.5，

2

故答案為：x222x0.5．

【變式練1】（2024陜西一模）如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊的中線，若AB5，

BC6，則AD的長度為________．

【答案】4

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．

∵在ABC中，ABAC，AD是BC邊的中線，

1

∴ADBC，BDBC，

2

1

在Rt△ABD中，AB5，BDBC3，

2

∴ADAB2BD252324，故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

【變式練2】（2024武漢一模）在△ABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，

求BD的長．

【答案】見解析。

【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△ACD為直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD

中利用勾股定理可得出BD的長度．

∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝

90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝AB2－AD2＝5，∴BD的長

為5.

方法總結(jié)：解題時可先通過勾股定理的逆定理證明一個三角形是直角三角形，然后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后

求解，這種方法常用在解有公共直角或兩直角互為鄰補(bǔ)角的兩個直角三角形的圖形中．

【變式練3】（2024上海一模）如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖

完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運(yùn)用所學(xué)知識幫他檢驗(yàn)一下挖的是

否合格？

【答案】見解析。

【解析】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，運(yùn)用直角三角形的判別條件，驗(yàn)證它是否為直角三角形．

∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，

∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．

方法總結(jié)：解答此類問題，一般是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)先運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直

角三角形，然后再作進(jìn)一步解答．

考點(diǎn)5.直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算

【例題5】（2024廣州）如圖，在ABC中，A90，ABAC6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，

F分別在邊AB，AC上，AECF，則四邊形AEDF的面積為（）

A.18B.92C.9D.62

【答案】C

【解析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)

化是解題關(guān)鍵．連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及AECF得出VADE≌VCDF，將四邊

形AEDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形ADC的面積再進(jìn)行求解．

【詳解】解：連接AD，如圖：

∵BAC90，ABAC6，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，AECF

∴BADBC45,ADBDDC

∴VADE≌VCDF，

1

∴S四邊形SSSSSS

AEDF△AED△ADF△CFD△ADF△ADC2△ABC

1

又∵S6618

ABC2

1

∴S四邊形S=9

AEDF2ABC

故選：C

【變式練1】（2024湖北荊州一模）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被

湖隔開．若測得AB的長為10km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（）

A．3kmB．4kmC．5kmD．6km

【答案】C

【解析】∵公路AC，BC互相垂直，

∴ACB90．

∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，

1

∴CMAB．

2

∵AB=10km，

∴CM=5km，

即M，C兩點(diǎn)間的距離為5km，

故答案為：C．

1

點(diǎn)撥：先求出CMAB，再求出CM=5km，即可作答。

2

【變式練2】（2024貴州黔西南一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且

∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，則BD的長度為________．

【答案】23

【解析】首先證明DB=AD=2CD，然后再由條件BC=33可得答案．

∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，

∴∠DAC＝30°，

1

∴CD＝AD．

2

∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，

∴∠BAD＝30°，

∴BD＝AD，

∴BD＝2CD．

∵BC＝33，

∴CD＋2CD＝33，

∴CD＝3，

∴DB＝23，

【點(diǎn)撥】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對

的直角邊等于斜邊的一半．

【變式練3】（2024蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜邊AB上的中線，AC=4，

CD=3。求直角邊BC的長

【答案】見解析

【解析】先根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理得出AB的長，再根據(jù)勾股定理即可求出BC的長.

在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線，∴AB=2CD=6，由勾股定理，得

BC=AB2AC2624225

考點(diǎn)1.三角形的相關(guān)概念

1.（2024黑龍江齊齊哈爾）將一個含30角的三角尺和直尺如圖放置，若150，則2的度數(shù)

是（）

A.30B.40C.50D.60

【答案】B

【解析】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即

可求解．

如圖所示，

由題意得3150，590，24，

∴24180903905040，故選：B．

2.（2024四川德陽）如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中ABCD，

DEBC,ABC70，則EDC等于（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行

線的性質(zhì)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出BCDABC70，再根據(jù)垂直與三角形的內(nèi)角和即可

求出EDC．

【詳解】∵ABCD，ABC70，

∴BCDABC70，

∵DEBC，

∴CED90，

∴EDC907020

故選：B．

3.（2024江蘇連云港）如圖，直線ab，直線la，1120，則2__________．

【答案】30

【解析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求出3的度

數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得到3902，即可求出2的度數(shù)．

【詳解】∵ab，

∴31120，

∵la，

∴3290，

∴230；

故答案為：30．

4.（2024四川達(dá)州）如圖，在ABC中，AE1，BE1分別是內(nèi)角CAB、外角CBD的三等分線，

11

且EADCAB，EBDCBD，在ABE中，AE，BE分別是內(nèi)角EAB，外

13131221

11

角EBD的三等分線．且EADEAB，EBDEBD，…，以此規(guī)律作下去．若

1231231

Cm．則En______度．

1

【答案】m

3n

【解析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

△△

先分別對ABC,E1AB運(yùn)用三角形的外角定理，設(shè)E1AD，則CAB3，E1BD，

2

則，得到，，同理可求：11，所

CBD3E133CE2E1C

33

n

以可得1．

EnC

3

【詳解】如圖：

11

∵EADCAB，EBDCBD，

1313

∴設(shè)E1AD，E1BD，則CAB3，CBD3，

由三角形的外角的性質(zhì)得：E1，33C，

1

∴EC，

13

如圖：

1

同理可求：EE，

231

2

∴1，

E2C

3

……，

n

∴1，

EnC

3

1

即Em，

n3n

1

故答案為：m．

3n

考點(diǎn)2.三角形中的重要線段

1.（2024四川涼山）如圖，ABC中，BCD30，ACB80，CD是邊AB上的高，AE

是CAB的平分線，則AEB的度數(shù)是______．

【答案】100##100度

【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義．先求出ACD50，結(jié)合高

的定義，得DAC40，因?yàn)榻瞧椒志€的定義得CAE20，運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)，即可作答．

【詳解】∵BCD30，ACB80，

∴ACD50，

∵CD是邊AB上的高，

∴ADC90，

∴DAC40，

∵AE是CAB的平分線，

1

∴CAEDAC20，

2

∴AEBCAEACB2080100．

2.（2024河北省）如圖，ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)A，C1，C2，C3是線段CC4

的五等分點(diǎn)，點(diǎn)A，D1，D2是線段DD3的四等分點(diǎn)，點(diǎn)A是線段BB1的中點(diǎn)．

△

（1）AC1D1的面積為______；

△

（2）B1C4D3的面積為______．

【答案】①.1②.7

1

【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得S△=S△=S△=1，證明

ABDACD2ABC

AC1D1≌ACDSAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（）證明≌，得SS1，推出C、、三點(diǎn)共線，得

2AB1D1ABDSAS△AB1D1△ABD1D1B1

S=S+S=2，繼而得出S=4S=8，S3S3，證明

△AB1C1△AB1D1△AC1D1△AB1C4△AB1C1△AB1D3△AB1D1

4

△CAD∽△CAD，得S△CAD9S△CAD9，推出S△S△12，最后代入

3333AC4D33C3AD3

SSSS即可．

△B1C4D3△AC4D3△AB1D3△AB1C4

【詳解】解：（1）連接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，

∵ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，

11

∴S△=S△=S△=′2=1，

ABDACD2ABC2

∵點(diǎn)A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點(diǎn)，

1

∴ACACCCCCCCCC，

112233454

∵點(diǎn)A，D1，D2是線段DD3的四等分點(diǎn)，

1

∴ADADDDDDDD，

1122343

∵點(diǎn)A是線段BB1的中點(diǎn)，

1

∴ABABBB，

121

△

在AC1D1和ACD中，

AC1AC

C1AD1CAD，

AD1AD

∴AC1D1≌ACDSAS，

∴SS1，，

△AC1D1△ACDC1D1ACDA

△

∴AC1D1的面積為1，

故答案為：1；

（2）在AB1D1和△ABD中，

AB1AB

B1AD1BAD，

AD1AD

∴AB1D1≌ABDSAS，

∴SS1，，

△AB1D1△ABDB1D1ABDA

∵BDACDA180，

∴B1D1AC1D1A180，

∴C1、D1、B1三點(diǎn)共線，

∴S=S+S=1+1=2，

△AB1C1△AB1D1△AC1D1

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

∴S=4S=4′2=8，

△AB1C4△AB1C1

∵，S1，

AD1D1D2D2D3△AB1D1

∴S3S313，

△AB1D3△AB1D1

△

在AC3D3和ACD中，

ACAD

∵333，CADCAD，

ACAD33

△∽△

∴C3AD3CAD，

S2

C3AD3AC32

∴39，

SCADAC

∴S9S919，

△C3AD3△CAD

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

44

∴S△S△912，

AC4D33C3AD33

∴SSSS12387，

△B1C4D3△AC4D3△AB1D3△AB1C4

△

∴B1C4D3的面積為7，

故答案為：7．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點(diǎn)

的意義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)3.等腰三角形以及等邊三角形

1.（2024內(nèi)蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程x210x210的兩個根，則這個三角形的

周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【解析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得

x13，x27，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3，腰長為7，進(jìn)而即可求出三

角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：由方程x10x210得，x13，x27，

∵337，

∴等腰三角形的底邊長為3，腰長為7，

∴這個三角形的周長為37717，故選：C．

2.（2024云南省）已知AF是等腰ABC底邊BC上的高，若點(diǎn)F到直線AB的距離為3，則點(diǎn)F

到直線AC的距離為（）

37

A.B.2C.3D.

22

【答案】C

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

由等腰三角形“三線合一”得到AF平分BAC，再角平分線的性質(zhì)定理即可求解．

如圖，

∵AF是等腰ABC底邊BC上的高，

∴AF平分BAC，

∴點(diǎn)F到直線AB，AC的距離相等，

∵點(diǎn)F到直線AB的距離為3，

∴點(diǎn)F到直線AC的距離為3．故選：C．

3.（2024安徽省）如圖，在Rt△ABC中，ACBC2，點(diǎn)D在AB的延長線上，且CDAB，

則BD的長是（）

A.102B.62C.222D.226

【答案】B

【解析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)D作DECB

的延長線于點(diǎn)E，則BED90，由ACB90，ACBC2，可得AB22，

AABC45，進(jìn)而得到CD22，DBE45，即得△BDE為等腰直角三角形，得到

22

DEBE，設(shè)DEBEx，由勾股定理得2xx222，求出x即可求解，正確作出輔

助線是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：過點(diǎn)D作DECB的延長線于點(diǎn)E，則BED90，

∵ACB90，ACBC2，

∴AB222222，AABC45，

∴CD22，DBE45，

∴△BDE為等腰直角三角形，

∴DEBE，

設(shè)DEBEx，則CE2x，

在Rt△CDE中，CE2DE2CD2，

22

∴2xx222，

解得，（舍去），

x131x231

∴DEBE31，

22

∴BD313162，故選：B．

4.（2024重慶市B）如圖，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D．若

BC2，則AD的長度為________．

【答案】2

【解析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)

等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出CABC72，再由角平分線的定義得到

ABDCBD36，進(jìn)而可證明∠A∠ABD，∠BDC∠C，即可推出ADBC2．

【詳解】∵在ABC中，ABAC，A36，

180A

∴CABC72，

2

∵BD平分ABC，

1

∴ABDCBDABC36，

2

∴∠A∠ABD，∠BDC∠A∠ABD72∠C，

∴ADBD，BDBC，

∴ADBC2,

故答案為：2．

5.（2024湖南省）一個等腰三角形的一個底角為40，則它的頂角的度數(shù)是________度．

【答案】100

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解答時根據(jù)等腰三角形兩底角相等，求出頂

角度數(shù)即可．

因?yàn)槠涞捉菫?0°，所以其頂角180402100．

6.（2024四川遂寧）在等邊ABC三邊上分別取點(diǎn)D、E、F，使得ADBECF，連結(jié)三點(diǎn)得

到，易得，設(shè)，則

DEFADF≌BED≌CFES△ABC1S△DEF13S△ADF

AD111

如圖①當(dāng)時，S13

AB2△DEF44

AD121

如圖②當(dāng)時，S13

AB3△DEF93

AD137

如圖③當(dāng)時，S13

AB4△DEF1616

……

AD1

直接寫出，當(dāng)時，S△______．

AB10DEF

73

【答案】##0.73

100

【解析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律性問題，首先根據(jù)已知求得比例為n時，

n1n23n3

S13，代入n10即可．

△DEFn2n2

AD1n1n23n3

【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)時，S13，

ABn△DEFn2n2

AD1102310373

則當(dāng)時，S，

AB10△DEF102100

73

故答案為：．

100

7.（2024湖北省）DEF為等邊三角形，分別延長FD，DE，EF，到點(diǎn)A，B，C，使

DAEBFC，連接AB，AC，BC，連接BF并延長交AC于點(diǎn)G．若ADDF2，則

DBF______，F(xiàn)G______．

443

【答案】①.30##30度②.3##

55

【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理．利用三角形的外角性

質(zhì)結(jié)合EBEF可求得DBF30；作CHBG交BG的延長線于點(diǎn)H，利用直角三角形的性

質(zhì)求得CH1，F(xiàn)H3，證明AGF∽CGH，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．

【詳解】解：∵DEF為等邊三角形，DAEBFC，

∴ADDFEBEF2，DEFDFE60，

1

∴DBFEFBDEF30，AFBEFBDFE90，EFBGFC30，

2

作CHBG交BG的延長線于點(diǎn)H，

1

∴CHCF1，F(xiàn)H22123，

2

∵AFBH90，

∴AF∥CH，

∴AGF∽CGH，

AFFG4FG

∴，即，

CHGH13FG

4

解得FG3，

5

4

故答案為：30，3．

5

8.（2024江蘇常州）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，AC、DE相交于點(diǎn)G，ABDF，ACDE，

BCEF．

（1）求證：GEC是等腰三角形；

（2）連接AD，則AD與l的位置關(guān)系是________．

【