2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第五章圓

5.4圓的證明和計(jì)算類重難點(diǎn)綜合問題

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1不含三角函數(shù)的問題☆☆☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)圓的證明與計(jì)算的部分，是每

年中考試卷解答題里必考的綜合題，每年考查

考點(diǎn)2含三角函數(shù)的問題☆☆1

道題,分值為8~12分，一般略簡單一些的會設(shè)置

2小問，綜合一些的會設(shè)置3小問。一般會出現(xiàn)

證明某線段是切線，或者證明兩個角相等，或者

兩條線段相等。然后其他小問讓計(jì)算某線段長度，

考點(diǎn)3創(chuàng)新型的問題☆☆

或者求某角的大小等。用到的知識比較綜合，圓

周角定律、相似三角形性質(zhì)、勾股定理、三角函

數(shù)以及數(shù)學(xué)思想方法。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.判定切線的方法

（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化

等；有時可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；

（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱

藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：

①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點(diǎn)）；

②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)

行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.

2.與圓有關(guān)的計(jì)算

計(jì)算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，

形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。

特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而

化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：

（1）構(gòu)造思想：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可

求其它所有線段長）；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)

造三角函數(shù).

（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立

方程，解決問題。

（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，

通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。

3.圓中常用輔助線的添法順口溜

半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。

切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。

基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。

解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。

分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

考點(diǎn)1.不含三角函數(shù)的問題

【例題1】（2024甘肅臨夏）如圖，直線l與O相切于點(diǎn)D，AB為O的直徑，過點(diǎn)A作AEl

于點(diǎn)E，延長AB交直線l于點(diǎn)C．

（1）求證：AD平分CAE；

（2）如果BC1，DC3，求O的半徑．

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出ODl，結(jié)合題意可證OD∥AE，即得

出DAEADO，再根據(jù)等邊對等角可得出DAOADO，即得出DAODAE，即AD

平分CAE；

（2）設(shè)O的半徑為r，則OCOBBCr1，ODr．再根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于r的等式，

求解即可．

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OD．

∵直線l與O相切于點(diǎn)D，

∴ODl．

∵AEl，

∴OD∥AE，

∴DAEADO．

∵OAOD，

∴DAOADO，

∴DAODAE，即AD平分CAE；

【小問2詳解】

解：設(shè)O的半徑為r，則OCOBBCr1，ODr．

在Rt△OCD中，OD2CD2OC2，

2

∴r232r1，

解得：r4，

∴O的半徑為4．

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓半徑相等，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線

的判定，勾股定理等知識．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．

【變式練1】（2024山東濟(jì)南一模）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接AC、BD．

（1）求證：△AEC∽△DEB；

（2）連接AD，若AD3，C30，求⊙O的半徑．

【答案】（1）證明見解析（2）⊙O的半徑為3

【解析】（1）證明：在⊙O中，

∵ADAD，

∴CB，

又∵AECDEB,

∴△AEC∽△DEB．

（2）解：∵C30，

由（1）可知，BC30，

∵直徑AB，

∴ADB90，

∴在RtADB中，AD3，B30，

∴AB2AD6，

1

∴OAAB3，

2

即⊙O的半徑為3．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本知識，相似三角形的判定，以及含30°角的直角三角形．主要涉及的知識

點(diǎn)有同弧所對的圓周角相等；兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；直徑所對的圓周角是直角；直角三

角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

【變式練2】（2024湖北一模）如圖，AB為O的直徑，E為O上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)

C作CD⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)D，延長⊙DC交AB的延長線⊙于點(diǎn)F．

（1）求證：CD是O的切線；

（2）若DE＝1，D⊙C＝2，求O的半徑長．

⊙

【答案】（1）證明見解析；（2）2.5．

【解析】（1）證明：連接OC，

∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，

∴，

∴∠EAC＝∠BAC，

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OCA，

∴∠EAC＝∠OCA，

∴AE∥OC，

∴∠ADC＝∠OCF，

∵CD⊥AE，

∴∠ADC＝90°，

∴∠OCF＝90°，

即OC⊥DF，

又OC為O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：⊙連接CE，BC，

由（1）知CD是O的切線，

∴CD2＝DE?AD，⊙

∵DE＝1，DC＝2，

∴AD＝4，

在Rt△ADC中，由勾股定理得，

在Rt△DCE中，由勾股定理得，

∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，

∴，

∴EC＝BC＝，

∵AB為O的直徑，

∴∠ACB⊙＝90°，

由勾股定理得，

∴O的半徑長是2.5．

⊙

考點(diǎn)2.含三角函數(shù)的問題

【例題2】（2024山東泰安）如圖，AB是O的直徑，AH是O的切線，點(diǎn)C為O上任意一

1

點(diǎn)，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于點(diǎn)E，延長BD與AH相交于點(diǎn)F，若DF1，tanB，

2

則AE的長為__________．

【答案】5

【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識，熟練掌

握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．先證DAFABD可得DAF∽DBA從而得到

DFAD1

tanB，求得AD2，再運(yùn)用勾股定理可得AF5，再根據(jù)圓周角定理以及角

ADBD2

的和差可得AEDAFD，最后根據(jù)等角對等邊即可解答．

【詳解】∵AB是O的直徑，

∴ADB90，

∵AH是O的切線，

∴BAF90，

∴DAFABD90DAB，

∴DAF∽DBA，

DFAD1

∴tanB，

ADBD2

∵DF1，

∴AD2，

∴AF5，

∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，

∴ADCD，

∴ABDDACDAF，

∵ADEADF90，

∴90DAE90DAF，即AEDAFD，

∴AEAF5．

故答案為：5．

【變式練1】（2024湖南一模）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC，PD與O

相切，切點(diǎn)分別為C，D．若AB＝10，PC＝1⊙2，則sin∠CAD等于（）⊙

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，

∵PC，PD與O相切，切點(diǎn)分別為C，D，

∴OC⊥CP，P⊙C＝PD，OP平分∠CPD，

∴OP⊥CD，

∴＝，

∴∠COB＝∠DOB，

∵，

∴∠COB＝∠CAD，

∵AB＝10，

∴AO＝OC＝OB＝5，

∵OC＝5，PC＝12，

在Rt△OCP中，

，

∴，

∴．

故選：D．

【變式練2】（2024江蘇徐州一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且AD＝DC，

過A，B，D三點(diǎn)作O，AE是O的直徑，連接DE．

（1）求證：AC是⊙O的切線；⊙

（2）若sinC＝，⊙AC＝6，求O的直徑．

⊙

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝DC，

∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，

∴∠1＝∠B，

又∵∠E＝∠B，

∴∠1＝∠E，

∵AE是O的直徑，

∴∠ADE⊙＝90°，

∴∠E+∠EAD＝90°，

∴∠1+∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，

∴AE⊥AC，

∴AC是O的切線；

（2）解：⊙過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，

∵DA＝DC，

∴CF＝AC＝3，

在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，

設(shè)DF＝4x，DC＝5x，

∴CF＝＝3x，

∴3x＝3，解得x＝1，

∴DC＝5，

∴AD＝5，

∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，

∴△ADE∽△DFC，

∴＝，即＝，解得AE＝，

即O的直徑為．

⊙

考點(diǎn)3.創(chuàng)新型的問題

【例題3】（2024云南省）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)D、F是O上異于A、B的點(diǎn)．點(diǎn)C在

O外，CACD，延長BF與CA的延長線交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在BA的延長線上，AMNABM，

AMBMABMN．點(diǎn)H在直徑AB上，AHD90，點(diǎn)E是線段DH的中點(diǎn)．

（1）求AFB的度數(shù)；

（2）求證：直線CM與O相切：

（3）看一看，想一想，證一證：

以下與線段CE、線段EB、線段CB有關(guān)的三個結(jié)論：CEEBCB，CEEBCB，CEEBCB，

你認(rèn)為哪個正確？請說明理由．

【答案】（1）90（2）見解析（3）CEEBCB，理由見解析

【解析】【分析】（1）直接利用直徑所對的圓周角是直角，即可得出結(jié)果；

（2）證明ABM∽AMN，得到MANMAB，根據(jù)平角的定義，得到MANMAB90，

即可得證；

（3）連接OA,OD,BD，連接OC交AD于點(diǎn)G，易得OCAD，圓周角定理得到ADB90，

推出OG∥BD，進(jìn)而得到AOCABD，根據(jù)三角函數(shù)推出HBEABC，得到B,E,C三

點(diǎn)共線，即可得出結(jié)果．

【小問1詳解】

解：∵AB是O的直徑，點(diǎn)F是O上異于A、B的點(diǎn)，

∴AFB90；

【小問2詳解】

證明：∵AMBMABMN，

AMMN

∴，

ABBM

又∵AMNABM，

∴ABM∽AMN，

∴AMBN，MANMAB，

∵M(jìn)ANMAB180，

∴MANMAB90，

∴OACA，

∵OA是半徑，

∴直線CM與O相切；

【小問3詳解】

我認(rèn)為：CEEBCB正確，理由如下：

連接OA,OD,BD，連接OC交AD于點(diǎn)G，如圖，則：OAOD，

∴點(diǎn)O在線段AD的中垂線上，

∵CACD，

∴點(diǎn)C在線段AD的中垂線上，

∴OCAD，

∴OGA90，

∵AB是O的直徑，

∴ADB90，

∴OGAADB，

∴OG∥BD，

∴AOCABD，

∵AHD90，

∴DHB90，

DHEH

∴tanHBD，tanHBE，

BHBH

∵E為DH的中點(diǎn)，

EH1DH1

∴tanHBEtanHBD，

BH2BH2

ACAC1

∵tanAOC,tanABC，且AOAB，

AOAB2

1AC1

∴tanABCtanAOC，

2OA2

∵AOCABD，

∴tanHBEtanABC，

∴HBEABC，

∴B,E,C三點(diǎn)共線，

∴CEEBCB．

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相

關(guān)知識點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．

【變式練1】（2024廣州一模）發(fā)動機(jī)的曲柄連桿將直線運(yùn)動轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動，圖①是發(fā)動機(jī)的實(shí)物

剖面圖，圖②是其示意圖．圖②中，點(diǎn)A在直線l上往復(fù)運(yùn)動，推動點(diǎn)B做圓周運(yùn)動形成O，AB

與BO表示曲柄連桿的兩直桿，點(diǎn)C、D是直線l與O的交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到E時，點(diǎn)B到達(dá)C；

當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到F時，點(diǎn)B到達(dá)D．若AB12，OB5，則下列結(jié)論正確的是（）

A.FC2B.EF12

C.當(dāng)AB與O相切時，EA4D.當(dāng)OBCD時，EAAF

【答案】AC

【解析】【分析】如圖，由題意可得：ABCE12，ABBOOE17，F(xiàn)DAB12，

OCOBOD5，從而可判斷A，B，如圖，當(dāng)AB與O相切時，求解AOAB2OB213，

可得EAEOAO17134，可判斷C；當(dāng)OBCD時，如圖，可得AO12252119，

AEEOAO17119，AFAOOF119251197，可判斷D；從而可得

答案．

【詳解】如圖，由題意可得：

ABCE12，ABBOOE17，F(xiàn)DAB12，OCOBOD5，

∴FCFDCD12102，故A符合題意；

EFCECF12210，故B不符合題意；

如圖，當(dāng)AB與O相切時，

∴ABO90，

∴AOAB2OB213，

∴EAEOAO17134，故C符合題意；

當(dāng)OBCD時，如圖，

∴AO12252119，

∴AEEOAO17119，AFAOOF119251197，

∴AEAF，故D不符合題意；故選AC

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差運(yùn)算，圓的切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意熟練的利用數(shù)

形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．

【變式練2】（2024福建一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時代已有了馬車，而目前考古發(fā)現(xiàn)最早

的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時，見到了如圖1的馬車車廂模型，

他繪制了如圖2的車輪側(cè)面圖．如圖2，當(dāng)過圓心O的車架AC的一端A落在地面上時，AC與O的

另一個交點(diǎn)為點(diǎn)D，水平地面AB切O于點(diǎn)B．

(1)求證：A2C90；

(2)若AD2m，AB3m，求O的直徑．

【答案】(1)見解析(2)5/4m

【解析】（1）證明：如圖所示，連接OB，

∵OBOC，

∴OBCC，

∴∠AOB∠OBC∠C2∠C，

∵水平地面AB切O于點(diǎn)B，

∴ABOB，即ABO90，

∴AAOB90，即A2C90；

（2）解：設(shè)O的半徑為rm，則ODOBrm，

∴OAODADr2m，

在Rt△ABO中，由勾股定理得OA2OB2AB2，

222

∴r23r，

解得r=5/4m，

∴O的半徑為5/4m．

考點(diǎn)1.不含三角函數(shù)的問題

1.（2024遼寧）如圖，O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，點(diǎn)D在BC上，ACBD，E

在BA的延長線上，CEACAD．

（1）如圖1，求證：CE是O的切線；

（2）如圖2，若CEA2DAB，OA8，求BD的長．

【答案】（1）見詳解（2）2

【解析】【分析】（1）連接CO，則12，故31222，由ACBD，得到42，

而ACB90，則CAD2290，由CEACAD，得CEA2290，因此

CEA390，故ECO90，則CE是O的切線；

90

（2）連接CO,DO，可得32224CEA，則3CEA45，故422.5，

2

458

由BDBD，得DOB2445，那么BD長為2．

180

【小問1詳解】

證明：連接CO，

∵OCOB，

∴12，

∴31222，

∵ACBD，

∴42，

∵AB為直徑，

∴ACB90，

∴CAD4290，即CAD2290，

∵CEACAD，

∴CEA2290，

∴CEA390，

∴ECO90，

∴OCCE，

∴CE是O的切線；

【小問2詳解】

解：連接CO,DO，

由（1）得32224，

∵CEA2DAB，

∴CEA3，

∵ECO90，

90

∴3CEA45，

2

∴422.5，

∵BDBD，

∴DOB2445，

458

∴BD長為：2．

180

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧長公式等，

正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．

2.（2024深圳）如圖，在△ABD中，ABBD，O為△ABD的外接圓，BE為O的切線，AC

為O的直徑，連接DC并延長交BE于點(diǎn)E．

（1）求證：DEBE；

（2）若AB56，BE5，求O的半徑．

【答案】（1）見解析（2）35

【解析】

【小問1詳解】

證明：連接BO并延長，交AD于點(diǎn)H，連接OD，

∵ABBD，OAOD，

∴BO垂直平分AD，

∴BHAD，AHDH，

∵BE為O的切線，

∴HBBE，

∵AC為O的直徑，

∴ADC90，

∴四邊形BHDE為矩形，

∴DEBE；

【小問2詳解】

由（1）知四邊形BHDE為矩形，BHAD，AHDH，

∴AHDHBE5，

∴BHAB2AH255，

設(shè)O的半徑為r，則：OAOBr,OHBHOB55r，

22

在Rt△AOH中，由勾股定理，得：r2555r，

解得：r35；

即：O的半徑為35．

考點(diǎn)2.含三角函數(shù)的問題

1.（2024福建省）如圖，在ABC中，BAC90,ABAC，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，

AEOC，垂足為E,BE的延長線交AD于點(diǎn)F．

OE

（1）求的值；

AE

（2）求證：△AEB∽△BEC；

（3）求證：AD與EF互相平分．

1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

2

AC

【解析】（1）先證得AC2AO，再在RtAOC中，tanAOC2．在Rt△AOE中，

AO

AEAE

tanAOC，可得2，再證得結(jié)果；

OEOE

（2）過點(diǎn)B作BM∥AE，交EO延長線于點(diǎn)M，先證明AOE≌BOM，可得

AEBM,OEOM，再證得BAECBE，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；

AEAB2AOAO

（3）如圖，連接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得,EAOEBD，

BEBC2BDBD

從而得出AOE∽BDE，從而得出BEDAEO90，得出AFBDEF，再上平行線

判定得出AF∥DE，再證得AE∥FD，從而得出四邊形AEDF是平行四邊形，最后由平行四邊形

的性質(zhì)可得結(jié)果．

【小問1詳解】

ABAC，且AB是O的直徑，

AC2AO．

BAC90，

AC

在RtAOC中，tanAOC2．

AO

AEOC，

AE

在Rt△AOE中，tanAOC．

OE

AE

2，

OE

OE1

；

AE2

【小問2詳解】

過點(diǎn)B作BM∥AE，交EO延長線于點(diǎn)M．

BAEABM,AEOBMO90．

AOBO，

△AOE≌△BOM，

AEBM,OEOM．

OE1

，

AE2

BM2OEEM，

MEBMBE45，

AEBAEOMEB135，BEC180MEB135，

AEBBEC．

ABAC,BAC90，

ABC45，

ABMCBE，

BAECBE，

△AEB∽△BEC．

【小問3詳解】

如圖，連接DE,DF．

AB是O的直徑，

ADBAFB90,AB2AO．

ABAC,BAC90，

BC2BD,DAB45．

由（2）知，△AEB∽△BEC，

AEAB2AOAO

,EAOEBD，

BEBC2BDBD

△AOE∽△BDE，

BEDAEO90．

DEF90．

AFBDEF，

AF∥DE．

由（2）知，AEB135，

AEF180AEB45．

DFBDAB45，

DFBAEF，

AE∥FD，

四邊形AEDF是平行四邊形，

AD與EF互相平分．

【點(diǎn)睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基

礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何直觀、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．

2.（2024甘肅威武）如圖，AB是O的直徑，BCBD，點(diǎn)E在AD的延長線上，且

ADCAEB．

（1）求證：BE是O的切線；

（2）當(dāng)O的半徑為2，BC3時，求tanAEB的值．

7

【答案】（1）見解析（2）tanAEB

3

【解析】【分析】（1）連接BD，OC，OD，證明OB垂直平分CD，得出AFD90，證明CD∥BE，

得出ABEAFD90，說明ABBE，即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)AB是O的直徑，得出ACB90，根據(jù)勾股定理求出

AC7

ACAB2BC242327，根據(jù)三角函數(shù)定義求出tanABC，證明

BC3

7

AEBABC，得出tanAEBtanABC即可．

3

【小問1詳解】

證明：連接BD，OC，OD，如圖所示：

∵BCBD，

∴BCBD，

∵OCOD，

∴點(diǎn)O、B在CD的垂直平分線上，

∴OB垂直平分CD，

∴AFD90，

∵ADCAEB，

∴CD∥BE，

∴ABEAFD90，

∴ABBE，

∵AB是O的直徑，

∴BE是O的切線；

【小問2詳解】

解：∵O的半徑為2，

∴AB224，

∵AB是O的直徑，

∴ACB90，

∵BC3，

∴ACAB2BC242327，

AC7

∴tanABC，

BC3

∵，

ACAC

∴ADCABC，

∵AEBADC，

∴AEBABC，

7

∴tanAEBtanABC．

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判

定，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．

3.（2024廣西）如圖，已知O是ABC的外接圓，ABAC．點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中

點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F，使DEEF，連接AF．

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）求證：AF與O相切；

3

（3）若tanBAC，BC12，求O的半徑．

4

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）10

【解析】【分析】（1）先證明BDCD，DEEF，再證明△AEF≌△CED，可得AFCD，

FEDC，再進(jìn)一步解答即可；

（2）如圖，連接AD，證明ADBC，可得AD過圓心，結(jié)合AF∥BD，證明AFAD，從而

可得結(jié)論；

（3）如圖，過B作BQAC于Q，連接OB，設(shè)BQ3x，則AQ4x，可得CQACAQx，

12610

求解x，可得AB5x610，求解ADAB2BD218，設(shè)O半徑為r，

105

可得OD18r，再利用勾股定理求解即可．

【小問1詳解】

證明：∵點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，

∴BDCD，AECE，

又∵AEFCED，DEEF，

∴△AEF≌△CED，

∴AFCD，F(xiàn)EDC，

∴AFBD，AF∥BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形；

【小問2詳解】

證明：如圖，連接AD，

∵ABAC，D為BC中點(diǎn)，

∴ADBC，

∴AD過圓心，

∵AF∥BD，

∴AFAD，

而OA為半徑，

∴AF為O的切線；

【小問3詳解】

解：如圖，過B作BQAC于Q，連接OB，

3

∵tanBAC，

4

BQ3

∴，

AQ4

設(shè)BQ3x，則AQ4x，

∴ACABAQ2BQ25x，

∴CQACAQx，

∴BCBQ2CQ210x，

∴10x12，

12610

∴x，

105

∴AB5x610，

∵ABAC，BC12，ADBC，

∴BDCD6，

∴ADAB2BD218，

設(shè)O半徑為r，

∴OD18r，

2

∴r218r62，

解得：r10，

∴O的半徑為10．

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形

的判定與性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)3.創(chuàng)新型的問題

1.（2024廣州）如圖，在菱形ABCD中，C120．點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重

合），△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△AEF．

（1）當(dāng)BAF30時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AB663，O為△AEF的外接圓，設(shè)O的半徑為r．

①求r的取值范圍；

②連接FD，直線FD能否與O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．

【答案】（1）AFAD，AFAD

（2）①r333且r236；②能，BE12

【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得BADC120，ABAD，再結(jié)合軸對稱的性質(zhì)

可得結(jié)論；

（2）①如圖，設(shè)△AEF的外接圓為O，連接AC交BD于H．連接OA，OE，OF，OC，證

明ABC為等邊三角形，A,E,F,C共圓，AOE2AFE120，O在BD上，

AEOEAO30，過O作OJAE于J，當(dāng)AEBC時，AE最小，則AO最小，再進(jìn)一

步可得答案；②如圖，以A為圓心，AC為半徑畫圓，可得B,C,F,D在A上，延長CA與A交

于L，連接DL，證明CFD18030150，可得OFC60，△OCF為等邊三角形，

證明BAF1203090，可得：BAEFAE45，BEEF，過E作EMAF于

M，再進(jìn)一步可得答案．

【小問1詳解】解：AFAD，AFAD；理由如下：

∵在菱形ABCD中，C120，

∴BADC120，ABAD，

∵BAF30，

∴FAD1203090，

∴AFAD，

由對折可得：ABAF，

∴AFAD；

【小問2詳解】解：①如圖，設(shè)△AEF的外接圓為O，連接AC交BD于H．連接OA，OE，

OF，OC，

∵四邊形ABCD為菱形，BCD120，

∴ACBD，BCA60，BABC，

∴ABC為等邊三角形，

∴ABCAFE60ACB，

∴A,E,F,C共圓，AOE2AFE120，O在BD上，

∵AOOE，

∴AEOEAO30，

過O作OJAE于J，

23

∴AJEJ，AOAJ，

3

3

∴AOAE，

3

當(dāng)AEBC時，AE最小，則AO最小，

∵AB663，ABC60，

3

∴AEABsin60663339，

2

3

∴AO339333；

3

點(diǎn)E不與B、C重合，

AE933，且AE663，

∴r的取值范圍為r333且r236；

②DF能為O的切線，理由如下：

如圖，以A為圓心，AC為半徑畫圓，

∵ABACAFAD，

∴B,C,F,D在A上，

延長CA與A交于L，連接DL，

同理可得ACD為等邊三角形，

∴CAD60，

∴CLD30，

∴CFD18030150，

∵DF為O的切線，

∴OFD90，

∴OFC60，

∵OCOF，

∴△OCF為等邊三角形，

∴COF60，

1

∴CAFCOF30，

2

∴DAF603030，

∴BAF1203090，

由對折可得：BAEFAE45，BEEF，

過E作EMAF于M，

∴設(shè)AMEMx，

∵EFM60，

33

∴FMEMx，

33

3

∴xx663，

3

解得：x63，

3

∴FM636，

3

∴BEEF2FM12．

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，

銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的

關(guān)鍵．

考點(diǎn)1.不含三角函數(shù)的問題

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，

連接DE．⊙

（1）求證：DE與O相切；

（2）連接OC交D⊙E于點(diǎn)F，若O的半徑為3，DE＝4，求的值．

⊙

【答案】見解析

【解析】（1）連接OE、BE，如圖所示：

∵∠ABC＝90°，

∴∠A+∠ACB＝90°，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BC＝CD，

∴∠DEC＝∠ACB，

∵OA＝OE，

∴∠A＝∠AEO，

∴∠AEO+∠DEC＝90°，

∴∠OED＝90°，∴OE⊥DE，

∵OE為O的半徑，

∴DE與⊙O相切；

（2）連接⊙OD，如圖所示：

∵DE＝BC＝4，∴BC＝8，

∵AB＝2×3＝6，

∴AC＝，

∵∠ABC＝90°，

∴BC與O相切，根據(jù)切割線定理得：BC2＝CE?AC，

⊙

∴CE＝，

∵O是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，OD＝AC＝5，

∴△ODF∽△CEF，

∴．

2.如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交線段CA的延長線于點(diǎn)E，

連接BE．

（1）求證：BDCD；

1

（2）若tanC，BD4，求AE．

2

65

【答案】（1）證明見詳解（2）

5

【解析】【分析】（1）連接AD，由AB為直徑可得AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即

可證明結(jié)論．

1

（2）由（1）可得CD=4，BC=8，根據(jù)tanC即可求得AD2，進(jìn)而利用勾股定理即可求得AC，

2

由AB為⊙O的直徑，得∠BEC=∠ADC=90°，∠C為公共角，可得△ADC△BEC，根據(jù)三角形

相似的性質(zhì)即可求得CE，進(jìn)而可求解．

【詳解】(1)證明：連接AD，如圖所示：

∵AB為⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

又∵ABAC，

∴三角形ABC為等腰三角形，

∴AD為BC的垂直平分線，

∴BD=CD．

(2)由（1）可得BD=CD=4，

ADAD1

tanC，BC=2BD=8，

CD42

AD2，

在Rt△ACD中，

ACAD2CD2224225，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BEC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，

∴△ADC△BEC，

ACCD254

，即，

BCCE8CE

165

CE，

5

16565

AECEAC25．

55

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形與圓的綜合問題，考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、相似三

角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)及三角形

相似對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3.如圖，在Rt△ABC中，ACB90，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點(diǎn)D，在CD上取一

點(diǎn)E，使BECD，連接DE，作射線CE交AB邊于點(diǎn)F．

（1）求證：AACF；

4

（2）若AC8，cosACF，求BF及DE的長．

5

42

【答案】（1）見解析（2）BF=5，DE

25

【解析】【分析】（1）根據(jù)Rt△ABC中，ACB90，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根

據(jù)BECD，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；

1

（2）根據(jù)∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF=AB，根據(jù)

2

AC4

cosACFcosA，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根據(jù)BCAB2AC26，

AB5

BC3

得到sinA，連接CD，根據(jù)BC是⊙O的直徑，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，

AB5

BD3187

推出∠A=∠BCD，得到sinBCD，推出BD，得到DFBFBD，根據(jù)

BC555

DEDF

∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到FDE∽FBC，推出，

BCBF

42△△

得到DE．

25

【詳解】(1)解：∵Rt△ABC中，ACB90，

∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，

∵BECD，

∴∠B=∠BCF，

∴∠A=∠ACF；

(2)∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF

∴AF=CF，BF=CF，

1

∴AF=BF=AB，

2

AC4

∵cosACFcosA，AC=8，

AB5

∴AB=10，

∴BF=5，

∵BCAB2AC26，

BC3

∴sinA，

AB5

連接CD，∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，

BD3

∴sinBCD，

BC5

18

∴BD，

5

7

∴DFBFBD，

5

∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，

∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，

∴FDE∽FBC，

DEDF

∴△△，

BCBF

42

∴DE．

25

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌

握圓周角定理及推論，運(yùn)用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．

考點(diǎn)2.含三角函數(shù)的問題

1．如圖，△ABC中，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)E，AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作ED⊥AC于點(diǎn)D，

延長DE交AB的延長線于點(diǎn)P．⊙

（1）求證：PE是O的切線；

（2）若⊙，BP＝4，求CD的長．

【答案】（1）證明過程見解答；（2）CD的長為．

【解析】（1）證明：如圖，連接OE，

∵AE平分∠BAC，

∴∠OAE＝∠DAE，

∵OE＝OA，

∴∠OEA＝∠OAE，

∴∠DAE＝∠OEA，

∴OE∥AD，

∵ED⊥AC，

∴OE⊥PD，

∵OE是O的半徑，

∴PE是⊙O的切線；

（2）解⊙：∵＝，BP＝4，OB＝OE，

∴＝，

∴OE＝2，

∴AB＝2OE＝4，

∴AP＝AB+BP＝8，

在Rt△APD中，sin∠P＝＝，

∴AD＝AP＝，

∵AB為O的直徑，

∴∠AEB⊙＝90°＝∠AEC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∵AE＝AE，

∴△AEB≌△AEC（ASA），

∴AB＝AC＝4，

∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，

∴CD的長為．

考點(diǎn)3.創(chuàng)新型的問題

1.為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動會的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材

由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)O與水平地面相

切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為BAD.點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)

O相切于點(diǎn)B時，手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．

(1)求證：BOCBAD90．

(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)

最低位置，此時點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測得BAD60．