2025年中考數學總復習《二次函數壓軸題(相似三角形問題)》專項測試卷(附帶答案)

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1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線4。=--4+3以某一點(4力)為對稱中心旋

轉180。后得到拋物線G,其頂點坐標為4-2,1).

(2)點5為q的頂點坐標，連接A3,過A作ACJ-4?交Q于點C求點。的坐標以

及等的值.

2.如圖，拋物線”加+法+c經過A(TO)、3(3,0)、。(。,3)三點，對稱軸與拋物線相

交于點乙與直線BC相交于點連接AC,PB.

⑴求該拋物線的解析式;

(2)設對稱軸與X軸交于點N,在對稱軸上是否存在點G,使以0、N、G為頂點

的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點G的坐標；如果不存在，請說明

理由；

(3)拋物線上是否存在一點Q,使AQMB與△p誰的面積相等，若存在，求點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，已知二次函數y=*+"+c的圖象與x軸交于點z(_4,o)和點B,與y軸相

交于點c(o,4).

⑴求該二次函數的解析式；

(2)點。在線段0A上運動，過點。作x軸的垂線，與AC交于點Q,與拋物線交于點尸.

①連接AP,CP,當四邊形AOCP的面積最大時，求此時點尸的坐標和四邊形AOCP面

積的最大值；

②探究是否存在點尸使得以點尸，C,。為頂點的三角形與△ADQ相似？若存在，

求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=加-8依+10a-l(a<0)與x軸的交點分別為

A(占,0),B(孫0),其中(0〈尤2"),且AB=4,與>軸的交點為C,直線CD〃x軸，

在x軸上有一動點E1,0),過點E作直線Ux軸，與拋物線、直線。的交點分別為

P、Q.

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

(2)當f＞2時，是否存在點尸，使以C、尸、。為頂點的三角形與△OBC相似？若存在,

求出此時/的值；若不存在，請說明理由.

5.如圖1,拋物線G：y=/2+6x+c與X軸交于A(T，0)，3(4,0),與y軸交于點C

(1)求搬物線G的解析式；

⑵若尸是拋物線G在第四象限上的一點，連接轉交線段于點K,是否存在點P,

使得K剛好為”的中點，若存在，求出點尸的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,將拋物線G向右平移一個單位長度得到拋物線點M,N都在拋物

線G上，且分別在第四象限和第二象限，若NNOy=NMOx,求證：直線MN經過一

定點.

6.如圖，在矩形0ABe中，AO=10,AB=8,沿直線8折疊矩形0ABC的一邊8C,

使點3落在0A邊上的點￡處.分別以OC,0A所在的直線為x軸，＞軸建立平面直

角坐標系，拋物線y=M+6x+c經過。，D,c三點.

(1)求A￡＞的長及拋物線的解析式;

(2)一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點c運動，同時動點。從

點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點。運動，當點尸運動到點C時，兩點

同時停止運動.設運動時間為/秒，當/為何值時，以p、Q、C為頂點的三角形與

VADE相似？

7.如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-2，+"+c的圖像與％軸交于點

4(-2,0),與y軸交于點8(0,4).

⑴求該二次函數的解析式；

⑵如果點T是二次函數圖像對稱軸上的一點，連接AD、加，求△海的面積；

⑶如果點尸是該二次函數圖像上位于第二象限內的一點，且依，河，求點尸的橫

坐標.

8.如圖所示，在RtA4BC的頂點A、8在X軸上，點C在y軸上正半軸上,且A(-LO),

8(4,0),C(0,2).

(1)求過A,B,。三點的拋物線解析式.

⑵設拋物線的對稱軸/與sc邊交于點，若尸是對稱軸/上的點，且滿足以尸、c、

。為頂點的三角形與4人。。相似，求尸點的坐標；

(3)在對稱軸/和拋物線上是否分別存在點河、N,使得以A、。、M、N為頂點的

四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點〃、點N的坐標；若不存在，請說

明理由.

9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=Y+bx+c與X軸交于A,3兩點，與y軸

交于點C,直線丫=-]-2與X軸，y軸分別交于A,。兩點，。點為OC中點.

⑴求拋物線表達式；

(2)點尸為直線AD下方拋物線上一動點，過點尸作交AD于點H,求的最

大值，以及此時點尸的坐標；

⑶將拋物線沿射線加方向平移逐個單位，點E為平移后的拋物線上一點，連接AC,

若ZEC4=ZADO,請直接寫出所有符合條件的點￡的坐標.

10.如圖，二次函數，=加+及+《叱0)的圖象與％軸交于4、5兩點，與y軸相交

于點C連接AC、BC,A、。兩點的坐標分別為A(T0),C(0,有).且當x=T和x=2時

二次函數的函數值y相等.點M、N同時從5點出發，均以每秒1個單位長度的

速度分別沿胡、邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動.當

運動時間為彳秒時，連接MN,將△階W沿MN翻折得到JMN.

(1)求二次函數的解析式；

⑵若點尸恰好落在AC邊上，求彳的值及點尸的坐標；

(3)在點V、N運動過程中，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點。，使得以夙

尸、。為頂點的三角形與VABC相似？如果存在，請直接寫出點尸的坐標；如果不

存在，請說明理由.

11.如圖，已知二次函數廣加+法+3(叱。)的圖象與入軸交于點點A(TO)和點8(1,0),

與y軸交于點G點尸是拋物線上點A與點。之間的動點(不包括點A,點C).

(1)求此二次函數的解析式；

(2)如圖1,連結PA,PC,求才AC的面積的最大值;

(3)如圖2,過點尸作入軸的垂線交于點。，與AC交于點。.探究是否存在點尸,

使得以點尸、。為頂點的三角形與△AD。相似？若存在，直接寫出點P的坐標；

若不存在，說明理由.

12.在平面直角坐標系中,拋物線—浸+陵+3經過中-3,0),8(1,0),與y軸交于點C,

點。是拋物線的頂點，點尸是X軸上方拋物線上的一動點，設點尸的橫坐標為L

(1)求該拋物線的解析式;

(2)當點尸在直線AC上方運動時;

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①若點尸的坐標為，求△ACP的面積;

②如圖(2),DE〃、軸交直線AC于點E,過點尸(不與點。重合)作軸交直

線AC于點若四邊形DR0P是平行四邊形，求點M的坐標;:

⑶過點尸作尸尸，無軸于點。是否存在點尸，使得以點REA為頂點的三角形與ABOC

相似？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

13.在平面直角坐標系中，拋物線、=加+及+3(段0)經過A(TO),8(3，。)兩點，與y

且在直線BC的上方.

⑴求拋物線的表達式.

(2)如圖1,過點尸作尸軸，交直線8C于點E,若PE=2ED,求點尸的坐標.

⑶如圖2,連接AC、PC、"，”與8C交于點G,過點尸作PF〃AC交8C于點尸.記AACG、

APCG、dGF的面積分別為牛邑、83.當在爭取得最大值時，求sinZBCP的值.

14.如圖1,拋物線廣加+笈+3%0)與％軸交于點A(-l,0),網3,0)與y軸交于點C,

連接AC,BC.

(1)求該拋物線及直線3C的函數表達式；

(2)如圖2,在8C上方的拋物線上有一動點尸(不與B,。重合)，過點尸作PD//AC,

交BC于點D,過點尸作PE/O軸，交BC于點E.在點尸運動的過程中，請求出APDE

周長的最大值及此時點P的坐標；

⑶如圖3,若點尸是該拋物線上一動點，問在點尸運動的過程中，坐標平面內是

否存在點。使以bGP,。為頂點BC為對角線的四邊形是矩形，若存在，請

求出此時點。的坐標；若不存在，請說明理由.

15.如圖，二次函數圖象的頂點為坐標原點0,且經過點43,3),一次函數的圖象

經過點A和點3(6,0),一次函數圖象與y軸相交于點C.

(1)求二次函數與一次函數的解析式；

(2)如果點。在線段AC上(不與A、C重合)，與y軸平行的直線DE與二次函數圖象

相交于點E,ZCDO=ZOED,求點。的坐標；

(3)當點。在直線AC上的一個動點時，與y軸平行的直線DE與二次函數圖象相交

于點￡,以點。、。、。、E為頂點的四邊形能成為平行四邊形嗎？請說明理由.

參考答案

1.(1)0,0

(2)。<-3),回=1

2.(1)y=--+2%+3

(2)存在,G點坐標為(1，3)或(1,-3)或(1,.或(1，T

(3)存在，△。MB與△的面積相等時，。點坐標為，12^］或

'^^^)或(2,3)

3.⑴丁二-尤2-3x+4

(2)①當/=-2時，端邊形w有最大值，最大值為16,網-2,6)；②存在，點尸的坐標為(-3,4)

或(-2,6)

4.(1)y+4尤—6

(2)f=y>y9或f=14

13

5.(l)y=-^--^-2

(2)不存在，

6.(1)3,y=-jx2+yx

(2曙或年

7.(l)y=-2x2-2x+4

(2)4

3

(3)-7

1a

2

8.(l)y=--x+-x+2;

(2)尸點的坐標為(I，2)或［，5］；

(3)M瑞),N賢)或唱v

9.(l)y=x2+3x-4

(2)最大值為2