2025年中考數學總復習《圓與二次函數》專項測試卷（附答案）

學校:班級：姓名：考號：

一、單選題

1.如圖，AB是定長線段，圓心O是AB的中點，AE、BF為切線，E、F為切點，滿足AE=BF,

在EF上取動點G,國點G作切線交AE、BF的延長線于點D、C,當點G運動時，設AD=y,

BC=x，則y與x所滿足的函數關系式為（）

A.正比例函數y=kx（k為常數，k，0,x>0）

B.一次函數丫=1?+6（k,b為常數，WO,x>0）

k

C.反比例函數y=—（k為常數，k/）,x>0）

x

D.二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a#0,x>0）

2.如圖，AB是定長線段，圓心O是AB的中點，AE、BF為切線，E、F為切點，滿足AE=BF

在EF上取動點G,過點G作切線交AE、BF的延長線于點D、C,當點G運動時，設AD=y,

A.正比例函數y=kx（k為常數，k#0,x>0）B.一次函數產kx+b（k,b為常數,kb#）,

x>0）

C.二次函數y=ax?+bx+c（a,b,c為常數,a#0,x>0）D.以上都不是

3.如圖，AB=5,。是AB的中點，尸是以點。為圓心，A3為直徑的半圓上的一個動點（點

尸與點A,B可以重合），連接出，過尸作PMLAB于點設AP-AM=y,則

下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（）

A.二次函數B.一次函數C.正比例函數D.以上都不對

4.已知下列結論：①平分弦的直線必過圓心；②相等的弦所對的弧相等；③二次函數

y=犬-2〃優+2根-2的頂點在x軸下方；④函數y=Ax?+（3k+2）x+l,對于任意負實數左，

當時，y隨x的增大而增大，則優的最大整數值為—2.其中正確的有（）

A.①③B.③C.②④D.③④

5.下列命題中（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑必平分這條弦所對的弧

（3）每個角都等于135度的八邊形是中心對稱圖形.（4）同圓中，兩條弦所夾的弧相等，

則這兩條弦平行.（5）二次函數y=P2x+3（0<A<0.5）的最小值為2.（6）圓的對稱軸是直

徑.簿族命題的個數是：（）

A.6B.5C.4D.3

6.如圖，0A半徑為1,圓心4（0,3）,點8是0A上動點，點C在二次函數y=圖象

上運動，則線段的最小值為（）

2

7.如圖，己知二次函數y=g/-8的圖象與x軸交于A,8兩點與y軸交于C,0c的半徑

為2君，尸為OC上一動點，連接尸3,若E為尸3的中點，連接OE,則OE的最大值為（）

A.10一君B.l0+6C.5+石D.5-75

22

8.如圖，二次函數y=gV-3與x軸交于A、3兩點，與，軸交于C點，點。與點C關于x

軸對稱，點尸從點A出發向點。運動，點。在DB上，且NPCQ=45。，則圖中陰影部分面積

的最小值是（）

二、填空題

9.如圖，一動點P在二次函數，=。無2一!％+!的圖象上自由滑動，若以點P為圓心，1為

424

半徑的圓與無軸相切，則點尸的坐標為.

1Q

10.已知二次函數>=耳尤2一§》一3的圖象與X軸交于A,3兩點（點A在點B的左側），與y

軸的負半軸交于點C,頂點為。，作直線CO.點P是拋物線對稱軸上的一點，若以P為圓

心的圓經過A,B兩點,并且和直線C。相切，則點尸的坐標為.

11.如圖，A,8是二次函數>=:無2+版圖象上的兩點，直線48平行于x軸，點A的坐標

為(-3,4).在直線上任取一點P,作點A關于直線OP的對稱點C,連接8C,則BC的

12.已知如圖，二次函數》=-#/+2百的圖像交x軸于A、8兩點，交》軸于C點，連

接BC,點"是上一點，射線MN與以A為圓心，1為半徑的。A相切于點N,則線段

的最小值是.

13.如圖，二次函數,=辦2_7奴+6〃(〃>0)的圖象交工軸于A,8兩點，交y軸于點C,QP

(P在第一象限)恰好經過A、8、C三點，且AB的弦心距為［A3,貝Ua的值為.

2

三、解答題

14.已知，關于x的二次函數>=江+2以-3°(0>0)的圖象與x軸交于A、3兩點(點A在點

B的左側)，與y軸交于點C,圖象頂點為。，連接AC、BC、CD.

(1)請直接寫出點A、B、C、。的坐標(用數字或含。的式子表示)：

AB_；C_；D_；

⑵作出點C關于對稱軸的對稱點E,連接AE、CE、DE,若/MCE和△OCE相似，求a

的值；

⑶若NACBN90。，直接寫出。的取值范圍.

15.已知二次函數y=Y+bx+c與x軸交于A(-1,O),3(3,0)兩點，與>軸交于點C.

(1)求這個二次函數的表達式;

(2)如圖1,連接AC,BC,若點/在拋物線上，且〃的橫坐標為g,連接CM,NACB與

N3CN相等嗎？請說明理由；

(3汝口圖2,點N是線段A3上任意一點(N不與A,3重合)，過點N作軸，交拋物線

于點E,連接4E,作dBE的外接圓OP,延長硒交。P于點試說明點廠在某條定直

線上.

16.如圖，二次函數丁=-尤2+(〃7-1)X+"Z(其中相＞1)的圖像與x軸交于A、3兩點(點A

在點B左側)，與y軸交于點C,連接AC、BC,點。為VABC的外心.

⑴填空：點A的坐標為一，ZABC=_°；

⑵記AACD的面積為占，的面積為S2,試探究g-S?是否為定值？如果是，求出這

個定值；

(3)若在第一象限內的拋物線上存在一點E,使得以8、。、C、E為頂點的四邊形是菱形，

則，〃=_.

17.如圖，二次函數丫=加+笈+。的圖象交x軸于點A(T,O),8(2,0),交y軸于點C(0,-2),

⑴求二次函數的表達式；

(2)點尸在x軸正半軸上，且R4=PC,求。尸的長;

⑶點M在二次函數圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切,切點為H.若〃在>軸右側,

^.ZHCM=ZOAC,求點M的坐標.

18.如圖，已知二次函數y=ad+法+5的圖象與％軸相交于A(TO),8(5,0)兩點，與y軸相

⑴求這個二次函數的表達式.

⑵若M是第一象限內線段8C上任意一點(不與8,C重合)，軸于點H,與二次函

數的圖象交于點P,連接PC.設點M的橫坐標為f,當△PC"是直角三角形時，求點M

的坐標.

(3)如圖，若M是直線BC上任意一點，N是x軸上任意一點，且MN=4.以N為旋轉中心，

將"N逆時針旋轉90。，使M落在。點，連接則線段BQ的取值范圍為直接

寫出答案)

參考答案

1.C

【分析】延長AD,BC交于點Q,連接OE,OF,OD,OC,0Q,由AE與BF為圓的切線，

利用切線的性質得到AE與EO垂直，BF與OF垂直，由AE=BF,OE=OF,利用HL得到

直角三角形AOE與直角BOF全等，利用全等三角形的對應角相等得到/A=/B,利用等角

對等邊可得出三角形QAB為等腰三角形，由O為底邊AB的中點，利用三線合一得到QO

垂直于AB,得到一對直角相等，再由NFQO與/OQB為公共角，利用兩對對應角相等的

兩三角形相似得到三角形FQO與三角形OQB相似，同理得到三角形EQO與三角形OAQ

相似，由相似三角形的對應角相等得到NQOE=NQOF=NA=NB,再由切線長定理得到0D

與OC分別為/EOG與/FOG的平分線，得到/DOC為/EOF的一半,即ZDOC=ZA=ZB,

又/GCO=/FCO,得到三角形DOC與三角形OBC相似，同理三角形DOC與三角形DAO

相似，進而確定出三角形OBC與三角形DAO相似，由相似得比例，將AD=x,BC=y代入，

并將AO與OB換為AB的一半，可得出x與y的乘積為定值，即y與x成反比例函數，即

可得到正確的選項.

【詳解】延長AD,BC交于點Q,連接OE,OF,OD,OC,0Q,

VAE,BF為圓O的切線，

AOEXAE,OFXFB,

.?.ZAEO=ZBFO=90°,

在RtAAEO和RtABFO中，

AE=BF

??{

?OE=OFf

ARtAAEO^RtABFO(HL),

.*.ZA=ZB,

???△QAB為等腰三角形，

又???O為AB的中點，即AO=BO,

AQOXAB,

???ZQOB=ZQFO=90°,

XVZOQF=ZBQO,

.,.△QOF^AQBO,

AZB=ZQOF,

同理可以得到NA=NQOE,

???ZQOF=ZQOE,

根據切線長定理得：OD平分NEOG,OC平分NGOF,

???ZDOC=1-ZEOF=ZA=ZB,

又?.?NGCO=NFCO,

.,.△DOC^AOBC,

同理可以得到△DOCs/\DAO,

.?.△DAO^AOBC,

.ADAO

??麗一法’

AD-BC=AO?OB=-AB2,即xy」AB?為定值，

44

設k=：AB2,得到y=￡

4x

則y與X滿足的函數關系式為反比例函數y=&（k為常數，k#0,x>0）.

X

故選c.

【點睛】本題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，切線長定理，直

角三角形全等的判定與性質，反比例函數的性質，以及等腰三角形的性質，做此題是注意靈

活運用所學知識.

2.D

【分析】延長AD,BC交于點Q,連接OE,OF,OD,OC,OQ,由AE與BF為圓的切線，

利用切線的性質得到AE與EO垂直，BF與OF垂直，由AE=BF,OE=OF,利用HL得到

直角三角形AOE與直角BOF全等，利用全等三角形的對應角相等得到NA=/B,利用等角

對等邊可得出三角形QAB為等腰三角形，由O為底邊AB的中點，利用三線合一得到QO

垂直于AB,得到一對直角相等，再由NFQO與NOQB為公共角，利用兩對對應角相等的

兩三角形相似得到三角形FQO與三角形OQB相似，同理得到三角形EQO與三角形OAQ

相似，由相似三角形的對應角相等得到NQOE=NQOF=NA=NB,再由切線長定理得到0D

與OC分別為NEOG與/FOG的平分線，得到/DOC為/EOF的一半，即ZDOC=ZA=ZB,

又/GCO=/FCO,得到三角形DOC與三角形OBC相似，同理三角形DOC與三角形DAO

相似，進而確定出三角形OBC與三角形DAO相似，由相似得比例，將AD=x,BC=y代入，

并將A0與0B換為AB的一半，可得出x與y的乘積為定值，即y與x成反比例函數，即

可得到正確的選項.

【詳解】解：延長AD,BC交于點Q,連接OE,OF,OD,OC,OQ,

VAE,BF為圓。的切線，

AOEXAE,OF±FB,

ZAEO=ZBFO=90°,

AE=BF

在RtAAEO和RtABFO中，<,

[OE=OF

.'.RtAAEORtABFO(HL),

.?.ZA=ZB,

???△QAB為等腰三角形，

又O為AB的中點,即AO=BO,

；.QO_LAB,

.?.ZQOB=ZQFO=90°,

又：/OQF=/BQO,

.?.△QOF^AQBO,

.?.ZB=ZQOF,

同理可以得到NA=/QOE,

ZQOF=ZQOE,

根據切線長定理得：OD平分/EOG,OC平分NGOF,

/DOC=?ZEOF=ZA=ZB,

X-/ZGCO=ZFCO,

.?.△DOC^>AOBC,

同理可以得到△DOCs^DAO,

.'.△DAO^AOBC,

ADAO

~OB~~BC'

AD?BC=AO?OB=-AB2,即xy=」AB?為定值，

44

設k=；AB2,得到y=￡

4X

則y與X滿足的函數關系式為反比例函數y=&(k為常數，go,x>0).

X

故選：D.

【點睛】本題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，切線長定理，直

角三角形全等的判定與性質，反比例函數的性質，以及等腰三角形的性質，做此題是注意靈

活運用所學知識.

3.A

【分析】連接2尸，根據圓周角定理得到/APB=90°,證明△AMPs△APB,根據相似三

角形的性質得到得到>=工-（尤2,即可判斷.

【詳解】解:連接BP,

為圓的直徑，

AZAPB=90°,

9：PM±AB,

：.ZAMP=90°,

AZAPB=ZAMP,又NA=NA,

???AAMP^AAPB,

.AMAPAMx

..——=——，即---=—，

APABx5

解得，

?/y=AP-AM

?\y=x-（0〈xW5）,

【點睛】本題考查了動點問題的函數，解決本題的關鍵是利用圓周角定理得到NAP8=90°,

利用相似三角形的性質表示出線段長.

4.D

【分析】利用垂徑定理對①進行判斷；根據圓周角定理對②進行判斷；先根據判別式的意

義判斷拋物線與x軸有兩個交點，再利用拋物線開口方向可對③進行判斷；先計算出拋物

線的對稱軸為直線尤=-，再利用二次函數的性質得加4-=-;，然后根據人<0可得加

的最大整數值為-2,可對④進行判斷.

【詳解】解：平分弦且垂直于弦的直線必過圓心，故①錯誤，不符合題意；

在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，故②錯誤，不符合題意；

二次函數y=尤？-2皿+2加一2,A=（-2/7J）2-4（2/n-2）=4/n2-8/n+8=4（/n-l）2+4>0,貝!J

拋物線與x軸有兩個交點，因為。=1>0,所以拋物線開口向上，所以拋物線的頂點在x軸

下方，故③正確，符合題意；

函數y=Z^+（3左+2）%+1,則拋物線的對稱軸為直線尤=一券2=一］一而當〃時，y

31

隨X的增大而增大，所以加4-彳-7，而左<0,則加的最大整數值為-2,故④正確，符合

2k

題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、二次函數的圖象與性質，熟練掌握垂徑定理、

圓周角定理、二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

5.A

【分析】根據圓中的垂徑定理及其推論、圓周角定理、中心對稱圖形、函數的性質等知識逐

一判斷即可，對（2）、（3）、（4）的說法舉反例即可判斷，（5）根據函數自變量的取值范圍

求出最小值即可判斷，（1）、（6）熟記其使用的前提條件即可判斷.

【詳解】（1）等圓或同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故（1）的說法錯誤；

（2）被平分的弦不是直徑時，平分弦的直徑必平分這條弦所對的弧，故（2）說法錯誤；

（3）每個角都等于135度的八邊形是中心對稱圖形，說法錯誤，理由：切去正方形的四個

角，保證切掉的為等腰直角三角形且互相不是全等三角形，此時會發現新得到的八邊形的內

角都是135度，但其不是中心對稱圖形；

（4）同圓中，兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行，說法錯誤，比如兩條直徑所夾的弧

肯定相等，但是他們不平行；

（5）二次函數y=2x+3（0<x<0.5）的最小值為應為當尸0.5時的值最小，且最小值為：

2.25,故說法(5)錯誤；

(6)圓的直徑所在的直線是圓的對稱軸，故(6)錯誤.

故選：A.

【點睛】本題考查了圓中的垂徑定理及其推論、圓周角定理、中心對稱圖形、函數的性質等

知識，熟練掌握相關定理性質的使用的前提條件是解答本題的關鍵.

6.A

【分析】本題考查了二次函數圖象及性質，圓，熟練掌握二次函數圖象及性質是解題關鍵.

設出點C坐標，求出AC長度的最小值，進而可求出BC長的最小值.

【詳解】解：設點C(帆

?.?4(0,3),

/.AC2=(m-0)2+(m2-l-3)2

=m4—7m2+16

?「a=l>0,

有最小值為?，

4

AC最小值為巫，

2

QeA半徑為1,

的最小值為巫-1.

2

故選：A.

7.C

【分析】根據題意，OE是4BAP的中位線，當AP最大時，OE取得最大值，即可求解；

【詳解】解：如圖1,連接AP,

圖1

:點O是AB的中點，E是BP的中點，則OE是△BAP的中位線,

當AP最大時，OE取得最大值，

當A、P、C三點共線時，AP最大；

VV--X2-8,

-9

2

-^y=-x2-8=0,解得：x=±6；

令尤=0,貝！Iy=-8；

點A的坐標為：（-6,0）,點C的坐標為：（0,-8）,

AC=762+82=10-

AP=10+26，

，OE的最大值為：OE=；AP=gx（10+26）=5+百，

故選：C；

【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及圓的基本知識、勾股定理，三角形的中位線

的性質等，解題的關鍵是正確找到點P的位置，使得OE得到最大值.

8.A

【分析】先證明四邊形ABC。是正方形，將AACP繞點C順時針旋轉90。，得到△G4/WACB尸

進而證得S.mc+S/c2=Swc2,當QP最短時，ACQP的面積最小，進而即可求得陰影部分

的面積最小值.

【詳解】解：如圖,

由題意，令，=：爐-3=0,解得無1=一3，%=3,

/.A(-3,0),3(3,0),

令x=0,解得y=-3,

.?.C(0,-3),

:點。與點C關于x軸對稱，

/.￡>(0,3),AD=AC,BD=BC,

：.AO=BO=CO=DO=3,ABLCD,

AC=BC=BD^AD=y]32+32=372>AB=CD,

四邊形ACBD是正方形，

ZCAP=ZACB=ZCBD=90°,

將AACP繞點C順時針旋轉90。得到QP,

ACAP^ACBP,

...NPCP=NPCB+NBCP=NPCB+ZACP=90°,ZCAP=NCBP=90°,

ZC8D=90°,

ZCBD+NCBP=900+90°=l80°

戶、B、。共線，

.?"APCT°ABCQ_"APCQ，

,.?ZPCQ=45°,

???ZPrC2=90°-45°=45°,

作△CQP的外接圓作于W,

設。/=/P=C/=「，

.?.NQ/P=2x45。=90。，ZQIW=|ZQIPf，QPr=2QW，

???NQ/W=45。，

：.WI=—QI=顯r,QW=—QI=-r,

2222

QP=血r,

■:CI+IW>BC,

??—6^2—6，

QPN12-6收

???S陰最小=%C2最小=：x(12-6后,30=18行78,

故選：A.

9.(-U)或(3,1)

【分析】當。尸與無軸相切時，則點P的縱坐標為1,則得一元二次方程，解方程即可.

【詳解】解：當。P與x軸相切時，則點尸的縱坐標為1,令1爐尤+1=1,

解得%=T,々=3,

此時點P的坐標為：(-U)或(3,1),

故答案為：(TD或(3,1).

【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質和圓的切線的應用，掌握切線的性質是解決問題

的關鍵.

10.(4,0),

【分析】先求出A、B、C、D、H點坐標；求出CD解析式，求出與x軸的交點G坐標，

GH3

利用勾股定理求出DG,求出——=-,過P作PF_LCD于F,連結AP,易證△GDH^APDF

DG5

利用性質有的=蕓="設PH長為x,PD=x+=,AH=5,AP=J￡+52=PF,

L)CJPD53

VX2+52：、+g[=3:5解方程即可.

【詳解】當x=0時，y=-3,C(0,-3),

頂點D(4,-y),

1,75

當y=0時，j(x-4)-y=0

x=-l,x=9f

A(-1,0),B(9,0),

AB中點H(4,0),

設CD的解析式為y=kx+b,

4k+b=-—

3，

b=—3

4

解得3,

b=—3

4

CD：y=——x-3,

3

4

)7=0,-—x-3=0,

9

X~~4f

9

G(——,0),

4

???HG=4--:備DH年

在中，由勾股定理二2525125

Rt^DHGDG~n

25

GH__3

BG=I25=5，

12

過P作PFJ_CD于F,連結AP,

由圓P與CD相切，

PF為圓P的半徑，

ZGHD=ZPFD=90°,

NGDH二NPDF,

AGDH^APDF,

GHPF_3

DG-PB-5?

設PH長為X,PD=x+y,AH=5,

AP=77備=PF,

解得x=0或x==不合題意舍去,

o

P(4,0),

故答案為：(4,0),

【點睛】本題考查拋物線與兩軸的交點坐標，頂點坐標，切線CD的解析式，相似三角形的

判定與性質，勾股定理，一元二次方程及其解解法等問題，掌握拋物線與兩軸的交點坐標的

方法，會用配方法求頂點坐標，會用待定系數法求切線CD的解析式，會證明相似三角形能

利用相似性質求出線段比，會用勾股定理構造方程，一元二次方程及其解解法是解題關鍵.

11.4M-5/-5+4加

【分析】根據。4=OC,得到點C在以Q4=5為半徑，以。為圓心的圓上，然后利用

BC>OB-OC即可求得BC的最小值

【詳解】連接BC,OC,

???1—3b=4,

解得：b=-l,

.*?y=—x2,—x,

9

當y=4時，1X2-X=4,

解得：x=12或x=—3,

8(12,4),

:點A關于直線OP的對稱點C,

22

/.OA=OC=A/(-3)+4=5,

點C在以Q4=5為半徑，以。為圓心的圓上，

,,OB=，12。+4-=4A/10,

'BC>OB-OC=4x/10-5,

的最小值為：4A/10-5,

故答案為：4V10-5

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的特征，待定系數法求二次函數的表達式，二次函數

的性質，圓的性質，熟練掌握動點的軌跡是解決問題的關鍵

12.VTT

【分析】本題考查了切線的性質定理、勾股定理、求拋物線與坐標軸的交點，掌握以上知識

點是解答本題的關鍵.先根據題意求出A、B、C三點的坐標，過點A作于M點，

連接AN,在Rt△⑷VM中，由勾股定理得：MN=yjAM2-AN2>要使"N最小，則AAf最

小，當5c時，最小，求出AV血…進而可得腦\心「

【詳解】解：,??二次函數>=-咚/+2代的圖像交x軸于A、B兩點，交》軸于C點,

令x=0,得y=26,令y=0,得*=±2,

.-.A（-2,0）,3（2,0）,C（0,2—）,

:.AB=4,

過點A作AM_LBC于M點，連接AN,如下圖所示：

?.?射線與以A為圓心，1為半徑的。A相切于點N,

:.ZANM=90°,

在RtARVM中，由勾股定理得：MN7AM2-AN?，

1/AN為定值，

要使MN最小，則AM最小，

.,.當8c時，AM最小，則MN最小，

在RSBOC中，由勾股定理得：BC=-^BO-+CO-=J22+（2A/3）2=4,

.?.1x4x2^^1x4xAMmin,

；?MN^=7AM，W=?2國-仔=日,

故答案為：Vn.

13.1■或；

【分析】本題考查了二次函數的性質，圓的性質，垂徑定理，勾股定理，先由>="2-7辦+6。

得出4(1,0),3(6,0),C(0,6a),即可得AB=5,過P作PDLAB于D,連接上4,PB,PC,

再根據圓的性質得PB=24=尸。，再由垂徑定理得A￡）=JB￡）=：A8='1,再由AB的弦心距

i155

為5AB得==進而可得點尸的坐標，由勾股定理得上4=］行，再由尸。2=上］

列等式方程，解方程即可得解.

【詳解】解：：,=依2-7依+6。=0(%—l)(x-6)的圖象交尤軸于A,8兩點，交y軸于點C,

.?.4(1,0),3(6,0),C(0,6a),

：.AB=5,

如圖，過戶作PD_LAB于。，連接PA,PB,PC,

；OP(尸在第一象限)恰好經過A、B、C三點,

PB=PA=PC,

：.AD=BD=-AB=-,

22

：AB的弦心距為LAB,

2

/.PD=-AB=~,

22

7

OD=OA+AD=-,

2

pg',PA=y/PD2+AD2=|V2,

PB=PA=PC,

pc2=PA1,

解得G=5,%=］，

故答案為：；或；

乙J

14.(1)(—3,0),(1,0),(0,—3a),(―1,-4a)

⑵見解析，B

3

(3)0<Z立

3

【分析】(1)把x=0、y=0分別代入函數解析式可求出A、B、C坐標，再求出拋物線的

對稱軸即可求出。的坐標；

(2)根據對稱性可得E(-2,-3°),DC=DE,再根據AACE和ADCE相似得AE=CE,即

可得7[-3-(-2)]2+[0-(-3a)]2=2,解方程即可求解；

(3)設拋物線的對稱軸x=-1與x軸的交點為點R，以點P為圓心,2為半徑畫圓,連接FC,

可知當點C在。尸上或0尸內時，NACBN90。，得FCW2,即得了飛行V2,解不等式

即可求解.

【詳解】(1)解：寸巴％=0代入y+2以一3〃得，y=-3a,

C*(0,—3ci)f

把y=0代入y=ax2+2〃x-3。得，ax2+2ax-3a=0,

,：a>0,

%2+2x-3=0,

解得石=一3,%2=1，

A(-3,0),3(1,0),

拋物線的對稱軸為直線X=卷也=-1,

把x=T代入y=?+2辦_3a得，y—a—2a—3a--4a,

頂點為D(T—4a),

故答案為：(-3,0)；(1,0)；(0,-3a);(-1,4)；

(2)解：如圖1,■.?點C、E關于對稱軸x=-L對稱，C(0,-3a),點。在對稱軸上，

:.E(-2,-3a),DC=DE,

?.?△ACE和ADCE相似,

AE=CE,

7[-3-(-2)]2+[0-(-3a)]2=2,

整理得，3a2=1,

解得a=且或。=-3（不合，舍去）,

33

??Q=----；

3

(3)解:設拋物線的對稱軸x=-l與x軸的交點為點歹，以點尸為圓心，2為半徑畫圓,

連接尸C,如圖2,

:.FC<2,

即JF+(3O)2M2,

解得一鋁邛,

又?.,口>(),

■.0<a^—.

3

【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸的交點問題，頂點坐標，相似三角形的性質，圓周角

定理，勾股定理，根據題意，正確畫出圖形和作出輔助線是解題的關鍵.

15.(l)y=x2-2x-3

(2)相等；見解析

(3)點尸始終在直線y=l

【分析】(1)把A(T,O),3(3,0)兩點代入y=/+bx+c,由待定系數法即可求解；

(2)由點3、C的坐標知，ZABC=45°,M的橫坐標為則點叫-京J,過點8作V

軸的平行線交CM于點證明A8CH%8G4(SAS),即可求解；

(3)證明AARVS^BN,即藍=篇，設N(t,O),由題意得用/,「一21-3),可得

r+iNF

NE=-t1+2t+3,得出，二廣券,求得NF=1,即可求解.

-r+2t+33-t

【詳解】(1)解:把A(T0),3(3,0)兩點代入ynS+fev+c得,

[l-b+c=O

\9+3b+c=0"

[b=-2

解得」

y-x21—2x—3；

(2)解：ZACB=ZBCM,理由：

把％=0代入y=爐_2%-3得：丁=-3,

???C(0,-3),

V5(3,0),

：.OB=OC,

ZABC=45°,

的橫坐標為g,

.?點一R/5i一3旬2、，

過點5作y軸的平行線交CM于點H,

設直線。/的表達式為：y=px+q,由點C、M的坐標得,

q=-3

:532,

9

1

p=一一

解得3,

q=-3

??.直線的表達式為：y=-jX-3,

當％=3時，y=~4,

即由7=4=AB,

?.?BC=BC,ZABC=45°=ZHBC,

.?.△BCH^ABCA(SAS),

???ZACB=ZBCM；

,FB=FB'AE=AE9

NFAB=/FEB,ZF=ZABE,

.?.△AFNSAEBN,

.AN_NF

??麗―麗?

設N(t,O),由題意可得3)

???￡7VJ_x軸，

NE=—t?+2r+3,

因為A(—1,0),3(3,0),

/.AN=Z+1,BN=3—t,

.r+1_NF

T?+2/+33-t

.-.^F-(-r+2r+3)=(r+l)(3-r).

整理得N5=l.

QN在x軸上，且b在無軸上方，

二點產始終在直線>=1上.

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合運用，涉及到三角形相似和全等、圓的基本性質等，

綜合性強，難度適中.

16.(1)(-1.0),45

(2)E-邑為定值，定值為3

(3)75

【分析】(1)當>=。時，即。=-—+(機-l)x+〃2,解得占=-1,x2=m,可求得點A(T,。)，

點2(見0)；當尤=0時，求得點C(0,機)，得到08=0。=/〃，故/ABC=NOCB=45°；

(2)根據點。為VABC的外心，ZABC=45。，由圓周角定理和外接圓的性質,得ZADC=90°,

AD=CD=BD,過點。作y軸的平行線交過點C和無軸的平行線于點交了軸于點N,

設點￡>(x,y),則CM=x,DN^y,AN=x+l,DM=m-y,證明AAAZ)得至Ij

AN=DM,CM=DN,求得x=y=,即可求得工-邑=；為定值；

(3)由于在第一象限內的拋物線上存在一點E,以3、。、C、E為頂點的四邊形只能是

四邊形配)CE,若四邊形BDCE是平行四邊形，則四邊形3DCE即是菱形，設點

++若。E,BC為四邊形BDCE對角線互相平分，則四邊形8DCE為平行

四邊形，又BD=CD,則四邊形8DCE為菱形，再由中點坐標公式列方程即可求解.

【詳解】(1)當，=。時，BP0=-x*2+(m-l)x+m,

-x2+(m-I)x+m==0,

解得網=-1,x2=m,

.?.點A(T,O),點B(九0),

OB-m

當尤=0時，y=m,

.?.點C(0,m),

OB=OC=m,

??.ZABC=ZOCB=45°,

(2)S1-S2=；為定值，理由如下：

?.,點。為VABC的外心，/ABC=45。，

則ZADC=90°,AD=CD=BD,

過點。作y軸的平行線交過點C和無軸的平行線于點交無軸于點N,

設點。1y),

則CM=x,DN=y,AN=x-^-l,DM=m-y,

??,Z.CDM+AADN=9G09ZADN-vZDAN=9Q°f

ZCDM=ZDAN,

???ZAND=ZDMC=90°,DA=DC,

△AND"QMC,

AN=DM,CM=DN

%=,，X+1=ATI—y,

解得：x=y=J("7_l)

則△ABD的面積S2=g=：x(〃?+l)x；O-l)=[a"?-1),

△ACD為等腰直角三角形,

AD=DC=—AC,

2

則AACD的面積S[=；AO.OC=；(#AC)2=；AC2=1(m2+l),

22

St—S2=—(m+1—m+1)=5為定值；

(3)：在第一象限內的拋物線上存在一點E,

以3、。、C、E為頂點的四邊形只能是四邊形3DCE,

又BD=CD,

若四邊形BDCE是平行四邊形，則四邊形BDCE即是菱形，如圖所示,

m—1m—1

由前面可知，點。(下一,三一)，點80，。)，點。(0,加)，設點E。,-產+(〃2-1?+"2),

若。為四邊形3DCE對角線互相平分，則四邊形BDCE為平行四邊形，又BD=CD,

則四邊形即CE為菱形，由中點坐標公式得:

m-1

m=--------\-t

2

m-1r2/八I

m=―-——\-[-t+(m-l)t+m]

解得：加=6或-石(不合題意舍去);

綜上，m=\/5.

【點睛】本題綜合考查了二次函數的圖象和性質、三角形的外接圓與外心、圓周角定理、平

行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌

握相關性質和判定，利用數形結合思想是解題的關鍵.

17.⑴尸/r_2

3

(2)。尸=5

⑶加(1,-2)或M

【分析】(1)根據與X軸的兩個交點A、B的坐標，設出二次函數交點式解析式廣公+1)。-2),

然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式；

(2)設=然后表示出PC、上4的長度，在RtaPOC中，利用勾股定理列式，然后

解方程即可；

(3)根據相似三角形對應角相等可得NMCH=NC4O,然后分兩種情況討論：①點H在點

C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM〃x軸，從而得到點聞的縱坐標與點C的

縱坐標相同，是-2,代入拋物線解析式計算即可；②點H在點C上方時，根據(2)的結論，

點M為直線尸C與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯立求解

即可得到點M的坐標.

【詳解】(1)解:設該二次函數的解析式為：y=a(x+l)(x-2),

將x=0,y=_2代入，得一2=。(0+1)(0_2),

解得a=l,

拋物線的解析式為y=(尤+i)(x-2),

BPj=x2-x-2；

(2)解：設。P=x,則PC=PA=x+l,如圖2,

圖1

在RtZXPOC中，由勾股定理得：

X2+22=(x+1)2,

3

解得x=；,

3

即；

(3)解：點M在二次函數圖象上，以Af為圓心的圓與直線AC相切，切點為若加在y

軸右側，且ZHCW=NO4C,分兩種情況討論：

①如圖2,當H在點C下方時，

vZOAC+ZOCA=90°,ZMCHZOAC,

ZOCM=90°=ZAOC,

.?.CM〃x軸,

%=-2

%2—x—2=—2,

解得玉=0（舍去），x2=l9

圖3

:.PA=PC,由（2）得,M為直線CP與拋物線的另一交點,

設直線CM的解析式為y=kx—2,

把di，。）的坐標代入，得:

3

—左一2=0,

2

4

解得Z=§,

4c

y=-x-2,

3

由一九一2=%2—x—2,

3

7

解得％=0(舍去)，％2=§，

.47?10

止rI匕n時J=-x--2=y,

?J?7,*1向0、，

綜上，點M的坐標為“(1，-2)或M

【點睛】本題屬于二次函數綜合題,主要利用了待定系數法求二次函數解析式，切線的性質，

勾股定理，兩函數圖象交點的求解方法，解答本題的關鍵