第1講常見相似模型

前言：相似三角形是初中幾何的重難點，形式眾多、變化多樣是其難點，也是復習的重點，本講介紹一些常見

的相似圖形及考察方式.

知識導航

A字型與8字型

⑴“A”字型

在仆ABC中,若DE〃BC,貝必ADE^AABC,—=—=

ABACBC

(2)“8”字型

若ED〃:BC,貝!]ABCADE.—=—=—.

ABACBC

弓例1：如圖,在平行四邊形ABCD中，ZABC的平分線交AC于點E,交AD于點F,交CD的延長線于點G,

若AF=2FD,則登的值為（）

解析：若AF=2FD,則AB=2DG,^=等=|,選C.

EGCG3

2反A字型

△AEBMADC

⑴反“A”字：ABCAED,^=^|,AD.AB=AE-AC.（共邊之積相等）

⑵母子型：ABEACB,^=笫AB2=AE?4C.（平方式，找母子）

（3）推論：△ADC^AAEB.

ADAE

,且NDAC二NEAB.）

ACAB

引例2:如圖，D是^ABC的邊BC上一點,AB=8,AD=4,NDAC=NB.如果△ABD的面積為15,那么△ACD

的面積為()

A.15B.10C.—D.5

2

解析：；NDAC=/B,.?.△CDAs/XCAB,

,,迎=（臂=⑶2=1

SCABMB/\874,

^ABD=^ABC—SACD=3sAe。=15".SACD=5,

:.選D.

引例3:(2018.OI)如圖，在△ABC紙板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一點，過點P沿直線剪下一個與△A

BC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是.

C

解析：如圖，其中有三組始終存在：

△CPQ^ACAB,△APQsaACB,△APQ^AABC.

若ACPQS^CBA,則=當當點Q與B重合時，AP取到最小值，代入得CP=1,止匕時AP=3,；.AP的取值

范圍是3<AP<4.

3反8字型

(1)反“8"字:△AOBs/XDOC,OK,O2=—OAOC=OBOD.(共邊之積相等)

(2)推論：AAOD^ABOC

證明：?.,△AOBS^DOC

OA_OBOA_OD

??OD-OC'??OB-OCf

XVZAOD=ZBOC,

.,.△AOD^ABOC.

4.雙垂模型

如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC±.BE±AC,CD±AB.

/\BOD^/\COE

=OB-OE=OC，OD

gOCs^DOE

AADC^/\AEB

AD-AB=AE-AC

/\ABC^/\AED卜

一個集“反A”與“反8”于一身的模型.

5射影定理

在R3ABC中，ZBAC=90°.AD_LBC交BC邊于D點.

A

ABAD△BCA:BA2=BD■BC\

ACADACBA-.CA2=CD-CB;

△ADBCDA:DA2=DB-DC.

弓例4:如圖，AB是。O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，過。O上一點E作直線DC,分別交AM、BN

于點D、C,且DA=DE.

(1)求證：直線CD是。。的切線;

(2)求證：0A2=DE-CE.

解析：⑴連接OE、0D,在AOAD和干OED解

0A=OE

■AD=ED,'△OAD學AOED(SSS),

OD=OD

ZOED=ZOAD,：AM是。O的切線，

ZOAD=90°,ZOED=90°,

CD是。。的切線.

(2)連接OC,在RtAOBC和RtAOEC中，

療，.;△OBC名△OEC(HL),

AZBOC=ZEOC,XAOAD^AOED,AZAOD=ZEOD,

AADOC=^AOB=90。，在RtADOC中,由射影定理可得：。員=DE-CE,0A2=DE-CE.

6.三角形內接正方形

如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點且四邊形DEFG是正方形.

A

結論：2+A=59為內接正方形邊長）

BCAHa

證明?竺=吧空=”

力?AHBHfAHCH1

BD_CG_BD+CG_BC-d_】d

BH~CH~BH+CH~BC~BC'

d.d

一AH=1---B--C，

1,11

-B-C--1--A--H=1d

引例5:如圖，已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC±.如果

BC=4,AABC的面積是6,那么這個正方形的邊長是_________

解析：過點A作AHLBC交BC于點H,

則SABC=\BC-AH=6,解得AH=3.

正方形邊長為碧

如圖，AB〃CD〃EF,記AB=a,CD=b,EF=c.

rRF

EFCDtBEFBCD—

bBD

?，Jb-DB丁DB-DB-

1.11

-aF-b=c

8黃金分割

⑴黃金分割點：如圖，點C在線段AB上,若滿足筆=祭則點C稱為線段AB的黃金分割點.

r'ff

(2)黃金分割比:(=冷空

(3)黃金三角形

(36°,72°,72°)一"思=叵11；

4c(腰)2

(108。,36°>36。)一駕駕=包.

EF闊2

AA。

B人72。721c￡谷。3>X尸

弓1例6:如圖，ABC中，AB=AC=1,BC=-尸,在AC邊上截取AD=BC,連接BD.

(1)通過計算，判斷AD?與ACCD的大小關系：

(2)求/ABD的度數.

A

2

解析：(1)4。2=(專1)=亨，

CD=AC-AD=1-^=^,AC=1,

.：AC-CD=^).：AD^=AC.CD.

￡￡_3-遮2_2遮-2_乃_1

2XV5-1-4-2，

BC_V5-1.CD_BC

AC~2'"BC一AC)

XZBCD=ZACB,.?.△BCD^AACB,

/.ZBDC=ZABC=ZACB,ZCBD=ZBAC,

；.BD=BC=AD,設/C=a,貝！］NABC=NBDC=(x,

NA+NABD=a,NA=a/2,

a

：?—Fa+a=180°,

2

a=72乙ABD=2=36°,

，2

即/ABD的度數是36。.

(4)黃金分割與正方形

如圖，在正方形ABCD中，E是AD邊中點F在AB邊上且CF平分NBCE,則點F是線段AB的黃金分

割點.

證明：延長CF交DA延長線于G點,

貝!|NG=NBCF=/ECF,；.EG=EC,

設邊長AD=2m,貝！|AE=DE=m,EG=EC=V5m,

.\AG=(V5-l)m,VAAFG^ABFC,

,AF_AG_Vs-l日nAF_V5-1

,,BF-BC-2'BF~2

...點F是線段AB的黃金分割點.

引例7:如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處,

折痕為AF.若AD=4,貝UCF的長為.

ATjxr-BF1CF3—V5

角牟析：???一=---,??.一二----,

BC2BC2

；BC=AD=4,.\CF=6-2V5

(本題在第3章第1節出現過，另可用勾股定理求解.)

真題演練

1.如圖，在4ABC中，D是AB上的一點,NACD=NB,AC=2,AB=4,則AD=.

2.如圖，BC〃DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=10,貝！］歿的值為.

3.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,點Q在對角線AC上，且AQ=AD,連接DQ并延長，與邊BC交于點

P,則線段AP=.

4.如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD,點E在AC邊上，過點E作EF〃BC,交AD于點F,過點E

作EG〃AB,交BC于點G,則下列式子一定正確的是()

.AEEFEF_EG

A.—=—

ECCDCD-AB

rAF_BGCG_AF

'FD-GCBC-AD

5.如圖，在RtAABC中,ZACB=90°,AC=3,BCM,CD±AB,垂足為D,E為BC的中點，AE與CD交于點

F,貝UDF的長為.

6.如圖，點E、F分別在菱形ABCD的邊AB、AD上，且AE=DF,BF交DE于點G.延長BF交CD的延長線于H,

若需=2廁笨的值為()

Ur￡>(J

7.如圖.在矩形ABCD中，E、F分別為邊AB、AD的中點，BF與EC、ED分別交于點M,N.已知AB=4,BC

=6,則MN的長為.

8.如圖,在RtAABC中,/ACB=9(T,AB=4,點D、E分另！］在邊AB、AC±,且DB=2AD,AE=3EC,連接BE、CD,

相交于點O,貝必ABO面積最大值為.

9.在RtAABC中,ZC=90°,AD平分/CAB,BE平分/ABC,AD、BE相交于點F,且AF=4,EF=VX則A

C=.

10.如圖，矩形ABCD中.E為邊AB上一點，將4ADE沿DE折疊.使點A的對應點F恰好落在邊BC

上，連接AF交DE于點N,連接BN.若BF-AD=15,tanABNF=冬則矩形ABCD的面積為.

11.如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC±,ZAED=ZB,射線AG分別交線段DE、BC于點F、G,

AC-CG"

(1)求證：△ADF^AACG;

⑵若靠與求」的值?

12.如圖1,四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,OA=OC,OB=OD+CD.

⑴過A作AE〃DC交BD于點E,求證：AE=BE;

(2)圖2,將^ABD沿AB翻折得到4ABD1.

①求證：BD/CD;

②若ADWBC,求證:(CD2=20D?BD.

13.【初步嘗試】

⑴如圖1.在三角形紙片ABC中2ACB=90U的ABC折疊，使點B與點C重合，折痕為MN，則AM與BM

的數量關系為；

【思考說理】

(2)如圖2.在三角形紙片ABC^,AC=BC=6,AB=10,WAABC折疊，使點B與點C重合，折痕為MN,求器的

值；

【拓展延伸】

(3)如圖3,在三角形紙片ABC中，AB=9,BC=6,/ACB=2/A,將△ABC沿過頂點C的直線折疊,使點B落在邊

AC上的點B，處，折痕為CM.

①求線段AC的長；

②若點O是邊AC的中點，點P為線段OB上的一個動點，將小APM沿PM折疊得到4APM,點A的對

應點為點A',A'M與CP交于點F,求黑的取值范圍.

c

圖1圖2

14.小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展.

(1)溫故如圖1,在AABC中.AD±BC于點D,正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點P、N分別在AB、

AC上，若BC=a,AD=h,求正方形PQMN的邊長(用a、h表示).

(2)操作：如何畫出這個正方形PQMN呢？

如圖2，小波畫出了圖1的^ABC,然后按數學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：先在AB上任取

一點P,畫正方形PQ'MN,使點Q；M，在BC邊上，點N，在△ABC內，然后連結BN1,并延長交AC于點N,畫NM

LBC于點M,NP，NM交AB于點P,PQ，BC于點Q,得到四邊形PQMN.

(3)推理：證明圖2中的四邊形PQMN是正方形.

⑷拓展：小波把圖2中的線段BN稱為“波利亞線”，在該線上截取NE=NM,連結EQ、EM(如圖3),當NQ

EM=90。時，求“波利亞線”BN的長(用a,h表示).

請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題.

15.我們知道：如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果=笫那么稱點B為線段AC的黃金分割點.它們

的比值為早.

(1)在圖①中，若AC=20cm,則AB的長為cm;

(2)如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF,連接CE,將CB

折疊到CE上.點B對應點H,得折痕CG.試說明：G是AB的黃金分割點；

⑶如圖③，小明進一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E(AE>DE),連接BE作CFXBE,

交AB于點F,延長EF、CB交于點P.他發現當PB與BC滿足某種關系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分

割點.請猜想小明的發現，并說明理由.

第1講常見相似模型

1.解析：由題意可得△ADCs△ACB,AC2=AD-AB,代入得AD=1.

2.解析：設AB=x,則DE=10-x,易證△ABC-AADE,/.黑=如代入得：;=段解得:n=2*=8(舍),

篝=梟=；2,.潦的值為2.

V17

3.解析：VAD=3,CD=4,；.AC=5,：AQ=AD=3,；.CQ=2,易證△ADQsZ\CPQ,，CP=CQ=2,；.BP=l,.?.AP=

Vl2+42=V17,.

4?解析：嗯噌嘴二選C

5.空解析:過點F作FH_LAC交AC于點H,設FH=xJiHJCH=%,；.AH=3-與，易證△AHFs^ACE,；.FHC

8533

E=AHC,代入得：：子,解得：%=%..工又CD=￡,；.DF=￡,.?.DF的長為弟

解析：出昨"嚼吟吟=三，即HF=lHB---AE=DF,.：AE=lAB,BE=lAB,：,詈=如

DGHSAEGB,噎=詈=I，即BG=泗,案=看故選B.

解析：：AD=BC=6,F是AD邊中點，，AF=3,又AB=4,

；.BF=5.延長CE與DA延長線交于點即以AEP^ABEC,.\AP=BC=6,易證PMFCMB,^-=黑代入得：黑=

CBMBMB

-=BM=2,MF=3,延長BF與CD延長線交于點Q,則4FDQAFAB,DQ=AB=4,易證NDQ?NEB,；.

62

NQDQ4cnr2cL10?r5_,-.「5411.[/、i4

一=—=-,??.BN=-BF=—,NF=-…MNr=5-2—=-，故MNT的長為-

BNBE233333「3

Q

解析:過點D作DF〃AC交BE于點F,啜=先I，又落I，噌=導揶。。=|。。,

弧，當△ABC是等腰直角三角形時，面積最大，△ABC面積最大值是4一二AABO面積最大值是

9.解析：在RtAABC中，ZBAC+ZABC=90°,

???|(ZBXC+N4BC)=45。，

即/BAF+NABF=/AFE=45。,連接CF,則CF平分NACB,.,.NACF=45。，.^.△AEFs△AFC,.^.AF2=AE-AC.

過點E作EH_LAD交AD于點H,則AEHF是等腰直角三角形，：EF=；.EH=FH=1,AH=3,；.AE=V10

“AF2168V10“8V10

???AC=——=-f==-----,R即nAC=-----.

AEV105115

解析：：DA=DF,；./DAF=/DFA,又/DAF=NAFB,易證△DAFs/XNBF,；.NADF=/BNF,；.tan/ADF=

V52tan/CFD=亨,設CF=2a廁DC=V5a,DF=DA=3a,BF=a,AF=V6a,VADAF^ANBF,.,.BF=NB/AD,

???AF-BN=AD-NB=15,.-.V6a考a=15,解得:a=底：.BC=3低CD=5,.,.矩形ABCD面積為15V5.

11.解析：⑴VZAED=ZB,ZDAE=ZCAB,

/.ADAE^ACAB,AZADE=ZACB,又與=篝

.".△ADF^AACG.

⑵「2。凡4CG,.?潦=竿=>?滯=1即熱勺值為1.

12.解析：⑴VAE^DC,ZOAE=ZOCD,ZOEA=ZODC,XOA=OC,.,.AOAE^AOCD,.t.AE=CD,OE=OD,

VOB=OD+CD,.\OB=OE+AE,；.AE=BE.

⑵①過點A作AM//CD交BD于點M,由⑴得AM=BM,.\ZBAM=ZABM,XZABM=ZABD',ZBAM=Z

ABD',ABD'//AM,；.BD'〃CD.

②連接CM,則四邊形AMCD是平行四邊形，

ZCMD=ZADM,

VAD'/ZBC,.,.ZD'+ZD'BC=180°,VD'B//DC,

：.ZD'BC+ZBCD=180°,.'.ZD'=ZBCD,

ZCMD=ZADM=ZD'=ZBCD,ADCM^ADBC,

黑=器，即CD2=DM-DB又DM=2OD,

???CD2=20D-BD.

13.解析：(1)AM=BM;

⑵過點C作CHLAB交AB于點H,則AH=BH=5,

cosZB=累=I，；?窈=*將BN=3代入得：BM=

BC6BM65

1ft22AM221A

(3)@VZACB=2ZA,且CM平分NACB,

/.ZBCM=ZA,/.ABCM^ABAC,

/.BC2=BMBA,BM=4,CM=AM=5,'ZCMC=BMC=-AC=—,即線段AC的長為竺

622

?VZA'=ZA=ZACM,.?.△A'FP^ACFM,

???第=震，當點P與點B重合時，此時AP=AP取到最小值|春，取到