數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的）

1.下列各數中是無理數的是（）

A.0B.1C.A/4D.IT

2.中國“二十四節氣”已被正式列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作品錄，下列四幅作品分

別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）

A.B.—C.

3.一個多邊形的內角和等于外角和的2倍，這個多邊形是（）

A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.十邊形

4.我國古代數學家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法:如圖所示的幾何體

是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的左視圖是（）

D.(x—y)2=x2—y2

6.某口罩生產工廠6個生產車間日生產量（萬只）如圖所示.現再組建一個生產車間，若新車間的日生產

量為4500萬只，則下列關于現在7個生產車間的日生產量的平均數和方差的說法中，正確的是（）

A.平均數不變，方差變大

C.平均數不變，方差不變D.平均數變小，方差不變

7.如圖，已知點。、E分另I」在△ABC的邊43、7c上,DE\\BCfAD-.DB=1:3,那么S“EC：S“BC等于

()

A.1:2B.1:3

8.如圖，直線y=—1%+b與%,y軸正半軸交于8兩點，貝Ijtan/QAB=（）

9.某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2,PA,PB分別與所在圓相切于點A,B,若該圓半徑

是3cm,ZP=60°,則的長是（）

圖2

A.67rcmB.47rcmC.37rcmD.27Tcm

10.已知點（%2，%）（%1<%2）在y=-/+2%+zn的圖象上，下列說法錯誤的是（）

A.當m>0時，二次函數y=-/+2%+m與％軸總有兩個交點

B.若%2=2,且y】>y29貝【JO<%]<2

C.若％1+冷>2,則yi>y2

D.當一1<%<2時，y的取值范圍為租-3<y<m

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11.在數軸上，與聞最接近的整數是.

12.如圖，在矩形力BCD中，對角線2C與BD相交于點。，力E垂直且平分線段B。，垂足為點E,BD=

12cm,則的長為cm.

13.從2名男生和2名女生中隨機選出2人講題，恰好選出一男一女的概率是.

14.已知一元二次方程/-1012x+1=0的兩個實數根為山和尤2，則代數式2/+2X2-右右的值為

15.如圖，點A是反比例函數y=?（x<0）圖象上一點，4。1%軸于點。，與反比例函數y=?（久<0）的

圖象交于點8,AC=3BC,連接04,0B,若A40B的面積為2,則爪+n=

16.如圖，正方形A8CD的邊長為2,G是對角線BD上一動點，GE1CD于點E,GF，BC于點R連接

EF.給出四種情況：①若G為BD上任意一點，則AG=EF；②若BG=AB,則ND4G=22.5。；③若G

為BD的中點，則四邊形CEGF是正方形；④若DG:BG=1:3,則〃皿；=也則其中正確的是

三、解答題（本大題有9小題，共86分）

17.(本小題滿分8分)計算：?1-2cos30°-|2-V3|-(4-TT)°

18.（本小題滿分8分）如圖，E是平行四邊形ZBCD的邊BC延長線上一點，AD=CE,

求證：AABC=△DCE.

19.（本小題滿分8分）先化簡，再求值：乏鼻一（六一0,其中x=2.

20.（本小題滿分8分）吸煙有害健康！即使被動吸煙也大大危害健康.某校組織同學們在社區開展了“你

最支持哪種戒煙方式”的問卷調查，征求市民的意見，并將調查結果整理后制成了如下兩個不完整的統計

圖：

（1）同學們一共隨機調查了多少人？

（2）通過計算補全條形圖；

（3）若該社區有9000人，請估計該社區大約有多少人支持“警示戒煙”這種方式?

21.（本小題滿分8分）如圖，△ABC中，BA=BC.

（1）讀下列語句，完成作圖（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）：

①過點A作4EIIBC；

②在2E上取一點。（點。在點A的右側），使點。到邊B4BC所在直線的距離相等.

（2）若4B=13,AC=10,求點A至UBC的距離.

22.（本小題滿分10分）第二十四屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月20日在北京圓滿閉幕，冰墩墩和

雪容融吉祥物在市場熱銷.某特許商店準備購進冰墩墩和雪容融吉祥物若干，其進價和售價如下表：

冰墩墩吉祥物雪容融吉祥物

進價(元/件)

售價(元/件)190140

已知用3000元購進冰墩墩吉祥物的數量與用2400元購進雪容融吉祥物的數量相同.

(1)求m的值；

(2)若要購進兩種吉祥物共200件，且為宣傳接下來的冬季殘疾人奧林匹克運動會，因此購進的雪容融吉

祥物的數量不能低于冰墩墩吉祥物數量的|.怎樣進貨才能獲得最大利潤？

23.(本小題滿分10分)如圖，在ATIBC中，AB^AC,以AB為直徑的O0與BC交于點。，與邊AC交于

點、E,過點。作4C的垂線，垂足為E

(1)求證：DF為。。的切線；

(2)若2E=3,EF=1,求。。的半徑及sin/ABC的值.

24.(本小題滿分12分)如圖，在中，ABCA=90°,AC=BC=4,將BC繞點C順時針旋轉

a(0。<a<180。)得到CD,連接BD,作CE1BD于點E,直線交射線CE于點E

(1)請直接寫出線段4F,DF,4B之間的數量關系；

⑵當CD位于如圖所示位置時，猜想線段4F,DF,CF之間的數量關系，并證明你的結論；

(3)請直接寫出CF的最大值.

25.(本小題滿分14分)已知拋物線y=ax2+版的圖象與x軸相交于點2(5,0)和點B(l,4).P是拋物線上

一點，且在直線力B的上方.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,△O4B、AP/IB的面積分別記為SAOAB和〃PAB，若“PAB=^SAOAB，求點P的坐標；

(3)如圖2,0P交力B于點C,PDIIB。交4B于點。.記ACDP,△CB。的周長分別為Q,C2,判斷臺是否存在

C2

最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

數學?全解全析

12345678910

DDADBBDCBD

第I卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的）

1.D

【分析】根據無理數的定義，“無限不循環的小數是無理數”逐個分析判斷即可.

【詳解】解：V4=2,

在0』，V4,n中，

0,1,〃是有理數，TT是無理數，

故選：D

【點睛】本題考查了無理數，求一個數的算術平方根，解答本題的關鍵掌握無理數的三種形式：①開方

開不盡的數，②無限不循環小數，③含有TT的數.

2.D

【分析】根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可.

【詳解】解：選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以是中心

對稱圖形；

選項A、B、C均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以不是中心

對稱圖形，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

3.A

【分析】根據多邊形的內角和定理，多邊形的內角和等于（九-2）?180。，外角和等于360。，然后列方程

求解即可.

【詳解】解：設多邊形的邊數是"，根據題意得，

（n-2）-180o=2X360°,

解得：n=6,

.?.這個多邊形為六邊形.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，根據題意列出方程是解題的關鍵.

4.D

【分析】根據左視圖是從左邊觀察物體得到的視圖來判斷.

【詳解】解：左視圖為

故選：D.

【點睛】本題考查三視圖，解題的關鍵是理解三視圖的含義.

5.B

【分析】根據幕的乘方法則，負整數指數塞法則，同底數幕乘法法則及完全平方公式分別計算并判斷.

【詳解】解：A、（a2）3=a6,故原計算錯誤；

B、2%-1=故原計算正確；

X

C、a3-a4=a7,故原計算錯誤；

D、（X-y）2=x2-2xy+y2,故原計算錯誤；

故選：B.

【點睛】此題考查了整式的計算，正確掌握哥的乘方法則，負整數指數幕法則，同底數累乘法法則及完

全平方公式是解題的關鍵.

6.B

【分析】根據圖像得到以前的平均數，即可判斷平均數變化，再結合方差公式即可得到答案.

【詳解】解：由圖像可得，

-50-0-0-X-2-+-4-5-0-0X--2+-4-0-0-0-X-2=45.00,

6

???新車間的日生產量為4500萬只，

平均數不發生變化，

???方差的分母由6變成了7,分子不變，

方差變小了，

故選B.

【點睛】本題考查求平均數與方差，解題的關鍵是熟練掌握平均數公式及方差公式.

7.D

【分析】根據題意得AADE?A4BC,SADEC與SADBC是同高，故底之比等于1：3,從而得出面積之比.

【詳解】解：-DEWBC,

ADE—△ABC,

?'-DE'.BC=AD:AB,

,-'AD:DB=1:3,

--AD\AB=1:4,

；,DE;BC=1:4,

.,'△OEC和S^ORC的圖相同，

'S^DEC：S^DBC=1:4,

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，高相等的兩個三角形的面積之比等于底之比是解題的關

鍵.

8.C

【分析】根據一次函數解析式求出4B兩點的坐標，根據tanN0A8=M，計算求解即可.

【詳解】解：令％=0,則y=b,

令y=0,貝U0=—+b,解得％=2b,

??.8(0,b),A(2b,0),

OA=2b,OB=b,

X.diwZ-0AB=———j

OA2

故選：C.

【點睛】本題考查一次函數圖象與坐標系的交點坐標，正切.求出48兩點的坐標是解題的關鍵.

9.B

【分析】如圖，根據切線的性質可得"4。="8。=90。，根據四邊形內角和可得的角度，進而

可得所對的圓心角，根據弧長公式進行計算即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。40B

圖2

???PA,PB分別與4MB所在圓相切于點A,B.

??.Z.PAO=乙PBO=90°,

???乙P=60°,

???乙AOB=360°—90°-90°-60°=120°,

,?,該圓半徑3cm,

???AMB=360120yrx3=47icm,

180

故選：B.

【點睛】本題考查了切線的性質，求弧長，牢記弧長公式是解題的關鍵.

10.D

【分析】根據函數解析式，結合函數圖象的頂點坐標、對稱軸以及增減性依次對4個結論作出判斷即

可.

【詳解】解：由y=—x2+2%+m=—x2+2%—1+1+m=—(%—l)2+m+1,

???拋物線的對稱軸為直線％=1,頂點坐標為(l,m+1)；

A.當m>0時，△=2?—4X(―1)xm=4+4m>0,所以，二次函數y=—x2+2]+m與久軸總有兩個

交點，說法正確，故選項A不符合題意；

B.當％2=2時，對應點為(2,772),關于對稱軸對稱的點為(0,772),即丫2=加；當時，圖象在(0,血)

和(2,租)之間，所以，OV%1<2,故選項B說法正確，不符合題意；

(2.若與+比2=2,則迎產=1,當勺+%2>2時，則兩點連線的中點在對稱軸右側，所以，為>、2，故

選項C說法正確，不符合題意；

D.當久=-1時，y=-1-2+m=-3+爪，當m=2時，最高點為(l,?n+1),所以，m-3<y<

m+1,故選項D說法錯誤，符合題意，

故選：D

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與二次函數的系數的關系，需要利用數形結合思想解決本題.

第n卷

二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)

11.5

【分析】根據無理數的意義和三次根式的性質得出5<V28<6,即可求出答案.

【詳解】I?：?/V25<V28<V36，

/.5<V28<6,

...與同最接近的整數是5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查了三次根式的性質和估計無理數的大小，計算出出在3和3.5之間是解題關鍵.

12.6

【分析】根據相等垂直平分線的性質得到48=4。，再由矩形的性質得到4。=6cm,貝"8=4。=

6cm.

【詳解】解：垂直且平分線段B。，

：.AB=A0,

:四邊形A8CD是矩形，對角線4C與相交于點0,BD=12cm,

11

??AO=-AC=-BD=6cm,

22

*.AB=AO=6cm,

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，線段垂直平分線的性質，熟知矩形的對角線相等且互相平分，線

段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵.

13.-

3

【分析】根據題意，列舉出所有可能的選法，再找出滿足題意的選法，再利用概率公式計算即可.

【詳解】解：從2名男生和2名女生中隨機選出2人共有6種選法：（男1,男2）,（男1,女1）,

（男1,女2）,（男2,女1）,（男2,女2）,（女1,女2）,

其中恰好選出一男一女的選法有4種，分別為：（男1,女1）,（男1,女2）,（男2,女1）,（男

2,女2）,

恰好選出一男一女的概率是為：

76=3

故答案為：|.

【點睛】本題考查了利用列舉法求概率，解本題的關鍵在找出所有等可能情況，并熟練掌握概率公式.

14.2025

【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得%1+%2=1。12,%1%2=1，將其代入2%1+2%2—中

可求出結論.

【詳解】解：???一元二次方程/-1012%+1=0的兩個實數根為%1和%2，

X-1+%2=1012,=1，

xx

/.2x1+2%2-=2（%i+%2）—i2=2X1012—1=2025.

故答案為：2025.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合是一種常見

的題型.一元二次方程a久2+。久+c=0(aH0)的根與系數的關系為：+x2=~-x2=--掌握

一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.

15.-8

【分析】由4C=3BC和A/lOB的面積為2,可求出AOBC的面積為1,進而求出△04C的面積為3,再根

據反比例函數系數上的幾何意義可求出血,門，進而得出答案.

【詳解】VSAA0B-OC=2,SAboc=|fiC-OC,AC=3BC,AC1x軸

：.AB=2BC,

??S^BOC=L

,,S〉AOC=2+1=3，

又??,點A是反比例函數y=^(%<0)圖象上一點，點B是反比例函數y=^(%<0)的圖象上一點，

,*?^^BOC=1=51荏1，SXAOC=3=5|zn|，

\m\=6,\n\=2

?.?y=^(X<0)和y=?(%<0)都在第二象限，

/.m<0,n<0

.*.m=—6,n=—2,

.*.m+n=—6—2=—8,

故答案為：-8.

【點睛】本題考查反比例函數系數無的幾何意義，掌握反比例函數系數化的幾何意義是正確解答的關鍵.

16.①②③④

【分析】連接2C交BD于O,連接CG,先證△2BG三ACBG(SAS),可得4G=CG,再證NGFC=

NGEC=NDCB=90。，得到四邊形EGFC是矩形，可得到CG=EF,即可判斷；

由48=BG可得=(180°-Z71BD)=j(180°-45°)=67.5°,從而得出N/MG=

90°-67.5°=22.5°,即可判斷；

先證明DE=CE,可得△DGE是等腰直角三角形，得出。E=GE=EC,從而可得四邊形CEGF是正方形，

即可判斷；

連接力C,在RtAABD中，2aB2=B￡?2=8,求得BD=26,得到4。=VL從而得出絲=工=半，解

BD42V2

得。G=日，即可求解.

【詳解】解：連接2C交BD于O,連接CG,

：.AB=BC,/-ABG=Z.CBG,乙BCD=90°,

AB=BC

在A/BG和aCBG中，\^ABG=^CBG

BG=BG

：.△ABG=△CBG(SAS),

：.AG=CG,

9：GF1BC,GE1DC,

：.Z.GFC=Z.GEC=乙DCB=90°,

J四邊形EGFC是矩形，

ACG=EF,

：.AG=EF,故①正確;

9CAB=BG,

-1i

：.^BAG=/-BGA=-(180°=-(180°-45°)=67.5°,

22

：.^DAG=90°-67.5°=22.5°,故②正確；

;點G為8。的中點，GE||BC,

...點E為DC的中點，

：.DE=CE,

...△DGE是等腰直角三角形，

：.DE=GE=EC,

,/四邊形CEGF是矩形，

.??四邊形CEGF是正方形，故③正確；

連接力C,

:正方形48CD,

：.AC=BD=2AO,ACLBD,

在Rt△48。中，2aB2=B￡)2=8,

解之得：BD=2V2,

.X。=V2；

??DG_1

*BG~3

,DG_1_DG

**BD-4.2；

解之得：=f,

???S-DG=jOG-^10=jx^xV2=|,故④正確；

正確結論的序號為①②③④.

故答案為：①②③④

【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的判定及性質，全等三角形的性質及判定，解決本題的

關鍵是熟練掌握四邊形的有關性質.

三、解答題（本大題有9小題，共86分）

17.0

【分析】先計算特殊角三角函數值，零指數塞和負整數指數幕，再根據實數的混合計算法則求解即可.

【詳解】解：原式=3—2xf—（2—V3）—1

=0.

【點睛】本題主要考查了實數的混合計算，特殊角三角函數值，零指數累和負整數指數累，正確計算是

解題的關鍵.

18.見解析

【分析】由平行四邊形的性質得出4B||CD,4B=CD,由平行線的性質得出NB=ADCE,由SAS即可得出

結論.

【詳解】證明：..?四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AB\\CD,AB=CD,

:?乙B=Z.DCE,

又TAD=CE

：.BC=CE

（AB=DC

在△ABC和△DCE中，jzB=^DCE,

（BC=CE

：.^ABC=△DCF(SAS).

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質

和全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

【分析】根據分式的除法和減法化簡，然后將X的值代入即可解答本題.

【詳解】解：號+(三-￡)

x(x+1)2x-(x-1)

=--------2-------------

(x-1)X(X-1)

x(x+1)X(x-1)

=--------2----------

(X-1)

_%2

=----,

x-1

o2

當％=2時，原式===4.

2—1

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法.

20.(1)同學們一共調查了300人；

(2)補圖見解析；

(3)估計該社區有3150人支持“警示戒煙”這種方式

【分析】(1)根據替代品戒煙30人占總體的10%,即可求得總人數；

(2)根據求得的總人數，結合扇形統計圖可以求得藥物戒煙的人數，從而求得警示戒煙的人數，即可補

全統計圖；

(3)根據扇形統計圖中“警示戒煙”的百分比再進一步根據樣本估計總體.

【詳解】(1)解:30+10%=300(人)；

答：同學們一共調查了300人；

(2)藥物戒煙的人數：300x15%=45(人)，

警示戒煙的人數：300-120-30-45=105(人)，

補圖所示

(3)9000x—=3150(人),

答:估計該社區有3150人支持“警示戒煙”這種方式.

【點睛】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用.讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要

的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總

體的百分比大小.

21.(1)①見解析；②見解析

⑵效

一13

【分析】(1)①構作同位角相等即可；②先作出平行線間的高，再構造全等三角形即可.

(2)過點B作于點E根據勾股定理得到BF=12,根據?AC=?4G計算即可.

【詳解】(1)①根據尺規作圖畫圖如下：

則2E即為所求.

②過點A作/1G1BC于點G,在①中的作圖上，作4M=BG,AD=B4

AM=BG

根據｛NMAD=4GBA,

AD=BA

故。M=HG,NDM4="1GB=90。，畫圖如下，

則點。即為所求.

(2)如圖，過點3作于點尸，過點A作AG1BC于點G,

*：AB=13=BC,AC=10,

：.AF=-AC=5,

2

A

：.BF=y/AB2-AF2=V132-52=12,

,：-BF-AC=-BC-AG,

22

A12X10=13AG,

解得AG=詈.

故點A至加C的距離是詈.

【點睛】本題考查了尺規作圖，等腰三角形的性質，勾股定理，熟練掌握尺規作圖，等腰三角形的性

質，勾股定理是解題的關鍵.

22.(1)150

⑵購進冰墩墩吉祥物120件，雪容融吉祥物80件，才能獲得最大利潤

【分析】(1)利用數量=總價+單價，結合用3000元購進冰墩墩吉祥物的數量與用2400元購進雪容融

吉祥物的數量相同，列出分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；

(2)設購進冰墩墩吉祥物x件，則購進雪容融吉祥物(200-切件，由題意：購進的雪容融吉祥物的數量

不能低于冰墩墩吉祥物數量的|.列出一元一次不等式，得XW120,設利潤為y元，再由題意得y=

20x+4000,然后由一次函數的性質求解即可.

【詳解】(1)解：依題意得：幽=號，

mm-30

解得：m=150,

經檢驗，爪=150是原方程的解，且符合題意.

答：機的值為150.

(2)由(1)得：m-30=120,

設購進冰墩墩吉祥物久件，則購進雪容融吉祥物(200-x)件，

由題意得：200-x2|久，

解得：x<120,

設利潤為y元，

由題意得：y=(190-150)x+(140-120)(200-%)=20%+4000,

20>0,

??.y隨x的增大而增大，

.?.當x=120時，y的值最大，

此時200-％=80,

答：購進冰墩墩吉祥物120件，雪容融吉祥物80件，才能獲得最大利潤.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列

出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

23.（1）過程見解析

【分析】（1）連接。D,AD,先根據直徑所對的圓周角是直角和等腰三角形的性質得點。是8C的中點，

進而得出OD是△ABC的中位線，進而得出。D||AC,再根據平行線的性質得NODF=90。，即可得出答

案；

（2）連接DE,先根據圓內接四邊形的性質得NDEC=NB,再根據等腰三角形的性質得NDEC=NC,進

而得出=可知47,即可求出半徑；再證明ACDF?△C4。，根據相似三角形的對應邊成比例求出

CD,根據勾股定理求出力D,可得出sin/C,即可得出答案.

【詳解】（1）連接。。，AD,

是。。的直徑，

J.Z.ADB=90°.

"：AB=AC,

...點D是BC的中點.

:點。是4B的中點，

是△48C的中位線，

：.OD||AC,

J.Z.ODF+/.AFD=180°.

\'AAFD=90°,

J./-ODF=90°,

：.DF1OD,

是。。的半徑;

(2)連接0E,

1

,/四邊形48DE是O。的內接四邊形，

??.4B+±AED=180°.

*：ADEC+/-AED=180°,

:?乙DEC=Z-B.

9

CAB=ACf

Z-B=Z-C,

:?乙DEC=Z-C,

：.EF=CF=1,

：.AC=AE+EF+CF=5,

即AB=5,

???o。的半徑是I；

VzC=zC,zDFC=Z.ADC=90°,

ACDF—△CAD,

.CD_CF

??=,

ACCD

即CD?=AC-CF=5,

.,.CD=V5(負值舍去).

在RtAACD中，4D=<AC2-CD2=2遍，

?.，〃AD2V5

??sin/C——,

AC5

/.sinzXBC=—.

5

【點睛】這是一道關于圓和三角形的綜合問題，考查了切線的判定，等腰三角形的性質和判定，相似三

角形的性質和判定，圓內接四邊形的性質，解直角三角形等，構造輔助線是解題的關鍵.

24.(IMF2+DF2=XB2；

(2)DF+4F=&CF,理由見解析；

(3)4

【分析】(1)連接FB,過點C作C”1FC交FB的延長線于點H,貝U有+NBCF=NBCF+FC4=

90?？傻肗HCB=^FCA,進而證明4BHC=AAFC可得NH=/.CFA,然后再結合CH1FC得至I]N4FB=

90°,由勾股定理可得4尸2+BF2=AB2即可解答；

(2)由△BHC三AAFC可得=AF、CH=CF,進而得到F”=FB+=FH,由尸“=魚。尸即可解

答；

(3)先由勾股定理可得AB?=32,再結合4產+。產二月爐可得Q1F+DF)2_2AF-DF=32,則當

24F?￡!?=()時，(4F+DF)2有最大值32,進而求得2F+DF的最大值，最后根據DF+4F=即可

解答.

【詳解】(1)解：如圖：連接FB,過點C作C”1FC交FB的延長線于點H

：.^HCB=/.FCA

由題知：AC=BC=CD,

:.乙CBD=LCDB,^LCDA=^CAD

又：CF1BD,BC=CD,

：.BF=DF,

:.乙FBD=4FDB,

"FBD+Z.CBD=4FDB+乙CDB,SPzFFC=/.CDA

：.^FBC=^CAD,

C./.FBC=^CAD,

又；CB=CA,

：.ABHC=AAFC,

:.Ui=^CFA

,：CH1FC

C./-H+/.CFH=90°

J./.CFA+乙CFH=90°,即N4FB=90°

：.AF2+BF2=AB2

：.AF2+DF2=AB2.

(2)解：*.?△BHC=hAFC,

：.BH=AF,CH=CF,

：.FH=FB+BH=FH,

在RtAFCH中，FH=V2CF

：.DF+AF=FH=V2CF.

(3)解：'：^BCA=90°,AC=BC=4：

：.AB2=AC2+BC2=32

?：AF2+DF2=AB2

：.AF2+DF2=32

(AF+DF}2-2AF-DF=32

當24F?￡??=()時，Q4F+DF)2有最大值32,即Q4F+DF)2=32

：.AF+DF=4V2

"：DF+AF=V2CF

.?.當4F+DF=4/時，CF有最大值，即4&=&CF,解得：CF=4.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、完全平方公式等知識點，

靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵.

25.(l)y=—x2+5久

(2)(2,6)或(4,4)

(3)存在最大值，最大值為:

【分析】(1)將4和B的坐標代入解析式即可求解；

(2)過點P作PM1無軸，交4B于Q,交x軸于M,可求SA°AB=10，從而可求5心的=6,設P點的橫坐標