專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關系離不開數量的計

算。相似和勾股是產生等式的主要依據（其他依據還有面積法，三角函數等），因此要掌握相似三角形的基

本圖形，體會其各種演變和聯系。相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合

題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8

（X）字模型.

目錄導航］

例題講模型

1

模型l.“A”字模型............................................................................1

模型2.，，》，字模型（“8”字模型）.............................................................4

模型3.“AT，字模型（“48”字模型）...........................................................6

習題練模型］

9

【知識儲備】A字型和8（X）字型的應用難點在于過分割點（將線段分割的點）作平行線構造模型，有的

是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點在模考中無論

小題還是大題都是屢見不鮮的。

例題講模型］

模型「％”字模型

模型解讀

“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾

這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似。

①“A”字模型②反“4”字模型③同向雙“A”字模型④內接矩形模型

模型證明

AD=AE=DE

①“A”字模型條件:如圖1,DE//BC；結論:△ADEsAABCaAB~AC~^C°

.ADAEDE

證明：：￡＞石〃BC,/.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.^ADE^AABC,,,AB=AC=BCO

②反“A”字模型條件：如圖2,/AE,D=/B；結論：△A￡)ES^ACBQ/=^=阮

AT)AEDE

證明：：NAEQ=N8,/.ZA=ZA,(公共角)/.AADE^>/\ACB,?'?77；=弁=詬。

AC/\D￡>C

③同向雙“A”字模型條件：如圖3,EF//BC；

結論：AAEFsAABC,AAEG^AABD,△AGPS/\A￡)CQ^=￡2=生。

BDCDAD

證明：尸〃BC,ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.LAEF^^ABC,

,ADAEDE

同理可證：AAEGs^ABD,^AGF^AADC,,"7B=AC=BC"

④內接矩形模型條件：如圖4,AABC的內接矩形。EFG的邊EP在BC邊上，D、G分別在A3、AC邊

上，MAM±BC-,結論：^ADG^AABC,^ADN^AABM,^AGN^AACM<^>DG=AN=AN_o

BCABAM

證明：是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^AABC,

同理可證：AADNs^ABM,AAGNs^ACM,:.吧=處=處。

BCABAM

模型運用

例1.（2024?吉林長春?三模）如圖，在AABC中，點。、E為邊的三等分點，點/、G在邊5c上,

AC//DG//EF,CE交DG于點、H.若AC=12,則G”的長為

A

E

H

BFGC

例2.（2023?廣東廣州?模擬預測）如圖，正方形MNP。內接于AABC,點〃，N在BC上，點尸，2分別在

AC和邊上，且8C邊上的高AD=6,BC=12,則正方形MNP。的面積為.

例3.（2024?湖南永州?模擬預測）如圖：Rt^ABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把邊長分別為不，巧,

尤3,…相的〃個正方形依次放在AABC中；第一個正方形CM出乂的頂點分別放在Rt^ABC的各邊上；第二

個正方形工乂的頂點分別放在RtAA6”1的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長

例4.（2024?山東?中考真題）如圖，點E為YABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=1,連接DE并延長

至點F,使得EF=DE,連接8/，則BF為（）

例5.（23-24九年級上?廣西南寧?階段練習）如圖，ADJ.BC,垂足為O,BE1AC,垂足為E,AD與BE

相交于點八（1）判斷八4/2與是相似三角形嗎？請說明理由；（2）連接即，求證：CD-AB=ACDE；

（3）若BA=3C,DE=3,BD=5,求CD的長.

BDC

模型2.，，V，字模型（“8”字模型）

模型解讀

“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個

三角形相似.

①“8”字模型④斜雙“8”字模型

模型證明

①“8”字模型

ABOAOB

條件：如圖1,AB//CD；結論:△AOBsxCOD0

CD~OC~OD°

?ABOAOB

證明：AZA=ZC,/B=ND,AAOB^ACOD

f??CDOC~OD°

②反“8”字模型

ABOAOB

條件：如圖2,NA=N。；結論：AAOBs>DOC<

CD^OD~OC°

?ABOAOB

證明：ZAOB=ZDOC,（對頂角）J.^AOB^ADOC,

^CD~OD~OC°

③平行雙“8”字模型

條件：如圖3,AB//CD-,結論：AE=BE=AB^O

DFCFCD

證明：ZA=ZD,ZAEO=ZDFO,：.LAEO^/\DFO,

同理可證：ABEOsUFO,LABO^^DCO,:.些=些=理。

DFCFCD

④斜雙“8”字模型

條件：如圖4,N1=N2；結論：△AOOS/^BOC,^AOB^AD（9C?z3=Z4?

證明：：/l=N2,NA0￡>=N80C（對頂角），：.^AOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,AO:DO=BO:CO；

（對頂角），：.LAOB^/\DOC,；.N3=/4。

模型運用

例1.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC,3。相交于點。，點E是。4的中點，點尸

FF

是。。上一點.連接E尸.若NFEO=45。，則竊的值為

例2.（23-24九年級上?浙江杭州?期中）如圖，AD與8C交于點。E尸過點。交A3于點E,交C。于點

39CD

F,BO=1,CO=3,AO=-,DO=-.(1)求證：ZA=ZD.(2)若AE=23E,求出.

22DF

例3.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為6,ZBAD=120°,過點。作DEL3C,交BC

的延長線于點E,連結AE分別交3。，以＞于點尸，G,則尸G的長為.

例4.（23-24九年級上?安徽蚌埠?期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的

重心.（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為3的等邊AABC的重心為點。，求△03C與44BC的面積；

（2）性質探究：如圖（二），已知AABC的重心為點。，請判斷今、—是否都為定值？如果是，分別求出

OA

這兩個定值；如果不是，請說明理由；

（3）性質應用：如圖（三），在正方形ABC。中，點E是C￡）的中點，連接BE交對角線AC于點

①若正方形A8CO的邊長為4,求的長度；②若以CME=2,求正方形ABC。的面積

模型字模型（“48”字模型）

模型解讀

①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙字模型）③四“4”+“8”模型

圖2圖3

模型證明

①一“A”+“8”模型條件：如圖1,DE//BC-,

^ADAEDEDFFE

結論：AADEsAABC,ADEFsACBF.,<*y___________________

ABACBCFCBF

?APAEDE

證明：???〃；?：

Z)E5C,/ADE=/ABC,ZAED=ZACBf.^ADE^hABC,"AB=AC=^C°

YDE//BC,：.ZFDE=ZFCBfZDEF=ZCBF,：.^DEF^ACBF,???匹=空=住。

BCFCBF

,AD_AEDE_DF_FE

??瓦一而一拓一斤一而°

②兩“A”+“8”模型條件：如圖2,DE//AF//BC；

結論：bDAFs&DBC,匕CAFsXCED,=_+_o

AFBCDE

證明：TA/〃5C,:?/DAF=/B,ZDFA=ZDCB,：.ADAF<^ADBCf，空二竺。

DCBC

*：DE//AF,:./CAF=NE,ZCFA=ZCDE,：.LCAF^/\CED,?,.竺=竺。

CDDE

兩式相加得到：竺+巧=絲+更，即1=竺+竺，故J_=J_+J_。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“A”+“8”模型3條件：如圖3,DE//GF//BC.；結論：AF=AG,▲+J_=J_=J_=2

BCDEAFAGGF

證明:同②中的證法，易證：-L+X=X,X+X=X

BCDEAFBCDEAG

：.-L=-L,BPAF=AGf故1?1二1二2。

AFAGBCDEGFGF

模型運用

例1.（2022?山東東營?中考真題）如圖，點。為A/1BC邊上任一點，交AC于點E,連接BE、CD

相交于點F,則下列等式中不或主的是（）

DEAEFFAF

A._____B__=___D.獷前例2.（2。23.安徽.三模）如圖，已知

DB~ECBC~FC~BC~~EC

AB1BC.DC±BC,AC與3D相交于點。，作Q0L3C于點點E是3D的中點，EFJ.BC于點、G,

交AC于點/，若AB=4,CD=6,則。”一切值為（）

例3.（2024?湖北?模擬預測）（1）【問題背景】如圖1,ABI/EF/ICD,AO與8c相交于點E,點尸在8。上.求

------------1-—-?

ABCDEF'

圖1圖2圖3

小雅同學的想法是將結論轉化為M+其=i來證明，請你按照小雅的思路完成原題的證明過程.

ABCD

（2）【類比探究】如圖2,AELAB,BD工AB,GH工AB,DE與3c相交于點G,點H在A3上，AE=AC.^

、丁112

1|r.--------------------------=

'GHACBD'

（3）【拓展運用】如圖3,在AC四邊形ABC。中，AB//CD,連接，BD交于息M,過點M作EF〃鉆，

交AD于點E,交3c于點凡連接EC,FD交于點N,過點N作G"〃AB,交AD于點G,交3C于點H,

若AB=3,CD=5,直接寫出G”的長.

例4.（2024江蘇泰州.三模）綜合與實踐

在初中物理學中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯系.請耐心閱讀以下材料：

【光學模型】如圖1,通過凸透鏡光心。的光線4。，其傳播方向不變，經過焦點廠的光線AE經凸透鏡L折

射后平行于主光軸"N沿EV射出，與光線A。交于點A,過點A作主光軸MN的垂線段A?,垂足為8',

即可得出物體AB所成的像A'B'.

L

C

MBF\aMBF

【模型驗證】設焦點尸到光心的距離/。稱為焦距，記為了;物體A3到光心的距離80稱為物距，記為“；

像ATT到光心的距離。8'稱為像距，記為v.

已知AB=/R,AB'=Jv,,當/'<“<2/時，求證：一+—=7.

uvf

證明：VAB'IMN,AB1MN,：.ZABO=ZAB'0=90°,

又,/ZAOB=ZAOB',；.AAOBSAA'W,

ABOBh,u

=黑，即L=一，同理可得AABRSAEOD

A'B'OB'h?v

uv-vf=uf,：.—__=-,即一+―=二.

fUVuvf

請結合上述材料，解決以下問題：

⑴請補充上述證明過程中①②所缺的內容（用含隊/的代數式表示）；⑵若該凸透鏡L的焦距為20cm,物體

距凸透鏡L的距離為30cm,物高為10cm,則物體A3所成的像A?的高度為cm；

（3）如圖2,由物理學知識知“經過點A且平行于主光軸"N的光線AC經凸透鏡L折射后經過點A”，小明在

做凸透鏡成像實驗時，不斷改變物距發現光線CA始終經過主光軸MN上一定點.若該凸透鏡L的焦距為20

cm,物高為10cm,試說明這一物理現象.

習題練模型

1.（2024.浙江溫州?三模）如圖，在YABCD中，AG平分，54。分別交3。，BC,OC延長線于點尸，G,

E,記作與ACEG的面積分別為S-S”若AB：AD=2:3,則去的值是（）

AD

S

54

C.D.

189

2.（2024?安徽合肥?三模）如圖，已知四邊形ABC。是平行四邊形，點E是40的中點，連接班，AC相交

于點尸，過歹作4。的平行線交于點G,若FG=2,則5C的值是（）

A.6B.5C.8D.4

3.（2024.四川成都.中考真題）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點5為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交84,5c于點N；②分別以M,N為圓心，以大于;MN的長為半徑作弧，兩弧在/ABC

內交于點。；③作射線3。，交AD于點￡,交8延長線于點尸.若8=3,DE=2,下列結論錯誤的是

（）

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.——=—

EF3

4.（2024九年級下?廣東?專題練習）如圖，在AABC中，BC=120,高AP=60,正方形￡FG〃一邊在5C上,

BHDGC

A.15B.20C.25D.30

5.（2024?云南楚雄?模擬預測）如圖，在中，￡線段AC上一點，^.AE:CE=1:2,過點C作CD〃AB,

交BE的延長線于點D若ABEC的面積為10,則AEC。的面積為（）

A.10B.15C.20D.25

6.（2024.浙江?模擬預測）如圖，矩形ABCD中，E是8C上的點，連接交對角線AC于點f，若ZZMC=30°,

AF

ZDEC=45°,則）的值為（）

A.V3B.0C.2D.1.5

7.（2024?河南?中考真題）如圖，在口458中，對角線AC,8。相交于點。，點E為。C的中點，EF//AB

交3C于點?若超=4,則E尸的長為（）

CTD.2

8.（2024.山東威海.中考真題）如圖，在YABCD中，對角線AC,BD交于點O,點E在BC上，點F在CD

上，連接AE,AF,EF,所交AC于點G.下列結論錯誤的是（）

BEC

A.若一=—,則EF〃mB.若AE_L8C,AF^CD,AE=AF,則防〃3￡）

CFAB

C.若EF〃BD,CE=CF,則NE4c=N7^1CD.若AB=AD,AE=AF,則EF〃aD

9.（2024.陜西西安?一模）如圖，在AABC中，D,M是邊的三等分點，N,E是邊AC的三等分點.連

接ND并延長與CB的延長線相交于點P.若DE=4,則線段CP的長為（）

10.（2024.江蘇南京?一模）如圖，AB,以>分別垂直8。，垂足分別為8,D,連接AT）,BC交于點E,

ba

EF±BD,垂足為尸.設AB=a,CD=b,EF=c,若----=1,貝!J下歹ll等式：@a+c=b；@b+c-2a；

ab

③/=".c,其中一定成立的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

11.（2024?陜西中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊。上，”與DC交于點”,

若AB=6,CE=2,則由的長為（）

12.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，AABC,ZACB=90°,CB=5,C4=10,點。，E分別在AC,AB邊

上，AE=45AD,連接OE,將VADE沿￡>E翻折，得到VFOE,連接CE,CF.若△CEF的面積是AJBEC

面積的2倍，則AD=

13.（2024云南?中考真題）如圖,至與8交于點。,且AC〃曲.若黑武意則費=——

14.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊C。、AD上

的動點，且CE=OP.當AE+CF的值最小時，則CE=.

15.（23-24九年級上.河南駐馬店?期中）如圖，AB//GH//DC,點H在BC上，AC與BD交于點G,若

16.（2023?吉林長春?統考三模）【閱讀理解】構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法,

我們常用這種方法證明線段的中點問題.例如：如圖，D是AABC邊上一點，E是AC的中點，過點C作

CF//AB,交DE的延長線于點/，則易證E是線段。歹的中點.

【經驗運用】請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題.

F

（1）如圖1,在正方形A8CD中，點E在AB上，點尸在8C的延長線上，且滿足AE=CF,連接E廠交AC

于點G.求證：①G是政的中點；②CG與BE之間的數量關系是：

【拓展延伸】（2）如圖2,在矩形ABC。中，AB=2BC,點E在A3上，點尸在3C的延長線上，且滿足

AE=2CF,連接E尸交AC于點G.探究8E和CG之間的數量關系是：

17.（2024?遼寧大連?二模）【問題初探】（1）在數學活動課上，李老師給出如下問題：

如圖1,在AABC中，點。是A3的中點，點E是AC的一個三等分點，S.AC=3CE,連接以＞,BE交于點、

F,求證：CF=FD.

①如圖2,小鵬同學利用“三角形中位線的性質”的解題經驗，取￡8的中點G,連接DG,再通過“全等三角

形的性質”解決問題；②如圖3,小亮同學利用“三角形相似的性質”的解題經驗，過點C作CG〃AB,交BE

的延長線于點G,再通過“全等三角形的性質”解決問題.

請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程.

【類比分析】（2）李老師發現之前兩名同學都運用了數學的轉化思想，將證明三角形線段的關系轉化為我

們熟悉的角度去理解.為了幫助同學們更好地感悟轉化思想，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖4,

在"LBC中，點。是A3的中點，點、E,G是AC的三等分點，BG,BE與CO分別交于點"，F,求HD:HF

的值.

【學以致用】（3）如圖5,在44BC中，AC^BC,在射線AB上取點。，使班＞=2AB,連接CO,在CO上

取點E,射線￡B,C4相交于點/，當班=即時，求3E:取的值.

18.（2023?湖北隨州?模擬預測）［初步嘗試］（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，ZACB=90°,將VABC折

疊，使點B與點C重合，折痕為MN,則A"與9的數量關系為；

［思考說理］（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC^BC=6,AB=10,將VABC折疊，使點8與點C重

合，折痕為求瞿的值；

BM

［拓展延伸］（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9,BC=6,NACB=2NA,將VABC沿過頂點C的

直線折疊，使點B落在邊AC上的點？處，折痕為CM.①求線段AC的長；②若點。是邊AC的中點，點

產為線段08'上的一個動點，將沿尸"折疊得到AAPM,點A的對應點為點A；AM與CP交于點F,

求總PF的取值范圍一.

MF

圖①圖②圖③

19.（2024?江蘇泰州?二模）圖算法是根據幾何原理，將某一已知函數關系式中的各變量，分別編成有刻度

的直線（或曲線），并把它們按一定的規律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數式中的未知量，這樣的

圖形叫諾模圖.設有兩只電阻，4=6千歐，&=4千歐，問并聯后的總電阻值R是多少千歐？

我們可以利用公式求得R的值，也可以設計一種圖算法（如圖1）直接得出結果：我們先來畫出一個120。的

角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進行刻度，這樣就制好了一張算圖.我

們只要把角的兩邊刻著6和4的兩點連成一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯后的總

電阻值R

圖1圖2圖3

⑴①用=6千歐，凡=4千歐，計算R=千歐；②如圖1,已知NAC?=120。，OC是的角平

分線，OA=R-OB=R,,OC=R.用你所學的幾何知識說明：J

KAjA9

(2)如圖2,已知NAC?=90。，0C是/AO3的角平分線，。4=4，OB=R>OC=R.此時關系式可以寫

成”"力看，其中衣。的常數，求m的值;

(3)如圖3,若NAO3=e,(2)中其余條件不變，請探索&,&，R之間的關系.(用含。的代數式表示)

20.(2024?湖北武漢?中考真題)問題背景：如圖(1),在矩形ABCD中，點E,尸分別是AB,BC的中點,

連接BD,EF,求證：△BCDSAEBE.

問題探究：如圖(2),在四邊形ABC。中，AD//BC,ZBCD=90。，點E是AB的中點，點廠在邊BC上,

AD^ICF,EF與BD交于點G,求證：BG=FG.

FG

問題拓展：如圖(3),在“問題探究”的條件下，連接AG,AD=CD,AG=FG,直接寫出」的值.

專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關系離不開數量的計

算。相似和勾股是產生等式的主要依據（其他依據還有面積法，三角函數等），因此要掌握相似三角形的基

本圖形，體會其各種演變和聯系。相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合

題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8

（X）字模型.

目錄導航］

例題講模型

18

模型l.“A”字模型...........................................................................18

模型2.，，》，字模型（“8”字模型）............................................................23

模型3.“AT，字模型（“48”字模型）.........................................................27

習題練模型］

.......................................................................................................................................................33

【知識儲備】A字型和8（X）字型的應用難點在于過分割點（將線段分割的點）作平行線構造模型，有的

是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點在模考中無論

小題還是大題都是屢見不鮮的。

例題講模型］

模型「％”字模型

模型解讀

“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾

這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似。

①“A”字模型②反“4”字模型③同向雙“A”字模型④內接矩形模型

模型證明

AD=AE=DE

①“A”字模型條件:如圖1,DE//BC；結論:△ADEsAABCaAB~AC~^C°

.ADAEDE

證明：：￡＞石〃BC,/.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.^ADE^AABC,,,AB=AC=BCO

②反“A”字模型條件：如圖2,/AE,D=/B；結論：△A￡)ES^ACBQ/=^=阮

AT)AEDE

證明：：NAEQ=N8,/.ZA=ZA,(公共角)/.AADE^>/\ACB,?'?77；=弁=詬。

AC/\D￡>C

③同向雙“A”字模型條件：如圖3,EF//BC；

結論：AAEFsAABC,AAEG^AABD,△AGPS/\A￡)CQ^=￡2=生。

BDCDAD

證明：尸〃BC,ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.LAEF^^ABC,

,ADAEDE

同理可證：AAEGs^ABD,^AGF^AADC,,"7B=AC=BC"

④內接矩形模型條件：如圖4,AABC的內接矩形。EFG的邊EP在BC邊上，D、G分別在A3、AC邊

上，MAM±BC-,結論：^ADG^AABC,^ADN^AABM,^AGN^AACM<^>DG=AN=AN_o

BCABAM

證明：是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^AABC,

同理可證：AADNs^ABM,AAGNs^ACM,:.吧=處=處。

BCABAM

模型運用

例1.（2024?吉林長春?三模）如圖，在AABC中，點。、E為邊的三等分點，點/、G在邊5c上,

AC//DG//EF,CE交DG于點、H.若AC=12,則G”的長為

A

E

H

BFGC

【答案】2

【分析】本題主要考查了平行線的性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握

平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質是解題的關鍵.利用平行線的性質得到ABEF-ABAC,利用

相似三角形的性質求得小的長度，利用平行線分線段成比例定理求得CG=FG,再利用相似三角形的判定

與性質解答即可得出結論.

【詳解】???點。，E為邊的三等分點，=

BA3

EPBE1

AC//EF:./\BEF^/\BAC,：.—=—=一，vAC=12,;.EF=4,

ACBA3

???點￡>,E為邊AB的三等分點，AC〃DG〃EF,：.點、F,G為邊BC的三等分點，:.CG=FG,

■：DG\\EF,..ACGHSACFE,；”=里，，：.CG=LFE=2.故答案為：2

FE（JF22

例2.（2023?廣東廣州?模擬預測）如圖，正方形內接于“1BC,點N在3C上，點尸，。分別在

AC和邊上，且3C邊上的高AZ>=6,BC=12,則正方形MNPQ的面積為.

MDN

【答案】16

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，正方形的性質，線段的和與差等知識.解題的關鍵是根據比

例表示出相應線段列方程.根據三角形相似，找到對應線段成比例列方程求解即可.

【詳解】解：設正方形MNPQ的邊長為x,則￡?=尤，AE=AD-x=（6-x）

?..四邊形MNP。是正方形，?.?PQ〃3C,.?.△APQsAACB,

??,AD±BC,PQ—ED—x,AE=6-x,BC=12,AD=6,

ADBC

6—XY

=解得：x=4,正方形MNP。的面積為16故答案為：16

612

例3.（2024?湖南永州?模擬預測）如圖：例△ABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把邊長分別為毛，巧，

尤3,…乙的”個正方形依次放在AABC中；第一個正方形CM出乂的頂點分別放在的各邊上；第二

個正方形的頂點分別放在RJA甲0的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長

B

【答案】自f\20/24徐)2024

【分析】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定，圖形類的規律型問題.先由正方形的

BNPN

性質得到PN//CM.,CN1=P]N1=CM=PM,則V5Ni《sVBC4,BN1=5C—CM，即可推出票=*

XXXBCAC

即上?=?,從而求出CM=g,同理可證v^Mgsv4HA,用匕=用%-跖以得到給=罪

a一叫外N4

即三一二寸M工，推出“必=，即可得到規律可推出第〃個正方形的邊長[g],由此即可得到答案.

33

【詳解】解：?..四邊形OW出M是正方形,

PN〃CM],CN\=PN=CMX=P,MX,：.VBNREBCA,BN、=BC-CN、

...群察即一普—|24

???M,A=AC-CM,

1133

同理可證V4N2￡svqM|A,PZPM-MM

——M、N,

PN二MN48

即X2AMN=-,同理可求得%華=云,

6MAM,4i2

33

<2?0242024

???第2024個正方形的邊長x為:,故答案為：2

可以推出第〃個正方形的邊長為?I2024

例4.(2024.山東?中考真題)如圖，點E為YABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=lf連接OE并延長

至點F,使得所=DE,連接正，貝IJ斯為()

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助

線是解題關鍵.

作輔助線如圖，由平行正相似先證再證ABGFSAAGE,即可求得結果.

【詳解】解：延長O尸和AB,交于G點，

?..四邊形ABCD是平行四邊形,ADC//AB,DC=AB^DC//AG,：.^DEC^^GAE

.CEDEDC.CEDEDC_1

'：AC=5,CE=1,AE=AC—CE=5—1=4,

"~AE~~GE~~AG*AE-GE-AG-4

DEDE1.EF_1

又「EF=DE,

GE~EF+FG~4"FG~3

..DCDC1.DC_1.EFDC

DC=AB,

?^G~AB+BG~4*BG~3…而一正一耳

BGFG3BF_FG

----=——AE〃BF,ABGFSAAGE,VAE=4,:,BF=3.故選：B.

AGEG4族一而一W

例5.（23-24九年級上?廣西南寧?階段練習）如圖，AD1BC,垂足為0,BEVAC,垂足為E,AD與世

相交于點八（1）判斷△AQC與是相似三角形嗎？請說明理由；（2）連接即，求證：CD-AB=ACDE；

⑶若A4=3C,DE=3,BD=5,求CD的長.

【答案】⑴AADCS/EC,理由見解析；⑵證明見解析；

【分析】（1）由垂直的定義得到N/4DC=NBEC=90。，再利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可求解；

（2）根據相似三角形的性質和判定定理即可得到求證；（3）利用等腰三角形的“三線合一”定理可得

AE=EC,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出AC長，最后代入=解

方程即可；本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和相似三角形的判定

和性質的應用，能熟練地運用定理進行推理是解題的關鍵.

【詳解】（1）AADCS^BEC,理由如下，

,/AD1BC,BEVAC,ZADC=ZBEC=90°,

?：ZADC=ZBEC=90°,ZACD=ZBCE,：.AADCS&BEC；

⑵由⑴得AADCS^EC,.??翁蔡?噂