專題07三角形中的重要模型之

平分平行（平分射影）構等腰、角平分線第二定理模型

角平分線在中考數學中都占據著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各

大模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點，，本專題就角平分線的非全

等類模型作相應的總結，需學生反復掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

,2

模型L平分平行（射影）構等腰模型,2

模型2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型5

習題練模型

9

例題講模型I]

模型1.平分平行（射影）構等腰模型

模型解讀

角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構造

等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后

還會遇到很多類似總結）。

角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對頂角相等構造等腰。

模型證明

1）角平分線加平行線必出等腰三角形.

條件：如圖1,。。'平分NMON,過。0'的一點尸作尸結論：AOPQ是等腰三角形。

證明：\'PQ//ON,.*.Z1=Z3,Y00,平分/MON,.*.Z2=Z1,

；./2=/3,...OQuP。，...△。尸。是等腰三角形。

條件：如圖2,"BC中，2。是NABC的角平分線，DE//BC。結論：ABDE是等腰三角形。

證明：?:DE//BC,：.ZBDE=ZDBC,是/ABC的角平分線，ZDBE=ZDBC,

：.ZDBE=ZBDE,：.BE=DE,△BOE是等腰三角形。

條件：如圖3,在,ABC中，30平分/ABC,CO平分/ACB,過點。作3c的平行線與AB,AC分別相

交于點M,N.結論：4B0M、ACON都是等腰三角形。

證明：由題意得：MN//BC,：.ZBOM=ZOBC,：8。是/ABC的角平分線，：.ZOBM=ZOBC,

：.ZB0M=ZMB0,：.BM=0M,，△BOM是等腰三角形。同理可得：ACON也是等腰三角形。

2）角平分線加射影模型必出等腰三角形.

條件：如圖4,8E平分NC8A,ZACB=ZCDA=90°.結論：三角形CEF是等腰三角形。

證明：平分NC8A,：.ZCBE=ZABE,VZACB=90°,：.ZCBE+ZCEB=90°,

VZCDA=90°,：.ZABE+ZBFD=90°,'：ZBFD=ZCFE,：.ZABE+ZCFE^90°,

：.ZCEB=ZCFE,：.CF=CE,三角形CE尸是等腰三角形。

模型運用

例1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點8為圓心，以適當長為半

徑作弧，分別交54,BC于點M,":②分別以加，N為圓心，以大于的長為半徑作弧,兩弧在NABC

內交于點。；③作射線8。，交AD于點E,交8延長線于點F.若CD=3,DE=2,下列結論錯誤的是

（）

BE5

A.ZABE=NCBEB.BC=5C.DE=DFD.—=-

EF3

例2.（2024.貴州貴陽?模擬預測）如圖，在VABC中，BC=1,/ABC和N4CB的平分線相交于點O,過

點。作BC的平行線交43于點E,交AC于點尸，若△但'的周長為14,則VABC的周長是（）

A.14B.19C.21D.23

例3.（2023?廣東?八年級期末）如圖，EL43Cr＞中，AB^3cm,BC=5cm,BE平分NA8C交于E點，CF

平分/BCD交于F點，則的長為cm.

例4.（2023春?四川達州?八年級校考階段練習）如圖，在RtAABC中,NACB=90。，CDLAB,垂足為

平分/C48,交C。于點E,交CB于點孔則下列結論成立的是（）

C.CE=CFD.CE=CF=EF

例5.（2023.成都市青羊區八年級期中）如圖，在△MC中，44c=90。，AO_LBC于點。，NABC的平

分線BE交4。于R交AC于E,若AE=3,DF=2,則4)=

例6.（2023九年級?廣東?專題練習）如圖1,在VABC中，/ABC和—ACB的平分線交于點。，過點。作

EF//BC,交A3于E,交AC于E

⑴當3E=5,CF=3,則EF=；⑵當時，若C。是/ACS的外角平分線，如圖2,它

仍然和NABC的角平分線相交于點。，過點。作EF〃BC,交AB于E,交AC于R試判斷EF,BE,CF

之間的關系，并說明理由.

模型2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型

模型解讀

角平分線第二定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。

該定理現在教材里面雖然沒有講，但它在實戰確有很大的作用（可以避免去構造勾股定理或相似），很多時

候能起到事半功倍的良好效果。

模型證明

1）內角平分線定理

條件：如圖，在“3C中，若2。是442c的平分線。結論：BC:AB=CD:AD

證明：作。尸，BC,作。垂足分別為F,H.

-DFBC??

2=BC

：8。是/ABC的平分線，：.DF=DH,則

AD-DHABAB

2

（2）作8E1CA垂足為E,則乎二2BECD_CD.BC_CD

，9

\BAD-BEDAAD~AB~AD

2

條件：如圖2,在△ABC中，NA4C的外角平分線交BC的延長線于點0。結論：ABAC=BI>.CD.

證明：如圖2,過。作CE〃/M.交8A的延長線于

BDBAABBD

*：CE//AD,:—=—,N2=N4,Z1=Z3,VZ1=Z2,.,.N4=N3,：.AE=AC,：.—=—

CDEAACCD

3）奔馳模型

條件：如圖3,一ABC的三邊3C、AC、AB的長分別是a,b,c,其三條角平分線交于點0,將一他C分

為二個二角形。結論：ABO-BCO?^,CAO=C:a：bo

證明：過點。作OD，3c于點O,作OE1AC于點E,作WLAB于點P.

由題意知：OA,OB,0c是,ABC的三條角平分線，OD±BC,OE1AC于，OF1AB:.OD=OE=OF,

ABC的三邊A3、BC、AC長分別為a,b,c,

SABO:SBC0:SCAO=（ixcxOF）:（—axOD）:（ix￡>xOE）-c：a：b.

模型運用

例1.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在一MC中，ZC=90°,=30°,以點A為圓心，適當長為

半徑畫弧分別交A民AC于點M和點N,再分別以點M,N為圓心，大于gMN的長為半徑畫弧，兩弧交于

點尸，連接AP并延長交8C于點Q.若LACD的面積為8,則的面積是（）

例2.（2023?四川瀘州?八年級統考期中）如圖，一ABC的三邊AB、BC、C4長分別是10、15、20.其三條

角平分線交于點。，將他C分為三個三角形，SA6O：SBCO：SCAO等于（）

A.1:1:2B.1:2:3C.2:3:4D.1:2:4

例3.（23-24九年級上.吉林?期末）已知VABC,A￡）是一條角平分線.

【探究發現】如圖①，若AD是-A4c的角平分線.可得到結論：空=%

ACDC

小紅的解法如下：過點。作于點E,DF上AC于點F,過點A作AGLBC于點G,

：是254C的角平分線，且/組1筋，DF±AC,：..

q-ABxDEc-BDxAGg

?、4ABD__2_________▽.._2_________處

乂，S-1-CD

,△ADC-ACxDF。△血-CDxAG3

22

AB_BD

【類比探究】如圖②，若AD是NBA。的外角平分線,AD與5c的延長線交于點。.求證:

AC-DC

圖①圖②

例4.(23-24九年級上?湖南婁底?期末)一次數學綜合實踐活動課上，小慧發現并證明了關于三角形角平分

線的一個論證.如圖1,已知AO是VABC的角平分線，可證若=黑.小慧的證明思路是：如圖2,過點

AC

C作CE〃AB,交AD的延長線于點E,構造相似三角形來證明嚶=黑

ACCD

(1)嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明K=

CD

(2)應用拓展：如圖3,在RtZXABC中，ABAC=90°,。是邊3C上一點.連接AT),將ACD沿AD所在直

線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處.

①若AC=1,AB=3,求DE的長；②若BC=k,ZAED=a,求￡)E的長(用含左與。的代數式表示).

例5.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）【問題初探】

在數學活動課上，張老師給出如下問題:“如圖1,在VABC中，AD是VABC的角平分線，求證：*=黑”,

ACZJC-

有兩名同學給出了不同的解答思路：

①如圖2,小麗同學從結論出發給出如下解題思路：過點C作的平行線交AO的延長線于點E,運用等

腰三角形和相似等知識解決問題.

②如圖3,小強同學從“AD是VABC的角平分線”給出了另一種解題思路:在AC上截取AF=，連接DF,

過點C作。9的平行線交的延長線于點G,也是利用相似等知識解決問題.

（1）請你選擇一名同學的解答思路，寫出證明過程.

【類比分析】張老師發現之前兩名同學都運用了轉化思想，將兩組線段比值問題轉化為兩三角形相似的對

應邊的比.為了幫助學生更好地領悟這種轉化思想，張老師將問題進行了改編，提出下面問題，請你解答.

（2）如圖4,若△ACB的外角一。場平分線AD交BC的延長線于點，求證：器=器?

ACU（_z

4

【學以致用】（3）如圖5,在四邊形458中，AD=-,CS=4,AB=2,ZABC=90°,AD//BC,BE平

分NABC,求BE的長.

習題練模型］

1.（2024?湖南懷化?一模）如圖，以直角VABC的一個銳角的頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交直

角邊于點。，交斜邊AC于點￡,再分別以點E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點R

2

作射線AF交邊BC于點G,若AB=3,BC=4,用S.表示VABC的面積（其它同理），則沁（）

>ACG

2.（23-24八年級上?陜西西安.階段練習）如圖，VABC中，/ABC與-4CB的平分線交于點片過點尸作

DE〃BC交A3于點。，交AC于點E,那么下列結論:?NBDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；

③VADE的周長等于AB與AC的和；④BF>CE；⑤若NA=80。，則N3FC=130。.其中正確的有（）

A.①②③⑤B.①③④⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

3.（2023春?山東淄博?九年級校考期中）如圖，ABC中，ZABC=90°,點/為ABC各內角平分線的交點,

過/點作AC的垂線，垂足為若BC=3,AB=4,AC=5,那么出的值為（）

35

A.1B.—C.2D.一

22

4.（2023春?湖南岳陽?八年級統考期末）如圖，AE,3。是,ABC的角平分線，相交于點0,0戶，

于尸，ZC=60°,下列四個結論：①ZAOB=120。；@AD+BE=AB；③若C的周長為加,。/=〃，則

SABC=mn.④若OE：Q4=1：3,則OD:O3=2:3.其中正確的結論有（）個.

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?江蘇宿遷?八年級校考期末）如圖，在Rt_ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為D,■平分

交CO于點E,交CB于點、F.若AC=3,AB=5,則CE的長為（）

AD

5

A.-B.3C.-D.-

235

6.（23-24山西八年級期中）如圖在YABCD中，/ABC的角平分線破交AD于E,若CD=3,ED=2,

則平行四邊形A8CD的周長為（）

AE

—

A.15B.16C.17D.18

7.（2024?陜西寶雞?二模）如圖，OE是VABC的中位線，/ACB的角平分線交DE于點F,AC=12,BC=18,

則。尸的長為（）

A

ArQ

8.（24-25九年級上?廣東?課后作業）如圖，在VABC中，平分N54C交BC于點。.若AB=4,—=j,

則BD=.

BDC

9.（23-24八年級上?四川綿陽?期末）如圖，在等腰AABC中，AB=BC=a,CE=b,N8AC和/ABC的平分線

分別為AD,BE相交于點O,AD交BC于點、D,3E交AC于點E,過點。作于尸，若OF=c,貝UAABC

的面積為.

10.（2023春?陜西咸陽?八年級校考階段練習）如圖，在ABC中，ZB=60°,NC=50。，點。為ABC的邊

SAE

BC上一點，點區G分別在邊AB、AC±,連接AD、DE、DG,若背皿=:六，則，ADC的度數為一

11.（2024.天津?八年級校考期中）如圖，在」1BC中，AD是/54c的平分線，延長AD至E,使

若筋=3AC,△3￡史的面積為9,則ABC的面積是

12.（2023?遼寧鞍山?八年級統考期中）如圖，已知點E是C。上一點，AE平分NA4￡）,BE平

分—ABC,延長8E交4D的延長線于點F①.ABE會qAFE；②E為。的中點；③若AD=3,BC=1,

則AF=1O；④若四邊形ABC。的面積為27,MAE=1B￡,則成的長為18,其中正確的結論有.

13.（2023春?貴州畢節?八年級期末）如圖，.ABC的三邊Afi、BC、C4長分別是20、30、40,其三條角平

分線將.ABC分成三個三角形，則SABO：Sbco:S必。等于.

ABBD

14.（23-24九年級下?江蘇南京?自主招生）（1）若AD為/B4C的角平分線，求證:

ACCD

AP2BP

(2)己知，ZABC=ZADC=90°,ABAC=30°,/ZMC=450,求證:

CPDP

H

(7)

15.（22-23八年級上?浙江杭州?期末）如圖，在RtABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,CD是NACB

的角平分線，點E,尸分別是邊AC,2C上的動點（不與點A,B,C重合），連結DE,DF.

（1）右分別記Z\BCD,ACD的面積為^ABCD,SAACD，求^/\BCD-^AACD的值.

⑵設AE=x,BF=y,①若390七+=S四邊形尸，求無+》的值.

20

②若%^+%中尸=豆，％-y=2,請判斷V3D尸的形狀，并說明理由.

16.（2024?吉林長春?三模）如圖①，2。是VA3C的角平分線.數學興趣小組發現結論：器=器.經過

討論得到如下3種證明思路:

思路1：過點。向NA4C兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結論；

思路2：過點C作4B的平行線，與4D的延長線相交，利用三角形相似證出結論；

思路3：過點C作D4的平行線，與54的延長線相交，利用平行線分線段成比例證出結論.

（1）請參考以上3種證明思路，選擇其中一種證出結論;

（2）在圖①中，40是VABC的角平分線.若AB=6,AC=4,BC=1,貝!JBO的長度為

BF3RF

⑶如圖②，在VMC中，44C@,VABC的角平分線皿CE相交于點八若法方則/的值為——

17.（22-23九年級上?吉林長春?階段練習）［感知］如圖①所示，在等腰VABC中，AB=AC,AZ）平分NB4C,

易噎叔

（不需要證明）

（1）［探究］如圖②所示，李麗同學將圖①的等腰VABC改為任意VABC,AO平分N54C,他通過觀察、測量，

rri

猜想==三仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學進行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：

ABDB

方法1：過點。分別作小工至于點E,叱1AC于點R利用△ABD與,ACD的面積比證明結論.

方法2：過點B作成〃AC交AO延長線于點E,利用一C4n與BED相似證明結論.

請你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明.

（2）［應用］如圖③所示，在RtAA5C中，ZACB=90°,AB=13,AC=5,平分/54C.若點E在邊A8

上，=CE交4。于點/，則二=______.

3FA

18.（2023?浙江紹興?模擬預測）小明在學習角平分線知識的過程中，做了進一步探究：如圖1,在VABC中,

4AC的平分線交BC于點0發現器=器

小明想通過證明來驗證這個結論.證明：延長BA至E,

使得AC=AE,…請你完成上述證明過程:

結論應用：已知在VA3C中，ZC=30°,4B=a,BC邊上有一動點。，連結AD,點B關于AD的對稱點

為點，連結交2c于點E.

⑴請你完成發現中的證明過程；（2）如圖2當a=30。，AB'IBC,求絲的值；

DE

（3）如圖3當c=45。，與VABC的邊垂直時，求我的值.

19.（23-24九年級上?江蘇泰州?階段練習）“關聯”是解決數學問題的重要思維方式.角平分線的有關聯想就

有很多…

【問題提出】（1）如圖①，PC是的角平分線，求證篙==.

小明思路：關聯“平行線、等腰三角形”，利用“三角形相似”.

小紅思路：關聯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等“，利用“等面積法”.

請根據小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明.

pA

【作圖應用】（2）如圖②，A3是。的弦，在優弧A3上作出點P,使得金=3.

要求：①用直尺和圓規作圖；②保留作圖的痕跡.

【結論應用】（3）在VABC中，最大角NA是最小角/C的2倍，且AB=3,AC=4,求8c.

20.（23-24九年級上?山東濟寧?階段練習）如圖1,VABC的角平分線AD交3c于點。.

⑴①求證：sABD:SACD=AB-.AC；②求證：AB:AC=BD:CD；

（2）①在圖2中，作出VABC的外接圓（。；（用尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

②延長AD交VABC的外接圓于點尸，連接8尸，請補充完圖形，并利用此圖證明AhUAB.AC-BD.C。.

專題07三角形中的重要模型之

平分平行（平分射影）構等腰、角平分線第二定理模型

角平分線在中考數學中都占據著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各

大模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點，，本專題就角平分線的非全

等類模型作相應的總結，需學生反復掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

,2

模型L平分平行（射影）構等腰模型,2

模型2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型5

習題練模型

9

例題講模型I]

模型1.平分平行（射影）構等腰模型

模型解讀

角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構造

等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后

還會遇到很多類似總結）。

角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對頂角相等構造等腰。

模型證明

1）角平分線加平行線必出等腰三角形.

條件：如圖1,。。'平分NMON,過。0'的一點尸作尸結論：AOPQ是等腰三角形。

證明：\'PQ//ON,.*.Z1=Z3,Y00,平分/MON,.*.Z2=Z1,

；./2=/3,...OQuP。，...△。尸。是等腰三角形。

條件：如圖2,"BC中，2。是NABC的角平分線，DE//BC。結論：ABDE是等腰三角形。

證明：?:DE//BC,：.ZBDE=ZDBC,是/ABC的角平分線，ZDBE=ZDBC,

：.ZDBE=ZBDE,：.BE=DE,△BOE是等腰三角形。

條件：如圖3,在,ABC中，30平分/ABC,CO平分/ACB,過點。作3c的平行線與AB,AC分別相

交于點M,N.結論：4B0M、ACON都是等腰三角形。

證明：由題意得：MN//BC,：.ZBOM=ZOBC,：8。是/ABC的角平分線，：.ZOBM=ZOBC,

：.ZB0M=ZMB0,：.BM=0M,，△BOM是等腰三角形。同理可得：ACON也是等腰三角形。

2）角平分線加射影模型必出等腰三角形.

c

條件：如圖4,BE平分/CBA,ZACB=ZCDA=9Q°.結論：三角形CEE是等腰三角形。

證明：?.?8￡平分/。84,/.ZCBE=ZABE,VZACB=90°,：.ZCBE+ZCEB=90°,

VZC￡)A=90°,/.ZABE+ZBFD=90°,VZBFD=ZCFE,：./ABE+/CFE=9。。,

AZCEB=ZCFE,:.CF=CE,三角形CEF是等腰三角形。

模型運用

例1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在YA5CD中，按以下步驟作圖：①以點8為圓心，以適當長為半

徑作弧，分別交W,8C于點M,":②分別以加，N為圓心，以大于:的長為半徑作弧,兩弧在—ABC

內交于點。；③作射線30,交AD于點E,交8延長線于點若CD=3,DE=2,下列結論錯誤的是

Ml

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.—=一

EF3

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的尺規作圖、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及相似性質與判定的綜

合.先由作圖得到M為，ABC的角平分，利用平行線證明NAEB=NABE,從而得到AE=AB=CD=3,

BE3

再利用平行四邊形的性質得到5C=AE）=24￡+￡0=3+2=5,再證明△AEBS/XOE?,分別求出---=—,

EF2

DF=2,則各選項可以判定.

【詳解】解：由作圖可知，即為/ABC的角平分，??.N/W=NCBE,故A正確；

???四邊形ABCD為平行四邊形，：.AD=BC,AB=CD,ADBC,

?:AD〃BCZAEB=NCBE,：.ZAEB=ZABE,

：.AE=AB=CD=3f：.BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確;

VAB=CD,：.ZABE=ZF,VZAEB=ZDEF,：.AA￡B^AflEF,

VDE=2,：.DE=DF,故C正確，故選：D.

例2.（2024?貴州貴陽?模擬預測）如圖，在VABC中，3c=7,/ABC和—ACB的平分線相交于點。，過

點。作BC的平行線交于點E,交4c于點/，若△AEF的周長為14,則VABC的周長是（）

A.14B.19C.21D.23

【答案】C

【分析】本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質，角平分線定義.由角平分線的定義得到NEBD=NCBD,

由平行線的性質得到=因此NED3=NEBD,推出EE>=￡B,同理：FD=FC,于是得到

BE+CF=DE+DF=EF,由的周長=AE+AF+EE=AB+AC=14,即可求出VABC的周長

=AC+AB+BC=14+1=21.

【詳解】解：QBD平分/ABC,:.ZEBD=ZCBD,

'：EF//BC,:2EDB=NDBC,:.ZEDB=ZEBD,:.ED=EB,

同理：FD=FC,BE+CF=DE+DF=EF,

^,AEF^^-^=AE+AF+FE=AE+AF+BE+CF=AB+AC=14,

：.ABC的周長=AC+AB+BC=14+7=21.故選：C.

例3.（2023?廣東?八年級期末）如圖，EIABC。中，AB^3cm,BC=5cm,BE平分/ABC交AD于E點、,CF

平分/BCD交于尸點，則EF的長為cm.

AFED

【答案】1

【分析】根據角平分線的概念、平行線的性質及等腰三角形的性質，可分別推出AE=AB,DF=DC,進而推

出EF=AE+DF-AD.

【詳解】?.,四邊形A8CZ）是平行四邊形，:./AEB=/EBC,AD=BC=5cm,

「BE平分/ABC,/.ZABE=ZEBC,貝!|/ABE=NAEB,

,,.AB=AE=3cm,同理可證：DF=DC=AB=3cm,

則EP=AE+尸。-AO=3+3-5=lcw.故答案為：1.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，關鍵是運用角平分線的概念和平行線的性質，由等角推出等邊.

例4.（2023春?四川達州?八年級校考階段練習）如圖，在RtAABC中，NACB=90。，CDLAB,垂足為

AE平分NCA8,交C。于點E,交CB于點、F,則下列結論成立的是（）

【答案】C

【分析】求出NCAF=/BAF,ZB=ZACD,根據三角形外角性質得出NCEF=NCFE,即可得出答案;

【詳解】：在R3ABC中，ZACB=90°,CD_LAB,AZCDB=ZACB=90°,

:.NACD+/BCD=90°,/BCD+/B=90°,；.NACD=NB,

：AF平分/CAB,/.ZCAE=ZBAF,AZACD+ZCAE=ZB+ZBAF,

.".ZCEF=ZCFE,.\CE=CF.故選C.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的判定，正確的識別圖形是解題的關鍵.

例5.（2023.成都市青羊區八年級期中）如圖，在八4BC中，ZBAC=90°,3c于點。，NABC的平

分線8E交于凡交AC于E,若AE=3,DF=2,則4）=.

【答案】5

【詳解】由角度分析易知=即AE=A廠，

'/AE^3；.AF=3VDF=2：.AD^AF+DF^5

【點睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型.

例6.（2023九年級?廣東?專題練習）如圖1,在VABC中，NABC和NACB的平分線交于點。，過點。作

EF//BC,交A3于E,交AC于F.

AA

C

圖2

⑴當3E=5,CF=3,則EF=__________；（2）當8E>CF時，若CO是NACB的外角平分線，如圖2,它

仍然和NABC的角平分線相交于點。，過點。作E產〃BC,交A3于E,交AC于F,試判斷EF,BE,CF

之間的關系，并說明理由.

【答案】（1）8（2）跖=3E-CF,見解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義等知識，利用角平分

線和平行線證明等腰三角形是解題的關鍵.（1）由平行線的性質和角平分線的定義可證

BE=OE=5,OF=CF=3,即可得出答案；（2）與（1）同理由平行線的性質和角平分線的定義可證.

【詳解】（1）解：?/EF//BC,：.?EOBfiDBC,FOC=?OCB,

：/ABC和NACB的平分線交于點O,?EBOWBC,FCO=?BCO,

：.?EBOWOB,FOC=7FCO,：.BE=OE=5,OF=CF=3,

：.EF=EO+FO=8,故答案為：8；

（2）EF=BE-CF,理由如下：：3。平分—ABC,:.ZABO=NOBC,

VEO//BC,；.NEOB=NOBC,：.ZABO=ZEOB,

：.BE=EO,同理可得FO=CF,AEF=EO-FO=BE-CF.

模型2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型

模型解讀

角平分線第二定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。

該定理現在教材里面雖然沒有講,但它在實戰確有很大的作用（可以避免去構造勾股定理或相似），很多時

候能起到事半功倍的良好效果。

模型證明

1）內角平分線定理

BBB

證明:作￡）尸，8C,作。H1AB垂足分別為尸，H.

-DFBC??

則X2=BC

BD是ZABC的平分線，：.DF=DH,

\BAD-DHABAB

2

-BECD5

（2）作8E1CA垂足為E,則乎亞2_CDBCCD

\BADABAD

2BEDA

條件:如圖2,在AABC中，NBAC的外角平分線交的延長線于點結論：AB:AC=BD-.CD.

證明:如圖2,過C作CE〃/M.交84的延長線于E,

BDBAABBD

?/CE//AD,——=—,N2=N4,Z1=Z3,VZ1=Z2,AZ4=Z3,：.AE=AC,：.

CDEA^C~~CD

3）奔馳模型

條件：如圖3,一ABC的三邊3C、AC、AB的長分別是a,b,c,其三條角平分線交于點0,將一他C分

為二個二角形。結論：ABO-BCO?^,CAO=C:a：bo

證明：過點。作OD，3c于點O,作OE1AC于點E,作WLAB于點P.

由題意知：OA,OB,0c是,ABC的三條角平分線，OD±BC,OE1AC于，OF1AB:.OD=OE=OF,

ABC的三邊A3、BC、AC長分別為a,b,c,

SABO:SBC0:SCAO=（ixcxOF）:（—axOD）:（ix￡>xOE）-c：a：b.

模型運用

例1.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在一MC中，ZC=90°,=30°,以點A為圓心，適當長為

半徑畫弧分別交A民AC于點M和點N,再分別以點M,N為圓心，大于gMN的長為半徑畫弧，兩弧交于

點尸，連接AP并延長交8C于點Q.若LACD的面積為8,則的面積是（）

【答案】B

【分析】本題考查了尺規作圖，含30。的直角三角形的性質，等腰三角形的判定等知識，由作圖知AD平分

/BAD,則可求/G4D=/ZMB=3O。，利用含30。的直角三角形的性質得出CO=gA。，利用等角對等邊

得出AT>=BD,進而得出。=3即，然后利用面積公式即可求解.

【詳解】解：-：ZC=90°,ZB=30°,：.ZCAB=60°,由作圖知：AD平分2A4￡）,

/.ZCAD=ZDAB=30°,：.CD=^AD,/R=/RAD,

：.AD=BD,：.CD=-BD,：.

2SABD2BDACBD2

又，ACD的面積為8,.?.△ABO的面積是2x8=16,故選B.

例2.（2023?四川瀘州?八年級統考期中）如圖，"C的三邊AB、BC、C4長分別是10、15、20.其三條

角平分線交于點。，將71BC分為三個三角形，SABO：SBCO：SCAO等于（）

B

A.1:1:2B.1:2:3C.2:3:4D.1:2:4

【答案】C

【分析】過。點作“LAB,OE±BC,OFLAC,垂足分別為。，E,F,根據角平分線的性質可知

OD=OE=OF,再利用三角形的面積公式計算可求解.

【詳解】解：過。點作OEtBC,OFVAC,垂足分別為。，E,F,

ABC的三條角平分線交于點O,?.OD=OE=O方，AB=10,BC=\5,C4=20,

??SABO-SBCO：SCAO=~,OD:—BC'OE:—AC-OF=10:15:20=2:3:4.故選C.

【點睛】本題考查角平分線的性質，三角形的面積，利用角平分線的性質求得8=0石=。9是解題的關鍵.

例3.（23-24九年級上?吉林?期末）已知VABC,AD是一條角平分線.

【探究發現】如圖①，若AD是，A4c的角平分線.可得到結論：普=空.

ACDC

小紅的解法如下：過點。作小上至于點E,DF義AC于點F,過點A作AGLBC于點G,

；AD是2B4C的角平分線，且DFJ.AC,：.

q-ABxDEQ—BD義AG口八

3△ASO__2________???S?BD=2_________BD

乂?q1CD

S^ADC-ACXDF。△亞-CDxAGs

22

AB_BD

【類比探究】如圖②，若