專題11平面直角坐標系與函數基礎知識

一、單選題

（2024?江西?中考真題）

1.將常溫中的溫度計插入一杯60℃的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數y（℃）與時間x（min）

2.敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積表》部分

如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60

步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率.如圖2是復原的部分《田積表》,

表中對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝,

用有序數對記為（15,16）,那么有序數對記為（12,17）對應的田地面積為（）

20步19步18步17步16步15步14步13步⑶夢II步10步

一百六十-ti20步

,I'-rtr羋由

八十七

0黑七步I-19步

九七十

18步

17^-

16少

A

15歲

14歲

13步

12步

11步

圖1圖2

A.一畝八十步B.一畝二十步C.半畝七十八步D.半畝八十四步

（2024?山東威海?中考真題）

3.定義新運算：

①在平面直角坐標系中，｛。力｝表示動點從原點出發，沿著x軸正方向（。20）或負方向

（a<0）.平移忖個單位長度，再沿著y軸正方向"20）或負方向（6<0）平移同個單

位長度.例如，動點從原點出發，沿著X軸負方向平移2個單位長度，再沿著y軸正方向平

移1個單位長度，記作{-2,1}.

②加法運算法則：{a，M+{c,d}={a+c,b+d},其中。，b,c,d為實數.

若{3,5}+{%,〃}={-1,2},則下列結論正確的是（）

A.m=2fn=lB.m=-A,n=-3

C.m=4,n=3D.m=-4,n=3

（2024?廣西?中考真題）

4.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點P的坐標為（2,1）,則點Q的坐標為（）

A.（3,0）B.（0,2）C.（3,2）D.（1,2）

（2024.四川廣元?中考真題）

5.如果單項式-與單項式2尤為2f的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標系中點

（根,〃）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2024?四川廣安?中考真題）

6.向如圖所示的空容器內勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容器注滿.在注

水過程中，設容器內底部所受水的壓強為y（單位：帕），時間為無（單位：秒），則y關于

試卷第2頁，共10頁

7.如圖1,“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計.全套“燕

幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等.七張桌

面分開可組合成不同的圖形.如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若

設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為（）

旅

欣

賞

佑

原

本

圖1圖2

A.y=3xB.y=4xC.y=3x+lD.y=4x+\

（2024.內蒙古包頭.中考真題）

8.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形Q4BC各頂點的坐標分別是。（0,0）,A（l,2）,B（3,3）,

C（5,O）,則四邊形Q4BC的面積為（）

（2024?廣西?中考真題）

9.激光測距儀乙發出的激光束以3xl05km/s的速度射向目標M,ts后測距儀L收到〃反射

回的激光束.則L到M的距離而〃與時間rs的關系式為（）

A.B.d=3xlO"C.J=2X3X105ZD."=3X10“

2

（2024?湖北武漢?中考真題）

10.如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水.下

列圖象能大致反映水槽中水的深度/?與注水時間r的函數關系的是（）

n.化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發生沉降,

從而達到凈水的目的.實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法

B.未加入絮凝劑時，凈水率為0

C.絮凝劑的體積每增加0.1mL,凈水率的增加量相等

D.加入絮凝劑的體積是0.2mL時，凈水率達到76.54%

試卷第4頁，共10頁

（2024?湖南?中考真題）

12.在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x,y）,若x,y均為整數，則稱點P為“整點”.特

別地，當三（其中沖20）的值為整數時，稱“整點”尸為“超整點”，已知點P（2“-4,a+3）在

第二象限，下列說法正確的是（）

A.a<-3B.若點P為“整點”，則點尸的個數為3個

C.若點尸為“超整點”，則點尸的個數為1個D.若點尸為“超整點”，則點P到兩坐標軸的

距離之和大于10

（2024?湖北武漢?中考真題）

13.如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數>=尤3-3元2+3X-1的圖如發現它關于點（1,0）中

心對稱.若點4（。［，%），4（0.2,%），4（0.3,%），……,心（1.9,%9），40（2,必0）都在函

數圖象上，這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,則%+%+%+……+%+%0的值是

（）

A.-1B.-0.729C.0D.1

（2024?山東威海?中考真題）

14.同一條公路連接A,B,C三地，B地在A,C兩地之間.甲、乙兩車分別從A地、B

地同時出發前往C地.甲車速度始終保持不變,乙車中途休息一段時間，繼續行駛.下圖表

示甲、乙兩車之間的距離y（km）與時間X（h）的函數關系.下列結論正確的是（）

y/kmf

°1234次

Q

A.甲車行駛］h與乙車相遇IJ.A,C兩地相距220km

C.甲車的速度是70km/hD.乙車中途休息36分鐘

（2024?四川涼山?中考真題）

15.勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿.在注水過程中，容器內水面高度〃

隨時間/變化的大致圖象是（）

（2024?河南?中考真題）

16.把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線會明顯發

熱，存在安全隱患.數學興趣小組對這種現象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中

的電流/與使用電器的總功率尸的函數圖象（如圖1）,插線板電源線產生的熱量。與/的函

數圖象（如圖2）.下列結論中錯誤的是（）

圖1圖2

A.當尸=440W時，/=2AB.。隨/的增大而增大

C./每增加1A,0的增加量相同D.P越大，插線板電源線產生的熱量。越多

（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）

17.已知某同學家、體育場、圖書館在同一條直線上.下面的圖象反映的過程是：該同學從

家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館.圖中用

x表示時間，y表示該同學離家的距離.結合圖象給出下列結論：

試卷第6頁，共10頁

（1）體育場離該同學家2.5千米；

（2）該同學在體育場鍛煉了15分鐘；

（3）該同學跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的L5倍，貝匹的值是3.75；

其中正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）

18.點P（x,y）在直線>=-：尤+4上，坐標（x,y）是二元一次方程5尤-6y=33的解，則點尸的

位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2024.河北?中考真題）

19.平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和

點”.將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當

余數為。時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移

1個單位長度.

例：“和點”尸（2,1）按上述規則連續平移3次后，到達點月（2,2）,其平移過程如下:

右上左

P（2,1）—^R（3,1）~AP2⑶2）-AP3⑵2）

余0余1余2

若“和點”。按上述規則連續平移16次后，到達點。6（-1，9），則點。的坐標為（）

A.（6,1）或（7,1）B.（15,-7）或（8,0）C.（6,0）或（8,0）D.（5,1）或（7,1）

二、填空題

（2024?湖北?中考真題）

20.鐵的密度約為7.9kg/cm3,鐵的質量〃?（kg）與體積1（cn?）成正比例.一個體積為10cn?

的鐵塊，它的質量為kg.

（2024?山東?中考真題）

21.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2.反

復進行上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環圈1-4一2-1,這就是“冰雹猜想”.在

平面直角坐標系中，將點（x,y）中的x,V分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的

點的橫、縱坐標，其中x,'均為正整數.例如，點（6,3）經過第1次運算得到點（3,10）,經

過第2次運算得到點（10,5）,以此類推.則點（1,4）經過2024次運算后得到點.

三、解答題

（2024?浙江?中考真題）

22.小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉.小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中

間休息了兩次.跑步機上C檔比2檔快40米/分、2檔比A檔快40米/分.小明與小麗的跑

步相關信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間f（分）的函數關系如圖所示.

時間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00?16:50不分段A檔4000米

第一段8檔1800米

第一次休息

小麗16:10?16:50第二段2檔1200米

第二次休息

第三段C檔1600米

試卷第8頁，共10頁

（2）求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；

（3）小麗第二次休息后，在。分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值.

（2024?北京?中考真題）

23.小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數學知識和人工智

能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，

當1號杯和2號杯中都有VmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度％（單位：cm）和

2號杯的水面高度兒（單位：cm）,部分數據如下:

V/mL040100200300400500

力i/cm02.55.07.510.012.5

/cm02.84.87.28.910.511.8

（1）補全表格（結果保留小數點后一位）;

（2）通過分析數據，發現可以用函數刻畫可與V,為與V之間的關系.在給出的平面直角坐標

系中，畫出這兩個函數的圖象;

A〃/cm

V/mL

（3）根據以上數據與函數圖象，解決下列問題：

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為

cm（結果保留小數點后一位）；

②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其

水面高度約為cm（結果保留小數點后一位）.

試卷第10頁，共10頁

參考答案:

1.c

【分析】本題考查了函數圖象，根據溫度計上升到一定的溫度后不變，可得答案；注意溫度

計的溫度升高到60℃時溫度不變.

【詳解】解：將常溫中的溫度計插入一杯60℃(恒溫)的熱水中，注意溫度計的溫度升高

到60℃時溫度不變，故C選項圖象符合條件，

故選：C.

2.D

【分析】根據(15,16)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可.

本題考查了坐標與位置的應用，熟練掌握坐標與位置的應用是解題的關鍵.

【詳解】根據(15,16)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，

故(12,17)對應的是半畝八十四步，

故選D.

3.B

【分析】本題考查了新定義運算，平面直角坐標系，根據新定義得出3+m=-1,5+”=2,

即可求解.

【詳解】解：：{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},{3,5}+{???,?}={-1,2}

3+=—1,5+〃=2

解得：m=-4,n=-3

故選：B.

4.C

【分析】本題主要考查點的坐標，理解點的坐標意義是關鍵.根據點尸的坐標可得出橫、

縱軸上一格代表一個單位長度，然后觀察坐標系即可得出答案.

【詳解】解：：點尸的坐標為(2,1),

???點。的坐標為(3,2),

故選：C.

5.D

【分析】本題主要考查同類項和確定點的坐標，根據同類項的性質求出雙”的值，再確定點

答案第1頁，共11頁

(根,外的位置即可

【詳解】解：???單項式-彳如丁與單項式2丁丁-”的和仍是一個單項式,

???單項式--"V與單項式2/丁一"是同類項，

：.2m=4,2—〃=3,

解得，m=2,n=-l,

...點(〃?,〃)在第四象限，

故選：D

6.B

【分析】此題主要考查了函數圖象.由于壓強與水面的高度成正比，而上下兩個容器粗細不

同，那么水面高度/z隨時間x變化而分兩個階段.

【詳解】解：最下面的容器較粗，那么第一個階段的函數圖象水面高度力隨時間X的增大而

增長緩慢，用時較長，即壓強y隨時間X的增大而增長緩慢，用時較長，

最上面容器最小，則壓強y隨時間尤的增大而增長變快，用時最短.

故選：B.

7.B

【分析】本題主要考查了列函數關系式，觀察可知，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長

是2x,再根據長桌的長等于小桌的長加上2倍的小桌的寬列出對應的函數關系式即可.

【詳解】解：由題意可得，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是2x,

y=x+x+2x=4x,

故選：B.

8.D

【分析】本題考查了坐標與圖形，過A作AM_LOC于過B作3NLOC于N,根據4、

B、C的坐標可求出OM,AM,MN,BN,CN,然后根據S四邊形0ABe=S-AOM+S梯形+SaBCN

求解即可.

【詳解】解：過4作40，。。于M,過2作BNL0C于N,

答案第2頁，共11頁

V0(0,0),4(1,2),8(3,3),C(5,o),

OM=1,AM=2,ON=BN=3,CO—5,

：.MN=ON-OM=2,CN=OC-ON=2f

???四邊形OABC的面積為S4AoM+S梯形AMN8+SdBCN

=—xlx2+—x(2+3)x2+—x3x2

22''2

=9,

故選：D.

9.A

【分析】本題考查列函數關系式，熟練掌握路程=速度x時間是解題的關鍵.根據路程=速

度x時間列式即可.

【詳解】解：d=Lx3xl()5，=絲巴f,

22

故選：A.

10.D

【分析】本題考查了函數圖象；根據題意，分3段分析，即可求解.

【詳解】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢,

再往上則水面上升更慢，

所以對應圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩.

故選：D.

11.D

【分析】本題考查從圖像上獲取信息，能從圖像上獲得信息是解題的關鍵，根據圖像信息對

選項進行判斷即可

【詳解】A、從圖像上可以看到，加入絮凝劑的體積在0.5mL達到最大凈水率，之后凈水率

開始降低，不符合題意，選項錯誤；

B、未加入絮凝劑時，凈水率為12.48%,故不符合題意，選項錯誤；

答案第3頁，共11頁

C、當絮凝劑的體積為0.3mL時，凈水率增加量為84.60%-76.54%=8.06%,絮凝劑的體積

為。4mL時，凈水率增加量為86.02%-84.60%=1.42%；故絮凝劑的體積每增加0.1mL,凈

水率的增加量不相等，不符合題意，選項錯誤；

D、根據圖像可得，加入絮凝劑的體積是0.2mL時，凈水率達到76.54%,符合題意，選項

正確；

故選：D

12.C

【分析】本題考查了新定義，點到坐標軸的距離，各象限內點的特征等知識，利用各象限內

點的特征求出。的取值范圍，即可判斷選項A,利用“整點”定義即可判斷選項B,利用“超

整點”定義即可判斷選項C,利用“超整點”和點到坐標軸的距離即可判斷選項D.

【詳解】解：：點夕(2。-4,。+3)在第二象限，

.j2fl-4<0

+3>0

-3<a<2,故選項A錯誤；

:點尸(2a-4,a+3)為“整點”，-3<a<2,

整數。為一2,-1,0,1,

點P的個數為4個，故選項B錯誤；

“整點”尸為(-8,1),(-6,2),(T3),(-2,4),

..J__3___3

.耳一8’~6~3，-4-4’三一

「超整點”尸為(-2,4),故選項C正確；

:點尸(2a-4,a+3)為“超整點”，

二點尸坐標為(-2,4),

點P到兩坐標軸的距離之和2+4=6,故選項D錯誤，

故選：C.

13.D

【分析】本題是坐標規律題，求函數值，中心對稱的性質，根據題意得出

%+%+%+…%+為…+%9=。，進而轉化為求知+必0，根據題意可得為)=。，%0=1，

答案第4頁，共11頁

即可求解.

【詳解】解：,?.這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,

,0.1+1.90.2+1.80.9+1.1,

??==???-1,

222

%+%+%%+如^%=°，

-1.%+%+%+……+%+%0=%+%0，而Ao（l，°）即％。=。，

Vy=x3-3x2+3x-l,

當尤=0時，y=-l,即（0,—1）,

V（。,-1）關于點（1,0）中心對稱的點為（2,1）,

即當x=2時，y20=1,

；?%+%+%+....+%9+%。=Xo+%o=°+1=1，

故選：D.

14.A

【分析】本題考查了函數圖象，根據函數圖象結合選項，逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：根據函數圖象可得A3兩地之間的距離為40-20=20(km)

兩車行駛了4小時，同時到達C地，

如圖所示，在1-2小時時，兩車同向運動，在第2小時，即點。時，兩車距離發生改變，此

時乙車休息，

E點的意義是兩車相遇，尸點意義是乙車休息后再出發，

設甲車的速度為akm/h,乙車的速度為Akm/h,

根據題意，乙車休息后兩車同時到達C地，則甲車的速度比乙車的速度慢，a<b

?/26+20-2。=40

答案第5頁，共11頁

即b—a=10

在DE-EF時，乙車不動，則甲車的速度是絲產=60km/h,

乙車速度為60+10=70km/h,故C不正確，

二AC的距離為4x60=240千米，故B不正確，

設x小時兩輛車相遇，依題意得，60x=2x70+20

QO

解得：x=j即1小時時，兩車相遇，故A正確

故選：A.

15.C

【分析】本題考查了函數圖象，根據容器最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最

上面圓柱底面積最較大即可判斷求解，正確識圖是解題的關鍵.

【詳解】解：由容器可知，最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最上面圓柱底面

積最較大，所以一開始水面高度//上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快點，

故選：C.

16.C

【分析】本題考查了函數的圖象，準確從圖中獲取信息，并逐項判定即可.

【詳解】解：根據圖1知：當尸=440W時，/=2A,故選項A正確，但不符合題意；

根據圖2知：。隨/的增大而增大，故選項B正確，但不符合題意；

根據圖2知：0隨/的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故選項

C錯誤，符合題意；

根據圖1知：/隨尸的增大而增大，又。隨/的增大而增大，則尸越大，插線板電源線產生

的熱量。越多，故選項D正確，但不符合題意；

故選：C.

17.C

【分析】本題考查利用函數圖像解決實際問題,正確的讀懂圖像給出的信息是解題的關鍵.利

用圖象信息解決問題即可.

【詳解】解：由圖象可知：體育場離該同學家2.5千米，故（1）正確；

該同學在體育場鍛煉了30-15=15（分鐘），故（2）正確；

該同學的跑步速度為2.5+15=：（千米/分鐘），步行速度為2.5+（65-30）=：（千米/分鐘），

答案第6頁，共11頁

則跑步速度是步行速度的：1+匕1=一7倍，故(3)錯誤；

6143

若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則該同學騎行的平均速度為L5x[=1

64

(千米/分鐘)，所以。=；x(103-88)=3.75,故(4)正確，

故選：C.

18.D

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組

'3,

V-..JCi,

<4,求出點尸的坐標即可判斷.

5x-6y=33

[34

【詳解】解：聯立方程組，v=一—4尤+'4,

5x-6y=33

x=6

...點P在第四象限,

故選：D.

19.D

【分析】本題考查了坐標內點的平移運動，熟練掌握知識點，利用反向運動理解是解決本題

的關鍵.

先找出規律若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為。時，先向右平移1個單位，之后

按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，按照Ge的反向運動理解去分類討論：

①儲6先向右1個單位，不符合題意；②。6先向下1個單位，再向右平移，當平移到第15

次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為(6,1),那么最后一次若向右平

移則為(7,1),若向左平移則為(5,1).

【詳解】解：由點4(2,2)可知橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,繼而向上平移1個

單位得到4(2,3),此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為2,繼而向左平移1個單位得

到巴(1,3),此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,又要向上平移1個單位……，因此

答案第7頁，共11頁

發現規律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后

按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，

若“和點”0按上述規則連續平移16次后，到達點。6（-1，9），則按照“和點”06反向運動16

次求點。坐標理解，可以分為兩種情況：

①先向右1個單位得到。5（°，），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0,應該是

向右平移1個單位得到。6,故矛盾，不成立；

②先向下1個單位得到2（-1,8），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,則應該

向上平移1個單位得到。6,故符合題意，那么點06先向下平移，再向右平移，當平移到第

15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為（-1+7,9-8）,即（6,1）,那

么最后一次若向右平移則為（7,1）,若向左平移則為（5,1）,

故選：D.

20.79

【分析】本題考查了正比例函數的應用.根據鐵的質量加（kg）與體積1（co?）成正比例，列

式計算即可求解.

【詳解】解：???鐵的質量〃4kg）與體積卜（cn?）成正比例，

...機關于V的函數解析式為〃?=7.9V,

當V=10時，m=7.9xl0=79（kg）,

故答案為：79.

21.（2,1）

【分析】本題考查了新定義，點的規律，根據新定義依次計算出各點的坐標，然后找出規律，

最后應用規律求解即可.

【詳解】解：點（1,4）經過1次運算后得到點為（lx3+l,4+2）,即為（4,2）,

經過2次運算后得到點為（4+2,2+1）,即為（2,1）,

經過3次運算后得到點為（2+2,1x3+1）,即為（1,4）,

答案第8頁，共11頁

發現規律：點(1,4)經過3次運算后