專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的

一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（加

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

目錄導(dǎo)航一

例題講模型

模型L豬蹄模型（M型與鋸齒型）............................................................2

模型2.鉛筆頭模型............................................................................5

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型.............................................................................10

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................12

習(xí)題練模型'

.......................................................................................................................................................14

例題講模型］

模型1.豬蹄模型（V型與鋸齒型）

模型解讀

先說說這個(gè)名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因?yàn)樗L得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根

據(jù)外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。。

①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應(yīng)進(jìn)行拆分。

模型證明

條件：如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：ZAPB=ZA+ZB-,②條件：ZAPB=ZA+ZB,結(jié)論：AM//BN.

證明：如圖1,過點(diǎn)尸作

,JPQ//AM,AM//BN,J.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

條件：如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

證明：根據(jù)圖1中結(jié)論可得，ZA+ZB+ZP2=ZPi+ZPj,

條件:如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：ZP1+ZP3+...+ZP2n+l=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

證明：由圖2的規(guī)律得，ZA+ZB+ZP2+...+P2n=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2ll+l

模型運(yùn)用

例1.（2024?山西?二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與DC平行射入接收天線,

經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)。處，若NABO=38°,/OCO=45。，則NBOC的度數(shù)為（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

例2.（2024九年級下?遼寧?學(xué)業(yè)考試）如圖，AB〃C。，&石=斯,乙4=25。,/跖。=130。，則/C的度

例3.（2023春?河南駐馬店?九年級專題練習(xí)）已知A5〃C。，ZEAF=^ZEAB,NECF=；NECD,若

ZE=66°,則4F為（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

例4.（2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們

青少年，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進(jìn)

滑雪場的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB//CD,當(dāng)人腳與地面的夾角

NCDE=60。時(shí)，求出此時(shí)上身A3與水平線的夾角NBAb的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

例5.（23-24七年級下.廣東云浮.期末）小明學(xué)習(xí)了角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識后，

對角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.如圖，直線AB〃CD,直線AC是直線AB,CD的第三條截線，AK,CK

分別是NA4C,/OC4的平分線，并且相交于點(diǎn)K.

問題解決：（1）ZBAC,NDC4的平分線AK,CK所夾的/K的度數(shù)為；

問題探究：（2）如圖2,ZBAK,NOCK的平分線相交于點(diǎn)K-請寫出/AKC與NA7Q之間的等量關(guān)系，

并說明理由；

拓展延伸：（3）在圖3中作/BA￡,ADCK｛的平分線相交于點(diǎn)K,作NBAK?,ZDCK2的平分線相交于點(diǎn)

K3,依此類推，作/54（必，NOCK2023的平分線相交于點(diǎn)K2024,求出/（。24的度數(shù).

例6.（2024?上海?八年級校考期中）已知,直線（1）如圖（1）,點(diǎn)G為A3、CD間的一點(diǎn),

聯(lián)結(jié)AG、CG.若NA=140。，ZC=150°,則/AGC的度數(shù)是多少？

（2）如圖（2）,點(diǎn)、G為AB、C。間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,則NAGC的度數(shù)是多少？

（3）如圖（3）,寫出/BAE、ZAEF,/EFG、NFGC、NGCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論.

D

D

⑴Q)

(3)

模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）

模型解讀

因?yàn)樗L得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據(jù)外形來取的，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才

是關(guān)鍵。

①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應(yīng)進(jìn)行拆分.

模型證明

圖1圖2圖3

條件：如圖1,已知：AM//BN,結(jié)論：Z7+Z2+Z3=360°；（該結(jié)論和條件互換結(jié)果任然成立）。

證明：在圖2中，過尸作AM的平行線PF,CAB//CD,J.PF//CD,

.*.Z1+ZAPF=18O°,Z3+ZCPF=180°,AZl+Z2+Z3=360°；

條件：如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：Z1+Z2+Z3+Z4=54Q°

證明：在圖2中，過P作AM的平行線BE,過點(diǎn)P2作AM的平行線P2R

'：AB//CD,：.PxE//BN//P2F,/.Zl+ZAPi￡=180°,/尸2尸1￡+/尸上2尸=180°,ZFP2B+Z4=180°,

Nl+/2+N3+N4=540°；

條件：如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+...+Zn=（?-1）180°.

證明：在圖3中，過各角的頂點(diǎn)依次作A8的平行線，

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：Z1+Z2+Z3+...+ZM=（?-1）180°.

模型運(yùn)用

例1.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）如圖，平行于主光軸的光線A8和8經(jīng)過凸透鏡的折射后，折射光線BE

和折射光線DP交主光軸于點(diǎn)P,若40E=155。，ZCDF=160°,貝°.

例2.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，直線4〃/2〃/3，Nl=25°,/ABC=73。，則N2的度數(shù)為（）

A.142°B.140°C.138°D.132°

例3.（2023下?江蘇南通?七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線A2〃C。，點(diǎn)E,尸分別是直線上的兩點(diǎn),

點(diǎn)尸在直線AB和C。之間，連接和NPED的平分線交于點(diǎn)。，下列等式正確的是（）

A.ZP+2Z2=360°B,2NP+NQ=360°C,/。=2/尸D.ZP+Z2=180°

例4.（2023上?廣東廣州?八年級校考開學(xué)考試）如圖①所示，四邊形肱VBD為一張長方形紙片.如圖②所

示,將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（NBAE、/AEC、NECD）,則ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（NBAE、NAEF、/EF、NFCD），則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（NBAE、ZAEF./EFG、NFGC、NGCD）,

貝！I/B4E+/AE尸+，砂G+/FGC+/GCD=（度）；

（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪〃刀，剪出"+1個(gè)角，那么這”+1個(gè)角的和是（度）.

---------------------

MD

圖①

例5.（2023下?江蘇南京?七年級統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

探索問題的解.

⑴如圖1,AB〃CD,點(diǎn)、E為AB、CO之間的一點(diǎn).求證：Zl+ZMEN+Z2=360°.

(2)如圖2,AB//CD,點(diǎn)E、F、G、H為AB、C。之間的四點(diǎn).則Nl+N2+N3+/4+/5+N6=

⑶如圖3,AB//CD,則4+N2+N3+…+4=

模型3.牛角模型

模型解讀

因?yàn)樗L得像犀牛角，故取名牛角模型。

模型證明

條件：如圖1,已知：AB//CD,且4ABE=§,/CDE=y,結(jié)論：/3=a+y.

證明：如圖，延長A2交。￡于點(diǎn)R'：AB//CD,:.NBFE=NCDF=y,

,.?/48萬=/8尸石+/￡(外角定理)，；.NABE=NCDF+NE,.,./?=?+/；

條件：如圖2,已知：AB//CD,且ZABE=p,ZCDE=y,結(jié)論：/?=a+1800-/.

證明：如圖，延長A8交。E于點(diǎn)孔

'：AB//CD,：.ZBFD=ZCDF=/,ZBFE=180°-ZBFr>=180°-7,

?.?/485=/￡+/8陛（外角定理），AZABE=ZE+1SO°-ZBFD,.\/?=（z+180°-/；

模型運(yùn)用

例1.（2024?山西.模擬預(yù)測）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如圖1是某同

學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：在平面內(nèi)，已知AB〃CD,ZEBA=80°,ZE=25°,

C.105°D.95°

例2.（2023?安徽滁州?校聯(lián)考二模）如圖，若AB“CD,則（）

A.Z1=Z2+Z3B.Zl+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

例3.（2022?湖北洪山?七年級期中）如圖，已知4B〃C。，尸為直線48,CD外一點(diǎn)，8尸平分/ABP,DE

平分/CDP,8尸的反向延長線交。E于點(diǎn)E,若試用。表示NP為.

例4.（2023春?廣東深圳?九年級校校考期中）已知直線AB〃C￡>,點(diǎn)尸為直線AB,所確定的平面內(nèi)

的一點(diǎn)，（1）問題提出：如圖1,ZA=120°,ZC=130°.求/APC的度數(shù)：

（2）問題遷移：如圖2,寫出/"C,24,/C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（3）問題應(yīng)用：如圖3,ZEAH:ZHAB=1:3,ZECH=20°,ZDCH=60°,求空的值.

E

H

圖3

例5.（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AABE+ABED=ZCDE.

（1）如圖1,求證AB〃CD；（2）如圖2,點(diǎn)尸在AB上，NCDP=/EDP,3/平分/WE,交PD于點(diǎn)、F,探

究4EP,NBED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，如圖3,尸。交ED延長線于點(diǎn)

Q，NDPQ=2NAPQ,ZPQD=8O°,求NCDE的度數(shù).

模型4.羊角模型

模型解讀

因長像酷似山羊角，故取名羊角模型。

模型證明

條件：如圖1,已知：AB//DE,且/C=a,ZB=/3,/D=y,結(jié)論：/=?+/7.

證明：\'AB//DE,：.AAFC=AD=y,

?.,/AFC=/B+/C(外角定理)，；./D=/B+NC,：./=a+j3；

條件：如圖2,已知：AB//DE,且NC=a,ZB=/3,/￡>=7,結(jié)論：180。一7=々+尸.

證明：'：AB//CD,：.ZBFZ)+ZZ)=180°AZBFD=180°-ZD=180°-7,

,.,/8F￡)=NB+NC(外角定理)，.,.180o-Z￡)=ZB+ZC,/.180°-/=?+/?；

模型運(yùn)用

例1.（2024.重慶江津.模擬預(yù)測）如圖，已知NCDE=110。，如果AC〃。石，AC=BC,那么25的度數(shù)

為一

，2

ED

例2.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，已知VABC是等腰直角三角形，N54c=90。，頂點(diǎn)分

別在4,4上，當(dāng)/1=70。時(shí)，Z2=.

例3.（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，已知ZA5C=150°,NCDE=75。，則/BCD的度數(shù)為（）

C

A.55°B.60°C.45°D.50°

例4.（23-24七年級下?湖北武漢?期末）如圖，AB//CD,的角平分線交N//CD的角平分線的反

向延長線于點(diǎn)P,直線PB交CD于點(diǎn)N,若NHCD—2NBNC=24°,貝|/尸+"=°

D

例5.（2023七年級下?江蘇?專題練習(xí)）已知AB〃MV.

（1）如圖1,求證：ZN+ZE=ZB-,

⑵若尸為直線MN、A3之間的一點(diǎn)，ZE=^ZEFB,BG平分ZABF交MN于點(diǎn)、G,EF交MN于點(diǎn)、C.

①如圖2,若NN=57。，且BG〃EN,求々的度數(shù)；②如圖3,若點(diǎn)K在射線BG上，且滿足

NKNM=±NENM,若ZNKB=NEFB,NE=NFBD,直接寫出IE的度數(shù).

4

模型5.蛇形模型（“5”字模型）

模型解讀

因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。

模型證明

圖1圖2

條件：如圖1,已知：AB//DE,NC=a,/B=(3,/D=y,結(jié)論：。+7=萬+180°.

證明：在圖2中，過C作的平行線CF,

,JAB//DE,J.CF//DE,：.ZFCD+180°,：.ZBCF+ZFCD+ZD=ZB+18Q0,

：.ZBCD+ZD=ZB+18Q0,.*.?+/=/7+18O°.

條件：如圖2,已知：AB//DE,NC=a,/B=/3,/D=y,結(jié)論：a=7+180°-尸.

證明：在圖2中，過C作A2的平行線CP,.\ZB+ZBCF=180°,

'：AB//DE,J.CF//DE,：.ZFCD=ZD,：.ZB+ZBCF+ZFCD=ZD+1800,

AZBCD+ZD=ZB+18Q0,.*.?+/=/7+18O°.

模型運(yùn)用

例1.（2023?四川廣元?統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過3、C、。三點(diǎn)，拐彎后與原來方向相同,

如圖，若NABC=120。，ZBCD=80°,則NCDE等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

例2.（23-24七年級下?遼寧葫蘆島?期末）如圖，AB//CD,/DCE的角平分線CG的反向延長線和

的角平分線跖交于點(diǎn)RNE-NF=66°,則/E=

例3.（23-24七年級下?湖北鄂州?期中）如圖，已知點(diǎn)A,C,8不在同一條直線上，AD//BE.

（1）求證/3+/。—乙4=180。；（2）如圖2,A",BQ分別為三等分/ZMC'/EBC所在直線，ZDAH=^ZDAC,

NEBQ=|NEBC,試探究/c與/AQB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3,在（2）的前提下，且有AC〃。當(dāng)直線A。、

3c交于點(diǎn)P,ZAPC=60°,請直接寫出"AC:NACB:NCBE=.

例4.（23-24七年級下?廣東廣州?期末）如圖1,ZACB=90°,MA//BN.

（1）①如果/MAC=30。，求/CBN的度數(shù)；②設(shè)NMAC=。，NCBN=/3,直接寫出a、夕之間的數(shù)量關(guān)

系：；（2）如圖2,NM4C、NCBN的角平分線交于點(diǎn)尸，當(dāng)4c的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，^APB

的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出/AP3的度數(shù)；

⑶在（2）的條件下，若/M4c=40°,點(diǎn)E為射線BN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作砂〃3c交直線AP于點(diǎn)廠,

連接EP.已知NEE尸=10。，求NBPE的度數(shù).

習(xí)題練模型

1.（2023?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期中）如圖，若AB〃CD,Na=65。，々=25。，則4的度數(shù)是（）

A.115°B.130°C.140°D.150°

2.（2023?山西呂梁?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行?若

)

C.150°D.162°

直線AB〃CD.若/EDC=2NE,NABC=60。，則N￡=()

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.明代《帝京

景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的

歷史至少在600年以上.如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：AB//CD,

ZBAE=94°,ZDCE=122°,則/￡1的度數(shù)為（）

A

A.28°B.38°C.18°D.25°

5.（2023?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，若AB〃CD,CD//EF,Nl=30。，N2=130。，那么NBCE的度數(shù)為

()

A.160°B.100°C.90°D.80°

6.（24-25九年級上?湖北?課后作業(yè)）①如圖①，AB//CD,則NA+NC=N上;

②如圖②，AB//CD,則NP=NA—NC；③如圖③，AB//CD,則4=NA+N1；

④如圖④，直線AB〃CD〃￡F,點(diǎn)0在直線斯上，則為-"+々=180。.以上結(jié)論正確的是（）

圖①圖②圖③圖④

A.①②③④B.③④C.①②④D.②③④

7.（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）如圖，是某款嬰兒車的幾何示意圖，若AT）〃3C,Zl=125°,Z3=40°,

則/2的度數(shù)是'

8.（23-24七年級下?浙江杭州?期中）如圖，AB//CD,NQCE的角平分線CG的反向延長線和—ABE的角

平分線即交于點(diǎn)尸，NE-NF=6竽,則NE=.

9.（23-24七年級下?江蘇無錫?期中）如圖，AB//CD,尸為A3上方一點(diǎn)，E、尸分別為A3、CD上的點(diǎn),

NPEB、NPFD的角平分線交于點(diǎn)。，/PFC的角平分線與QE的延長線交于點(diǎn)G,若NPFD=76。，

NG=68。，則NGEP的度數(shù)等于.

10.（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，兩直線A3、8平行，則/l+/2+N3+/4+N5+N6=.

11.（2023?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?七年級校考期中）問題探究：如下面四個(gè)圖形中，AB//CD.

（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，/I與N2、/3三者之間的關(guān)系.

（2）請你從中佳選下個(gè)加以說明理由.

解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線02、0c經(jīng)燈碗

反射后平行射出.如果NABO=57。，/。。。=44。，那么NBOC=°.

12.（2023春?湖北黃岡?七年級校考期中）如圖，己知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AD//BE

圖①圖②圖③

（1）求證：ZB+ZC-ZA=18O°：（2）如圖②，AQ.BQ分別為NR4C、NEBC的平分線所在直線，試探究NC

與/4Q8的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC〃QB,直線A。、BC交于點(diǎn)P,QP1PB,

直接寫出NA4C：ZACB：NCBE=.

13.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知：AB〃CD,點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G、歹在48上，點(diǎn)H

在48、C。之間，連接fE、EH、HG,ZAGH=ZFED,FEI.HE,垂足為點(diǎn)E.

⑴如圖1,求N￡HG的度數(shù)；（2）如圖2,GM平分NHGB,EM平分ZHED,GM、EM交于點(diǎn)、M,求NM

的度數(shù)；（3）如圖3,在（2）的條件下，F(xiàn)K平分/AFE交CD于點(diǎn)、K,若NKFE：ZMGH=23:13,FK與ME

所在直線交于點(diǎn)2,若射線。尸從射線Q尸的位置開始繞著點(diǎn)2逆時(shí)針以每秒5。的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，射線。尸交

直線8于點(diǎn)P,旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)/為何值時(shí)，。尸第一次與G”平行？并求此時(shí)NFQE的度數(shù).

圖1圖2圖3

14.（24-25八年級上?四川瀘州?開學(xué)考試）（1）如圖1,已知AB〃CD,ZBAP=40°,ZPCD=30°,則

求—APC的度數(shù)；（2）如圖2,在（1）的條件下，A〃平分44P,CM平分/PCD,則NAWC的度數(shù).

（3）如圖2,已知AB〃CD,AM平分ZBAP,CN平分NPCD,?當(dāng)點(diǎn)尸、M在直線AC同側(cè)時(shí)，直接

寫出NAPC與/40C的數(shù)量關(guān)系：_

（4）如圖3,已知"〃CD,AM平分NfiAP,CM平分/PCD.當(dāng)點(diǎn)尸、M在直線AC異側(cè)時(shí)，直接寫

出NAPC與/4WC的數(shù)量關(guān)系：_

圖1圖2圖3

15.（23-24七年級下?河北邯鄲?期中）已知,直線AB〃CD,點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接收與CP.

（1）如圖1,點(diǎn)尸在直線45、CD之間，當(dāng)NBAP=60。，N￡>CP=20。時(shí)，求NAPC的度數(shù).

（2）如圖2,點(diǎn)P在直線AB、CD之間，44P與/DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,寫出NAKC與1APC之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）如圖3,點(diǎn)P落在CD下方，N&LP與/QCP的角平分線相交于點(diǎn)K,請直接

寫出ZAKC與ZAPC的數(shù)量關(guān)系.

16.（23-24七年級下?湖北武漢?期中）AB〃CD,點(diǎn)、E、尸分別在A3、CD上；點(diǎn)。在直線AB、C。之間,

且NEO尸=80。（1）如圖1,①若NOPC=20。，求ZAEO的度數(shù)；

②若ZOFC=a,請你直接寫出ZOFC+ZAEO=；

（2）如圖2,直線MN分別交/BE。、NOPC的角平分線于點(diǎn)M、N,求NEW-/RW0的值

（3）如圖3,EG在AAEO內(nèi)，ZAEG=m/OEG；FH在NDFO內(nèi)，ZDFH=mAOFH，直線跖V分別交EG、

FH分別于點(diǎn)M、N,且ZFMN-ZENM=80°,直接寫出m的值

17.（23-24七年級下?遼寧大連?期末）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師和同學(xué)們共同探究平行線

的作用.李老師給出如下問題：AB〃CD,點(diǎn)、P為CD下方一點(diǎn),連接PAPC,得到-APC,試探究-APC

與/PAS,/PCD的數(shù)量關(guān)系.（1）小紅的做法是：如圖2,過點(diǎn)尸作〃0〃AB.

（2）小明的做法是：如圖3,設(shè)交CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作〃尸C.

請你選擇一名同學(xué)的做法，寫出證明過程.

AV------B-------B-----------B

pM------p、PF

圖1圖2圖3

【歸納總結(jié)】（2）李老師和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，在解決題目的過程中，都運(yùn)用了作平行線的方法，平行線起到了

構(gòu)造等角的作用.為了幫助學(xué)生更好的體會(huì)平行線的作用，李老師提出了下面問題，請你解答.

如圖4,直線AB〃CD,點(diǎn)E在AB,CO之間，點(diǎn)P在CD下方，連PM,PN.延長PN至￡/即必和/RVO

的角平分線相交于點(diǎn)E.探究/MEN與Z7WPN的數(shù)量關(guān)系；

【學(xué)以致用】（3）如圖5,和/印五）的角平分線相交于點(diǎn)E.作MP平分^AMH,NQ//MP交ME1的

延長線于點(diǎn)。，若NH=130。，求NENQ的度數(shù).

,M八

A------------------------BM

w

圖4圖5

18.（22-23七年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）【問題背景】如圖1,AB//CD,點(diǎn)P,。位于AC兩側(cè)，連接

AP,CP,AQ,CQ,直接寫出①ZBAP,ZAPC,NPCD的數(shù)量關(guān)系為；@ZBAQ,ZAQC,ZQCD

的數(shù)量關(guān)系為

【嘗試應(yīng)用】如圖2,在（1）的條件下，作NQAP,NQC尸的角平分線交于點(diǎn)加，若立尸與NQ互補(bǔ)，試

寫出/。與N4WC的數(shù)量關(guān)系，并證明：（【問題背景】中相關(guān)結(jié)論可以直接使用）

【拓展創(chuàng)新】如圖3,/山〃口），點(diǎn)加,雙位于4（7左側(cè),作/90,NNCD的角平分線交于點(diǎn)P,PC〃AM；

若ZAMN+ZMNC=280°，直接寫出NAPC的度數(shù)是

圖2圖3

19.（23-24七年級下?重慶?期中）已知點(diǎn)A,B,C不在同一條直線上，AD//BE.

圖②圖③

（1）如圖①，求證:ZACB=ZA+180°-ZB；（2）如圖②，AQ,2。分別為—DAC,/EBC的角平分線所在

的直線，NAQB=29。，求-ACS的度數(shù).（3）如圖③，AQ,8。分別為NZMC,NEBC的角平分線所在的

直線，延長BC交直線A。于點(diǎn)P,且AC〃Q8,QP1PB,直接寫出NAC3:NZMP的值為

20.（23-24七年級下?湖北武漢?期中）【問題原型】如圖①和②，AB〃CZ）,點(diǎn)M在如圖所在位置，請分

別寫出圖①和②中41、/B、ZO之間的關(guān)系并選擇一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明；

【推廣應(yīng)用】（1）如圖，AB//CD,鄰補(bǔ)角的平分線BN與NCDM的角平分線相交于點(diǎn)N,試探究

ZM./N的數(shù)量關(guān)系并寫出證明過程;

(2)如圖，AB//CD,N4BG和NCDE的三等分角線交于點(diǎn)M,ZG=64°,ZF=64°,ZE=78°,求NM

的度數(shù).

AB

G

MF

E

CD

專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的

一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（加

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

目錄導(dǎo)航一

例題講模型

模型L豬蹄模型（M型與鋸齒型）............................................................2

模型2.鉛筆頭模型............................................................................5

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型.............................................................................10

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................12

習(xí)題練模型'

.......................................................................................................................................................14

例題講模型］

模型1.豬蹄模型（V型與鋸齒型）

模型解讀

先說說這個(gè)名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因?yàn)樗L得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根

據(jù)外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。。

①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應(yīng)進(jìn)行拆分。

模型證明

條件：如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：ZAPB=ZA+ZB-,②條件：ZAPB=ZA+ZB,結(jié)論：AM//BN.

證明：如圖1,過點(diǎn)尸作

,JPQ//AM,AM//BN,J.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

條件：如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

證明：根據(jù)圖1中結(jié)論可得，ZA+ZB+ZP2=ZPi+ZPj,

條件:如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：ZP1+ZP3+...+ZP2n+l=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

證明：由圖2的規(guī)律得，ZA+ZB+ZP2+...+P2n=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2ll+l

模型運(yùn)用

例1.（2024?山西?二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與DC平行射入接收天線,

經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)。處，若NABO=38°,/DCO=45。,則NBOC的度數(shù)為（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

【答案】B

【分析】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，作OE4/6,則NBOE=NABO=38。，結(jié)合得出

AB//CD,推出NCOE=/DCO=45。，最后由=,即可得解.

【詳解】解：如圖，作OE〃四，則4QE=NABO=38。，

???AB//CD,OE\\CD,Z.COE=NDCO=45°,

ZBOC=ABOE+ZCOE=38°+45°=83°,故選：B.

例2.（2024九年級下?遼寧?學(xué)業(yè)考試）如圖，AB〃CD,4石=所,44=25。,/￡79=130。，則/C的度

【答案】80。/80度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊對等角等知識點(diǎn)，作G尸〃CD可得鉆〃G尸〃CD；根據(jù)

ZAFC=ZAFG+2CFG=ZA+NC即可求解.

【詳解】解：作■GF〃CD,如圖所示：，AB〃G歹〃CD

AE=EF,：.ZEFA=ZA=25°：.ZAFC=ZEFC-ZEFA=130°-25°=105°

ZAFC=ZAFG+ZCFG=ZA+ZC：.ZC=ZAFC-ZA=800故答案為：80°

例3.（2023春?河南駐馬店?九年級專題練習(xí)）已知AB〃CE>,ZEAF=^ZEAB,NECF=QECD,若

NE=66。,則4F為（）

AB

A'

CD

A.23。B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差可得?EAB1ECD1AEC660,同樣的方法

2。

可得NF=NFAB+NFCD,再根據(jù)角的倍分可得NFAB=《NEAB,ZFCD=個(gè)NECD,由此即可得出答案.

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EG〃AB,貝

1AEG彳CEG=?ECD,\?EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66°,

同理可得：NF=NFAB+NFCD,■：ZEAF=|ZEAB,ZECF=|ZECD,

22

：./FAB=-NEAB,ZFCD=-/ECD,

2222

\?F1FABIFCD一？EAB-1ECD-REAB?ECD）一？66鞍44,故選：C.

3333

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例4.（2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們

青少年，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進(jìn)

滑雪場的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB//CD,當(dāng)人腳與地面的夾角

NCDE=60。時(shí)，求出此時(shí)上身48與水平線的夾角N助廠的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】延長AB交直線即于點(diǎn)利用平行線的性質(zhì)得出/CDE=/O〃4=60。，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等即可得出結(jié)果.

【詳解】解：延長AB交直線即于點(diǎn)H,CD,.?.NCDE==60。，

,??根據(jù)題意得.,.NE4S=ZDH4=60。，故選：A.

【點(diǎn)睛】題目考查平行線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例5.（23-24七年級下?廣東云浮.期末）小明學(xué)習(xí)了角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識后，

對角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.如圖，直線AB〃CD,直線AC是直線AB,CO的第三條截線，AK,CK

分別是“班C,/OC4的平分線，并且相交于點(diǎn)K.

（1）ZBAC,NOC4的平分線AK,CK所夾的—K的度數(shù)為

問題探究：（2）如圖2,ZBAK,NDCK的平分線相交于點(diǎn)號,請寫出/A&C與NAKC之間的等量關(guān)系，

并說明理由；

拓展延伸：（3）在圖3中作/3A&,ND%的平分線相交于點(diǎn)K,作/曲￡,ZDCK2的平分線相交于點(diǎn)

依此類推，作/胡（必，期的平分線相交于點(diǎn)（必，求出/a。24的度數(shù).

【答案】（1）90°；（2）/A&C=；/AKC,理由見解析；（3）=（;/期x90。

【分析】本題考查利用平行線的性質(zhì)和平行公理的推論探究角的關(guān)系（拐點(diǎn)問題），角平分線的相關(guān)計(jì)算等知

識，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（1）證明過點(diǎn)K作則KM〃A3〃C?,利用平行線的性

質(zhì)推出N9C+ZACD=180。，繼而推出NBAK+NOCK=+；4。。=3（/班0+ZAC￡＞）=90。，從

而得到N/W=N/WVf+NCKM=N54K+NOCK=90。；（2）與（1）同理可得：

ZAKtC-ZBAK{+ZDCK1-（ABAC+ZDCA）=45°,繼而得解；（3）由（2）得N&=；NK,同理得

4Kz=：/￡=",ZK3=^ZK2=（；）3/K,繼而總結(jié)規(guī)律得ZK"=（g）”NK,從而得解.

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)K作用W〃AB,則KM〃/

...ZAKM=NBAK/CKM=ZCDK,ZBAC+ZACD=180°

AK,CK分別是ZBAC,NZJC4的平分線，并且相交于點(diǎn)K,N54K=LN54C,ZDCK=1NAC。,

22

NBAK+NDCK=|ABAC+|zACD=1(ABAC+ZACD)=90°,

ZAKC=ZAKM+Z.CKM=ABAK+Z.DCK=90°,故答案為：90°.

(2)ZA^C=1ZA/CC.理由：如圖，過點(diǎn)&作KJ〃A8.

?.?AB\\CD,KJ〃AB,K{J//CD,r.NAKJ=ZBAKt,ZJK,C=ZDCK、.

11

QZBAK,NDCK的平分線相交于點(diǎn)K-.?./BAK】./BAK,ZDCK^-ZDCK,

AAKXC=/BAK】+NDCK[=；(/BAK+ZDCK)=：(ZBAC+ZDCA)=1x180°=45°.

由(1),知ZA7CC=90。，:.ZAKtC=^ZAKC.

(3)由(2),可知同理，可得NK2=g/&=：NK,

NK3=W)3/K,……NK'=(”K.

20242024

當(dāng)”=2024時(shí)，ZK2024=(-)ZK=(-)x90°.

例6.（2024?上海?八年級校考期中）已知，直線A8〃C￡＞。（1）如圖（1）,點(diǎn)G為A8、CD間的一點(diǎn),

聯(lián)結(jié)AG、CG.若/A=140。，ZC=150°,則/AGC的度數(shù)是多少？

（2）如圖（2）,點(diǎn)G為48、。間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,則/AGC的度數(shù)是多少？

（3）如圖（3）,寫出/BAE、ZAEF,NEFG、/FGC、/GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論.

【分析】（1）過點(diǎn)G作利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.（2）過點(diǎn)G作利用

平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.（3）過點(diǎn)E作過點(diǎn)尸作過點(diǎn)G作GQ〃C。，利用

平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系.

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)G作GE/幺2,

VZA=140°,AZAGE=40°.,：AB/7GE,AB//CD,：.GE//CD.

.../C+NCGE=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

VZC=150°,AZCGE=30°./AGC=/AGE+NCGE=400+30°=70°.

(2)如圖，過點(diǎn)G作

?.,A2〃GK(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

'：AB/7GF,AB〃CD,:.GF〃CD.：.ZC=ZCGF.

：.ZAGC=ZAGF+ZCGF=ZA+ZC.'：ZA=x°,ZC=y°,：.ZAGC=(x+y)0.

（3）如圖所示，過點(diǎn)E