專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型

近年來各地中考中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的

一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型（N

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，

這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。

目錄導航-

例題講模型’

...........................................................................................................................................2

模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）............................................................2

模型2.鉛筆頭模型............................................................................5

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型.............................................................................10

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................12

習題練模型"

'二一............................................14

例題講模型］

模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）

先說說這個名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因為它長得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根

據外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關鍵。。

①注意：拐角為左右依次排列；②若出現不是依次排列的，應進行拆分。

模型證明

條件：如圖1,①已知：AM//BN,結論：NAPB=NA+NB；②條件：ZAPB=ZA+ZB,結論：AM//BN.

證明：如圖1,過點P作尸

"JPQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA^ZAPQ,NB=/BPQ,

；./A+/B=/APQ+/BPQ=/APB,即：ZAPB^ZA+ZB.

條件：如圖2,已知：AM//BN,結論：ZPi+ZP^ZA+ZB+ZP2.

證明：根據圖1中結論可得，ZA+ZB+ZP2=ZP1+ZP3,

條件：如圖3,已知：AM//BN,結論：ZPl+ZP3+...+ZP2n+i=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2?.

證明：由圖2的規律得，NN+N3+N尸2+…+尸2"=/尸1+N尸3+/尸5+…+/尸2什1

模型運用

例1.（2024?山西?二模）如圖是一種衛星接收天線的軸截面示意圖，衛星波束與DC平行射入接收天線,

經反射聚集到焦點。處，若/48。=38°,ZDCO=45°,則N80C的度數為（）

例2.（2024九年級下?遼寧?學業考試）如圖，/￡=所,44=25。,/①（=130。，則/C的度

例3.（2023春?河南駐馬店?九年級專題練習）已知/8〃C0,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,若

33

C.44°D.46°

例4.（2023?廣東深圳?校聯考模擬預測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們

青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進

滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態，如圖所示，AB//CD,當人腳與地面的夾角

/CDE=60。時，求出此時上身AB與水平線的夾角NR4廠的度數為（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

例5.（23-24七年級下?廣東云浮?期末）小明學習了角平分線的定義以及平行線的判定與性質的相關知識

后，對角之間的關系進行了拓展探究.如圖，直線AB〃CD,直線/C是直線43,CD的第三條截線，AK,

CK分別是/A4C,/DC/的平分線，并且相交于點K.

問題解決：（1）ZBAC,4DC4的平分線4K,CK所夾的NK的度數為；

問題探究：（2）如圖2,NBAK,4DCK的平分線相交于點（，請寫出N4KQ與乙4KC之間的等量關系,

并說明理由；

拓展延伸：（3）在圖3中作/DCg的平分線相交于點K,作/A4K2，/DCK2的平分線相交于點

6,依此類推，作/氏4K2儂，/DCK2023的平分線相交于點（期，求出孫的度數.

A/B4/B/_B

I-Ks

7c~D7cD~7cD

圖1圖2圖3

例6.（2024?上海?八年級校考期中）已知，直線（1）如圖（1）,點、G為AB、CD間的一點,

聯結NG、CG.若N/=140。，ZC=150°,則//GC的度數是多少？

（2）如圖（2）,點G為A8、CD間的一點，聯結NG、CG.ZA=x°,ZC=i巴則//GC的度數是多少？

(3)如圖(3),寫出/BAE、/AEF、/EFG、NFGC、/GCD之間有何關系？直接寫出結論.

WB

-B-aB

<___________________

CD

D

D

⑴⑵

(3)

模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）

模型解讀

因為它長得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據外形來取的，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才

是關鍵。

①注意拐角朝同一方向②若出現拐角不朝同一方向的，應進行拆分.

模型證明

口H

P“其

BN

圖1圖2圖3

條件：如圖1,已知：AM//BN,結論：Z/+Z2+Z3=360°；（該結論和條件互換結果任然成立）。

證明：在圖2中，過P作/M的平行線尸尸，.,.尸尸〃CD,

N1+/4P尸=180。，Z3+ZCPF=180°,/1+/2+/3=360°；

條件：如圖2,已知：AM//BN,結論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

證明：在圖2中，過Pi作4W的平行線PiE,過點尸2作AM的平行線PiF,

o

'：AB//CD,：.PIE//BN//P2F,：.Z1+ZAPIE=IS00,/「止止+/「止#=180°,Zm7?+Z4=180,

Nl+/2+/3+N4=540°；

條件：如圖3,已知：AM//BN,結論：Zl+Z2+...+Z?=（?-1）180°.

證明：在圖3中，過各角的頂點依次作的平行線，

根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規律可得：/l+N2+N3+...+N"=（M-1）180°.

模型運用

例1.（2024?遼寧?模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和CZ）經過凸透鏡的折射后，折射光線BE

和折射光線。尸交主光軸于點P，若N/2E=155。，ZCDF=160°,則/尸=°.

?D\JL

例2.（202+陜西咸陽?模擬預測）如圖，直線4〃/2〃/3，/1=25°,45。=73°,則/2的度數為（）

A,

A.142°B.140°C.138°D.132°

例3.（2023下?江蘇南通?七年級統考期末）如圖，直線4B//CD,點、E,尸分別是直線4優CD上的兩點,

點尸在直線和CD之間，連接匹和NPED的平分線交于點。，下列等式正確的是（）

A.ZP+2Z2=360°B.2NP+N0=36O°C.ZQ=2ZPD./尸+/。=180°

例4.（2023上?廣東廣州?八年級校考開學考試）如圖①所示，四邊形跖曲）為一張長方形紙片.如圖②所

示,將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（/8/E、NAEC、/ECD），則ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（/BAE、NAEF、NEF、/FCD）,則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（NBAE、/AEF、NEFG、NFGC、NGCD）,

則+尸+/EFG+/尸GC+/GCZ>=（度）；

（3）根據前面的探索規律，將本題按照上述剪法剪"刀，剪出"+1個角，那么這”+1個角的和是（度）.

N、

M

圖①

例5.（2023下?江蘇南京?七年級統考期中）從特殊到一般是數學研究的常用方法，有助于我們發現規律,

探索問題的解.

⑴如圖1,AB//CD,點、E為4B、CD之間的一點.求證：Zl+ZAffi2V+Z2=360°.

⑵如圖2,AB〃CD,點、E、F、G、H為AB、之間的四點.則/1+/2+/3+/4+/5+/6=

(3)如圖3,AB//CD貝IJ/1+N2+/3+…+4=

模型3.牛角模型

模型解讀

因為它長得像犀牛角，故取名牛角模型。

模型證明

條件：如圖1,已知：AB//CD,且NE=a,/ABE=0,NCDE=y,結論：/3=a+y.

證明：如圖，延長交。￡于點R':AB"CD,：.ABFE=ZCDF=y,

?.?//8￡=/8尸￡+/￡(外角定理)，AZABE=ZCDF+ZE,：.J3=a+/；

條件：如圖2,已知：AB//CD,且NE=a,/ABE=0,NCDE=y,結論：/3=a+18Q0-y.

證明：如圖，延長N3交。￡于點R

:AB〃CD,；.NBFD=/CDF=y,：.ZBFE=1800-ZBFD=1^0°-y,

1（外角定理），；./4BE=/E+18Q°-NBFD,：.j3=a+1800-/；

模型運用

例1.（2024?山西?模擬預測）抖空竹是一種傳統雜技節目，是國家級非物質文化遺產之一.如圖1是某同

學“抖空竹,,的一個瞬間，若將其抽象成圖2的數學問題：在平面內，已知48〃CD,NEBA=80。,ZE=25°,

則NE0C的度數為（）

A

圖2

B.115°C.105°D.95°

例2.（2023?安徽滁州?校聯考二模）如圖，若AB/CD,則（）

A.Zl=Z2+Z3B./1+/3=/2C.Z1+Z2+Z3=180°D.Z1-Z2+Z3-18O0

例3.（2022?湖北洪山?七年級期中）如圖，已知尸為直線45,CD外一點，BF平分/ABP,DE

平分NCDP,3尸的反向延長線交。E于點E,若NFED=a,試用.表示/尸為______.

例4.（2023春?廣東深圳?九年級校校考期中）已知直線48〃CD,點P為直線NB,C。所確定的平面內

的一點，（1）問題提出；如圖1,44=120。，ZC=130°.求//PC的度數：

（2）問題遷移：如圖2,寫出//PC,/C之間的數量關系，并說明理由：

/H

（3）問題應用：如圖3,NEAH:NHAB=1:3,/ECH=20。,ZDCH=60°,求一-的值.

E

H

圖

1圖3

例5.（2023下?遼寧大連?七年級統考期末）如圖，ZABE+ABED=ZCDE.

（1）如圖1,求證（2）如圖2,點尸在48上，ZCDP=ZEDP,BF平分NABE,交PD于點、F,探

究NBFP,NBED的數量關系，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，如圖3,尸。交ED延長線于點

Q，ZDPQ=2ZAPQ,ZPQD=80°,求NCAE的度數.

模型4.羊角模型

模型解讀

因長像酷似山羊角，故取名羊角模型。

模型證明

條件：如圖1,已知：AB//DE,且/C=a,/B=0,AD=y,結論：Y=a+/3.

證明：".,AB//DE,；.NAFC=/D=y,

尸C=N3+NC（外角定理），AZD^ZB+ZC,：.y=a+/3-,

條件：如圖2,已知：AB//DE,且/C=a,/B=0,AD=y,結論：180°—/=a+/?.

證明："JAB//CD,：.ZBFD+ZD=180°：.180°-ZZ）=180°-/,

（外角定理），.,.180o-Z￡>=Z5+ZC,180°—/=a+尸；

模型運用

例1.（2024?重慶江津?模擬預測）如圖，已知NCQ￡=110。，MAC//DE,AC=BC,那么的度數

為,

（2

ED

例2.（2024?山東濟南?中考真題）如圖，已知//A，V/3C是等腰直角三角形，NA4c=90。，頂點45分

別在4,4上，當/1=70。時，Z2=

例3.（2023?河南?統考三模）如圖，已知NABC=150。，NC￡>E=75。，則Z8C。的度數為（）

C

A.55°B.60°C.45°D.50°

例4.（23-24七年級下?湖北武漢?期末）如圖，AB//CD,的角平分線8P交/“CD的角平分線的反

向延長線于點P,直線尸8交CO于點N,若NHCD-2NBNC=24°,則/尸+/"=°

D

例5.（2023七年級下?江蘇?專題練習）已知

（1）如圖1,求證：ZN+ZE=ZB；

（2）若尸為直線MN、48之間的一點，AE=-AEFB,BG平分■ZABF交MN于■點、G,EF交MN于點、C.

①如圖2,若/N=57。，且BG〃EN,求/￡的度數；②如圖3,若點K在射線8G上，且滿足

ZKNM=-ZENM,若NNKB=NEFB,ZE=ZFBD,直接寫出/E的度數.

4

模型5.蛇形模型（“5”字模型）

模型解讀

因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。

模型證明

條件：如圖1,已知：AB//DE,/C=a,NB=廿，/D=y,結論：a+y=/3+1800.

證明：在圖2中，過C作的平行線CR

'JAB//DE,J.CF//DE,：.ZFCD+ZD=180°,AZBCF+ZFCD+ZD^ZB+IS00,

AZBCD+ZD=Z5+180°,A?+/=/7+180°.

條件：如圖2,已知：AB//DE,NC=a,/B=B,ND=y,結論：a=/+180°-尸.

證明：在圖2中，過C作的平行線CF,.?./8+/BCF=180。，

,:AB〃DE,：.CF//DE,：.ZFCD=ZD,：.ZB+ZBCF+ZFCD=ZD+1SQ0,

：.ZBCD+/。=/2+180。，a+/=P+180°.

模型運用

例1.（2023?四川廣元?統考三模）珠江流域某江段江水流向經過5、C。三點，拐彎后與原來方向相同,

如圖，若/4SC=120。，/BCD=80。，則/CQE等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

例2.（23-24七年級下?遼寧葫蘆島?期末）如圖，AB//CD,ZDCE的角平分線CG的反向延長線和24BE

的角平分線3尸交于點RZE-ZF=66°,則NE=

例3.（23-24七年級下?湖北鄂州?期中）如圖，已知點A,C,8不在同一條直線上，AD//BE.

（1）求證/8+/。-//=180。；（2）如圖2,47,8。分別為三等分所在直線，NDAH=g/DAC,

=試探究/C與-408的數量關系；⑶如圖3,在（2）的前提下，且有NC〃。&直線/。、

2c交于點P,ZAPC=60°,請直接寫出.

例4.（23-24七年級下?廣東廣州?期末）如圖1,NACB=90°,MA//BN.

（1）①如果4么C=30。，求/CBN的度數；②設NM/C=a,/CBN=0,直接寫出a、尸之間的數量關

系：；（2）如圖2,/MAC、/C8N的角平分線交于點P,當4c的度數發生變化時，ZAPB

的度數是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出//P8的度數；

⑶在（2）的條件下，若/跖4c=40°,點￡為射線BN上的一個動點，過點E作EF〃J8c交直線NP于點尸,

連接EP.已知NEEP=10。，求N2PE的度數.

習題練模型

1.（2023?湖南長沙?九年級校聯考期中）如圖，若AB〃CD,/c=65。，N7=25。，則"的度數是（）

C.140°D.150°

2.（2023?山西呂梁?校聯考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行?

)

C.150°D.162°

直線若NEDC=2NE,ZABC=60°,則NE=()

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2024?廣東深圳?模擬預測）抖空竹是我國的傳統體育，也是國家級非物質文化遺產之一.明代《帝京

景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的

歷史至少在600年以上.如圖，通過觀察抖空竹發現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：AB//CD,

ZBAE=94°,ZDCE=122°,則/￡的度數為()

A

A.28°B.38°C.18°D.25°

5.(2023?廣東佛山?模擬預測)如圖，若AB〃CD,CD//EF,Zl=30°,Z2=130°,那么/BCE的度數為

()

A.160°B.100°C.90°D.80°

6.（24-25九年級上?湖北?課后作業）①如圖①，AB〃CD,則+=

②如圖②，AB//CD,則/尸=N4—NC；③如圖③，AB//CD,則/石=44+/1；

④如圖④，直線4B〃CD〃跖，點O在直線跖上，貝々+々=180°.以上結論正確的是（）

4B/—aAB

4BV-----------二"

CD7PcDE0F

圖①圖②圖③圖④

A.①②③④B.③④C.①②④D.②③④

7.（2024?江蘇徐州?模擬預測）如圖，是某款嬰兒車的幾何示意圖，若AD〃BC,/1=125。，Z3=40°,

則/2的度數是__________

F

0-

8.（23-24七年級下?浙江杭州?期中）如圖，AB//CD,/DCE的角平分線CG的反向延長線和/4BE的角

平分線3尸交于點尸，NE-NF=63。，則/￡=

9.（23-24七年級下?江蘇無錫?期中）如圖，AB//CD,P為上方一點，E、尸分別為48、CD上的

點，NPEB、/尸陽的角平分線交于點。，/尸尸C的角平分線與0E的延長線交于點G,若NPFD=76°,

NG=68°,則/GEP的度數等于.

10.（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖，兩直線/5、平行，則Nl+/2+/3+/4+/5+/6=.

11.（2023?內蒙古鄂爾多斯?七年級校考期中）問題探究：如下面四個圖形中，AB//CD.

（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，/I與N2、/3三者之間的關系.

（2）請你從中住造7個加以說明理由.

解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于。點的燈泡發出兩束光線。8、OC經燈

碗反射后平行射出.如果N4SO=57。，ZDCO=44°,那么N8OC=°.

圖5

12.（2023春?湖北黃岡?七年級校考期中）如圖，已知：點/、C、8不在同一條直線，AD//BE

圖①圖②圖③

⑴求證：N8+NC-NN=180。：（2）如圖②，4Q、8。分別為ND4C、NE8C的平分線所在直線，試探究NC

與的數量關系；（3）如圖③，在（2）的前提下，且有NC〃。氏直線/0、8c交于點p,QP±PB,

直接寫出"/C：ZACB：ZCBE=.

13.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）己知：AB〃CD,點、E在CD上，點、G、廠在48上，點H

在/2、CD之間，連接F￡\EH、HG,ZAGH=ZFED,FELHE,垂足為點￡.

⑴如圖1,求/EHG的度數；（2）如圖2,GM平分2HGB,EM平分NHED,GM、EN交于點求

的度數；（3）如圖3,在（2）的條件下，FK平分NAFE交CD于點K,若NKFE：NMGH=23:13,FK與ME

所在直線交于點Q,若射線QP從射線QF的位置開始繞著點0逆時針以每秒5。的速度進行旋轉，射線QP交

直線CD于點P,旋轉時間為/秒，當/為何值時，0尸第一次與G8平行？并求此時NFQE的度數.

圖1圖2圖3

14.（24-25八年級上?四川瀘州?開學考試）（1）如圖1,已知4B〃CZ）,/R4P=4。。,ZPCD=30°,則

求//PC的度數；（2）如圖2,在（1）的條件下，AM平分NBAP,CA/平分/PCD,則的度數.

（3）如圖2,已知/8〃CD,AM平分NB4P,CM平分/PCD,.當點P、"在直線NC同側時，直接

寫出//PC與/WC的數量關系：_；

（4）如圖3,已知48〃CO,AM平分NBAP,CM平分NPCD.當點、P、M在直線NC異側時，直接寫

出N/尸。與NMWC的數量關系：

15.（23-24七年級下?河北邯鄲?期中）已知，直線CD,點尸為平面上一點，連接/尸與CP.

（1）如圖1,點尸在直線48、CD之間，當乙84P=60。，NDCP=20。時，求//尸。的度數.

（2）如圖2,點尸在直線48、8之間，NR4P與/DCP的角平分線相交于點K,寫出NNKC與/NPC之間

的數量關系，并說明理由.（3）如圖3,點尸落在CD下方，N24P與NDC尸的角平分線相交于點K,請直接

寫出NAKC與NAPC的數量關系.

16.（23-24七年級下?湖北武漢?期中）4B〃CD,點￡、尸分別在48、CD上；點。在直線48、C。之間,

且NE。尸=80。（1）如圖1,①若N。尸C=20。，求乙4￡。的度數;

②若NOFC=々，請你直接寫出ZOFC+ZAEO=：

（2）如圖2,直線分別交/BE。、2。9C的角平分線于點M、N,求的值

(3)如圖3,EG在NNE。內，ZAEG=mZOEG；FH在NDFO內,ZDFH=mZOFH,直線跖V分別交EG、

制分別于點M、N,旦NFMN-4ENM=80°,直接寫出加的值

17.（23-24七年級下?遼寧大連?期末）【問題初探】（1）數學活動課上，李老師和同學們共同探究平行線

的作用.李老師給出如下問題：AB〃CD,點P為CD下方一點,連接尸4PC,得到N4PC,試探究//PC