專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模

型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航-

例題講模型'

...........................................................................................................................................2

模型1.高分線模型.....................................................................2

模型2.雙垂直模型.....................................................................4

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）...................................................5

習題練模型一

.........................................................................................................................................................7

例題講模型I]

模型1.高分線模型

模型解讀

三角形的高：-從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.

三角形的角平分線：在三角形中，一個內角的角平分線與它所對的邊相交，這個角的頂點與交點之間的線

段叫做三角形的角平分線.

高分線模型：過三角形一個頂點的高與角平分線的夾角等于另外兩個角差的絕對值的一半。

模型證明

1)條件：如圖1,在中，AD,AE分別是AABC的高和角平分線，結論：Zr>A￡=1(ZC-ZB).

2)條件：如圖2,尸為AABC的角平分線AE的延長線上的一點，FD工BC于D,結論：ZDFA=^ZC-ZB).

圖1圖2

1）證明：平分/R4C,AZEAC=^ZBAC,

?：ZBAC=1800-ZB-ZC,：.ZE4C=1（180°-ZB-ZC）=90°-1zB-izC,

ZEAD=ZEAC-ZDAC=90°-1zB-|zC-（90°-ZC）=|（ZC-ZB）；

2）證明：如圖，過A作AG_L3C于G,由（2）可知：ZEAG=^（ZC-ZB）,

VAGIBC,ZAG3=90°,-.■FDLBC,ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,ZAFD=-（ZC-ZB）.

2

模型運用

例1.（23-24八年級上山東臨沂.階段練習）如圖，AD,AE分別是VABC的角平分線和高線，且/5=50。,

NC=70°,則NEW=

例2.（23-24八年級上.重慶?期中）己知：如圖①所示，在VABC中，AD為BC的高，AE為NBAC平分線

交8c于點E,/3=20。,/。=50。.（1）求ZE4D的度數；（2）/皿與/3,/。之間有何數量關系？

（3）若將題中的條件“NB=20。”改為“NABC=100。"（如圖②），其他條件不變，則N￡A￡>與乙鉆。,/。之間

又有何數量關系？請說明理由.

例3.（23-24八年級上?廣東?校考期中）已知：在VABC中，ZC>ZB,AE平分/BAC交BC于點E.

⑴如圖①，ADIBC于點。，若/。=60。,/3=30。，求ZD4E的度數；

（2）如圖①，AD23C于點。，若ZB=a,2C=。,求々ME的度數（用含氏〃的式子表示）；

（3）如圖②，在VABC中，ADSBC于點。，尸是AE上的任意一點（不與點A,E重合），過點尸作戶G,3c

于點G,且/3=30。,/。=80。，請你運用（2）中的結論求出ZEFG的度數；（4）在（3）的條件下，若點尸在

AE的延長線上（如圖③），其他條件不變，則4FG的度數會發生改變嗎？說明理由.

模型2.雙垂直模型

模型解讀

雙垂直模型的定義是一個三角形中有兩條高，則圖中會產生多個直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之

間的關系。

模型證明

條件：如圖所不，在△A3C中，BD,CE是兩條高，

結論：?ZABD=ZACE；?ZA=ZBOE=ZCOD；③=。

證明：?:BD,CE是兩條高,：,ZAEC=ZBEC=ZADB=ZCDB=90°f

：.ZABD^ZA=90°,ZACE+ZA=90°,ZACE+ZDOC=90°,：.ZABD=ZACEfZDOC=ZAf

?；NDOC=NBOE,：.ZA=ZBOE=ZCODo

■:BD,CE是△A8C的兩條高，.\S^ABC=~ABCE=~ACBDf/.AB-CE=ACBD°

模型運用

例1.（2023?陜西咸陽?統考一模）如圖，在中，CR3E分別是AB,AC邊上的高，并且CD,BE交于點

P,若NA=50。，則23PC的度數為（）

例2.（23-24八年級上?湖北武漢?階段練習）在VA3C中，4=55。,8。CE是它的兩條高，直線8￡）,CE交

于點RZDFE=.

例3.（2022秋?安徽宿州?八年級校考期中）如圖，在AABC中，C￡＞和BE分別是AB,AC邊上的高,若CD=12,

AT

BE=16,則丁的值為（）.

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）

模型解讀

子母型雙垂直模型的定義是一個直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關系。

模型證明

條件：在RflBC中，ZACB=90°,CO是AABC的高線，

結論：①/B=/ACD；②NA=/BCD；?ACBC=CDABo

c

：.ZACD+ZA=9Q°,ZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,：.ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

VZACB=90°,cr）是高線，.?.SAASc=；-A2C￡>=gACJBC,,AC.3c=CDAB。

模型運用

例1.（2023?廣東廣州?七年級校考階段練習）如圖，在八4。5中，ZACB=90°,求證:

ZB=ZACD.

ADH

例2.（2024八年級上?江蘇.專題練習）如圖，在Rt^A5c中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD為A3邊上

的高.（1）求斜邊A8的長；（2）求8的長.

例3.（23-24八年級?江蘇?假期作業）如圖①，在VABC中，ABAC=90°,AD是BC邊上的高.

（1）求證：ZDAC=ZABC；（2）如圖②，VABC的角平分線CF交AD于點E.求證：ZAFE^ZAEF-,

（3）在（2）的條件下，/&LD的平分線分別與CP,2C相交于點H、點G,如圖③，若A//=6,CH=8,

CG=10,求AD的長.

習題練模型

I

1.（2023?北京通州?八年級統考期末）如圖，在中,ZABC=90°,BD1AC,垂足為。.如果4c=6,

BC=3,則8。的長為（）

A.2B.-C.373D.更

272

2.（2023秋?浙江?八年級專題練習）如圖，AABC中，BDLAC,3E平分/ABC,若？A2?C,NDBE=20°,

則/ABC=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.（23-24八年級上?陜西西安?開學考試）如圖，在VABC中，ABAC=45°,AD±BC,CE1AB,垂足分

別為點。、E,AD,CE交于點”，EH=EB.下列結論：①NABC=45°；②AH=BC；@AE-BE=CH；

④皿_LAC.你認為正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.（23-24八年級下?廣西柳州?開學考試）如圖，在VABC中，/54C和ZABC的平分線AE,正相交于點

O,AE交BC于E,叱交AC于R過點。作OD，3C于。，下列三個結論：?ZAOB=90°+1zC；②

當NC=60。時，AF+BE=AB-,③若O￡>=”，AB+BC+CA=2b,貝然△.0=2".其中正確的是（）

A

A.①②B.②③C.①②③D.①③

5.（2023下?重慶涪陵八年級統考期末）如圖，鈍角AABC中，N2為鈍角，AD為邊上的高，AE為NB4C

的平分線，則與Nl、N2之間有一種等量關系始終不變，下面有一個規律可以表示這種關系，你發

現的是（）

A.ZQAE=Z2-Z1B.Z￡>AE=Z2~Z1C.Z79AE=--Z1D.ZZ）AE=Z1+Z2

———222

6.（2023下?湖北襄陽?八年級統考開學考試）如圖，在AABC中，AO是高，AE是角平分線，8尸是中線，AE

與跖相交于。，（NONABC）以下結論正確的有（）

①ZBAD+ZABD=ZCAD+ZC-,②=SACBF；③ZEAD=|（ZC-ZABC）；④SAASE:S^ACEAB:AC.

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.（2023下?重慶江北?七年級校考期中）如圖，在中，ZACB>ZB,AD,AE分別是高和角平分線,

點歹在BC的延長線上，陽_1鉆交4。于6,交AB于H,下列結論中不正確的是（）

A

A.ZDAE=ZFB.ZAEF=|（ZACF+ZB）C.ZF=^（ZACB-ZB）D.ZAGH=ZCAE+ZB

8.（2023?山西呂梁?八年級統考期末）如圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=45°,在腰AB上取一

點。，DELBC,垂足為E,另一腰AC上的高B尸交DE于點G,垂足為E若8E=3,則。G的長

為.

9.（2024?重慶?三模）如圖，A4BC中，3DLAC于點。，AB八CE于點E,CE與3。相交于點“，已知

AD=HD^2,CD=6,則AABC的面積為.

10.（23-24八年級上.安徽六安?期中）如圖，在VA3C中，ZABC=48°,ZACB=76°,兩條高3￡＞、CE交于

點0,連接AO,則/Q4￡=.

11.（2023春?江蘇宿遷?七年級統考期末）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,ZC=40°,AH、8￡）分別是AABC

的高和角平分線，點E為3c邊上一點，當ABDE為直角三角形時，則NCDE=

12.（2023秋?浙江?八年級專題練習）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90。，CD_LAB于。，AF平分NC4B

交8于E,交BC于F.⑴如果NCFE=70。，求23的度數；（2）試說明：ZCEF=ZCFE.

13.（23-24七年級下?江蘇無錫?階段練習）如圖，在V4BC中，AO平分/A4C,尸為線段AD上的一個點，

PE2AD交直線3c于點E.⑴若/5=35。，ZACB=85°,求NE的度數.⑵猜想NE與—5、NACfi的

數量關系.

BDE

14.（23-24八年級上?遼寧鞍山?期中）（1）如圖①，在RtzkABC中，ZACB=90°,CD_LAB,垂足為D,求

證：ZACD=ZB；（2）如圖②，在RtAABC中，ZC=90°,D、E分別在AC,AB上，且/ADE=NB,判

斷AADE的形狀？并說明理由？（3）如圖③，在RSABC和R3DBE中，ZC=90°,/E=90。，點C,B,

E在同一直線上，若AB_LBD,AB=BD,則CE與AC,DE有什么等量關系，并證明.

15.（23-24七年級下.河南周口.階段練習）已知在VABC中，4013。于點。.

圖1

⑴如圖1,若254C的平分線交于點E,ZB=35°,ZC=25°,則—ME的度數為.

（2）如圖2,點M、N分別在線段A6、AC上，將VABC折疊，點8落在點尸處，點C落在點G處，折痕分

別為DM和ON,點G、尸均在直線AD上，若440=120。，試說明NAMF+N/WG=4+NC.

16.（22-23八年級上?廣西桂林?期中）如圖，VABC中，ZA=40°,ZB=60°,CE■平分/ACB,CDLAB

A（JAP

于。，。尸_LCE,交CE■于尸，求：（l）NCD尸的度數；（2）當CE平分/ACB時，一=—，若AC=m,BC=〃,

CBBE

AB=a,請用含機，n,a的代數式表示BE的長.

17.（2024?河北邢臺?八年級校考期中）在AABC中，ZACB>ZABC,D,E分別是邊BC和BC延長線上的

點，連接AO,AE,NCAE=NB.⑴如圖1,若/ADE=60。，ZCAE=4O°,求254。的度數；（2）如圖2,

已知44E=/4DE.①判斷AD是否平分,B4C,并說明理由；②/為射線鈕>上一點（不與點。重合）,

過點尸作PG_L3C,垂足為G.若4=a,ZACB=/3,直接用含a,夕的式子表示出NAFG的度數.

圖1圖2

18.（2023春?江蘇泰州?七年級統考期末）已知：如圖，在"RC中，ZACB=90°,D、E分別在邊A3、BC

上，AE.C。相交于點

（1）給出下列信息：①NCFE=NCEF；②AE是AABC的角平分線；③8是AABC的高.請你用其中的兩

個事項作為條件，余下的事項作為結論，構造一個真命題，并給出證明；

條件：,結論：.（填序號）

證明：

（2）在（1）的條件下，若NB=a,求"EE的度數.（用含a的代數式表示）

19.（2023?福建莆田?八年級校考期中）規定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，

那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”.

從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分

割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形是“等角三角形"，我

們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

（1）如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,請寫出圖中兩對“等角三角形”；

⑵如圖2,在“中，以＞為NACB的平分線，ZA=40°,-3=60。.求證：以＞為AABC的“等角分割線”;

（3）在AABC中，若NA=50。，8是AABC的“等角分割線”，請求出所有可能的NACB的度數.

20.(2023下?河南新鄉?七年級期中)綜合與實踐課上，老師讓同學們以“三角形的角與三角形的特殊線段”

為主題開展數學活動.

(1)【操作判斷】在AABC中，N3=40。，ZC=70°,作N54C的平分線AD交于點。.

①操作一：在下圖中，用三角尺作BC邊上的高AE,垂足為點E,求/ZME的度數；

②操作二：如圖1,在AD上任取點歹，作FELBC,垂足為點E,直接寫出NDEE的度數；

(2)【遷移探究】操作三：如圖2,將(1)中“在上任取點尸'改為“在D4的延長線上任取點尸'其他條件

不變，判斷/加石的度數是否會發生變化，并說明理由；

(3)【拓展應用】如圖3、圖4在AABC中，NB=a,NC=〃，AD是NBAC的平分線，在直線上任取

點、F,過點/作EF/AD與直線BC交于點E,請直接寫出尸與a,夕之間的數量關系.

圖3圖4

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模

型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航-

例題講模型'

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模型1.高分線模型....................................................................16

模型2.雙垂直模型....................................................................20

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）..................................................22

習題練模型一

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例題講模型I]

模型1.高分線模型

模型解讀

三角形的高：-從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.

三角形的角平分線：在三角形中，一個內角的角平分線與它所對的邊相交，這個角的頂點與交點之間的線

段叫做三角形的角平分線.

高分線模型：過三角形一個頂點的高與角平分線的夾角等于另外兩個角差的絕對值的一半。

模型證明

1)條件：如圖1,在中，AD,AE分別是AABC的高和角平分線，結論：Zr>A￡=1(ZC-ZB).

2)條件：如圖2,尸為AABC的角平分線AE的延長線上的一點，FD工BC于D,結論：ZDFA=^ZC-ZB).

圖1圖2

1）證明：平分/R4C,AZEAC=^ZBAC,

?：ZBAC=1800-ZB-ZC,：.ZE4C=1（180°-ZB-ZC）=90°-1zB-izC,

ZEAD=ZEAC-ZDAC=90°-1zB-|zC-（90°-ZC）=|（ZC-ZB）；

2）證明：如圖，過A作AG_L3C于G,由（2）可知：ZEAG=^（ZC-ZB）,

VAGIBC,ZAG3=90°,-.■FDLBC,ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,ZAFD=-（ZC-ZB）.

2

模型運用

例1.（23-24八年級上山東臨沂.階段練習）如圖，AD,AE分別是VABC的角平分線和高線，且/5=50。,

NC=70°,則ZEW=—.

【答案】10。

【分析】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，是基礎題，準確識圖找出各

角度之間的關系是解題的關鍵.根據三角形的內角和等于180。求出-54C,再根據角平分線的定義求出

NBAD,根據直角三角形兩銳角互余求出上BAE,然后根據㈤0=N&4D代入數據進行計算即可

得解.

【詳解】解：,.?4=5。°,ZC=70°,\2BAC180??B?C180?50?70?60?,

AD是AABC的角平分線，，44）=」484^=、60。=30。，

22

AE是VABC的高線，ZBAE=90°-ZB=90°-50P=40P,

ZEAD=ZBAE-ZBAD=40°-30°=10°.故答案為：10。.

例2.（23-24八年級上.重慶?期中）已知：如圖①所示，在VABC中，AD為BC的高，AE為NA4c平分線

交BC于點E,=20°,ZC=50°.

（1）求ZE4D的度數；（2）ZE4D與ZB,NC之間有何數量關系？

（3）若將題中的條件“NB=20。”改為“NABC=100。"（如圖②），其他條件不變，則與NABGNC之間

又有何數量關系？請說明理由.

【答案】（l）15o（2）NE4O=；（NC-NB）（3）NEAO=g（NABC-NC）,理由見解析

【分析】本題主要考查三角形中角與角之間的關系，掌握三角形內角和定理、角平分線的性質、三角形外

角的性質的應用.(1)首先根據三角形的內角和定理求得-B4C,再根據角平分線的定義求得4AE,再

根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和求得/血>，最后根據直角三角形的兩個銳角互余即

可求解，(2)根據(1)即可得出NEAD與4、/C之間的關系，

(3)根據三角形內角和定理、角平分線的性質、三角形外角的性質依次推理即可得出結論.

【詳解】(1)解：VZB=20°,ZC=50°,AZBAC=180°-ZB-ZC=110°

又,/AE為ZBAC的平分線，NE4c=1/BAC=55°

2

為3C的高，AZADC=90°,ZDAC=900-ZC=40°,：,AEAD=ZEAC-ZDAC=15°；

(2)解：由圖知NZMEMZBAE-NCWMj/BAC-NGlOMgOgOO—NB—NC)—eOO—NC)=1(ZC-ZB)；

(3)解：Z￡4￡>=1(ZABC-ZC)理由如下：由三角形內角和知/區4。=180。一//3。-/。，

AE為^BAC的平分線,：.NBAE=|ABAC=1(180°-ZABC-ZC)

為BC的高，?.ZADC=90°=Z.DAB+ZABD

又「ZABD=1800-ZABC,：.ZDAB=90°-(180°-ZABC)=ZABC-90°

ZEAD=NDAB+NBAE=ZABC-90°+1(180°-ZABC-ZC)=1(ZABC-ZC).

例3.(23-24八年級上?廣東?校考期中)已知：在VABC中，ZC>ZB,AE平分/BAC交BC于點E.

⑴如圖①，AO23c于點。，若/。=60。,乙8=30。，求ZZME的度數；

(2)如圖①，AD23C于點。，若NB=a/C=/3,求皿歸的度數(用含氏〃的式子表示)；

(3)如圖②，在VABC中，4D13C于點。，歹是AE上的任意一點(不與點A,E重合)，過點尸作FG,3c

于點G,且NB=30o,NC=80。，請你運用(2)中的結論求出NEFG的度數；

(4)在(3)的條件下，若點/在AE的延長線上(如圖③)，其他條件不變，則/EFG的度數會發生改變嗎？

說明理由.

【答案】(1)/ZME=15。(2)ND4E=go-a)(3)NEFG=25。(4)ZEFG的度數不會發生改變，理由見解析

【分析】(1)首先根據三角形內角和定理可得/"4C=180。--NC,再結合角平分線的定義可知

ZBAE=NC4E=g/BAC=90。-g(N8+NC),然后由“直角三角形兩銳角互余”可得ZZMC=90。-NC,進而

ZDAE=ZCAE-ZDAC=(ZC-ZB),即可獲得答案；(2)結合(1)可得結論；

(3)結合ND4E=J(NC-ZB),易得NDAE=25。,再證明/G〃4),由“兩直線平行，同位角相等”可得

NEFG=NEAD,即可獲得答案；

(4)證明/G〃AD,由“兩直線平行，內錯角相等”可得NEFG=/E4D,即可獲得答案.

【詳解】(1)解：?.?在VABC中，ZS+ZC+ZBAC=180°,Z.BAC=180°-Zfi-ZC,

,/AE平分/BAC,/.NBAE=ZCAE=|ABAC=；(180°-ZB-ZC)=90°-1(NB+ZC),

,：ADJ.BC,：.ZADC=90°,Z.ZDAC=90°-ZC,

：.ZDAE=ZCAE-ZDAC=90°-1(ZB+ZQ-(90°-ZC)=1(ZC-ZB),

當NC=60°,ZB=30°時，ZDAE=(60°-30°)=15°；

(2)由(1)可知，ZDAE=g(NC-ZB),.?.當NB=a,NC=力時，ZDAE=g(夕-cr)；

(3)VZDAE=-(ZC-ZB),而/3=30°,/。=80°,Z.DAE=-x(80°-30°)=25°,

22

VADJ.BC,FG1BC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°；

(4)NEFG的度數大小不發生改變.理由如下：

VADJ.BC,FGLBC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理、直角三角形兩銳角互余、平行線的性質、角平分線的定義、

垂直的定義等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵.

模型2.雙垂直模型

模型解讀

雙垂直模型的定義是一個三角形中有兩條高，則圖中會產生多個直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之

間的關系。

模型證明

條件：如圖所不，在△A3C中，BD,CE是兩條高，

結論：?ZABD=ZACE；?ZA=ZBOE=ZCOD；③=。

證明：?:BD,CE是兩條高,AZAEC=ZBEC=ZADB=ZCDB=90°,

：.ZABD^ZA=90°,ZACE+ZA=90°,ZACE+ZDOC=90°,：.ZABD=ZACEfZDOC=ZAf

VZDOC=ZBOEf：.ZA=ZBOE=ZCODo

■:BD,CE是△ABC的兩條高，-AB-CE=-AC?BD,：?AB.CE=AC?BD。

模型運用

例1.（2023?陜西咸陽?統考一模）如圖，在AABC中，CD,3E分別是AB,AC邊上的高，并且CRBE交于點

P,若ZA=5O。，則23PC的度數為（）

【答案】A

【分析】根據題意和直角三角形的兩個銳角互余可求得/ABE的度數，再根據三角形的外角即可得.

【詳解】解：：5E是AC邊上的高，ZB￡A=90°,VZA=50°,AZABE=90°-ZA=90°-50°=40°,

：8是AB邊上的高，ZCDB=90°,ABPC=ZCDB+ZABE=90°+40°=130°,故選：A.

【點睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關鍵是掌握這些知識點.

例2.（23-24八年級上?湖北武漢.階段練習）在VA8C中，ZA=55。，8。CE是它的兩條高，直線交

于點EZDFE=.

【答案】55。或125。

【分析】分兩種情況：當VABC為銳角三角形時，當VABC為鈍角三角形時，用三角形內角和求解即可.

【詳解】解：當VABC為銳角三角形時，如圖，

VZA=55°,32CE是它的兩條高，=125。；

當VABC為鈍角三角形時，如圖，；ZA=55。，是它的高，/AfiD=NEBR=35。，

：CE是VABC的高，:.ZDFE=55。,綜上所述：NDFE=125°或NDFE=55°,故答案為：55。或125。.

【點睛】本題主要考查了垂直的定義、四邊形的內角和，熟練掌握四邊形的內角和為360度及分類討論是

解題的關鍵.

例3.（2022秋?安徽宿州?八年級校考期中）如圖，在^ABC中，。和BE分別是AB,AC邊上的高，若CD=12,

BE=16,則「的值為（）.

【答案】B

【分析】根據三角形的高的性質，利用等積法求解即可.

11AC193

【詳解】,**S扉。=-AB,CD——AC,BE,12AB=16AC?=———.故選B.

△22AB164

【點睛】本題考查與三角形的高有關的計算問題.根據三角形的面積公式得出=AC.砥是解題關鍵.

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）

模型解讀

子母型雙垂直模型的定義是一個直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關系。

模型證明

條件：在中，ZACB=90°,是的高線，

結論：?ZB=ZACD；?ZA=ZBCD；?ACBC=CDAB0

c

ZACD+ZA=90°,ZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,：,ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

VZACB=90°,CD是高線，ASAAfiC=1-AB-Cr>=1.AC-BC,AACBC=CDAB°

模型運用

例1.（2023?廣東廣州?七年級校考階段練習）如圖，在△AC2中，ZACB=90°,CDLAB于。，求證:

ZB=ZACD.

【答案】見解析

【分析】根據CDLAB可得NACB=NCOS=90。，再根據/3+ZBCD=ZBCD+NACD=90。，即可求證.

【詳解】證：'：CD1AB,ZACB=90°/.ZACB=ZCDB=90°

XVZ5+ZCDB+NBCD=180°,Z.ZB+NBCD=90°

又ZACB=ZBCD+ZACD=90°,/.NB+NBCD=ZBCD+ZACD=90°/.ZB=ZACD

【點睛】此題考查了三角形內角和性質的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形內角和的性質.

例2.（2024八年級上?江蘇?專題練習）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,C￡＞為A3邊上

的高.（1）求斜邊AB的長；（2）求8的長.

【答案】（1）10（2）4.8

【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，掌握勾股定理是解本題的關鍵.

（1）由勾股定理可求解；（2）由面積法可求解.

【詳解】(1)在Rt^ABC中，ZACB=90o,AC=6,BC=8,：.AB=y/AC2+BC2=10；

：XXXX：

(2),S△HAQBLC=2-AC2BC=-ABCD,.6x8=10xCD,/.CD=4.8.

例3.(23-24八年級?江蘇?假期作業)如圖①，在VA8C中，ABAC=90°,AD是8c邊上的高.

（1）求證：ZDAC=ZABC；（2）如圖②，VABC的角平分線CF交AD于點E.求證：ZAFE=ZAEF；

（3）在（2）的條件下，/B4D的平分線分別與CF,BC相交于點H、點G,如圖③，若AH=6,CH=8,

CG=10,求AD的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=9.6.

【分析】（1）據三角形高的定義及直角三角形兩銳角互余的關系即可得結論；（2）根據角平分線的定義及

直角三角形兩銳角互余的關系可得/AFE=/CED,根據對頂角相等的性質即可得結論；（3）根據等腰三角

形“三線合一”的性質可得AHLEF,根據勾股定理可求出HG的長，進而可得AG的長，利用面積法即可得

答案.

【詳解】（1）NBAC=90°,ZABC+ZACB=90°,

?.?AD是邊上的高，ADJ.BC,：.ZADC=90°.

：.NDAC+ZACB=90°,/.ADAC=ZABC.

（2）：CF是VABC的角平分線，；.ZACF=/BCF,

ABAC=ZADC=90°,ZAFE+ZACF=ZCED+ZBCF=90°,ZAFE=ZCED,

ZAEF=ZCED,ZAFE=ZAEF.

(3)由(2)可知：ZAFE=ZAEF,；.AF=AE,

「AG平分/BAD,AG分別與CF,3C相交于點H、點G,，AH，EF,

VCH=8,CG=10,.\GH=7CG2-CH2=6;

VAH=6,；.AG=AH+GH=12,/.SAGC=-AGCH=-CG-AD,即12x8=10AD,解得：AD=9.6.

A22

【點睛】本題考查角平分線的定義、直角三角形的性質、等腰三角形的性質及勾股定理，直角三角形兩銳

角互余；等腰三角形底邊的中線、底邊上的高及頂角的角平分線“三線合一”；直角三角形的兩條直角邊的平

方和等于斜邊的平方；熟練掌握相關性質和定理是解題關鍵.

.題練模型I

1.（2023?北京通州?八年級統考期末）如圖，在AABC中，ZABC=90°,BDLAC,垂足為。.如果AC=6,

BC=3,則的長為（）

A.2B.1C.3A/3D.受

【答案】D

【分析】先根據勾股定理求出AB,再利用三角形面積求出8。即可.

【詳解】解：；NABC=9O。，AC=6,BC=3,；.根據勾股定理鈣=MAC?-BC?=抬-3?=3g，

VBD1AC,：.SAABC=-ABBC=-ACBD,即工x3/x3=，x6-2。，解得：BD=^-.故選擇D.

22222

【點睛】本題考查直角三角形的性質，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質，勾股定理,

三角形面積等積式是解題關鍵.

2.（2023秋?浙江?八年級專題練習）如圖，AABC中，BD1AC,BE平分/ABC,若？A2?C,NDBE=20。,

則/ABC=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】設NC=（z,那么NA=2ar,然后利用。分別表示/ABC,NABE,^ABD,最后利用三角形內

角和定理建立方程解決問題.

【詳解】解：：中，？A2?c,.?.設NC=a，那么NA=2Q,.../ASC=180O-NA-/C=180。—3。，

,/BE平分/ABC,：.ZABE=-ZABC=-（l80°-3a）,

22

i3

VBDVAC,ZDBE=20°,：.ZABD=ZABE-ZDBE=-（12,00-3a）-20°=10°--a,

3

ZA+ZABD=2a+70°一一a=90°,；.=4O°,：.ZABC=180°-ZA-ZC=180°-3a=60°.故選：B.

2a

【點睛】此題主要考查了三角形內角和定理，同時也利用了角平分線的定義，解題的關鍵是熟練使用三角

形內角和定理.

3.（23-24八年級上?陜西西安?開學考試）如圖，在VABC中，NBAC=45。,AD1BC,CE1AB,垂足分

別為點。、E,AD,CE交于點、H,EH=EB.下列結論：①NABC=45。；②AH=BC；@AE-BE=CH

④AC.你認為正確的有（）

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、三角形的

一個外角等于與它不相鄰的兩個內角.

①根據AD23C,若/ABC=45。，貝|440=45。，而44c=45。，很明顯不成立；②③可以通過證明

絲ACEB得到；④延長交AC于點L則/皮C=+NB4C=90。，所以3H_LAC.

【詳解】解：假設NABC=45。成立，,:ADJ.BC,/54D=45。，

VABAC=45°,矛盾，=45°不成立，故①錯誤.

VABAC=45°,CE1AB,:.AE=EC,

AE=EC

在AAEH和KEB中，＜NAEC=ZBEC：.AAEH^ACEB（SAS）AH=BC故②正確.

EH=EB

VEC-EH=CH,3E=C”故③正確.延長3”交AC于點L

VEH=EB,CELAB,:.NEBH=/EHB=45。,

VZBAC=45°,：,ZBLC=ZEBH+ABAC=90°,BHLAC,故④正確.故選：B.

4.(23-24八年級下廣西柳州?開學考試)如圖，在VABC中，/54C和ZABC的平分線AE,BF相交于點

O,AE交BC于E,所交AC于尸，過點。作OD，3C于。，下列三個結論：@ZAOB=90°+1zC；②

當NC=60°時，AF+BE=AB；③若8=。，AB+BC+CA=2b,貝”0叱=2".其中正確的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】A

【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，三角形全等的性質和判定，正確作出輔助線

證得△/ffiO的AEBO,得到N2QH=NBOE=60。，是解決問題的關鍵.由角平分線的定義結合三角形的內角

和的可求解—403與，。的關系，進而判斷①；在A3上取一點N,使BN=BE,證得ANBO^AEBO,得

至11/3次=/反加=60。，再證得ANAO絲,得到AF=4V,進而判斷②正確；作O"J_AC于X,

于根據三角形的面積可證得③錯誤.

【詳解】解：?/ZBAC和ZABC的平分線相交于點0,：.NOBA^-ZCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

ZAOB=180。一ZOBA-ZOAB=180°-1ZCBA-1ZC4B=180°-1(180°-ZC)=90°+1ZC,故①正確.

,/ZC=60°,：.ABAC+ZABC=120°,

VAE,8尸分別是，R4c和/ABC的平分線，NOAB+NOBA=J(ZBAC+/ABC)=60。，

/.ZAOB=120°,ZAOF=60°,：.ZBOE=60°,如圖，在A3上取一點N,使BN=BE,

BF是XABC的角平分線，ANBO=/EBO,

BN=BE

在ANBO和AEBO中，＜乙NBO=NEBO,&NBg止BO（SAS）,

BO=BO

：.BE=BN,ZBON=ZBOE=ZAOF=60°,；.ZAON=120°-60°=60°=ZAOF

'：OA=OA,ZOAF=NOAN：.AAOF^AON：.AF=AN：.AB=AN+BN=AF+BE,故②正確.

作O”_LAC于H，3/_1鉆于河，

?.,/B4C和—ABC的平分線AE,即相交于點O,...點。在一C的平分線上，AOH=OM=OD=a,

*.*AZ?+BC+CA=2b,S〃ABC=/義AB,0M+—xAC,OH+—xBC-OD=—AS+AC+BC'j-ci—ab.

故③錯誤.故選：A.

5.（2023下?重慶涪陵?八年級統考期末）如圖，鈍角AABC中，/2為鈍角，AD為8C邊上的高，AE為/BAC

的平分線，則與Nl、N2之間有一種等量關系始終不變，下面有一個規律可以表示這種關系，你發

現的是（）

A.ZDAE=N2—N1B.ZDAE=Z2~Z1C.ZDAE=--Z1D.ZDAE=Z1+Z2