專題1-8立體幾何與空間向量十二大重點(diǎn)題型匯總

。常考題型目錄

題型1空間向量的概念............................................................1

題型2空間向量的線性運(yùn)算........................................................5

題型3空間向量的線性表示........................................................8

題型4空間向量的基本定理.......................................................13

題型5空間向量共線問題.........................................................16

題型6空間向量共面問題.........................................................19

題型7空間向量的數(shù)量積、夾角與模長問題........................................24

題型8空間向量的對(duì)稱問題.......................................................30

題型9利用空間向量證明位置關(guān)系.................................................34

題型10利用空間向量計(jì)算空間角..................................................43

題型11利用空間向量算距離......................................................53

題型12空間中的動(dòng)點(diǎn)問題........................................................62

但題型分類

題型1空間向量的概念

【例題1]（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知正方體ABCD-的中心為。，則在下列

各結(jié)論中正確的共有（）

①次+礪與痔+比7是一對(duì)相反向量；

②而-沆與而-亦是一對(duì)相反向量；

③瓦？+OB+OC+而與。不+OB7+OC7+亦是一對(duì)相反向量；

④布-耐與反-沆7是一對(duì)相反向量.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、相等向量和相反向量定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

對(duì)于①,ox=-0C7,~OD=-OB7,.-.OA+OD-(OB7+OC7),

OA+而與西+正是一對(duì)相反向量,①正確；

對(duì)于②,"OB-OC^CB,0^-0D7=DM7,又方=PM7,

OB-沆與而-而不是相反向量，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③,"OA^-0C7,OB=-0D7,OC=-Ol7,OD=-OB7,

■.OA+OB+OC+OD--(OA1+OB7+OC7+OD7),

.■.OA+OB+OC+而與振+痔+玩7+正是一對(duì)相反向量，③正確；

777

又寸于④,-??OX-OX=XF/OC-OC-CC,又打=-CT,

???瓦尹-就與沆-正是一對(duì)相反向量，④正確.

故選：C.

【變式1-1]1.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))下列命題中為真命題的是()

A.空間向量荏與瓦?的長度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

C.空間向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

【答案】A

【分析】由于向量的長度與向量的方向無關(guān)，相反向量的長度相，由此可判斷AD,將空間

所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，由此可判斷B,由向量與有

向線段的關(guān)系判斷c.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榭臻g向量荏與瓦宿:為相反向量，所以空間向量荏與瓦?的長度相等，

所以A正確，

對(duì)于B力各空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C

錯(cuò)誤，

對(duì)于D,兩個(gè)空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量屈與瓦?的模相

等，所以D錯(cuò)誤，

故選：A

【變式1-1]2.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.零向量沒有方向

B.空間向量不可以平行移動(dòng)

C.如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長度不相等

D.同向且等長的有向線段表示同一向量

【答案】D

【分析】根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B;根據(jù)

相等向量的定義可以確定C、D.

【詳解】對(duì)于A:零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B:空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C、D:大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，

所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.

故選：D.

【變式1-1]3.（多選）（2023秋湖北襄陽?高二襄陽五中校考開學(xué)考試）如圖所示，在長

方體A8CD—a/iGA中，2B=3,4。=2,441=1,則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為始

A.單位向量有8個(gè)B.與荏相等的向量有3個(gè)

C.京的相反向量有4個(gè)D.模為畫的向量有4個(gè)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)單位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐項(xiàng)分析可得答案.

【詳解】由題可知單位向量有初，而，西，瓦N,宿，京，西，取，共8個(gè)，故

A正確；

與荏相等的向量有4瓦,即7，沆，共3個(gè)，故B正確；

向量標(biāo)的相反向量有不，庭，京，瓦萬，共4個(gè)，故C正確；

模為隗的向量分別為麗，用，碩，兩，M,而，瓦T,西，共8個(gè)，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【變式1-U4.（2021秋?高二課時(shí)練習(xí)）給出下列幾個(gè)命題：

①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；

②若同=\b\,貝！=3或a=-b；

③對(duì)于任何向量a,b,必有同+b\<\a\+\b\.

其中正確命題的序號(hào)為.

【答案】③

【分析】根據(jù)相反向量的定義可以判斷①；兩個(gè)向量模相等，這兩個(gè)不一定是相等向量或相

反向量可以判斷②；通過對(duì)2,3同向，反向，不共線進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形法則和三

邊關(guān)系則可以判定③.

【詳解】對(duì)于①，長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)；

對(duì)于②，若悶=\b\,則a與笳勺長度相等，但方向沒有任何聯(lián)系，故②不正確；

對(duì)于③,若2與3同向,則口+臼=|a|+\b\,若2與刃反向,\d+b\<|a|+\b\,若2與另不

共線,結(jié)合三角形法則和三角形三邊關(guān)系,兩邊之和大于第三邊,所以n+b\<\a\+\b\,

綜上必有4+b\<\a\+\b\,所以③正確.

題型2空間向量的線性運(yùn)算

【例題2](2023秋?河北石家莊?高二石家莊二十三中校考期末)已知四面體ABC。，G是CD

的中點(diǎn)，連接4G,則4B+1(BD+BC)=()

A?武B.德C.BCD.河

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用中點(diǎn)的向量的線性關(guān)系及向量加法法則即可求解.

【詳解】四面體48CD,G是CD的中點(diǎn)，如圖所示，

R

因?yàn)镚是CD的中點(diǎn)，

所以麗=式麗+配)

所以荏+^(BD+BC^)=AB+BG=AG.

故選：A.

【變式2-1]1.(2021秋?吉林長春?高二校聯(lián)考期末)空間任意五個(gè)點(diǎn)4B、C、D、E,

則科+AE+CD-CB+麗等于

A.DBB.ACC.ABD.~BA

【答案】D

【分析】將病化為求+施+瓦？，利用相反向量的和為零向量即可得結(jié)果.

【詳解】DA+AE+CD-CB+EA

=(DC+CB+BA")+CD-CB+(A￡+IA)

=(DC+CD)+(CB-'CB)+^A+(AE+EA)=市,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力屬于簡

單題.

【變式2-1]2.(2023秋?北京?高二北京八中校考期末)如圖，在空間四邊形2BCD中，設(shè)

E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，則同+*前-麗)=()

A.ADB.FAC.AFD.EF

A

【答案】c

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求得正確結(jié)論.

【詳解】因?yàn)榫?RD=DC,|(BC-BD)=|DC=DF,

所以而+|(BC-BD)=AD+DF=AF.

故選：C

【變式2-1]3.(2020秋?內(nèi)蒙古烏蘭察布?高二校考期末)已知點(diǎn)4(4,1,3),5(2,-5,1),

若前=[荏,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A--(MF)C-?信-3,2)

【答案】B

【解析】設(shè)出c點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)尼=:說表示出坐標(biāo)之間的關(guān)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)可求.

(%-4=|(2-4)(久=與

【詳解】設(shè)C(x,y,z),因?yàn)榍?：屈，所以卜-1=*-5-1)，所以卜=:，所以

[z—3=*1—3)IZ=1

嗯，-1,9，

故選：B.

【變式2-1J4.(2020秋福建三明?高二校聯(lián)考期末)已知4(1,-2,0)和向量五=(-3,4,12),

SAB=2五，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(—6,8,24)D.(-5,6,24)

【答案】D

【分析】根據(jù)五=(-3,4,12),SAB=2d,可得荏的值,同時(shí)已知4(1,-2,0),可得B的坐

標(biāo).

【詳解】解：?.?五=(-3,4,12),且布=2a,XB=(-6,8,24),

4(1,一2,0),山=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是牢記公式，在數(shù)字運(yùn)

算的時(shí)候要細(xì)心.

【變式2-1]5.(2020秋?寧夏銀川?高二寧夏育才中學(xué)校考期末)已知五=(2,-3,1),b=

(2,0,3),c=(1,0,2),則五+6b—8c—____.

【答案】(6,-3,3)

【解析】先計(jì)算8?,再計(jì)算五+63-8卿得解.

【詳解】由于拓=(12,0,18),8c=(8,0,16),故五+6h-8c=(6,-3,3).

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

題型3空間向量的線性表示

【例題3](2023春?江蘇?高二期末)如圖，在四面體OABC中，布="布=39=,點(diǎn)

M在OA上，且滿足麗=3MA,N為BC的中點(diǎn)，則而=()

A1-?37^1-?Q2->17^1->廠1->2個(gè)3-?17^1-?

A.-a——D+-cD.——a+-b+-cC.-a——b+-cU.——a+-D+-c

242322232422

o

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加法和減法的三角形法則得到.

【詳解】如圖，連接ON,

N是8c的中點(diǎn)，二赤=：而+3瓦,

------>------>------>a—?

???0M=3MA,??.OM=-OA,

'4'

~MN=~ON-OM=-OB+-OC--OA=--a+-b+-c.

224422

故選：D.

【變式3-1]1.(2023秋?安徽黃山?高二統(tǒng)考期末)如圖，在三棱柱ABC-A/】G中，E、

F分別是BC、CG的中點(diǎn)，G為A48c的重心，則謂=()

人.號(hào)荏+|元+|磯B*荏+|元+］痂

C.-^AB+^AC-^AAlD一樂，就+工砧

33213321

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘及加、減運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由題意可得：

蕭=謠+而

1一1—,

=-AE+-3^

321

11__>__>1__>___?

=2x2（48+4。）+2（BC+BB】）

111

=-AB-^--AC+-（AC-AB+

662

1—2一1—>

=--AB+-AC+-BB

3321

=--AB+-AC+-AA1.

3321

故選：A.

【變式3-1]2.（2023秋?廣西防城港?高二統(tǒng)考期末）如圖,設(shè)。為平行四邊形ZBCD所在

平面外任意一點(diǎn),E為。C的中點(diǎn)，若布=lOD^xOA+yOB,貝詠+y的值是（）

A.-2B.0C.-1D.-

2

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示，得出荏=|OO+|OB-|OX,結(jié)合條件即可得

出答案.

【詳解】E為。C的中點(diǎn),

???OE=|OC=|（OD+DC）,

,?四邊形48CD為平行四邊形，：.沆=荏，

.-.0E=-(OD+AB)=-COD+OB-OA)=-~OD+-OB--OA.

2、J2v7222

T1T--

OE=-OD+xOA+yOB,

11

%,y=——,

2'72'

???比+y=0,

故選：B.

【變式3-1]3.(2023秋?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期末)如圖，已知空間四邊形0ABe,M,N

分別是邊OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿足前=2GN，設(shè)瓦？=a,OB,OC=c，則而=()

A1-??17*?1Q1.1'L?1-??-1.17*.1-?rs1.1?1->

A.-ad—bH—cB.—ad—b—cQ.-ad—b—cD.—ad—bH—c

333633366666

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算一步步將向量前化為關(guān)于通,OB,OC,即可整理得出答案.

【詳解】OG+MG^OA+jMW=+j(AM+AB+BN),

=河+1(源+而一或+x),

=+1[|ol+OB-OA+^(OC-OB)],

/成+:而+!灰，

1,11.1

=-ad—b4—c.

633

故選：B

【變式3-1J4.(2023秋?北京?高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末庭平行六面體ABCD-

中，點(diǎn)M:兩足224M=AC.右=a,=b,A^A=c，則下列向量中與相

等的是（）

A.-a--b+cB.-a+-b+c

2222

/-1->?17^.->pvl-?17^?->

C.——a+-D+cD.——a——b+c

2222

【答案】C

【分析】結(jié)合圖形，由空間向量的線性運(yùn)算可得.

由點(diǎn)M滿足2前=AC,所以M為4C中點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以M為BD中點(diǎn),

所以前=[麗-|(BX+BC)=|(-a+fa),

所以Bi"=B]B+BM=c+|(—a+b)=—|a+|b+c.

故選：C

【變式3-1]5.(2021秋?湖北宜昌?高二葛洲壩中學(xué)校考期末)在棱長為1的正方體力BCD-

為B1GD1中，E,F,G分別在棱BBi，8C,BA上,且滿足旗=:蔣,BF=^BC,BG=^BA,

0是平面8m尸，平面ACE與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)前=xBG+yBF+zBE,則x+

y+z=

A.iB.-C.-D.-

5555

【答案】B

【分析】利用空間向量的共面定理可得麗在不同基底下的表示方法，從而可求.

【詳解】因?yàn)辂?xBG+yBF+zBE=xBG+yBF+%兩,。在平面/GF內(nèi)，

4

所以％+y+Y=1洞理可得弓+^+z=l,K=y,解得x=y=|,z=|,故選B.

4zZ5b

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的共面定理利用四點(diǎn)共面的特點(diǎn)，建立等量關(guān)系式是求解

關(guān)鍵.

題型4空間向量的基本定理

【例題4】(2023春?河南開封?高二統(tǒng)考期末)若尼石,可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量

可以構(gòu)成空間基底的是()

A.a+b,a—b,aB.d+b,a—b,bC.d+b,d—b,b+cD.a+b,d+b+c,c

【答案】C

【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,a=1[(a+b)+(a-b)]，因此向量五+b,a-b,3共面，故不能構(gòu)成基底，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,b=1[(a+fa)-(a-fa)],因此向量2+b,a-b,3共面，故不能構(gòu)成基底，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,假設(shè)向量2+b,a-b,b+洪面,則3+c-A(a+b)+g(a-b),

即己=(4+〃/+(4-〃-1)K,這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，故C正確；

對(duì)于D,0+3)+3=N+3+葭因此向量d+b,a+b+共面，故不能構(gòu)成基底，故D

錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式4-1]1.(2020秋?河南信陽?高二統(tǒng)考期末)已知N=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),

c=(7,5,2),若代,b,R不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)A的值為()

A.0B.-C.9D.-

77

【答案】D

【分析】依題意可得匕b,洪面，則,^xa+yb,其中CR,根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得到

方程組，解得即可.

【詳解】"｛a,b,遜不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,???a,b,洪面,則｝=xa+yb,其中％,y&R,

貝!](75入)=(2%,一居3%)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,—％+4y,3x-2y),

33

f7=2x—y7

5=-x+4y,解得17

7?

A=3%—2y65

7

故選：D.

【變式4-1]2.(2023秋?云南大理?高二統(tǒng)考期末)若｛瓦石，可｝是空間的一個(gè)基底，且向

量付1=西+石+百赤=及-2瓦+2國方=國+3孩+福｝不能構(gòu)成空間的一個(gè)基

底，貝心=()

A.-B.-C.-iD.-

3244

【答案】D

【分析】由題意可知，向量力1OB.沆共面，則存在實(shí)數(shù)以y使得沆=x瓦？+y赤，根

據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于乂y、k的方程組，即可解得k的值.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜=%+石+百，麗=瓦-2瓦+2月，灰=砥*+3/+2可不能構(gòu)

成空間的一個(gè)基底，

所以就、OB.方共面，故存在實(shí)數(shù)八y使得1^xOA+yOB,

BPke^+3可+2eJ=x(e^+可+瓦)+y(前一2石+2可)=(%+y)否+(%—2y)eJ+

(%+2y)五,

,(x=-5

Jc=%+y2

因?yàn)椋?，石，石｝是空間的一個(gè)基底，則久—2y=3,解得[y=—[.

、%+2y=29

\k=-

I4

故選：D.

【變式4-1]3.（多選）（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）色,b,4是空間的一個(gè)基底，與

N+&2+群勾成基底的一個(gè)向量可以是（）

A.h+cB.b—cC.bD.c

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷即可.

【詳解】由于3-c=a+b-（a+c）,故3-3與2+3、2+3共面，無法構(gòu)成空間的一個(gè)基

底，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閮?yōu)b,可是空間的一個(gè)基底，由于不存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使得刃+/=久（2+&+y（a+c）,

‘％+y=0

若成立則x=i,顯然方程組無解，故3+石、d+芯z+何以作為空間的一個(gè)基底，

.y=1

故A正確，同理可得C、D正確；

故選：ACD

【變式4-1]4.（多選）（2022秋廣東深圳?高二深圳外國語學(xué)校校考期末）設(shè)何24是

空間一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.若NLb,blc,則21c

B.a+c,b+c,c+N一定能構(gòu)成空間的一^基底

C.對(duì)空間中的任一向量力，總存在有序?qū)崝?shù)組Q,y,z），使萬^xa+yb+zc

D.存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得,^xa+yb

【答案】BC

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.

【詳解】對(duì)于A.alb.blc,不能得出21c,也可能是2辭目交不一定垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B，假設(shè)向量2+b,b+c,c+2共面,貝！B=x（b+c）+y（c+d）,%、y€R,

化簡得(X+y)c=(1-x)b+(1-y)a，所以A石、洪面，這與已知矛盾，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,根據(jù)空間向量基本定理知，對(duì)空間任一向量力，總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使方=乂2+

yb+zc,選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,因?yàn)椋?,鐘是空間一個(gè)基底，所以d與唬3不共面，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:BC.

題型5空間向量共線問題

【例題512023春?甘肅白銀?高二校考期末股向量/百石不共面，已知前=前+石+石，

前=瓦+2/+百，而=4瓦＞+8瓦+4瓦，若人，(：，口三點(diǎn)共線，貝[U=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)A,C,D三點(diǎn)共線，可得前/標(biāo),則存在唯一實(shí)數(shù)〃，使得前=〃而，再

根據(jù)空間向量共線定理即可得解.

【詳解】由屈=e7+e7+e；,BC=e7+2e；4-e；,

得=荏+阮=2區(qū)+(1+2)孩+2久,

因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線，所以就〃而，

則存在唯一實(shí)數(shù)〃，使得前=fiCD,

2=44r_1

則1+4=8〃,解得"=5.

.2=4/z(4=3

故選：C.

【變式5-1]1.(2022秋?吉林四平?高二四平市第一高級(jí)中學(xué)校考期末)已知引是空

間的—個(gè)基底，若沅—a.+2b—3c,n-x(a+b)—y(b+c)+3(a+c)，若沅||n，則:=()

A.-3B.-iC.3D.-

33

【答案】C

【分析】由沅II元，可得存在實(shí)數(shù)4,使元=Am,然后將沅，元代入化簡可求得結(jié)果

【詳解】m=a+2b—3c,n=x(a+3)—y(b+c)+3(5+?)=(%+3)a+(%—y)b+

(3-y)c,

因?yàn)樵LIIn,所以存在實(shí)數(shù)4，使元=Am,

所以(％+3)a+(x—y)b+(3—y)c=A(a+2b—3c),

'%+3=A

所以％-y=24,

、3—y=-3A

所以y了;21工

，得2久-I-2y=3x—y,x=3y,

(3—y——31%-rDj

所以:=3,

故選：C

【變式5-1]2.(多選)(2023春?安徽滁州?高二校考期末)如圖，在三棱隹WC-ABC

中，P為空間一點(diǎn)，目滿足喬=ABC+〃西，e[0,1],則()

A.當(dāng)2=1時(shí)，點(diǎn)P在棱BBi上B.當(dāng)白=1時(shí)，點(diǎn)P在棱ZG上

C.當(dāng)4+〃=1時(shí)，點(diǎn)P在線段/C上D.當(dāng)2=“時(shí)，點(diǎn)P在線段8G上

【答案】BCD

【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可求解

【詳解】當(dāng)2=1時(shí)，麗=就+〃西,所以而=曲瓦,

則而〃西,即P在棱CC1上,故A錯(cuò)誤；

同理當(dāng)〃=1時(shí)，貝,故P在棱BiG上,故B正確；

當(dāng)4+〃=1時(shí)，〃=1一4,所以前=XBC+(1-4)西,即瓦？=AB^C,

故點(diǎn)P在線段BiC上,故C正確；

當(dāng)4=〃時(shí)，前=A(BC+西)=ZBQ,故點(diǎn)P在線段EC1上，故D正確.

故選：BCD

【變式5-1]3.(2021秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)若向量2=(-4,2,1)與向量3=(2,x,y)

共線,貝股-y=.

【答案】-|/-0.5

【分析】根據(jù)向量共線基本定理，可設(shè)N=焉"eR,列出方程組，即可求得%和y的值，進(jìn)

而求出比-y的值.

【詳解】由向量B=(-4,2,1)與向量3=(2,x,y)平行，

可設(shè)N—Ab,AGR,

(一4=22=-i

則12=xA,解得|v_i,

(l=yA(y~~2

所以x-y=-1+|=-

故答案為：-/

【變式5-1]4.(2023秋?湖南長沙?高二統(tǒng)考期末)已知向量五=(1,5,-1)5=(-2,3,5).

(1)若(k五+b)//(a-3b),求k的值；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為起點(diǎn)作a=a,OB=b,求點(diǎn)。到直線AB的距離d.

【答案】(l)k=—J(2)d=萼.

【分析】(1)根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平行滿足的性質(zhì)求解即可；

(2)先求而在屈上的投影，再根據(jù)勾股定理求解d即可

【詳解】(1)放+/=(1-25k+3,-fc+5),

五一3*=(1+3x2,5-3x3,-1-3x5)=(7,-4,-16)

???(fca+/))//(?-3b)

一=啰=簧，即f+8=35k+21,

解得k=-|.

(2)由條彳牛知4(1,5,2,3,5),

:.A0=(-1,-5,1),AB=(-3,-2,6)

AO-AB=(-1)-(-3)+(-5)-(-2)+1X6=19,|AB|=J(-3)2+(-2/+6?=

7,

故而在荏上的投影為,又I而|2=（-1）2+（—5）2+12=27

.?點(diǎn)。到直線4B的距離d

題型6空間向量共面問題

【例題6]（2020秋?寧夏銀川?高二寧夏育才中學(xué)校考期末）A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間

..12T1T1T

內(nèi)任意一點(diǎn)O,若。P=”a+*8+*C）!JP,A,B,C四點(diǎn)（）

4oo

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷是否共面

【答案】B

【分析】利用空間向量共面定理即可判斷

【詳解】因?yàn)椤^-OA+-OB+-0C,則。P—。a=--OA+-OB+-0C

488488

TT1TT1TT

即。P-OA^-（OB-OA）+-（0C-OA）

88

--i~-

^AP=-AB+-AC

88

—>—>—>

由空間向量共面定理可知，共面，則P,A,B,C四點(diǎn)一定共面

故選：B

【變式6-1]1.（多選）（2020秋?山東煙臺(tái)?高二統(tǒng)考期末）已知A,B,C三點(diǎn)不共線,

0為平面ABC外的任一點(diǎn)，則"點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C共面”的充分條件的是（）

A.W=20A-OB-OCB.OM^OA+OB-0C

C.OM=OA+-~OB+-0CD.OM=-OA+-~0B+-OC

23236

【答案】BD

【解析】根據(jù)“麗xOA+yOB+z瓦時(shí)，若％+y+z=1則點(diǎn)M與點(diǎn)4B,C共面"，分

別判斷各選項(xiàng)是否為充分條件.

【詳解】當(dāng)加=mMB+n前時(shí)，可知點(diǎn)M與點(diǎn)48,C共面，

所以詬+市=m(MO+OF)+n(MO+0C),

所以0+y-1)W=-0A+xOB+yOC,

所以礪=礪+屈=一_+^—OB+^—OC.

m+n-1m+n-1m+n-1m+n-1

不妨令--m-+7n—-1=X,m+rn-1I=/y'm+，n-1，=z,且此時(shí)X+/y+z=1,

因?yàn)?+(-1)+(-1)=OH1,1+1+(-1)=1,+3+9+

Z5oZoo

由上可知：BD滿足要求.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量證明空間中的四點(diǎn)共面，難度一般.常見的證明空間中四點(diǎn)

共面的方法有：(1)證明標(biāo)=xMB+yMC；⑵對(duì)于空間中任意一點(diǎn)。,證明麗=

0A+xMB+yMC；(3)對(duì)于空間中任意一點(diǎn)。，證明。M=xOA+yOB+zOC(x+y+z—

1).

【變式6-1]2.(2023春?福建莆田?高二統(tǒng)考期末)若點(diǎn)Pe平面4BC,且對(duì)空間內(nèi)任意一

點(diǎn)。滿足加=^0A+WB+10C,則%的值是()

4o

A.--B.--C.-D.-

8888

【答案】D

【分析】根據(jù)條件得出P,4,B,C四點(diǎn)共面，再根據(jù)=^OA+AOB+1反即可求出2的

48

值.

【詳解】???pe平面ABC,

■-P,A,B,C四點(diǎn)共面,

又加=-OA+MB+-OC,

48

.??[+[+2=1,解得A—|?

故選：D.

或者根據(jù)；pe平面ABC,.-.P,A,B,C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)居y,使得^xPB+yPC,

即市-OP=x(OB-0P)+y(OC-0P)0(1-x—y)OP=0A-xOB-yOC,

"1—x—y=4,

又4加=0A+4AOB+-0C,所以1-x=2，解得力=§

218

l-、=5，

故選：D

【變式6-1]3.(2023秋遼寧丹東?高二統(tǒng)考期末)已知空間向量2=(-2,1,-4),b=

(1,-1,2),c=(一7,—5,m)若,a,b,洪面，則實(shí)數(shù)爪的值為()

A.-14B.6C.-10D.12

【答案】A

【分析】根據(jù)向量共面，建立方程組，解得答案.

，—2=x—7y

【詳解】由五，3,洪面,可設(shè)立=xb+yc,1=-X-5y,

—4=2%+my

'_17

由/=：一￡，解得“一一六，代入第三個(gè)方程可得：一4=一？+*解得m=-14.

U——x—oyv=—612

I'12

故選：A.

【變式6-1]4.(2023秋?重慶長壽?高二統(tǒng)考期末)已知空間三點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(1,1,1),

5(0,3,0),C(-2,-1,4),點(diǎn)P(-3,%,1)在平面ABC內(nèi)，則實(shí)數(shù)比的值為

【答案】y

【分析】根據(jù)題意，存在實(shí)數(shù)尢〃使得等式點(diǎn)=AAB+〃前成立，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入，列出方程組

求解即可.

【詳解】???點(diǎn)P(-3,久,1)在平面ABC內(nèi)，

二存在實(shí)數(shù)4,4使得等式衣=4屈+〃就成立，

???(—4,x-1,0)=2(—1,2,-1)+〃(-3,—2,3),

-4=-A—3/1

%—1=24—2〃,解得

0=-A+3〃

故答案為：y

【變式6-1]5.(2021?全國?高二期末)如圖,已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個(gè)

點(diǎn)，且。E=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k,mER.

(1)A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面；

⑵宿廊;

(3)OG=kOC.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)利用空間向量基本定理證明即可，

(2)由麗^EH+mEF,結(jié)合空間向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算可得說=kAC,從而可證得結(jié)

論，

(3)由麗=麗-麗，結(jié)合(2)中的結(jié)論與荏=k瓦I可得證

【詳解】(1)因?yàn)樾?通+mAB,EG^EH+mEF,

所以由共面向量定理可得前，而,同是共面向量，麗，麗,而是共面向量，

因?yàn)榍埃笥泄颤c(diǎn)4,詬，麗，而有公共點(diǎn)E,

所以A、B、C.D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面，

(2)因?yàn)檎f=麗+mEF^OH-OE+m(0F-0E)

=k(0D-OX)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB=k^AD+mAB')=kAC,

所以前II麗；

(3)OG=OF+EG=kOA+kAC=k(0A+硝=kOC

【變式6-1]6.(2022秋廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)如圖，在正方體ABCD-a/iGA中，

M,N,E,F分別為棱2B,BC,44i，DiC的中點(diǎn),連接CD1,EM,MN,EN,NF,EF.

(1)證明：〃平面EMN；

⑵證明：E,F,N,M四點(diǎn)共面.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平行的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理

進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)空間共面定理進(jìn)行證明即可.

【詳解】（1）設(shè)正方體的棱長為2,如圖建立空間直角坐標(biāo)系:

則。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),5(0,0,2),4式2,0,2),Q(0,2,2),(2,2,2),

則M(2,l,0),N(l,2,0),￡(2,0,1),F(0,1,2),

D^C=(0,2,-2),,

則有aZ=-2ME,故。,

因?yàn)镼CC平面EMN,MEu平面EMN,

則有AC〃平面EMN；

(2)麗=(-2,1,1),EM=(0,1,-1),￡W=(-1,2,-1),

則有麗=-3EM+2EN,則向量而、前、前共面，

必有E,F,N,M四點(diǎn)共面

題型7空間向量的數(shù)量積、夾角與模長問題

【例題7]（2023秋?內(nèi)蒙古包頭?高二統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體ABC。-&B1GA所有

棱長都為1，底面4BCD為正方形，乙4MB=乙=60°.則對(duì)角線力G的長度為（）

A.V6B.V5C.2D.V3

【答案】B

【分析】利用基底法求解即可.

【詳解】由題知宿=樂+而+理，

222

所以溫=(AB+AD+AA-J)=AB2+AD2+麗+2AB-AD+2AD-初+2標(biāo)-AB

2

^AB2+AD2+AAi+2|AB|-|^4D|cos90°+2|AD|-|A47|COS60°+2|A4^|?|^4B|COS60°=

1+1+1+04-1+1=5,

所以McJ=Vs,即AC1=Vs.

故選：B.

【變式7-1]1.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考期末)如圖，二面角4-

EF-C的大小為45。，四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則8、。兩點(diǎn)間的距離是

()

A.V2B.V3C.73-V2D.內(nèi)+企

【答案】C

【分析】利用二面角的定義可得出乙4￡。=45。，由空間向量的線性運(yùn)算可得出)=育-

ED+AB,利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得|麗|,即為所求.

【詳解】因?yàn)樗倪呅?BFE、CDEF都是邊長為1的正方形,則AE1EF,DE1EF,

又因?yàn)槎娼茿-EF-C的大小為45。，即乙4ED=45。，則低X前｝=45。，

因?yàn)辂恀DE+KA+AB^KA-^D+AB,由圖易知說1EA,AB1ED,

所以,\DB\=l(EA-ED+AB)2=y/EA2+ED2+AB2-2EA-ED+,ZEA-AB-2ED-AB

Vl+l+l-2xlxlxcos45°+0-0-

故選：C.

【變式7-1J2{2023春?四川?高二統(tǒng)考期末）如圖所示，平行六面體ABCD-中，

以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60。,求西?前的值是（）

A.-1B.1C.V2D.V3

【答案】B

【分析】選定基底，根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算表示出西，前,再根據(jù)空間向量的數(shù)量積的

運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解】由題意得珂=瓦？+而+西^AD-AB+AA1,AC^AB+AD,

則西-AC=（AD-AB+麗j.港+AD）=AD2-AB2+AA^-AB+AA^-AD

=l-l+lxlxCOS60°+1x1xCOS60°=1,

故選：B

【變式7-1]3.（多選）（2021秋?江蘇?高二校聯(lián)考期末）在三維空間中，定義向量的外積：

ax3叫做向量2與笳勺外積，它是一個(gè)向量，滿足下列兩個(gè)條件：

①210x司10x司，且2,b^\ax訴勾成右手系（即三個(gè)向量的方向依次與右手的

拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）;

②aX3的模區(qū)xb\=同向sin值㈤（值,3）表示向量日,3的夾角）.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有以下四個(gè)結(jié)論,正確的有（）

A.|ABtxAC\=\ADrx~DB\B.&C；x幣與西共線

C.ABxAD=ADxABD.6|就x與正方體表面積的數(shù)值相等

【答案】ABD

【分析】根據(jù)所給的新定義及正方體的性質(zhì)——計(jì)算可得.

【詳解】對(duì)于A，對(duì)于A,設(shè)正方體的棱長為1,在正方體中（福，灰）=60。，

貝“耐=|福||Z?kin（福，尼）=V^x&xf=V5,

因?yàn)锽Zy/Bi/,且乙=60°,所以（河，麗）=120°,

所以|礪x函=|河口函sin舊瓦函=V2xV2Xy=V3,

所以|福xXC|=\ADlx~DB\,所以A正確；

對(duì)于B,在正方形42164中，4G1%必，又因?yàn)?4，平面4/165,4Gu平面

AyB-^C-yD^,所以241clJ-BB],

又B[BClB]D1=B1,B]B,B]D1u平面夕//。,所以①6_L平面BBi/D,

因?yàn)锽Qu平面BB/iO,所以BO】_LArCr,同理可證_LA±D,

再由右手系知，砧x碩與可同向,所以B正確；

對(duì)于C,由2,群口Rx3構(gòu)成右手系知，2X刃與反x2方向相反，

又由江X1模的定義知，,x同=|a||b|sin（a,b）—同同sin值,研—\bxd\,

所以Nxb^-bxa,貝!|詬x前=-ADxAB,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)正方體棱長為a,6\BCxAC\—6|BC||XC|?