專題2-7雙曲線離心率取值范圍專題十六大題型匯總

。常考題型目錄

題型1根據a,b,c的不等關系求離心率的取值范圍.....................................1

題型2焦半徑范圍的應用.............................................................4

題型3根據直線與雙曲線的關系求取值范圍...........................................9

?類型1利用漸近線的斜率.......................................................9

?類型2聯立法.................................................................15

題型4雙曲線的有界性..............................................................18

題型5和差最值相關................................................................22

題型6點差法的運用................................................................28

題型7焦點三角形的運用............................................................32

題型8雙曲線對稱性的運用..........................................................37

題型9通徑相關....................................................................42

題型10由題目條件確定離心率取值范圍..............................................47

題型11聯立求點坐標型.............................................................53

題型12向量相關...................................................................59

題型13雙曲線與圓相關.............................................................64

題型14雙曲線與內切圓相關.........................................................70

題型15雙曲線與角平分線相關.......................................................76

題型16橢圓與雙曲線結合..........................................................83

Q知識梳理

知識點.求解雙曲線離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得a、c的值或不等式，根據離心率

的定義求解離心率e的值或取值范圍；

(2)齊次式法：由已知條件得出關于a、c的齊次方程或不等式，然后轉化為關于e的方程

或不等式求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.

但題型分類

題型1根據a,b,c的不等關系求離心率的取值范圍

【例題1】(2223?順義期末)若雙曲線C：*5=l(a>b>0)的離心率為e,貝Ue的取值

范圍是()

A.(1,2)B,(V2,+oo)C.(1,V2)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】根據雙曲線離心率的知識求得正確答案.

【詳解】

由于a>6>0,所以0<冬<1,0<⑶2<1,1<1+f-V<2

a\a/\a/

所以e=Jl+(T)G(1,V2),

故選：C

【變式1-1]1.(22.23下?三模)已知雙曲線C：?—痣=M其中爪>0/力0),若2<0,

則雙曲線C離心率的取值范圍為()

A.(1,V2)B.(V2,+oo)C.(1,2)D.(2,+8)

【答案】A

【分析】先將雙曲線方程化為標準方程，再根據離心率的定義，用山表示出離心率，進而可

得其取值范圍.

22

【詳解】由雙曲線一？±=4(其中爪>0"<0),

<By2_上=1

-A(?n+1)-Am'

則雙曲線C離心率e==晤=戶手1=1-告,

y尸-A(m+1)ym+l7m+1、m+1

因為?n>0,所以m+1>1,貝!|0<高<1,

所以1<2-高<2，

所以1<e<V2,即雙曲線C離心率的取值范圍為(1,e).

故選：A.

【變式1-1】2.(17口8?單元測試)已知二次曲線1+藝=1,當me[―2,—1]時，該曲線

4771

的離心率的取值范圍是

【答案】停用

【分析】當爪G[-2,-1]時，曲線為雙曲線，得到a,b,c,再根據離心率公式可求出結果.

22

【詳解】當山6[―2,—1]時，，曲線方程化為^一工=1,曲線為雙曲線，

4-m

2222

所以M=4,b=—mzc=a+Z?=4—mz

所以e=；=守，因為m6[-2,-1],所以亨<e<^.

故答案為:他，料

【變式1-1]3.（2223?柳州?模擬預測）雙曲線A--哈）=1（機24）的離心率的取

值范圍是.

【答案】凈?

【分析】由已知求得a?=m2,c2=2m2-3m+2，得到e?=J=2（工一》+[又0<工W

a2-\m4/8m

2,根據二次函數的性質得出?<e2<2,開方即可得出答案.

48

2

【詳解】由題意可知，小=血2,力2=（7n一l）（m—2）=m—3m+2,

所以=a2+b2=2m2—3m+2,

2

所以e2二號=2/7+2m2_inZ

=23x+2=2_2）+.

azmz\m/m\m4/8

因為6>4,所以0<工W；,

m4

所以?<e2<2,所以乎<e<V2.

o4

故答案為：呼,企）.

22

【變式1-1]4.已知雙曲線C：缶+扁=1的焦點在y軸上,則C的離心率的取值范圍為

（）

A.（1,2]B.（1,3]

。（1他.（閣

【答案】A

【分析】由題知+g>?,再解不等式，結合離心力公式求解即可.

【詳解】解:因為雙曲線C：gg=1的焦點在y軸上所以K+g>]，解得爪2<9.

7n—加+31m—9<0

因為e2=9=島e（1,4],所以eG（1,2].

故選：A

題型2焦半徑范圍的應用

【方法總結】

利用IPF1I或IPF2I的范圍:

22

F為雙曲線器-京=1的右焦點，若P是雙曲線右支上的動點，則|PFI"-a.若P是雙曲線

左支上的動點，則|PF|2c+a.

【例題2]（19-20下撫順一模）設雙曲線C：g-g=l（a>0,b>0）的左、右兩個焦點分

別為0,&，若點P在雙曲線。的右支上，且IPF/=4|PF2|,則雙曲線C的離心率的取值范

圍是（）.

A?（詞B?（詞C*+8）D.[|,+oo）

【答案】B

【分析】由雙曲線的定義可得IP&I-IP&I=2a，再根據點P在雙曲線的右支上,\PF2\>c-

a,從而求得此雙曲線的離心率的范圍.

【詳解】解：由雙曲線的定義可得IPaI-IP&I=2a,

XIPFJ=4|PF2|,

o2

''■\PFi\=~a,\PF2\=-a,

/.|PF2Ic—a,即ga>c—a,

離心率e=-<|r

又雙曲線的離心率e>1,

?-.l<e<|,

故選：B.

【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率的應用，考查數形結合思想，屬于中檔題.

【變式2-1J1.(23-24上?課時練習)雙曲線《-5=1(a>0/>0)的兩個焦點為&尸2,

若雙曲線上存在點P,使|P6l=2\PF2\,求雙曲線離心率的取值范圍.

【答案】1<e<3

【分析】首先結合雙曲線的性質求得|。現=2a,再根據雙曲線右支上的點到焦點的距離的

范圍，即可求解.

【詳解】由題意知在雙曲線上存在一點P,

使得IP&I=2\PF2\,如圖所示.

又???|PFi|—|P%I=2a,

???\PF2\=2a

即在雙曲線右支上恒存在點P使得|P&I=2a,

gP|AF2|<2a,

\0F2\—\0A\=c—a<2a,■-c<3a.

X,.'c>aa<c<3a1<-<3,即1<e<3,

a

所以雙曲線離心率的取值范圍為1<eW3.

22

【變式2-1]2.（23-24上期中）已知雙曲線表-3=l（a>0,6〉0）,0為坐標原點，&,

B為其左、右焦點，若左支上存在一點P,使得F2P的中點M滿足|。叼=卜，則雙曲線的

離心率e的取值范圍是

【答案】（1,|]

【分析】根據IPFil=2\OM\=|c,且雙曲線上的點到焦點的最小距離為c-a，得到|c>c—

a,進而求得離心率的范圍.

【詳解】因為。,“分別為&尸2，2尸2的中點，所以儼&1=210M=|c.

又雙曲線上的點到焦點的最小距離為c-a,

所以|c>c—a>0,解得1<^<|,

因此雙曲線的離心率e的取值范圍是（1,|].

故答案為：（1,1].

【變式2-1]3.（22-23上?南昌?期末）已知雙曲線攝-5=l（a>0,b>0）左，右焦點分

別為尻（-c,0）,6匕0）,若雙曲線右支上存在點P使得;=而焉彳，則離心率的取值

范圍為

【答案】（1,或+1）

【分析】在4PF/2中，由正弦定理可得區=忐氏，再由已知可得靄=?，根據點

P在雙曲線右支上，得到關于e的不等式，從而可求出e的范圍.

【詳解】由題意可得點P不是雙曲線的頂點，否則;無意義.

s\r\z.PF1F2sinzPF2F1

在4PF1&中，由正弦定理得忐*=忐*.

因為市號=—，所以篇=》所以IP&I=；-l^l.

sinzPF1F2sinzPF2^iIP七Iaa

因為點P在雙曲線右支上，所以|PFil-伊心1=2a,

所以沙加-IP&I=2a，得|P&I=蕓.

UC—CL

由雙曲線的性質可得|P6l>c-a,

所以空>c—a,化簡得c2—2ac—a?<0,

c—a

所以e?—2e—1<0,解得—+1<e<V2+1.

因為e>1,

所以1<e<V2+1.

即雙曲線離心率的取值范圍為（1,金+1）.

故答案為：（1,夜+1）.

【變式2-1】4.（2223上?惠州?期末）已知分別是雙曲線C：*5=l（a>O,b>。）

的左、右焦點，點P是雙曲線C上在第一象限內的一點，若sin/P4Fi=3sin/P&F,則雙

曲線C的離心率的取值范圍為

【答案】1<e<2

【分析】在中，由正弦定理可得|P6l=3|PF2|,再結合雙曲線的定義和"三角形的

兩邊之和大于第三邊"，即可得解.

【詳解】在仆PFZ中，sin"F2a=3sin"&F2，由正弦定理急*=急*得，

sinz■尸尸201sinz_uki/*2

|P0|=3|PF2|,又點P是雙曲線C上在第一象限內的一點，所以|P&|-出引=2a,

所以1PF/=3a,\PF2\=a，在APaB中，由伊&1+叫>F/2I，

彳導3a+a>2c,即2。>c,所以e=-<2,又e>1,所以1<e<2,

a

故答案為：1<e<2

【變式2-1]5.(22.23上?深圳?期末)設國,&是雙曲線9―《=1(。>。力〉0)的左右

焦點，若雙曲線上存在點P滿足斯?厄=-a?,則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.[A/2,+co)B.[V3,+co)C.[2,+oo)D.[3,+co)

【答案】A

【分析】由題意,設=m,PF2=n,^F1PF2=0,先由雙曲線的定義m—n=2a,再利

用余弦定理cos。=叱;:二二,由題意函?PK=-a?可得7n2+n2=4c2一2a2,最后再用

m>a+c,n>c-a可得c、a的不等關系，可得離心率.

【詳解】由題，取點P為右支上的點，設P6=m,PF2=n,zF1PF2-9,

根據雙曲線的定義知：6-n=2a,

在三角形&PF中，由余弦定理可得：cos。=叱；「,

222

又因為PF1-PF2——a?可得nrncos。=—a,即病+彥=4c—2a,

又因為m>a+c,n>c—a,所以(c+a)2+(c—a)2<4c2—2a2c2>2a2

SPe2>2,e>V2.

故選：A.

22

【變式2-1]6.(2L22專題練習)已知雙曲線C:「—召=l(a>0,b>0)的上、下焦點分

2

別是0,F2,若雙曲線C上存在點P使得麗<-PK=-4a,則雙曲線C的離心率的取值范圍

是()

A.(1,2]B.(1,V5]C.[2,+oo)D.[V5,+oo)

【答案】D

【分析】設|P6I=ri>\PF2\=r2，根據題意與雙曲線定義計算得號+以=4c2-8a2>

2a2+2c2即可解決.

【詳解】設|PF/=r1,\PF2\=r2,

因為麗<?麗=-4a2,

所以2

r1r2?COS/.F1PF2=-4a,

所以由余弦定理得GO-=-4a2,

Zrlr2

所以廳+母=4c2—8a2,①

因為由雙曲線定義得圖-必=2a,

所以塔+培一2/1/2=4a2,②

2

因為廠1+r2>2c,即號+母+2rrr2>4c,③

所以由②③得療+r/>2a2+2c2,

22

代入①得4c2—8a2>2a2+2c,即c?>5az

所以e>V5,

故選：D

題型3根據直線與雙曲線的關系求取值范圍

【方法總結】

方法：與漸近線的斜率比較，則

h

(1)當直線與雙曲線只有一個交點時，該直線的斜率為k=±-

a

(2)當直線與雙曲線的左右兩支都有交點時，該直線的斜率滿足左6(-2b,2h)

aa

(3)當直線與雙曲線的單支有兩個交點時，該直線的斜率滿足n(-8,_3u6,+8)

?類型1利用漸近線的斜率

22

【例題3-1](23-24上南京階段練習)已知雙曲線E:三-德=l(a>0,6>0)的離心

??z

aDZ

率為e,若直線y=±2%與E無公共點，則e的取值范圍是

【答案】（1,同

【分析】確定雙曲線的漸近線方程，由題意可得關于a,6的不等關系，即可求得離心率范圍.

【詳解】因為雙曲線-V=l（a>0,b>0）的漸近線為y=±^%,

因為，要使直線y=±2x與E無公共點，貝%22,

所以，。<譯]所以雙曲線的離心率的范圍1<e=J1+（丁<y

所以滿足條件的離心率的范圍是（1,曰],

故答案為：（1,同

【變式3-1]1.（2223?昆明模擬預測）經過原點且斜率為近的直線I與雙曲線C：2-5=

l（a>O,b>0）恒有兩個公共點,則C的離心率e的取值范圍是

【答案】名,+如

【分析】直線I與雙曲線C:g-g=l（a>0,b>0）恒有兩個公共點，則有直線I的斜率

大于漸近線y=的斜率，即可求解.

【詳解】雙曲線C:9=1（a>0,b>0）的焦點在y軸上，

漸近線方程是y=±1x,

結合該雙曲線的圖象，由直線Z與雙曲線C恒有兩個公共點，

可得出：V2>?,即2>4，

ba2

所以離心率e="+§G（T-+8）,

即離心率e的取值范圍是弓,+8）.

故答案為:（y,+°°）.

【變式3-1]2.（2122?專題練習）已知圓（X-I）2+y2=:的一條切線y=依與雙曲線

C-.^-^=Ka>0,b>0）有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.(1,V3)B.(4,+oo)C.(V3,+oo)D.(2,+oo)

【答案】D

【分析】由圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得切線斜率k,由此可得切線方程；根據

直線與雙曲線交點個數可得2>V3,根據e=、77臺可求得離心率的取值范圍.

【詳解】錯解:

選B,圓心(1,0)到切線的距離d=黑=手，解得：k=士百，

V1+KZ2

.,切線方程為y=±V3x;

...y=土島與雙曲線C有兩個交點，.?[>B，；.e2=1+捺>4.

錯因：

求離心率時忘記開方，注意雙曲線中e=J1+,,

正解：

由圓的方程知：圓心(L0),半徑r=y,

則圓心(1,0)到切線的距離d=黑=?，解得：k=±百，

;切線方程為y=±V3x;

1-?y=與雙曲線C有兩個交點,???^>V3,e=J1+%>2,

即雙曲線C的離心率的取值范圍為(2,+8).

故選：D.

【變式3-1]3.(22-23上?蘭州?期中)過雙曲線/一條=l(a>0,6>0)的右焦點F作一

條直線，當直線斜率為1時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，

直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為

【答案】(企,同)

【分析】由雙曲線的性質求解,

【詳解】雙曲線的漸近線為y=±^%,由題意得1<3<3,

貝陽=(=J+*e(魚,VIU),

故答案為：(V2,V10)

【變式3-1]4.(2223?攀枝花?三模)已知雙曲線C：t—g=l(a>0,b>0),A為雙曲

線C的左頂點，B為虛軸的上頂點，直線I垂直平分線段2B,若直線I與C存在公共點，

則雙曲線C的離心率的取值范圍是()

A.(V2,V3)B.(V2,+oo)C.(V3,+oo)D.(1,V2)

【答案】B

【分析】先根據題意求得直線I的斜率，再根據直線I與C存在公共點，只需直線I的斜率

大于漸近線的斜率-2即可求解.

a

依題意,可得4(—a,0),B(0,b),貝!]%B=震=~1

又因為直線I垂直平分線段力B,所以&=-J

因為直線I與C存在公共點，

所以-?>—L即a2<62,

ba

則a2<c2—a2,即2<三]>2,解得e>夜,

所以雙曲線C的離心率的取值范圍是“I,+8).

故選：B

【變式3-1]5.(22-23上?階段練習)若雙曲線《-《=1的右支上存在兩點A,B,^AABM

為正三角形（其中M為雙曲線右頂點），則離心率e的取值范圍為

【答案】（評）

【分析】根據等邊三角形的性質以及雙曲線圖像的對稱性，可得乎>￡,進而即得.

【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為y=，

要使該雙曲線右支上存在兩點4,B,使448M為正三角形，

則需過右頂點M,且斜率為苧的直線與雙曲線有兩個不同的交點，

也只需其斜率大于漸近線y=的斜率.

.y/3bnriijy/3

->-/即力V可。，

即爐，

?,。2<。2+評，

即c<—^―a,又0<e<1,

所以1<e〈W-

故答案為：（1,學）.

【變式3-1]6.（22-23下?黔東南?階段練習）已知雙曲線/-5=l（a>0,6>。），若過

右焦點F且傾斜角為30。的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍

是.

【答案】（1,警）

【分析】根據題意可知雙曲線的漸近線方程y=5X的斜率需小于直線的斜率，得b〈日a,

結合b=依力和離心率的定義即可求解.

【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=+^x,

要使直線與雙曲線的右支有兩個交點，

需使雙曲線的漸近線方程y=T久的斜率小于直線的斜率，

即g<tan30°=j,即匕<^-a,由b=Vc2—a2,

得必二良<,整理得3c2<4a2,所以。=￡<乎，

3a3

因為雙曲線中e>1,所以雙曲線的離心率的范圍是（1,竽），

故答案為：（L竽）.

【變式3-1]7.（2122專題練習）已知雙曲線提-《=1（a>0,6>0）的右焦點為F,若

過F且傾斜角為60。的直線分別與雙曲線的左右兩支相交，則此雙曲線離心率的取值范圍

是.

【答案】（2,+00）

【分析】由一三象限的漸近線的斜率大于遮可得離心率的范圍.

【詳解】依題意，斜率為V5的直線I過雙曲線攝-g=l（a>0,b>0）

的右焦點為F且與雙曲線的左右兩支分別相交，

雙曲線的一條漸近線的斜率2必大于舊,

a

即￡>K,因此該雙曲線的離心率e=：=Jl+令>V1T3=2.

故答案為：（2,+8）.

【變式3-1]8.（2019下?臨汾期末）已知點。為雙曲線C的對稱中心，過點。的兩條直線4與

"的夾角為60°,直線。與雙曲線C相交于點,直線％與雙曲線C相交于點4,B2,若使

l&B/=I&B2I成立的直線。與4有且只有一對，則雙曲線C離心率的取值范圍是

A.呼,2]B.（爭2）C.律收）D.除+時

【答案】A

【分析】根據雙曲線漸近線以及夾角關系列不等式，解得結果

【詳解】不妨設雙曲線方程為攝-g=l（a>0,b>0）,則漸近線方程為y=±^x

因為使l&Bi|=|4殳|成立的直線。與Z2有且只有一對,

所以k=(E(tanSO0,tan60°]=(58]

從而離心率e=5=Jl+(>e(竽,2],選A.

【點睛】本題考查求雙曲線離心率取值范圍，考查綜合分析求解能力，屬較難題.

?類型2聯立法

【方法總結】

方法：聯立法：

(1)當直線與雙曲線只有一個交點時，有k=±?或A=0

(2)當直線與雙曲線有兩個交點時，有△>0

(3)當直線與雙曲線的左右兩支都有交點時，有久2犯<0

A>Q

<XXn>0

(4)當直線與雙曲線的左支有兩個交點時，有I2

西+冗2<0

A>0

,一<>0

(5)當直線與雙曲線的右支有兩個交點時，有L

玉+%<0

【例題3-2】(2223下安慶?階段練習)已知雙曲線C京=i(a>0)與直線/：%+、=i

相交于兩個不同的點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為()

A.(當/B.(VX+8)

C.件,+8)D.(當，旬U(VX+8)

【答案】D

【分析】根據題意，聯立直線與雙曲線方程，即可得到小的范圍，再由雙曲線的離心率的公

式，代入計算，即可得到結果.

(x^__2_1

【詳解】由9—可得，(1-a2)%2+2a2%-2a2=0,則

I%+y=1

f1-a20

(A=(2a2)2+8a2(1-a2)>0z

即｛A=/a^J)>0，解得a2e(0,1)u(1,2),故2e(|,i)u(1,+8),

貝!|1e(|,2)u(2,+8),故e=Jl+*E(M夜)u(魚,+8).

故選：D

【變式3-2]1.(23-24上?南通?階段練習)過點(2,2)能作雙曲線/—2=1的兩條切線，

則該雙曲線離心率e的取值范圍為

【答案】(1,或)“隹釣

【分析】分析可知，切線的斜率存在，設切線方程為y-2=-2),將切線方程與雙曲

線的方程聯立，由小=。可得出關于k的方程，可知方程有兩個不等的實數根，求出a?的取

值范圍，即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍.

【詳解】當過點(2,2)的直線的斜率不存在時，直線的方程為x=2,

由I1可得1=±^\a\'故直線％=2與雙曲線/—2=1相交，不合乎題意；

當過點(2,2)的直線的斜率存在時，設直線方程為y-2=fc(x-2),即y=kx+(2-2k),

22

聯立9=?土，—2?可得(好一a2)x2-4k伏_i)x+4(1-fc)+a=0,

Iax—y=a

因為過點(2,2)能作雙曲線產-券=1的兩條切線，

則｛A=16k2(k-l)2-4(fc2-君4(1f尸+a2]=0'可得3k2-8k+4+a?=0，

由題意可知，關于k的二次方程3k2—8k+4+a?=0有兩個不等的實數根，

所以，"=64-12(4+a2)>0,可得0<a?<]

2

又因為i力a(即k力+a,因此，關于k的方程3k2-8k+4+a?=。沒有k=±a的實根，

所以，4a2—8a+4中。且4a2+8a+4羊0,解得a#±1,即力1,

當0Va2Vi時，e=V1+a26(1,V2),

當1va2V料，？=V1+a2€(VX?)，

綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是。，/)U(VX”).

故答案為：(1,V2)u

【變式3-2】2.(2122上?貴陽?階段練習股雙曲線C：9—y2=i(a>0)與直線/：x+y=1

相交于兩個不同的點A,B,則雙曲線C的離心率e的取值范圍是()

A.(V2,+00)B.(手,a)u(V2,+co)C.(手,+8)D.(手,企)

【答案】B

【分析】聯立直線與雙曲線的方程消元，利用A>0求出a?的范圍，然后可算出離心率的范

圍.

(X2_2_1

【詳解】<4a2'—'(1—4a2)%2+8a2%—8a2=0,

I%+y=1

(a2大工

1-4a20,:

尸斤以(△=64a4+4x8a2(l-4a2)>0,j02<2

>0

今e=Jl+ae(今旬u(短+8),

故選：B

【變式3-2]3.(22-23上?九龍坡?階段練習)已知直線2%—y+1=。與雙曲線《-《=

l(a>0,b>0)相交于兩個不同的點，且雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為舊,

則該雙曲線的離心率的取值范圍是

【答案】{e|e>2且e*V5}

【分析】利用焦點到漸近線距離求出b，聯立直線與雙曲線，利用判別式得到離心率的范圍，

注意直線不可與漸近線平行，據此計算，可得答案.

【詳解】雙曲線?—5=l(a>0">0)的漸近線為y=±豪，取其中一條漸近線版—即=

0,取雙曲線的右焦點為(C,O),故雙曲線的一個焦點到它一條漸近線的距離為焉5=匕，

故匕=聲，所以，雙曲線變為[-1=1,聯立直線方程得到L::2,整理得，

a23(3xz-azyz=3az

222222

x(3—4a)—4xa—4a=0z則A=48a(1—a)>0，得到0<a<1,所以，

e2=9=1++2>4,故e>2，又因為直線2x-y+1=。不與漸近線平行，(軟豐

4,得到捺=子=e2T羊4,解得e豐V5,故雙曲線的離心率的取值范圍是｛eIe>2且

e豐V5].

故答案為：｛e|e>2且e豐V5)

題型4雙曲線的有界性

【方法總結】

【例題4](23-24上?課時練習)如果雙曲線[=1右支上總存在到雙曲線的中心與右

焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是

【答案】(2,+oo)

【分析】根據雙曲線的對稱性即可得以=f,由離心率的公式即可求解.

【詳解】如圖，因為I。川=|陽，F點坐標為(c,0),

所以馬=，又A在右支上且不在頂點處，

所以5>a,所以e=->2.

2a

故答案為：（2,4-00）

【變式4-1】1.（22-23下河南?階段練習）已知6（-c,0）'（a。）分別為雙曲線2=

l（a>0,b>0）的左、右焦點，點P在C的右支上，點Q在直線/:尤=-手上，若竊=QP,

則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.（l,陰B.［萼收）

C.（TD.［等收）

【答案】D

【分析】根據福=9確定P點的橫坐標滿足的關系式，再根據點P在雙曲線的右支上得到

P點的橫坐標滿足的不等式，解不等式即可.

【詳解】設P點的橫坐標為%0,&F；=麗，.,?三匕+%o=2c,即%0=2c-,

由題可知2c—'2a,?,?，—？—12o,得？>1+^.

c2

故選：D.

【變式4-1］2.（22-23下?合肥?一模）已知雙曲線E:=l（a>0,b>0）的左右焦

點分別為&尸2A為其右頂點,P為雙曲線右支上一點直線P&與y軸交于Q點若AQH,

則雙曲線E的離心率的取值范圍為

【答案】（企+1,+8）

【分析】根據題意設點P（%i，yi）并解出Q點坐標為Q（o,黑）,再根據ZQ〃PF2可得越Q=

22

kpF2,即可解得久1=三竺，由p為雙曲線右支上一點可得三竺>a，解不等式即可求得離

2a+ca+c

心率的取值范圍.

【詳解】如下圖所示,根據題意可得F](-c,0),F2(C,O)M(a,0),

設POi，為)，則直線P0的方程為y=^(%+c),

所以直線P"與y軸的交點Q(0,黑)，

m—o

由4Q〃PF2可得%Q=kP，即詈丁=白，

PP2匕U-CLX1—C

2

整理得(a+c)%!-c2—ac,即=；+；；

又因為P為雙曲線右支上一點,所以/>a,

當刀1=a時，AQ,PF2共線與題意不符，即工1>a；

2

可得%1=C~aC>CL,整理得—a2—2ac>0,即e?—2e—1>0

a+cr

解得e>V2+1或e<1-/(舍)；

即雙曲線E的離心率的取值范圍為e>V2+1.

故答案為：(&+1,+°°)

【變式4-1]3.(21-22上?駐馬店?階段練習)已知6,尸2分別是雙曲線E：《-5=

l(a>0,b>0)的左、右焦點.若雙曲線E上存在一點P使得|成+函|=b,則雙曲線E的離

心率的取值范圍為

【答案】[強+8)

【分析】根據雙曲線中|同|>\AO\,從而可得6>2a,即可求離心率范圍.

如圖所示,PK+PF2=2PO,所以2國I=b,所以國|=I，

又因為|麗|>\A0\=a,^>a,即b>2a,

所以離心率e=￡=場m2叵逗底=遮，

aaa

所以雙曲線的離心率的取值范圍為[遮,+8),

故答案為：[低+8).

【變式4-1]4.(20-21下?全國?階段練習)F(c,0)是雙曲線?-《=l(a>0,b>0)的

右焦點，直線x=c交該雙曲線于點M,N(M在第一象限)，點8、4分別是該雙曲線的左、

右頂點，C是4B延長線上的點，AN1CM.該雙曲線離心率的取值范圍是()

A.(V2,+oo)B.(1,V2)C.(1,V3)D.[2,+8)

【答案】A

【分析】求得M,N坐標，設CO。,。)，利用力N1CM求得出,根據<-a得關于a,b,c的不

等式，變形后可求得離心率的范圍.

22Z?2匕2

【詳解】設由條件知M卜IN(^c,——,設C(%o,0),則Jx。=—1,

=c——―:；??久o<—aJc———7<一a化簡得辦2>a2,c2—a2>a2/?(-\>2,

a/(c-a)CL￡\C~CL)\CL/

即e=->V2

az

因此雙曲線離心率的取值范圍為+8).

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查求雙曲線的離心率的范圍，解題關鍵是找到關于a,4c的不

等關系，題中有一個不等關系是C是48延長線上的點,因此設C(x°,O),有%。<-a,因此只

要用a,b,c表K出％。即可求解.

【變式4-1］5.(20-21下?全國?階段練習)已知雙曲線C：/—總=l(a>0,b>0)的左焦點

為F,。為坐標原點，2為雙曲線C右支上一點，伊用-|PO|=2a,則雙曲線C的離心率的取

值范圍是

【答案】［2,+8)

【分析】設雙曲線C的右焦點為6，由雙曲線的定義結合|PF|-伊。|=2a得到|PO|=\PFr\,

從而得到P點的橫坐標為:,由(>a求解.

【詳解】設雙曲線C的右焦點為6，

由雙曲線的定義可知|PF|—|P6I=2a,

又|P用一|PO|=2a,

所以|P。|=1PF/,

設c2=a2+b2,則P點的橫坐標為|,

因為點P在雙曲線上，顯然有：>a,gpe=->2,

所以離心率e的取值范圍是［2,+8).

故答案為：［2,+8)

題型5和差最值相關

【例題5］(22-23下?洛陽?開學考試)已知雙曲線c：5-白=l(a>0,b>0)的上下焦點分

別為6,，點M在C的下支上，過點”作C的一條漸近線的垂線，垂足為。，若［MD|>\F±F2\-

|恒成立,貝北的離心率的取值范圍為()

A?(詞B,(|,2)C,(1,2)D,(|,+Oo)

【答案】A

【分析】過點尸2作漸近線的垂線，垂足為E,則出％1=b,再根據雙曲線的定義得+

IMFJ=\MD\+|MF2|+2a>\EF2\+2a,進而轉化為2a+b>2c恒成立，再根據齊次式

求解即可.

【詳解】如圖，過點尸2作漸近線的垂線，垂足為E,

設1661=2c,則點F2到漸近線y=士"的距離IEF2I=點云=氏

由雙曲線的定義可得IMF/-I=2a,故IMF/=\MF2\+2a,

所以|MD|+\MFr\=\MD\+\MF2\+2a>\EF2\+2a=b+2a,即|MD|+川的最小值

為2a+b,

因為|MD|>IF/2ITMFil恒成立，

所以|MD|+IMF/>IF/2I恒成立，即2a+b>2c恒成立,

所以,b>2c—2a,即方2>4c2+4a2—Sac,§Pc2—a2>4c2+4a2—Sac,

所以,3c2+5a2—8CLC<0,即3e?—8e+5<0,解得1<e<&.

故選：A.

【變式5-1]1.(22-23下?開學考試)雙曲線/—5=1的左焦點為F,A(O,-b),M為雙

曲線右支上一點，若存在M，使得|FM|+\AM\=5,則雙曲線離心率的取值范圍為()

A.(1,V3]B.(1,V5]C.[遮,+8)D.[y,+8)

【答案】B

【分析】雙曲線的右焦點京，FM|+MM|=5等價于|FM+\AM\=3,所以陽川W3,由

不等式宓<3可求雙曲線離心率的取值范圍.

【詳解】取雙曲線的右焦點a,由雙曲線定義|FM|=\FrM\+2,如圖所示，

故存在點M使得+\AM\=5等價為存在點M使得+\AM\=3,所以W3,當

且僅當4M,0三點共線時等號成立，

則g+c2<3,由爐=c2-1,解得c<V5,[foa=1,故離心率1<eW逐.

故選：B

2

【變式5-1]2.(21-22下?沙坪壩?模擬預測)已知雙曲線。噂-*=1(a>0)的右焦點

為F，點4(0,—a),若雙曲線的左支上存在一點P,使得|P川+\PF\=7,則雙曲線C的離心

率的取值范圍是()

A.(l,^]B,(1,V3]C,[f,+oo)D.[V3,+oo)

【答案】C

【分析】根據雙曲線定義可得，|PF|=IPFil+2a,§P\PA\+\PF1\=7-2a，進而推得|P川+

|P0|>=必謂,得到不等式a?-14a+2420,求解即可得到a的取值范圍，進

而求得離心率的范圍.

%

【詳解】

設雙曲線左焦點為&,因為點P在雙曲線左支上，所以有|PF|-出&|=2a,

即|PF|=\PF1\+2a.

由已知得，存在點P,使得IP川+|PF|=7,即|P川+\PF1\=7