因動點產生的面積問題

由動點而生成的面積問題，是拋物線與直線結合的形式，常見的面積問題有規(guī)則圖形的面積(如直角三角形、平

行四邊形、菱形、矩形的面積計算問題)以及不規(guī)則圖形的面積計算，解決不規(guī)則圖形的面積問題是中考壓軸題常考

的題型，此類問題計算量較大.有時也要根據題目的動點問題產生解的不確定性或多樣性分類討論。

【方法技巧】解決這類問題常用到以下與面積相關的知識：圖形的割補、等積變形、等比轉化等數學方法.面

積的存在性問題常見的解題策略有兩類：

(1)先根據幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根.

(2)先假設關系存在，再列方程，然后根據方程的解驗證假設是否正確.

解決動點產生的面積問題，常用到的知識和方法如下：

如圖①，如果三角形的某一條邊與坐標軸平行，計算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式.

如圖②、圖③，三角形的三條邊不與坐標軸平行的，計算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補”的方法.

計算面積用到的策略還有：

如圖④，同底等高三角形的面積相等.平行線間的距離處處相等.

如圖⑤，同底三角形的面積比等于高的比.

如圖⑥，同高三角形的面積比等于底的比.

解這類題目要掌握幾個基本圖形的面積計算及基本解題思路，然后“以靜制動”“轉化求解”.即把動態(tài)問題變?yōu)殪o

態(tài)問題，變?yōu)槲覀兯熘哪Ｐ蛠斫?

基本模型一

利用“鉛垂高、水平寬”求三角形面積.

面積公式：S=^ah

基本模型二

其中：^ACD:SBCD=AD:BD,SACD:^BCA=2。：BA.

基本模型三

Se-”=S+S=-a(Ji+OA).

四邊形AOBCAAU0BBAALCUB2''

典例精析

【典型題1]★★★如圖，已知正方形AB-CD的邊長為3,點E在AB邊上且BE=1,點P,Q分別是邊BC,

CD的動點(均不與頂點重合),當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是.

【思路分析】此題從題目條件入手分析，抓住“當四邊形AEPQ的周長取最小值時”進行四邊形邊長的等量代換.

根據最短路徑的求法，先確定點E關于BC的對稱點E',再確定點A關于DC的對稱點A，,連接AE即可得出

P,Q的位置；再根據相似得出相應的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積

【答案解析】解：如圖所示.

作E關于BC的對稱點E,點A關于DC的對稱點A；連接AE,四邊形AEPQ的周長最小.

???AD=A'D=3,BE=BE'=1,

.".AA'=6,AE'=4,

：DQ〃AE,D是AA的中點，

DQ是AAAE的中位線，

1

??.DQ=^AE'=2;CQ=DC-CQ=3-2=1,

BP//AA；ZiBEPs△AEA,

BP於口口BP1r,n3

AArAE'642

33

CP=BC-BP=3--=-f

22

S四邊形AEPQ_S正方形ABCDSylQQSpCQ^BEP

11

=9--AD?DQ--CQ-CP-

22

-BE-BP

2

c1cciv31

=9--x3x2--xlx--------x

2222

Y3

1X-

2

_9

-2

【規(guī)律總結】圖形分割法是求面積的基本方法，同學們要熟練掌握.

【典型題2]★★如圖，以AB為直徑的。O的圓心O到直線1的距離OE=3,OO的半徑r=2,直線AB不垂

直于直線1,過點A,B分別作直線1的垂線，垂足分別為點D,C,則四邊形ABCD的面積的最大值為.

【思路分析】表示出四邊形ABCD的面積：S=久&。+BC)-CD=3CD,只有當CD=AB=4時,CD最

Di.,L)/

大，從而得到四邊形ABCD面積的最大值.

【答案解析】解:：0E±1,AD±1.BCXl.lffiOA=OB,/.0E為直角梯形ADCB的中位線，0E=/4。+8C).

S四眺ABCD=Z(AD+BCYCD=OECD=3CD

當CD=AB=4時,CD最大,四邊形ABCD的面積最大,最大值為12.

【典型題3】★★★如圖在RtAABC中,NACB=9(F,AB=4,點D,E分別在邊AB,AC上，且DB=2AD,AE=3EC,

連接BE,CD相交于點O,則AABO面積最大值為

【思路分析】題目條件有比例，因此構造三角形相似.過點D作DF〃AE才隹出AABO和AABC面積的大小關

系，轉化為求AABC面積的最大值.

AABC是直角三角形，同時AB是直角三角形的斜邊，于是點C就在以AB為直徑的外接圓上，AABC的最

大面積就是以圓半徑為高時的面積.

【答案解析】如圖，過點D作DF//AE交BE于點F,則%=警=1.

AEBA3

12222

,ECE二.DF=2EC,..DO=2OC,**.DO=~DC,.0.SAD0--SADC,SBD0=-SBDC,*'?SAB0=-SABC,

'：ZACB=90°,.,.C在以AB為直徑的圓上,設圓心為M.當CMLAB時,AABC的面積最大為：｝x4x2=

4,止匕時AABO的面積最大為:|x4=|,

【規(guī)律總結】求三角形面積最大值時，往往應用三角形外接圓求解.

【典型題4】★★★在AABC中，若AB=6,/ACB=45。.則AABC面積的最大值為

【思路分析】利用三角形的外接圓求解.

【答案解析】作△ABC的外接圓。O,過C作CMLAB于M.

;弦AB已確定，，要使△ABC的面積最大，只要CM取最大值即可,

如圖所示，當CM過圓心。時，CM最大，

VCM±AB,CM過O,.^.AM=BM(垂徑定理)....AC=BC,

ZAOB=2ZACB=2x45°=90°,

11

0M=AM=-AB=士x6=3,

22

OA=y/OM2+AM2=3近,

/.CM=0C+0M=3V2+3,

SABC=^AB.CM=|X6X(3V2+3)=9或+9.

【典型題5】★★★如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的。0與x軸的正半軸交于點A,點B是。0

上一動點.點C為弦AB的中點，直線y=［久-3與x軸、y軸分別交于點D、E,則ACDE面積的最小值為.

【思路分析】因為D、E兩點固定，C點是動點，因此需要確定C點在什么位置ACDE的面積最小，B在。0

運動，點C為弦AB的中點，那么確定C的軌跡就是本題的關鍵.

如解圖，連接0B,取0A的中點M,連接CM,過點M作MN±DE于N.首先證明點C的運動軌跡是以M

為圓心,1為半徑的。M,設。M交MN于C.求出MN,當點C與C重合時，ACDE的面積最小.

【答案解析】如圖，連接OB,取OA的中點M,連接CM,過點M作MNLDE于N.

VAC=CB,AM=OM,MC=|OB=1,

???點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的。M,設OM交MN于C.

???直線y=%-3與x軸、y軸分別交于點D、E,.1.D(4,0),E(0,-3),

4

0D=4,0E=3,DE=V32+42=5,

ZMDN=ZODE,ZMND=ZDOE,.\ADNM^ADOE,

MNDMMN3579

???一=—,???一=一，???MN=-

OEDE355

當點c與C重合時,ACDE的面積最小,最小值=|X5xg-1)=2.

2

【典型題6]★★★如圖，兩條拋物線yi=-%+4,y2=+bx+c相交于A,B兩點，點A在x軸負

半軸上，且為拋物線y2的最高點.

(1)求拋物線yz的解析式和點B的坐標；

⑵點C是拋物線yi上A,B之間的一點，過點C作x軸的垂線交yz于點D,當線段CD取最大值時，求SABCD.

【思路分析】(2)設點的坐標一用未知數表示出CD的長度SBCD=|COx(B的橫坐標-D的橫坐標)列式求解.

因CD=%-%,是一個二次函數的關系式，利用函數的最值，求出相應的x值，及CD的最大值，進而計算出

三角形的面積.

【答案解析】⑴當.yi=。時,即-x2+4=0,解得x=2或x=-2,

又...點A在x軸的負半軸,點A(-2,0),

點A(-2,0)是拋物線丫2的最高點.

把A(-2,0)代入y2=-1x+c

解得c=t

???拋物線y?的解析式為：

?.?A(-2,。),.??點B(3,-5),

(2)如圖,

22

由題意得，CD^yr-y2=-x+4-x-%

即：CD=--x2+-x+—,

555

Mzbln_.i41.41,24-

口2a2'最大54525'

C1L/c1、25

SBCD=-x5x(^3—-J=—,

【典型題7】★★★如圖①，在AABC中，乙4=90。，/IB=4C=魚+1,,點D,E分別在邊AB,AC上，且AD

=AE=1,連接DE.現(xiàn)將AADE繞點A順時針方向旋轉，旋轉角為a(0。＜a＜360。),,如圖②,連接CE,BD,CD.

(1)當0。＜”180。時,求證:CE=BD;

⑵如圖③，當a=90。時，延長CE交BD于點F,求證:CF垂直平分BD;

(3)在旋轉過程中，求ABCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉角a的度數.

【思路分析】(2)利用“SAS”證得AACE^^ABD,推出NACE=NABD,計算得出AD=BC=迎+2,利用等腰三

角形“三線合一”的性質即可得到結論；

(3)ABCD中.邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時ABCD的面積有最大值.

觀察圖形，D在以A為圓心，AD為半徑的圓上.當點D在線段BC的垂直平分線上時，ABCD的面積取得

最大值，利用等腰直角三角形的性質結合三角形面積公式即可求解.

【答案解析】⑴證明：

根據題意:AB=AC,AD=AE,

ZCAB=ZEAD=90°,

,/ZCAE^ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,

ZCAE=ZBAD,

(AC=AB

在AACE和AABD中,{z.CAE=ABAD,

IAE=AD

△ACE義△ABD(SAS),CE=BD;

(2)證明:根據題意:AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

在AACE和AABD中,

AC=AB

Z-CAE=Z-BADz

AE=AD

：.AACE^AABD(SAS),

JZACE=ZABD,

ZACE+ZAEC=90°,

且NAEONFEB,

???ZABD+ZFEB=90°,

???ZEFB=90°,ACF±BD,

???AB=AC=y/2+1,AD=AE=1,

ZCAB=ZEAD=90°,

???BC=V2AB=V2+2,CD=AC+AD=V2+2,BC=CD,

VCF±BD,.\CF是線段BD的垂直平分線，即CF垂直平分BD.

(3)在ABCD中，邊BC的長是定值廁BC邊上的高取最大值時ABCD的面積有最大值,

VD在以A為圓心，AD為半徑的圓上

當點D在線段BC的垂直平分線上時，ABCD的面積取得最大值，如圖，

???AB=AC=42+1,AD=AE=1,zC?lS=ZEAD=90o,DG±BCTG,

AG^-BC==45",

22

DG=AG+AD=—+1=—,^.DAB=180°-45°=135°,

22’

ABCD的面積的最大值為：^BC-DG=|(V2+2)X(與勺=當比，

旋轉角a=135°.

【典型題8】★★★如圖，在平面直角坐標系中,AABC是等腰直角三角形,NBAC=9(T,A(l,0),BQ2),C(3,l)拋物

線y=1x2+bx-2的圖象過C點，交y軸于點D.

(1)直接寫出點D的坐標及b的值；

(2)平移該拋物線的對稱軸所在直線1,設1與x軸交于點G(x,0),當0G等于多少時，恰好將AABC的面積分

為相等的兩部分？

【思路分析】(2)需畫出圖形，轉化為我們所熟知的三角形ACFG的面積求解.

【答案解析】(l)D(0,-2).

將C(3,1)代入拋物線y=#+法-2彳導b=/

二次函數解析式為y=(/一3久一2

222

(2)在RtAAOB中，由勾股定理得:AB=>JOA+OB=逐，所以SABC=^AB=j.

設直線BC、直線AC的解析式為yi=ki_x+br,y2-k2x+b2,

將A(l,0),B(0,2),C(3,l)代入得：

(b1=2(k2+b2=0

(3/q+=1'(3fc2+b2=1

.仇=2rk2=-1-

k=

解得'~~3b2=-y

即71=-1x+2,y2

如圖所示.設直線1交直線BC、直線AC于點F、G.過C作CHU于點H.

因為G(x,0),所以E(x>^x-0,F+2),所以EF=-|x+1,CH=3-x,由SCFG=^SABC=/得|x

EFxCH=割I：|(-1%+|)(3-x)=那得Xi=3+g(舍),x2=3V3.

所以OG等于3-百時，恰好將AABC的面積分為相等的兩部分.

【典型題9]★★★如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+lx+c與直線y=-|x-1交于A、B兩

點，已知點B的橫坐標是4,直線y=與x、y軸的交點分別為A、C,點P是拋物線上一個動點.

⑴求拋物線的解析式;

⑵若點P在直線y=-|x-爭勺上方，求4PAC的最大面積.

【思路分析】(2)利用兩三角形的高相等，則面積比等于底的比，將題目中的三角形轉化為我們熟知的三頂點都

在拋物線上的三角形，利用鉛垂高、水平寬求解.

【答案解析】⑴因為點B的橫坐標是4,所以B(4,-2),A(-l,0),C(0,-|).

將A(-1,O)、B(4,-2)代入y=ax2+“+c得：

fl6ct+-x4+c=—2(a=--

45,、，解得65-

Ia+-x(-1)+c=0Ic=-

即拋物線的解析式為：y=-|%2+1%+|;

⑵如圖，過點B作BH，x軸于點H.過P作PG，x軸于點G,交AB于點E,連接PB.

由勾股定理得：

AC=Vox2+OC2=J/+(|)2=?

AB=7AH2+B〃2=.52+22=屈,

SPAC,.SPAB=AC\AB=1:5,即

SPAC=ISPAB=IXIXAHXPE

設P點橫坐標為m,則

P(TIP—|m2+:771+5

PE=—|m2+|m+1，AH=5,

c1/27,6,8\L

SPAC=———m+-m+-x5

10\5557

.?.當機=總寸，APAC的面積有最大值，最大值為：

【典型題10】★★★★如圖①，平面直角坐標系xOy中，等腰AABC的底邊BC在x軸上,BC=8頂點A在y的

正半軸上,OA=2,一動點E從(3,0)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向左運動，到達0B的中點停止.另一動點F

從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運動，到達點O停止.已知點E、F同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH,

使正方形EFGH和AABC在BC的同側，設運動的時間為t秒(亡0).

⑴當點H落在AC邊上時，求t的值；

⑵設正方形EFGH與AABC重疊面積為S,請問是否存在t值，使得S=皆?若存在，求出t值；若不存在,

請說明理由；

⑶如圖②，取AC的中點D,連接OD,當點E、F開始運動時，點M從點O出發(fā)，以每秒24個單位的速度沿

OD-DC-CD-DO運動，到達點O后停止運動并消失.請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFGH

內(含邊界)嗎？如果可能，求出點M在正方形EFGH內(含邊界)的時長；若不可能，請說明理由.

【思路分析】⑴點H落在AC邊上時，根據平行線段成比例列式，也可根據tanZACO=喘=霄=1得出

OFEF2

EH=EF=l,EC=2,t=l.

(2)由題意，當點F運動到點O停止運動前，重疊面積最大是邊長為1的正方形面積，此時不存在t,因此t>4,

重疊部分是五邊形OEKJG.構建方程求解即可，詳見解析.

(3)本題關鍵要得出點M在水平方向的運動速度是2V^cosNDOC=4,然后分別求出點M落在正方形的邊

EH和FG時t的值，