PAGEPAGE1第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖一、學(xué)問(wèn)梳理1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征2．直觀圖(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫(huà)出的輪廓線．(2)三視圖的畫(huà)法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫(huà)法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬；看到的線畫(huà)實(shí)線，看不到的線畫(huà)虛線．[留意](1)畫(huà)三視圖時(shí)，能望見(jiàn)的線用實(shí)線表示，不能望見(jiàn)的線用虛線表示．(2)同一物體，若放置的位置不同，則所得的三視圖可能不同．eq\a\vs4\al(常用結(jié)論,1.特殊的四棱柱,\x(四棱柱)\o(→,\s\up17(底面為平),\s\do15(行四邊形))平行六面體)eq\o(→,\s\up17(側(cè)棱垂直),\s\do15(于底面))eq\x(直平行六面體)eq\o(→,\s\up17(底面為),\s\do15(矩形))eq\x(長(zhǎng)方體)eq\o(→,\s\up17(底面邊),\s\do15(長(zhǎng)相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up17(側(cè)棱與底面),\s\do15(邊長(zhǎng)相等))eq\x(正方體)上述四棱柱有以下集合關(guān)系：{正方體}{正四棱柱}{長(zhǎng)方體}{直平行六面體}{平行六面體}{四棱柱}．2．斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，,圖形變更.))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不變更，,相對(duì)位置不變更.))Ｋ二、習(xí)題改編1．(必修2P10B組T1改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱解析：選C.由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．2．(必修2P8A組T1(1)改編)在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為．(填寫(xiě)全部正確的序號(hào))答案：③⑤一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體肯定是棱臺(tái)．()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(6)菱形的直觀圖仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×二、易錯(cuò)糾偏eq\a\vs4\al(常見(jiàn)誤區(qū))(1)對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征相識(shí)不到位；(2)不能由三視圖確定原幾何體的結(jié)構(gòu)特征；(3)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則不清致誤．1．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱B．正棱臺(tái)的對(duì)角面肯定是等腰梯形C．圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線D．各個(gè)面都是正方形的四棱柱肯定是正方體解析：選A.由五個(gè)面圍成的多面體可以是四棱錐，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．B，C，D說(shuō)法均正確．2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選B.依據(jù)選項(xiàng)A，B，C，D中的直觀圖，畫(huà)出其三視圖，只有B項(xiàng)正確．3.在直觀圖(如圖所示)中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2cm，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為，面積為cm2.解析：由斜二測(cè)畫(huà)法的特點(diǎn)，知該平面圖形的直觀圖的原圖，即在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO是一個(gè)長(zhǎng)為4cm，寬為2cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8cm2.答案：矩形8空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(師生共研)(1)下列結(jié)論正確的是()A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)(2)以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)；斜四棱柱也有可能兩個(gè)側(cè)面是矩形，所以C錯(cuò)；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分才叫圓臺(tái)，D錯(cuò)．(2)命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必需是垂直于兩底的腰；命題③對(duì)．【答案】(1)B(2)Beq\a\vs4\al()空間幾何體概念辨析問(wèn)題的常用方法1．把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為()A．10 B．10eq\r(3)C．10eq\r(2) D．5eq\r(3)解析：選B.設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3).2．若四面體的三對(duì)相對(duì)棱分別相等，則稱(chēng)之為等腰四面體，若四面體的一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱兩兩垂直，則稱(chēng)之為直角四面體，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)為四面體的頂點(diǎn)，可以得到等腰四面體、直角四面體的個(gè)數(shù)分別為()A．2，8 B．4，12C．2，12 D．12，8解析：選A.因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線構(gòu)成2個(gè)等腰四面體．因?yàn)殚L(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱都是兩兩垂直的，所以長(zhǎng)方體中有8個(gè)直角四面體．空間幾何體的三視圖(多維探究)角度一由空間幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖(2024·高考全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()【解析】由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見(jiàn)，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A.【答案】Aeq\a\vs4\al()已知幾何體，識(shí)別三視圖的步驟(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及詳細(xì)形態(tài)、明確幾何體的擺放位置；(2)依據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最終確定側(cè)視圖；(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，對(duì)于簡(jiǎn)潔的組合體，要留意它們的組合方式，特殊是它們的交線位置．角度二由空間幾何體的三視圖還原直觀圖(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2【解析】由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16.畫(huà)出該圓柱的側(cè)面綻開(kāi)圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.【答案】Beq\a\vs4\al()由三視圖確定幾何體的步驟1．(2024·福州市第一學(xué)期抽測(cè))如圖，為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是()解析：選B.由題意，依據(jù)切削后的幾何體及其正視圖，可得相應(yīng)的側(cè)視圖的切口為橢圓，故選B.2．(2024·唐山市五校聯(lián)考)如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()解析：選A.由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A.空間幾何體的直觀圖(師生共研)(1)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形【解析】(1)如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D.(2)如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC，故四邊形OABC是菱形，故選C.【答案】(1)D(2)Ceq\a\vs4\al()平面圖形與其直觀圖的關(guān)系(1)在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．(2)依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是cm.解析：由題意知正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，所以O(shè)B＝eq\r(2)cm，對(duì)應(yīng)原圖形平行四邊形的高為2eq\r(2)cm，所以原圖形中，OA＝BC＝1cm，AB＝OC＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3cm，故原圖形的周長(zhǎng)為2×(1＋3)＝8cm.答案：8[基礎(chǔ)題組練]1．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不行能是()A．圓柱 B．圓錐C．四面體 D．三棱柱解析：選A.由三視圖學(xué)問(wèn)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不行能為三角形．2．下列說(shuō)法正確的有()①兩個(gè)面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；②經(jīng)過(guò)球面上不同的兩點(diǎn)只能作一個(gè)大圓；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱肯定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選A.①中若兩個(gè)底面平行且相像，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會(huì)交于一點(diǎn)，所以①不正確；②中若球面上不同的兩點(diǎn)恰為球的某條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則過(guò)此兩點(diǎn)的大圓有多數(shù)個(gè)，所以②不正確；③中底面不肯定是正方形，所以③不正確；很明顯④是正確的．3．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()A．①③ B．①④C．②④ D．①②③④解析：選A.由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確．4．如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′-ABC，則剩余的部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體解析：選B.如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′-ABC，剩余部分是四棱錐A′-BCC′B′.5．有一個(gè)長(zhǎng)為5cm，寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為．解析：由于該矩形的面積S＝5×4＝20(cm2)，所以其直觀圖的面積S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm26．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為cm.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：137．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(3)，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長(zhǎng)為．解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，連接AO，易得AO＝eq\r(2)，又PA＝eq\r(3)，于是解得PO＝1，所以PE＝eq\r(2)，故其正視圖的周長(zhǎng)為2＋2eq\r(2).答案：2＋2eq\r(2)8．如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，圖2為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依據(jù)所給的正視圖、側(cè)視圖，畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA的長(zhǎng)．解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對(duì)角線)邊長(zhǎng)為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)(cm)．由正視圖可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．[綜合題組練]1．(2024·陜西西安陜師大附中等八校3月聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示，一只螞蟻從頂點(diǎn)A動(dòng)身沿該正三棱柱的表面繞行兩周到達(dá)頂點(diǎn)A1，則該螞蟻?zhàn)哌^(guò)的最短路徑長(zhǎng)為()A.eq\r(193) B．25C．2eq\r(193) D．31解析：選B.將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側(cè)棱AA1綻開(kāi)兩次，如圖所示：在綻開(kāi)圖中，AA1的最短距離是大矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度，也即為三棱柱的側(cè)面上繞兩圈所走路程的最小值．由已知求得正三棱錐底面三角形的邊長(zhǎng)為eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.所以矩形的長(zhǎng)等于4×6＝24，寬等于7.由勾股定理求得d＝eq\r(242＋72)＝25.故選B.2．(2024·吉林第三次調(diào)研測(cè)試)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積為2，則正