專題21特殊的平行四邊形（45題）

一、單選題

1.（2024?重慶?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，分別以點A和C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且

僅有一個公共點.若A￡>=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.32-8nB.16A/3-4TI

C.32-4兀D.1673-871

【答案】D

【分析】本題考查扇形面積的計算，勾股定理等知識.根據題意可得AC=2">=8,由勾股定理得出

AB=m用矩形的面積減去2個扇形的面積即可得到結論.

【詳解】解：連接AC,

根據題意可得AC=2AD=8,

:下巨形ABC。，AAD=BC=4,ZABC=90°,

在RtAABC中，AB=\lAC2-BC2=473>

，圖中陰影部分的面積=4x46一2x也*=16百一8%.

360

故選：D.

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，。是坐標原點，菱形A30C的頂點5在x軸的負半軸上，頂點C的坐

標為（3,4）,則頂點A的坐標為（）

A.(-4,2)B.卜\Z^,4)C.(-2,4)D,4,-\/3j

【答案】C

【分析】本題考查平面直角坐標系內兩點間的距離公式，菱形的性質，坐標與圖形.結合菱形的性質求出

AC=OC=5是解題關鍵.由兩點間的距離公式結合菱形的性質可求出AC=OC=5,從而可求出AD=2,

即得出頂點A的坐標為(-2,4).

???點C的坐標為(3,4),

**-OC=732+42=5-

?..四邊形ABOC為菱形，

AC=OC=5,

AD=AC-CD=AC—%=5—3=2,

頂點A的坐標為(-2,4).

故選C.

3.(2024?湖北武漢?中考真題)小美同學按如下步驟作四邊形ABCD：①畫ZM4N；②以點A為圓心，1個

單位長為半徑畫弧，分別交A",AN于點8,。；③分別以點B,O為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩

弧交于點C；④連接BC,CD,BD.若NA=44。，則NC即的大小是()

【答案】C

【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，根據作圖可得四邊形ABCD是菱形，進而根據菱形的

性質，即可求解.

2

【詳解】解：作圖可得AB=AD=3C=DC

.??四邊形ABCD是菱形，

AD\\BC,ZABD=ZCBD

VZA=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBZ9=1（180°-ZMBC）=|（180°-44°）=68°,

故選：C.

4.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在矩形A3CD中，對角線AC與5。相交于點。，則下列結論一定正

確的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質，根據矩形的性質逐項判斷即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

AAB=CD,AC=BD,AD//BC,則ZACB-ZMC,

選項A中AB=AD不一定正確，故不符合題意；

選項B中AC_Z.不一定正確，故不符合題意；

選項C中AC=3D一定正確，故符合題意；

選項D中/4cB=/4CD不一定正確，故不符合題意，

故選：C.

5.（2024.黑龍江綏化.中考真題）如圖，四邊形ABQ）是菱形，CD=5,BD=8,AE_L5c于點E,則AE

的長是（）

A

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質，根據勾股定理求得0C,進而得出AC=6,進而根據等面積

法，即可求解.

【詳解】解：：四邊形A3CD是菱形，CD=5,BD=8,

/.DO=-BD=4,AC1BD,BC=CD=5,

2

在RtACDO中，CO=NDC。-DO。=3,

：.AC=2.OC=6,

:菱形A5CD的面積為工ACx2。=BCxAE,

2

故選：A.

6.(2024.河北?中考真題)在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征

值”.如圖，矩形ABC。位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的

是()

D---------,C

A1---------'B

Ox

A.點AB.點8C.點CD.點。

【答案】B

【分析】本題考查的是矩形的性質，坐標與圖形，分式的值的大小比較，設4(。,。)，AB=m,AD^n,

可得。(a,b+〃)，B(a+m,b),C(a+m,b+n),再結合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案.

【詳解】解：設A(a,6),AB=m,AD=n,

??,矢巨形ABC。，

AD=BC=n,AB=CD=m,

AD^b+ri),+,C(tz+m,Z?+n),

bbb+n.bb+n

?----<-<----,而-----<-----,

a+maaa+ma+m

?,?該矩形四個頂點中“特征值”最小的是點B；

4

故選：B.

7.（2024.吉林?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）.以04OC

為邊作矩形。1BC,若將矩形Q4BC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形OAB'C,則點？的坐標為（）

少

A------|配

1________C

AOC'x

A.（T-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一旋轉，矩形的性質等等，先根據題意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性質可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋轉的性質可得。V=Q4=4,AB'=AB=2,

ZOAB'=90°,據此可得答案.

【詳解】解：：點A的坐標為（T,0）,點C的坐標為（0,2）,

OA=4,OC=2,

?..四邊形。1BC是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

:將矩形。"C繞點。順時針旋轉90。，得到矩形OAB'C',

OA'=OA=4,AB'=AB=2,ZOAB'=90°,

：.A?。軸，

???點8’的坐標為（2,4）,

故選：C.

8.（2024?甘肅.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,80相交于點。，ZABD=60°,AB=2,

則AC的長為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】根據矩形ABCD的性質,^OA=OB=OC=OD=^AC,結合ZABD=60°,得到^AOB是等邊三

角形，結合AB=2,得到。4=OB=A8=gAC,解得即可.

本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵.

【詳解】根據矩形A5CD的性質，nOA=OB=OC=OD=^AC,

'：ZABD=60°,

AAOB是等邊三角形，

AB=2,

OA=OB=AB=—AC=2,

2

解得AC=4.

故選C.

9.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點E在。C上，jCVADE^AE

折疊，點。恰好落在BC邊上的點尸處，貝UcosNCE產的值為（）

A.立B.立C.-D,-

4344

【答案】A

【分析】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，求角的三角函數等知識點，正確利用折疊的性

質是解題的關鍵.

根據折疊的性質，可求得4尸=m=8,EF=DE,從而求得所，CF,在RtAEFC中，由勾股定理，得

EF2=CE2+CF2,即可求得結果.

【詳解】解：,??四邊形A3CZ）是矩形，

,-.AD=BC=8,DC=AB=6,

,?,把VADE沿AE折疊，點。恰好落在BC邊上的點尸處，

；.AF=AD=8,EF=DE,

BF=y/AF2-AB2=V82-62=2不，

:.CF=BC-BF=8-2幣,

在RtZXEFC中，

6

CE=DC—DE=6—EF,

由勾股定理，得EF?=。戌+。52,

b32-877

3

,32-877_8A/7-14

33

8A/7-14

.,cosZCEF=^=^Z=^；

EF32-8V74

3

故選：A.

10.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點尸從菱形ABC。的點A出發，沿邊f勻速運動，運動到點

C時停止.設點P的運動路程為x,PO的長為與x的函數圖象如圖2所示，當點尸運動到BC中點時,

PO的長為（）

D.20

【答案】C

【分析】結合圖象，得到當x=0時，PO=AO=A,當點尸運動到點8時，PO=30=2,根據菱形的性

質，得/AOB=NBOC=90。，繼而得到AB=BC=4ON+OB—2行,當點尸運動到8c中點時，尸O的

長為解得即可.

本題考查了菱形的性質，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，勾股定理,

直角三角形的性質是解題的關鍵.

【詳解】結合圖象，得到當x=0時，PO=AO=4,

當點P運動到點B時，PO=BO=2,

根據菱形的性質，得ZAOB=NBOC=90。,

故ABUBCUJOA+OB?=26，

當點P運動到8C中點時，尸。的長為［BC=J^,

2

故選c.

n.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形ABCD中，網）為其對角線，一動點尸從。出發，沿著DfBfC

的路徑行進，過點P作尸Q，8,垂足為Q.設點P的運動路程為x,PQ-DQ為y,y與x的函數圖象

如圖2,則AQ的長為

圖1

A,坦

B.D

334-T

【答案】B

【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，根據圖象得出信息是解題的關鍵.

根據函數的圖象與坐標的關系確定8的長，再根據矩形性質及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當BD+3尸=4時，PQ=CD=2,此時點P在邊上,

設此時=則3/)=4—a,AD-BC—2+a,

在RtA^BCD中，BD--BC2CD1,

即：(”小(4+2)2=2"

2

解得：

Q

AD=a+2=—

3

故選：B.

12.（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABC。，E,F,G,X分別為各邊中點，連接AG,BH,

CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先證明四邊形"NP0是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出AM=QM,證

8

明AADG絲ABAH(SAS)得出ZZMG=ZABH,則可得出NQMN=ZAMB=90。，同理NAQ￡>=90。，得出平行

四邊形MNP。是矩形，證明AA。。四△SW(AAS),得出。2=4M,進而得出DQ=AM=PQ=QM,得出

矩形MNPQ是正方形，在Rt^A。。中，利用勾股定理求出QU=S,然后利用正方形的面積公式求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

,:E,F,G,H分別為各邊中點，

/.CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

DG=CG=AE,

...四邊形AECG是平行四邊形,

：.AG//CE,

同理。尸II3”,

???四邊形MNPQ是平行四邊形，

AG//CE,

,DQ=DG=

99PQ~CG~'

：.DQ=PQ,

同理,

?：DG=AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

：.AADG2ABAH(SAS),

/.ZDAG=ZABH,

ZDAG+ZGAB=90°,

/.ZABH+ZGAB=90°,

:.NQMN=ZAMB=90。,同理ZAQD=90。，

???平行四邊形MNP。是矩形，

VZAQD=ZAMB=90°fZDAG=ZABH,AD=BA,

???△APQqBAM(AAS),

?,.DQ=AMf

又DQ=PQ,AM=QM,

??.DQ=AM=PQ=QM,

???矩形MNP。是正方形,

在RtZ\AOQ中，AD2=DQ2+AQ2,

：.52=QM2+（2QM^,

：.QM2=5,

正方形"NPQ的面積為5,

故選：C.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，全等三角形判定與性質，平行線分線段成比例，勾股定理等知

識，明確題意，靈活運用相關知識求解是解題的關鍵.

13.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與相交于點0.E

是3C邊上一點，尸是3。上一點，連接尸.若ADEF與關于直線OE對稱，則△3EF的周長

A.2>/2B.2+>/2C.4-20D.0

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質和折疊的性質，屬于基礎題型，熟練掌握正方形的性質和折疊的性質是

解題的關鍵.根據正方形的性質可求出8。=20，根據軸對稱的性質可得小=DC=2,

ZDFE=ZBCD=90°則BF=BD—DF=26-2，再求出E尸=2F=20-2，BE=叵BF=4-2垃,即

可求出答案.

【詳解】解：正方形A3CD的邊長為2,

/.BC=DC=2,ZBCD=90°,DO=-BD,NCBD=45°,

2

BD=dBC°+DC?=2V2，

,：ADEF與ADEC關于直線DE對稱,

DF=DC=2,ZDFE=ZBCD=90°,

?*-BF=BD-DF=2^2-2，/BFE=90°,

：.ZFBE=ZFEB=45°,

EF=BF=2返-2,

10

3"=危尸=拒（20—2）=4-2夜，

ABEF的周長是BE+政+2尸=4-20+20-2+20-2=20，

故選：A.

14.（2024?上海?中考真題）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對角線8。的垂線，過5、。作對角線AC的垂

線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【答案】A

【分析】本題考查矩形性質、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質及菱形的判定是解決問題

的關鍵.由矩形性質得到邑.BC=SQ。，OC=O3=Q4=OD,進而由等面積法確定===

再由菱形的判定即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示：

四邊形ABCD為矩形,

一S、OBC=SAOAD>OC-OB=OA=OD,

,過A、C作對角線BD的垂線，過8、。作對角線AC的垂線，

SM=S.=-OCBF=-OBCH=-ODAE=-OADG

△onIJJ/MJ2222

CH=BF=AE=DG,

如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，

故選：A.

15.（2024?四川德陽?中考真題）寬與長的比是更二1的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感,

2

世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計.已知四邊形ABCD是黃金矩

形.（AB<8C）,點尸是邊AD上一點，則滿足PBLPC的點尸的個數為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一

元二次方程解的情況是解題的關鍵.設=BC=b,假設存在點P,且AP=x,則尸D=>-x,利用

勾股定理得到BP2=AB-+AP-=a2+x2,PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,BC2=BP'+PC2,可得到方程

x2-bx+a2=0,結合四=0=心二1,然后根據判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解.

BCb2

【詳解】解：如圖所示，四邊形A3CD是黃金矩形，AB<BC,四=由二1,

BC2

^AB=a,BC=b,假設存在點P,S.AP=x,則尸D=6—x,

在RMABP中，BP2^AB2+AP2^a2+x2,

在RbPDC中，PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,

■：PBLPC,

BC2=BP2+PC2,HPb1=cr+X1+QJ-X)1+a2,

整理得*—Zw+a?=0，

???A=b2-4ac=b2-4a2,又理=@=避二1,即〃=避二1.

BCb22

2(A/5-I)22r2

A=b2-4ac=b2-4a2=b2-4~。=(275-5)b2,

4

275-5<0,Z?2>0,

A=Z>2-4a2=(2A/5-5)Z>2<0,

方程無解，即點P不存在.

故選：D.

16.(2024.四川瀘州?中考真題)如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E,尸分別是邊AB,5c上的動

點，且滿足AE=3/，"與DE交于點。，點M是。尸的中點，G是邊A3上的點，AG=2G3,則OM+：FG

2

的最小值是()

12

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角三角形的性質，勾股定理等等，

先證明AADE也@4F（SAS）得到=進而得到4X方=90。，則由直角三角形的性質可得

0M=g。/，如圖所示，在A3延長線上截取=BG,連接五"，易證明AFBG%FBH（SAS）,則FH=FG,

可得當H、D、E三點共線時，。尸+班'有最小值，即此時OM+；PG有最小值，最小值即為￡歸的長的

一半，求出A"=8,在RSAD”中，由勾股定理得DH=JAD?+AH。=10，責任OM+g/G的最小值為

5.

【詳解】解：：四邊形A3CD是正方形，

AD=AB,/DAB=ZABC=90°,

又：AE=BF,

：.AADE^ABAF（SAS）,

/.ZADE=ZBAF,

NDOF=ZADO+ZDAO=ZBAF+ZDAO=ZDAB=90°,

:點〃是DF的中點，

：.OM=-DF-

2

如圖所示，在AB延長線上截取期=BG,連接FH,

?；NFBG=NFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

：.AFBG%FBH（SAS）,

：,FH=FG,

：.OM+-FG=-DF+-HF=-（DF+HF},

2222、）

...當X、D、尸三點共線時，止+〃F有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一

半，

VAG^2GB,AB=6,

BH=BG=2,

：.AH=8,

在Ri^ADH中，由勾股定理得DH=^AD2+AH2=10>

的最小值為5,

故選：B.

17.（2024.重慶?中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是3c上一點，點尸是8延長線上

一點，連接AE,AF,4〃平分NE4F.,交。于點若BE=DF=1,則DM的長度為（）

二

BEC

A.2B.6C.y/6D.—

【答案】D

【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，先由正方形的性質得到

ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,4B=AD=CD=BC=4,再證明A4BE絲"rHSAS）得到

AE=AF,進一步證明△AEMZAAMWCSAS）得到=設=貝！J

EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD—DM=4—x,

在R3CEM中，由勾股定理得（x+iy=32+（4-X）2,解方程即可得到答案.

【詳解】解：：四邊形ABC。是正方形，

/ABE=ZADC=NADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4,

又：BE=DF=1,

14

AABE^AADF(SAS),

/.AE=AF,

,：AM平分NE4/L

ZEAM=ZFAM,

X'-AM=AM,

：.AAEM/AAFM(SAS),

EM=FM,

設￡>M=x,則￡M=fM=￡>b+￡>A/=x+l,CM=CD-DM=4-x,

在RtACEM中，由勾股定理得EM2=CE2+CM2,

：.(X+1)2=32+(4-X)\

解得％=?12，

r)M=y,

故選：D.

二、填空題

18.（2024.福建?中考真題）如圖，正方形ABCO的面積為4,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,

AD的中點，則四邊形EFGH的面積為.

【分析】本題考查正方形性質，線段中點的性質，根據正方形性質和線段中點的性質得到m=OG=1,

進而得到S/GR，同理可得=5回=S，CGF=3，最后利用四邊形的面積=正方形ABCD的面積

T個小三角形面積求解，即可解題.

【詳解】解：,正方形ABCD的面積為4,

：.AB=BC=CD=AD=2,ID90?,

；點、E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,AD的中點，

：.HD=DG=1,

SQGH=—xlxl=—,

同理可得S&AHE=SAEFB=SACGF=2,

四邊形EFGH的面積為4_g_（_!_!=2.

2222

故答案為：2.

19.（2024?山東威海?中考真題）將一張矩形紙片（四邊形ABC。）按如圖所示的方式對折，使點C落在

上的點C處，折痕為MN,點。落在點。處，C力交AD于點￡.若BM=3,BC=4,AC'=3,則

DN=.

【答案】|3

【分析】本題考查矩形的折疊問題，全等三角形的判定和性質，勾股定理，先根據勾股定理求出

C'M=CM=5,然后證明ABCA/絲AEC',得到8C'=AE=4,W=C'E=5,即可得到DE=4,DE=2,

然后在RtzM)aV中，利用NE2=。爐+￡)32解題即可.

【詳解】解：在R3C⑸0中,CM=1cB2+BAf2="+3。=5，

由折疊可得CM=CM=5,NDCM=ZD,=ZD=ZC=90°,

又：ABCD是矩形，

ZA=ZB=90°,

ZBC'M+ZAC'E=ZAEC+ZAC'E=90°,

ZBC'M=ZAEC,

又；AC'=5Af=3,

：.ABC'M空AAEC,

3C'=AE=4,MC'=C'E=5,

：.AB=CD=C'D'=1,BC=AD=BM+CM=3+5=8,

：.DE=AD-AE=8-4=4,O'E=C'。'—C'E=7—5=2,

設ON=DN=a,貝i]E/V=4-a,

在RtADW中，NE1=D'E2+D'N2,即(4-a)2=a2+22,

16

3

解得：?=

3

故答案為

20.（2024?河南?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCD的邊A3在無軸上，點A的坐標為（-2,0）,

點E在邊CO上.將ABCE沿8E折疊，點C落在點尸處.若點尸的坐標為（0,6），則點E的坐標為.

【答案】（3,10）

【分析】設正方形ABCD的邊長為a,CO與y軸相交于G,先判斷四邊形AOGD是矩形，得出OG=AD=a,

DG^AO,NEG廠=90。，根據折疊的性質得出族=BC=a,CE=FE,在Rt^BOb中，利用勾股定理

構建關于。的方程，求出a的值，在RSEGR中，利用勾股定理構建關于CE的方程，求出CE的值，即可

求解.

【詳解】解：設正方形A3CD的邊長為a,CO與y軸相交于G,

則四邊形AOGD是矩形,

AOG=AD=a,DG=AO,ZEGF=90°,

;折疊,

:.BF=BC=a,CE=FE,

:點A的坐標為(—2,0)，點F的坐標為(0,6),

AO=2,FO=69

BO=AB—AO=a—2,

在RtZXBO尸中，BO2+FO2=BF2,

：.(a-2)2+62=a2,

解得a=10,

:.FG=OG—OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,

在RSEG尸中，GE2+FG2=EF2,

：.（8-CE）2+42=CE2,

解得CE=5,

:.GE=3,

；.點￡的坐標為（3,10）,

故答案為：（3,10）.

【點睛】本題考查了正方形的性質，坐標與圖形，矩形的判定與性質，折疊的性質，勾股定理等知識，利

用勾股定理求出正方形的邊長是解題的關鍵.

21.（2024?廣西?中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60。，則

重合部分構成的四邊形ABCD的周長為cm.

【答案】873

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，菱形的周長，過點A作A",5c于M,

AN1CD于N,由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，進而由平行四邊形的面積可得AM=AN,即可

得到四邊形ABC。是菱形，再解可得=2限m,即可求解，得出四邊形ABCD是菱

sm60

形是解題的關鍵.

【詳解】解：過點A作AM_L8C于A/,ANLCD于N,則N/WD=90。，

???兩張紙條的對邊平行，

AB//CD,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又???兩張紙條的寬度相等，

18

：.AM=AN,

*.*SARrn=BC-AM=CD-AN,

：.BC=CD,

???四邊形A3CQ是菱形,

在RtZkADN中，ZADN=60°,4V=3cm,

2

.??四邊形ABCD的周長為2有x4=873cm,

故答案為：8g.

22.(2024?天津.中考真題)如圖，正方形A3CD的邊長為3vL對角線AC,應＞相交于點。，點E在C4的

延長線上，OE=5,連接。E.

(1)線段AE的長為;

(2)若尸為OE的中點，則線段AF的長為

【答案】2叵己回

22

【分析】本題考查正方形的性質，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運用中位線定理是解題的關鍵;

(1)運用正方形性質對角線互相平分、相等且垂直，即可求解，

(2)作輔助線，構造中位線求解即可.

【詳解】(1),??四邊形ABCD是正方形,

:.OA=OC=OD=OB,ZDOC=90°

在RtADOC中，Of)?+O(J2=DC2,

VDC=3也，

OD=OC=OA=OB=3,

OE=5

AE=OE-OA=5-3=2；

(2)延長DA到點G,使AG=AD,連接石G

由E點向AG作垂線，垂足為〃

?尸為DE的中點，A為GD的中點,

"為△DGE的中位線，

在Rt△及田中，ZEAH=NDAC=45°,

:.AH=EH

???AH2+EH2=AE2>

:.AH=EH=垃

:.GH=AG-AH=36-垃=2垃

在RtZ\E"G中，.1或^=EH2+G〃2=2+8=10,

.-.EG=410

????為△QGE的中位線，

..AF——EG------;

22

故答案為：2；叵.

2

23.(2024.內蒙古包頭.中考真題)如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=6,AC是一條對角線，E

是AC上一點，過點E作￡尸，回，垂足為尸，連接OE.若CE=AF,則。石的長為.

20

DC

【答案】2幣

【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識，過。作于X,

先判斷AABC,AACD都是等邊三角形，得出ZE4F=60。，AC=AB=6,AH=CH=^AC=3,利用含30。

的直角三角形的性質可得出AE=2AF=2CE,進而求出CE,HE,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：過。作于人

AAB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=60°,

：.AABC,AACD都是等邊三角形，

/./EAF=60°,AC-AB-6,AH=CH=—AC=3,

2

?/EF±AB,

：.ZAEF=30°,

/.AE=2AF,

又CE=AF,

：.AE=2CE,

：.CE=2,

：.HE=CH-CE=1,

在RtACDH中，DH2=CD2-CH2=27,

DE=y/DH2+HE2=2A/7，

故答案為：2幣.

24.（2024?廣東?中考真題）如圖,菱形ABCD的面積為24,點E是AB的中點，點廠是BC上的動點.若ABEF

的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

A

E.

【答案】

【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中線的性質，利用菱形的性質、三角形中線的性質求出S，ADE=6,

=8,根據△謝和菱形的面積求出3BF=；2,除BF=2,則可求出A的的面積，然后利用

BC3CF

S陰影=S菱形ABC。—S?ADE-SdBEF—SKDF求解即可.

【詳解】解：連接AF、BD,

:菱形ABCD的面積為24,點E是A3的中點，△班產的面積為4,

S4AOE=~1鉆。=/X萬S菱形4BCD=6,S-ABF=2S福加=8,

設菱形ABCD中BC邊上的高為h,

c-BFhLBF

則S-ABF=2,即8,2,

S菱形BACDBC-h24BC

.BF_2

??一，

BC3

???空=2,

「皿CF

??S4CDF=4,

S陰影=S菱形488―S^ADE-S&BEF_S《DF=10,

故答案為：10.

22

25.（2024.浙江?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,3。相交于點。，—線段A8與A0

BD3

關于過點。的直線/對稱，點8的對應點在線段OC上，A0交。于點E,則AB'CE與四邊形OB'ED的

面積比為________

【分析】此題考查了菱形的性質，軸對稱性質，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上

知識點.

設AC=10a,BD=6a,首先根據菱形的性質得到Q4=OC=工AC=5。，02=OD=工2。=3。，連接AD,

22

OE,直線/交8c于點R交AD于點G,得到點A,D,。三點共線，AD=AO-OD=2a,

SB，2a2

B'C=OC-OB'=2a,/吼=而=端=§，然后證明出△女團絲支項'（叢5）,得到AE=CE,然后證

AOEB

明出出絲AOB'E（SSS）,得到%?E=S9，E，進而求解即可.

【詳解】???四邊形ABCD是菱形，黑=：

DD3

設AC=10々，BD=6a

：.OA=OC=-AC=5a,OB=OD=-BD=3a

22

如圖所示，連接A￡）,OE,直線/交3C于點凡交AD于點G,

??,線段AB與AE關于過點。的直線/對稱，點8的對應點9在線段OC上,

ZBOF=ZCOF=-ZBOBr=45°,AO=AO=5a,OBr=OB=3a

2

：.ZAOG=ZDOG=45°

???點A,D,。三點共線

：.AD=AO-OD=2a,B,C=OC-OB,=2a

S「FR，B'C2a2

一S。移,一而一與一§

△（7CD

A!D=B'C

?；CD//AB

NCDO=ZABO

由對稱可得，ZA'B'O=ZABO

：.ZAB'O^ZCDO

：.ZA'DE=NCB'E

又：ZAED=ZCEB'

：.AAED絲ACE?（AAS）

NE=CE

'：AB'=AB=CD

/.DE=B'E

又,：OD=OB',OE=OB'

；.AODE沿AOB'E（SSS）

?c=q

,,MODE~23%

SCFR,SCFB.221

S四邊形OEE￡>t,OEB'+SQDE3+363

故答案為：;.

26.（2024?黑龍江綏化?中考真題）在矩形ABC。中，AB=4cm,5C=8cm,點E在直線AD上，且。￡=2cm,

則點E到矩形對角線所在直線的距離是cm.

【答案】型或述或26

55

【分析】本題考查了矩形的性質，解直角三角形，設AC8。交于點。，點用在線段相（上，旦在相）的

延長線上，過點昂苞作AC,的垂線，垂足分別為耳耳，鳥，進而分別求得垂線段的長度，即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，AB=4,BC=8,

AD=BC=8,CD=AB=4,

JAC=ylAD2^CD2=742+82=4^

24

sin"但生=吃=好,o7/541

cos/CW=3=￡^,tan/CW=—二—

AC4A/554乖582

如圖所示，設AC8。交于點。，點用在線段A。上，魚在AD的延長線上，過點昂馬作AC，8。的垂

ZOAD^ZODA

當E在線段A￡>上時，

AEt=AD-DE=S-2=6

在RJAE由中，耳居=AE「sin/CAO=（^x6=W

ZOAD^ZODA

在RtAgB￡>中，丹瑪=￡）￡；sin/E|Dg=2*（=羋；

當E在射線AQ上時，

21

在RJDCE2中，twZDCE2=-=-

：.ZCAD=ZDCE

：.ZDCE^ZDCA=90°

：.E2C1AC

?,?廢==6+42=26,

在Rt△。石2區中，E2F3=DE2XsinZE2DF3=DE2x^-=

綜上所述，點E到對角線所在直線的距離為：當或述或2宕

55

故答案為：吟或處或2下.

55

三、解答題

27.（2024.陜西?中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E和點廠在邊BC上，且BE=CF.求證：AF=DE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質.根據矩形的性質得到AB=CD,4=4=90。,

再推出利用SAS證明/絲△DCE,即可得到=

【詳解】證明：：四邊形A5CD是矩形，

/.AB=DC,ZB=ZC=9O°,

?；BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,BPBF=CE,

：.△ABF沿ADCE(SAS),

/.AF=DE.

28.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，ZA=ZB=9O°,。是邊48的中點,

ZAOD^ZBOC.求證：四邊形ABCD是矩形.

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題

關鍵.利用SAS可證明△49。絲ABOC,得出AO=3C,根據/4=々=90。得出4）〃2。，即可證明四

邊形ABCD是平行四邊形，進而根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形ABCD是矩形.

【詳解】證明：：。是邊A3的中點，

OA=OB,

ZA=NB=90°

在△AOD和A3OC中，\OA=OB

ZAOD=ZBOC

：.△AOD^/XBOC,

/.AD=BC,

26

ZA=ZB=90°,

AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

,/ZA=ZB=90°,

四邊形ABC。是矩形.

29.(2024?青海?中考真題)綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數學

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數量關系和位置關系兩個方面展開探究.

證明：：E、F、G、”分別是43、BC、CD、D4的中點,

:.EF、G”分別是和AACD的中位線，

：.EF=-AC,GH=-AC(①)

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

；?中點四邊形EFGH是平行四邊形.

結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

(1)請你補全上述過程中的證明依據①

【探究二】

原四邊形對角線關系中點四邊形形狀A

!!Z!!!

不相等、不垂直平行四邊形

AC=BD菱形

從作圖、測量結果得出猜想I:原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形.

(2)下面我們結合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后綾的證明過程.

(4)下面我們結合圖3來證明猜想II,請你在探究一證明結論的基礎上，寫出后綾的證明過程.

【歸納總結】

(5)請你根據上述探究過程，補全下面的結論，并在圖4中畫出對應的圖形.

中點四邊形形狀

原四邊形對角線關系

③④

圖4

結論：原四邊形對角線③時，中點四邊形是④.

【答案】(1)①中位線定理

(2)證明見解析

(3)②矩形

(4)證明見解析

(5)補圖見解析；③4。13。且47=3￡＞；④正方形

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，矩形的判定和性

28

質等知識

(1)利用三角形中位線定理即可解決問題；

(2)根據三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問題；

(3)根據三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

(4)根據三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

(5)根據三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.

【詳解】(1)①證明依據是：中位線定理；

(2)證明：；E、F、G、H分別是AB、BC、CD、D4的中點,

/.EF、GH分別是AABC和^ACD的中位線，

AEF=-AC,GH