專題31規律型探究題（24題）

一、單選題

1.（2024?云南?中考真題）按一定規律排列的代數式：2x,3*,4龍③，5x4,L,第”個代數式是（）

A.2x"B.（〃-1）尤"C.wcn+lD.（?+l）x"

【答案】D

【分析】本題考查了數列的規律變化，根據數列找到變化規律即可求解，仔細觀察和總結規律是解題的關

鍵.

【詳解】解：：按一定規律排列的代數式：2尤，3f,4尤3,5/,6%L,

???第〃個代數式是（〃+1）爐，

故選：D.

2.（2024.重慶?中考真題）烷妙是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物

的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②

有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原

子的個數是（）

內部J

①②③④

A.20B.22C.24D.26

【答案】B

【分析】本題考查數字的變化類，根據圖形，可歸納出規律表達式的特點，再解答即可.

【詳解】解：由圖可得，

第1種如圖①有4個氫原子，即2+2x1=4

第2種如圖②有6個氫原子，即2+2x2=6

第3種如圖③有8個氫原子，即2+2x3=8

■,?，

???第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是：2+2x10=22；

故選：B.

3.（2024.重慶?中考真題）用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案

中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖案中，

菱形的個數是（）

A.20B.21C.23D.26

【答案】C

【分析】本題考查了圖形類的規律探索，解題的關鍵是找出規律.利用規律求解.通過觀察圖形找到相應

的規律，進行求解即可.

【詳解】解：第①個圖案中有l+3x（l-1）+1=2個菱形,

第②個圖案中有l+3x（2-1）+1=5個菱形，

第③個圖案中有l+3x（3-1）+1=8個菱形，

第④個圖案中有l+3x（4-1）+1=11個菱形,

???第兀個圖案中有1+3（〃-1）+1=3〃-1個菱形,

.,?第⑧個圖案中菱形的個數為3x8-1=23,

故選：C.

4.（2024?黑龍江牡丹江.中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規律所組成的圖形，第1個

圖有4個三角形.第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規律排列下去，第674個

圖中三角形的個數是（

△

△△△△

△△△△△△△

△△△△△△△△△

第1個第2個第3個

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】B

【分析】此題考查了圖形的變化規律，解題的關鍵是根據圖形的排列，歸納出圖形的變化規律.根據前幾

個圖形的變化發現規律，可用含"的代數式表示出第〃個圖形中三角形的個數，從而可求第674個圖形中

三角形的個數.

【詳解】解：第1個圖案有4個三角形，即4=3xl+l,

第2個圖案有7個三角形，即7=3x2+l,

2

第3個圖案有10個三角形，即10=3x3+1,

按此規律擺下去，第"個圖案有（3"+1）個三角形，

則第674個圖案中三角形的個數為：3x674+1=2023（個）.

故選：B.

5.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數y=Y-3犬+3》-1的圖象，發現它

關于點（1,0）中心對稱.若點A（0.1,%）,4（02%）,4（03%），……，4（19%），&（2,%）都在函

數圖象上，這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,則%+%+%+……+%+%。的值是（）

【答案】D

【分析】本題是坐標規律題，求函數值，中心對稱的性質，根據題意得出%+%+%+…%+%「-+乂9=。，

進而轉化為求知+%。，根據題意可得％=。，％。=1，即可求解.

【詳解】解：：這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,

.0.1+1.90.2+1.80.9+1.1,

??==???-1,

222

?**X+%+%+…%+%…+%=o，

%+%+%+....+%+%）=%）+%＜），而即加=。，

Vy=x3-3x2+3x-l,

當尤=0時，J=-l,BP（0,-1）,

v（0,-1）關于點（1,0）中心對稱的點為（2,1）,

即當x=2時，y2Q=1,

%+%+%+........+%9+%。=Mo+丁20=0+1=1，

故選：D.

6.（2024.四川德陽?中考真題）將一組數0,2,指,20,屈,2石,…，而，…，按以下方式進行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個數是（）

A.70B.8A/2C.屈D.477

【答案】C

【分析】本題考查了數字類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵.求出第七行共有28個數，

從而可得第八行左起第1個數是第29個數，據此求解即可得.

【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數，第二行共有2個數，第三行共有3個數，

歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個數，

則第八行左起第1個數是^/^^=屈，

故選：C.

7.（2024?江蘇揚州?中考真題）1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1,1,2,3,5,……,

這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和.則在這一列數的前2024個數中，

奇數的個數為（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【分析】將這一列數繼續寫下去，發現這列數的變化規律即可解答.

本題主要考查的是數字規律類問題，發現這列數的變化規律是解題的關鍵.

【詳解】這一列數為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以發現每3個數為一組，每一組前2個數為奇數，第3個數為偶數.

由于2024+3=674…2,

即前2024個數共有674組，且余2個數，

奇數有674、2+2=1350個.

故選：D

8.（2024?河北.中考真題）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的

點稱為“和點”.將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當余數

為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位長度.

4

例：“和點”尸（2,1）按上述規則連續平移3次后,到達點月（2,2）,其平移過程如下：

P（2,1）-^>R（3,P2⑶2）三AP3⑵2）

余0余1余2

若“和點”。按上述規則連續平移16次后，到達點Qj6（T，9）,則點。的坐標為（）

A.（6,1）或（7,1）B.（15「7）或（8,0）C.（6,0）或（8,0）D.（5,1）或（7,1）

【答案】D

【分析】本題考查了坐標內點的平移運動，熟練掌握知識點，利用反向運動理解是解決本題的關鍵.

先找出規律若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向

左，向上、向左不斷重復的規律平移，按照儲6的反向運動理解去分類討論：①06先向右1個單位，不符

合題意；②。6先向下1個單位，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7

次，此時坐標為（6,1）,那么最后一次若向右平移則為（7,1）,若向左平移則為（5,1）.

【詳解】解：由點月（2,2）可知橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,繼而向上平移1個單位得到4（2,3）,

此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為2,繼而向左平移1個單位得到4（1,3）,此時橫、縱坐標之和除

以3所得的余數為1,又要向上平移1個單位……，因此發現規律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得

的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，

若“和點”。按上述規則連續平移16次后，到達點Qi6（T，9），則按照“和點”盤反向運動16次求點0坐標

理解，可以分為兩種情況：

①冊先向右1個單位得到2（。，9），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0,應該是叁向右平移1

個單位得到故矛盾，不成立；

②Ge先向下1個單位得到QF（T，8），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,則應該向上平移1個

單位得到Ge，故符合題意，那么點先向下平移，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8

次，向右平移了7次，此時坐標為（-1+7,9-8）,即（6,1）,那么最后一次若向右平移則為（7,1）,若向左平

移則為（5,1）,

故選：D.

9.（2024.重慶?中考真題）已知整式…+qx+4,其中旬為自然數，。"為正整

數，5.n+an+an_tH----Fa,+a0=5.下列說法：

①滿足條件的整式/中有5個單項式；

②不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式M有且只有3個；

③滿足條件的整式/共有16個.

其中正確的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規律探究，分類討論思想的應用，由條件可得0V〃V4,再分類討論得到答

案即可.

【詳解】解：「"，4一”…，4為自然數,〃“為正整數,且“+a,+a“_i+—+q+&=5,

0<?<4,

當n=4時，貝!]4+。4+。3++。0=5,

.■=1,43—a、——6ZQ—0,

滿足條件的整式有一,

當〃=3時,貝!]3+/+/+q+/=5,

.?.(%,%%,%)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),

滿足條件的整式有：2x3,x3+x2,3+x，/+1,

當〃=2時，則2+生+%+%=5,

???(%,q,%)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),

滿足條件的整式有：3/，2x2+x,2x2+1,x2+2x,f+2,x2+%+1；

當〃=1時，貝。1+q+a。=5,

.?.(%,%)=(4,0),(3,1),(1,3),(2,2),

滿足條件的整式有：4x,3x+l,x+3,2x+2；

當H=o時，o+ao=5,

滿足條件的整式有：5；

滿足條件的單項式有：2/,3d,4x,5,故①符合題意；

不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式M有且只有3個；故②符合題意；

6

滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1=16個.故③符合題意;

故選D

10.（2024?河北?中考真題）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數乘法運算轉化為一位數乘

法和簡單的加法運算.淇淇受其啟發，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運算結果為

3036.圖2表示一個三位數與一個兩位數相乘，表格中部分數據被墨跡覆蓋，根據圖2中現有數據進行推

斷，正確的是（）

「小方格中的數據是由箕

所對的兩個數相乘得到

、的，如:2=b2.

036

圖1圖2

A.“20”左邊的數是16B.“20”右邊的“口”表示5

C.運算結果小于6000D.運算結果可以表示為4100a+1025

【答案】D

【分析】本題考查了整式的加法運算，整式的乘法運算，理解題意，正確的邏輯推理時解決本題的關鍵.

設一個三位數與一個兩位數分別為100x+10y+z和ISn+n,則inz=20,nz=5,ny=2,nx=a,gpm=4",

可確定〃=l,y=2時，貝加=4,z=5,尤=a,由題意可判斷A、B選項，根據題意可得運算結果可以表示為:

1000（4。+1）+1004+25=4100。+1025,故可判斷C、D選項.

【詳解】解:設一個三位數與一個兩位數分別為100x+10y+z和10〃2+〃

如圖：

xyz

「小方格中的數據是由其132□□□

所對的兩個數相乘得到

、的，如:2=卜2.

20□加

口

4+9=13|力

滿十進一,

29

II

Vt

3o

則由題意得：

mz=20,nz=5,ny=2,m=a,

.mz.“

..—=4,即nri加=4〃，

nz

.?.當〃=2,y=l時，z=2.5不是正整數，不符合題意，故舍;

當"=l,y=2時，貝I]〃2=4,z=5,x=a,如圖:

3O36

圖1圖2

；.A、“20”左邊的數是2x4=8,故本選項不符合題意；

B、“20”右邊的“口”表示4,故本選項不符合題意；

a上面的數應為4a,如圖：

VyVV

4a+la25

圖2

/.運算結果可以表示為：1000（4。+1）+100。+25=4100a+1025,

；.D選項符合題意，

當。=2時，計算的結果大于6000,故C選項不符合題意，

故選：D.

H.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，AB_Ly軸，垂足為點8,將AASO繞點A逆

時針旋轉到VAgQ的位置，使點8的對應點片落在直線y=上，再將VA4。繞點與逆時針旋轉到

4

△4302的位置，使點a的對應點。2也落在直線y=上，如此下去，……，若點8的坐標為（0,3）,則

點47的坐標為（）.

8

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數、旋轉的性質、勾股定理等知識點.找出點的坐標規律以

及旋轉過程中線段長度的關系是解題的關鍵.

通過求出點A的坐標，AB.OA,02的長度，再根據旋轉的特點逐步推導出后續點的位置和坐標，然后

結合圖形求解即可.

【詳解】；48,>軸，點3的坐標為(0,3),

3

OB=3,則點A的縱坐標為3,代入>=-二無，

4

得：x=T,則點A的坐標為(T,3).

，03=3,AB=4,

="+42=5,

由旋轉可知，OB=O]B]=O2B2=…=3,OA=OXA=O2A—???-5,AB=ABX=A^BX==...=4,

OBX=OA+AB]=4+5=9,4員=3+4+5=12,

BJB3=B3B5=...=B35B31=12,

（37-1）

??.067=O耳+片用7=9+、2X12=225.

設點B37的坐標為,

則OB31=卜+1.=225,

3

解得。=一180或180（舍去），貝|一:。=135,

4

；?點名7的坐標為（T80J35）.

故選C.

二、填空題

12.（2024?青海?中考真題）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規律擺放，第（7）個圖案中有個火

（1）（2）（3）

【答案】15

【分析】本題考查圖形類規律探究.根據題意得到第（1）、（2）、（3）個圖形中火柴棒的數量，由此可得

第（〃）個圖形有（1+2，）根火柴棒,即可.

【詳解】解:根據題意得：第（1）個圖形有3=1+2根火柴棒，

第（2）個圖形有5=（l+2x2）根火柴棒，

第（3）個圖形有7=（l+2x3）根火柴棒，

第（"）個圖形有。+2〃）根火柴棒，

.?.第⑺個圖案中有1+2x7=15根火柴棒，

故答案為：15

13.（2024?江西?中考真題）觀察a,a2,a3,a4,根據這些式子的變化規律，可得第100個式子為.

【答案】儲。。

【分析】此題考查了單項式規律探究.分別找出系數和次數的規律，據此判斷出第〃個式子是多少即可.

【詳解】解：a2,/,°，，...，

...第”個單項式的系數是1;

?..第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數分別是1、2、3、4,

第n個式子是a".

.?.第100個式子是儲。°.

故答案為：?100.

14.（2024?山東?中考真題）任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除

以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環圈這就是“冰雹猜想”.在平

面直角坐標系xOy中，將點（x,y）中的x,y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標,

10

其中X,y均為正整數.例如，點（6,3）經過第1次運算得到點（3,10）,經過第2次運算得到點（10,5）,以

此類推.則點。,4）經過2024次運算后得到點.

【答案】（2,1）

【分析】本題考查了新定義，點的規律，根據新定義依次計算出各點的坐標，然后找出規律，最后應用規

律求解即可.

【詳解】解：點（L解經過1次運算后得到點為（1x3+1,4+2）,即為（4,2）,

經過2次運算后得到點為（4+2,2+1）,即為（2,1）,

經過3次運算后得到點為（2+2,1x3+1）,即為（1,4）,

.......,

發現規律：點（1,4）經過3次運算后還是（1,4）,

2024+3=674…2,

.?.點（1,4）經過2024次運算后得到點（2,1）,

故答案為：（2,1）.

15.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花

朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形08C置于平面直角坐標系中，點。的坐標為（0,0）,點B的坐標為（1,0）,

點C在第一象限，ZOBC=120°.將△O3C沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第

一次滾動后，點。的對應點為O',點C的對應點為C',0c與O'C的交點為4,稱點A為第一個“花朵”

的花心，點&為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△O3C滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花

【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質，點的坐標規律探索.連接AB,求得AB=弓，

0。=咚，oc=6分別得到百,“5+2"#1L,推導得到

△03C滾動一次得到A,△O3C滾動四次得到為,△O3C滾動七次得到&,

由此得到△03C滾動2024次后停止滾動，貝IJ〃=(2024+1)+3=675,據此求解即可.

【詳解】解：連接

/.AyB±OC,

/.AB=OBtan30°=—,BD=\OB=\,OD=>JOB2-BD2=—,

“3222

/.OC=C'E=y/3

同理4

L,

4

△QBC滾動一次得到A，△03C滾動四次得到4，△03C滾動七次得到4，

(八

...△03C滾動2024次后停止滾動，貝=(2024+1)+3=675時，$1349+67473,^-,

(廠0

故答案為：1349+67473,^-.

16.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，已知4(1,-6)，4(3,-6)，4(4,0),4(6,0),4(7,占卜

4(9,⑹,4(10,0),4(11,叫…,依此規律，則點&期的坐標為.

12

【答案】（2891,-石）

【分析】本題考查了點坐標的規律探究.解題的關鍵在于根據題意推導出一般性規律.根據題意可知7個

點坐標的縱坐標為一個循環，4”的坐標為據此可求得&）24的坐標.

【詳解】解:VA（1,-^3）,A（3,-^）,4（4,0）,4（6,0）,A（7,⑹，A（9,@,4（10,0）,4（11,-73）...,,

可知7個點坐標的縱坐標為一個循環，4”的坐標為（10",0），4用（1。"+1，-百）

2024+7=289…1,

???4。23的坐標為（2890,0）.

的坐標為（2891，-⑹

故答案為：（2891,-石）.

17.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMNP頂點M的坐標為（3,0）,

△Q4B是等邊三角形，點B坐標是（1,0）,AOW在正方形OMAP內部緊靠正方形OMAP的邊（方向為

OfM—NTPrO—Mr…）做無滑動滾動,第一次滾動后，點A的對應點記為A,A,的坐標是（2,0）；

第二次滾動后，A的對應點記為4，4的坐標是（2,0）；第三次滾動后，&的對應點記為人，4的坐標是

（/?1>

3-^,-；如此下去，……,則4。24的坐標是______.

IZ2）

【答案】（1,3）

【分析】本題考查了點的坐標變化規律，正方形性質，等邊三角形性質，根據三角形的運動方式，依次求

出點A的對應點4，4，……,&的坐標，發現規律即可解決問題.

【詳解】解：,??正方形OMNP頂點M的坐標為（3,0）,

:.OM=MN=NP=OP=3,

,一^OAB是等邊三角形，點3坐標是（1,0）,

等邊三角形高為石，

2

由題知，

A的坐標是（2,0）；

為的坐標是（2,0）；

義的坐標是13-^,口；

繼續滾動有，4的坐標是（3,2）；

人的坐標是（3,2）；

（5

4的坐標是5,3―；

（22）

4的坐標是（1,3）；

4的坐標是（L3）；

_，石5、

4的坐標是；

I2刀

Ao的坐標是（0,1）；

A的坐標是（0」）；

412的坐標是［，日）；

。的坐標是（2,0）；……不斷循環，循環規律為以4，4，……,42,12個為一組,

???2024-5-12=168……8,

Ao?’的坐標與a的坐標一樣為（L3）,

14

故答案為:（1,3）.

18.（2024.山東泰安.中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規律擺成的“小屋子”.按照此規律繼

續擺下去，第個“小屋子”中圖形“。”個數是圖形“?”個數的3倍.

O

OOO

C3OOOOOO

OOOOOOOOOOOO

OOOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOoo

OOOOOOOooooo

⑴

(3)(4)(5)-

【答案】12

【分析】本題主要考查了圖形變化的規律、一元二次方程的應用等知識點，能根據所給圖形發現“O”和、”

的個數變化規律是解題的關鍵.

根據所給圖形，依次求出和“?”的個數，發現規律，再利用規律列出一元二次方程求解即可.

【詳解】解：由所給圖形可知，

第1個“小屋子”中圖形“O”的個數為：1=1,“?”的個數為：4=lx2+2；

第2個力、屋子”中圖形“O”的個數為：3=1+2,"?”的個數為：6=2x2+2；

第3個“小屋子”中圖形“O”的個數為：6=1+2+3,“?”的個數為：8=3x2+2；

第4個“小屋子”中圖形“O”的個數為:10=1+2+3+4,“?”的個數為：10=4x2+2；

...,

所以第"個“小屋子”中圖形“O”的個數為：1+2+3+…+〃=也業，“?”的個數為：2a+2；

2

由題矢口”;+1）=3（2〃+2）,解得%=-1,%=12,

又〃為正整數，貝0=12,即第12個“小屋子”中圖形“O”個數是圖形“?”個數的3倍.

故答案為：12.

19.（2024?四川遂寧?中考真題）在等邊AABC三邊上分別取點。、E、F,使得AD=BE=CF,連結三點得

到ADEF,易得AADF%BED^ACFE,設SAABC=1，貝1=1—3sA3廣

如圖①當鐺時，5Afl￡F=1-3x1=1

ADZ44

如圖②當嗜《時，5AD￡F=1-3X|=|

ADJyJ

如圖③當若V時，以四=1-3x2=^

AD1

直接寫出，當嘿=2時，S△四=____.

AB10

73

【答案】—/0.73

??23+3

【分析】本題主要考查數字規律性問題，首先根據已知求得比例為”時，5AD￡F=1-3X^=~；,

nn

代入撲=10即可.

【詳解】解：根據題意可得，當嗯=工時，5Ag￡f=l-3xV=，

ABnAn2n2

向中A。1?-+102-3x10+373

則當商=歷時'sc△四=-d—=前’

,73

故答案為：.

20.（2024?四川德陽?中考真題）數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8

分別填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于L經過探究

后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字a、b,你認為。可以是（填上一個數字即可）.

【答案】1/8

【分析】本題考查了數字規律，理解題意是解題的關鍵.由于兩個中心圓圈有6根連線，數字1至8,共

有8個數字，若2,3,4,5,6,7,其中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字均不能出

現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，否則不滿足任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于

1,故只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8.

【詳解】解：：兩個中心圓圈分別有6根連線，數字1至8,共有8個數字，若2,3,4,5,6,7,其

中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字均不能出現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，故

只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入.

二位于兩個中心圓圈的數字a、b,只可能是1或者8.

16

故答案為：1（或8）.

21.（2024?四川成都?中考真題）在綜合實踐活動中，數學興趣小組對1?〃這"個自然數中，任取兩數之和

大于〃的取法種數上進行了探究.發現：當”=2時，只有{1,2}一種取法，即％=1；當〃=3時，有{1,3}和

{2,3}兩種取法，即左=2；當"=4時，可得左=4；........若"=6,則上的值為；若”=24,則上的

值為.

【答案】9144

【分析】本題考查數字類規律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當〃為偶數或奇數時的不同取法

是解答的關鍵.先根據前幾個"值所對應左值，找到變化規律求解即可.

【詳解】解：當〃=2時，只有{1,2}一種取法，貝株=1；

當”=3時，有{1,3}和{2,3}兩種取法,則左=2；

A2

當〃=4時,有{L4},{2,4},{3,4},{2,3}四種取法，則左=3+1=4=亍；

故當〃=5時，有{L5},{2,5},{3,5},{4,5},{2,4},{3,4}六種取法，則左=4+2=6；

當”=6時，有{1,6},{2,6},{3,6},{4,6},{5,6},{2,5},{3,5},{4,5},{3,4}九種取法，則％=5+3+1=9=［；

依次類推，

當〃為偶數時，左=（〃一1）+（〃-3）H—+5+3+1=—,

242

故當〃=24時，％=23+21+19+…+5+3+1=——=144,

4

故答案為：9,144.

22.（2024.四川廣安?中考真題）己知，直線/：y=1x-也與x軸相交于點A，以0A為邊作等邊三角形

-33

。4月，點用在第一象限內，過點耳作X軸的平行線與直線/交于點4,與y軸交于點G，以G4為邊作

等邊三角形（點層在點耳的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形Q4鳥，等邊三角形C3A4B4…，

則點的橫坐標為

（\2023

【答案】|

【分析】直線直線/:y=gx-事可知，點A坐標為。,0）,可得OA=1，由于AOA內是等邊三角形，可

得點告），把＞=*代入直線解析式即可求得4的橫坐標，可得4G=g,由于&月是等邊三

角形，可得點&1，曰）同理，孚，發現規律即可得解，準確發現坐標與字母的序號之間的

規律是解題的關鍵.

【詳解】解：..?直線/：/:y=3x-3與X軸負半軸交于點A，

33

???點A坐標為（1,0）,

OAX-1,

過耳，B2,作4〃，X軸交工軸于點32^^，工軸交44于點。，交工軸于點M

???△A4。為等邊三角形,

NO4M=30。

：.MO=-AO=-,

202

222

.-.BIM=y/BIO-OM=JlJ^=#

當尸多時‘￥=解得…號’

?*,4G=5，412

18

?*,cp=-4G="

?5g6773

??n/V=-------1-----=------，

20424

???當尸友時，述=與-且，解得…后,

44334

[257g

同理可得：人4的橫坐標為[g[=苓,

???點4。24的橫坐標為

（、2023

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特殊圖

形點的坐標的規律，掌握探究的方法是解本題的關鍵.

三、解答題

23.（2024?四川涼山?中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：

下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第〃行有"個

點...

容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10.

（1）探索：三角點陣中前8行的點數之和為,前15行的點數之和為,那么，前〃行的點數之和

為______

（2）體驗：三角點陣中前〃行的點數之和（填“能”或“不能”）為500.

⑶運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆……第〃排2〃盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？

【答案】(1)36；120；+

⑵不能

(3)一共能擺放20排.

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

(1)根據圖形，總結規律，列式計算即可求解；

(2)根據前n行的點數和是500,即可得出關于n的一元二次方程，解之即可判斷；

(2)先得到前"行的點數和是〃仇+1),再根據題意得出關于”的一元二次方程，解之即可得出〃的值.

【詳解】(1)解：三角點陣中前8行的點數之和為l+2+3+4+5+6+7+8=；(l+8)x8=36,

前15行的點數之和為1+2+3+…+14+15=3(1+15)x15=120,

那么，前"行的點數之和為l+2+3+—+”=g(l+")x"=g"("+l)；

故答案為：36；120；1?(n+l)