專題17相似題型分析題型分析題型演練題型演練題型一比例的性質題型一比例的性質1．若，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A、∵，∴，故A不符合題意；B、∵，∴，故B符合題意；C、∵，∴，故C不符合題意；D、∵，∴，故D不符合題意；故選：B2．已知，則把它改寫成比例式后，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，，故選：B．3．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，．故選：A．4．已知，且，則b的值為______．【答案】4【詳解】∵，∴設，，∴∴，∴，故答案為：45．已知，則______．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．題型二成比例線段題型二成比例線段6．下列各組線段中，成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A、由于，所以不成比例，不符合題意；B、由于，所以不成比例，不符合題意；C、由于，所以不成比例，不符合題意；D、由于，所以成比例，符合題意．故選：D．7．已知線段，，如果線段c是線段a、b的比例中項，那么（）A．±3 B．3 C．4.5 D．5【答案】B【詳解】解：根據比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．則，解得（線段是正數，負值舍去），所以．故選：B．8．若四條線段a，b，c，d成比例，其中，則線段a的長為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，∴，∵，∴，解得：．故選：A．9．已知線段，線段，線段是線段，的比例中項，則線段的長為_____．【答案】【詳解】解：∵線段是線段，的比例中項，線段，線段，∴，∴，故答案為：．10．在比例尺為的某市地圖上，規劃出長厘米，寬厘米的矩形工業園區，則該園區的實際面積是______平方米．【答案】【詳解】解：在比例尺為的某市地圖上，規劃出長厘米，寬厘米的矩形工業園區，實際的工業園區長厘米，寬厘米，該園區的實際面積是平方厘米，1平方米平方厘米，該園區的實際面積是平方米，故答案為：．題型三黃金分割題型三黃金分割11．已知點C是線段的黃金分割點，且，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據黃金分割的定義得；故選：D12．下列說法正確的是（

）A．兩地在地圖上的距離為7cm，地圖上的比例尺為，則兩地實際距離為35mB．若cm，點是線段的黃金分割點，且，則cmC．任意兩個菱形都相似D．有一個角相等的兩個等腰三角形相似【答案】B【詳解】解：A.m，故A說法錯誤，不符合題意；B.點是線段的黃金分割點,且，則，設，則，解得或（舍去），故B說法正確，符合題意；C.當兩個菱形的角度不等時，不相似，故C說法錯誤，不符合題意；D.若兩個等腰三角形一個是頂角，一個是底角，則不是相似的，故D說法錯誤，不符合題意；故選：B．13．若線段，C是的黃金分割點，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵線段，C是的黃金分割點，且，∴根據黃金分割的概念得：，∴．故選B．14．已知線段，是線段的黃金分割點，則________．【答案】【詳解】解：∵是線段的黃金分割點，∴．故答案為：．15．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此．若某人滿足上述黃金分割比例，且身高為178cm，則其肚臍至足底的長度可能是______cm（保留根號）．【答案】【詳解】設此人的肚臍到足底的長度為xcm，由題意，則有解得：經檢驗，是所列方程的解且符合題意，故答案為：題型四相似多邊形及性質題型四相似多邊形及性質16．下列敘述正確的是（

）A．任意兩個等腰三角形相似 B．任意兩個平行四邊形相似C．任意兩個矩形相似 D．任意兩個正方形相似【答案】D【詳解】解：A、任意兩個等腰三角形不一定滿足三邊對應成比例，三個角分別對應相等，不一定相似，故選項不符合題意；B、任意兩個平行四邊形不一定滿足邊對應成比例，四個角對應相等，不一定相似，故選項不符合題意；C、任意兩個矩形不一定滿足邊對應成比例，不一定相似，故選項不符合題意；D、任意兩個兩個正方形滿足相似圖形的定義，故選項符合題意．故選D．17．如圖所示的兩個五邊形相似，則以下，，，的值錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：兩個五邊形相似，，，，，．故選：D．18．一個面積為的四邊形，它的位似圖形為四邊形，位似中心為，若，則四邊形的面積為（

）A． B．C．或 D．以上都不對【答案】C【詳解】解：由題可知四邊形的相似比為或，四邊形的面積之比等于相似比的平方，且四邊形的面積為，四邊形的面積為或．故選：C．19．一個六邊形的六邊長分別為3，4，5，6，7，8，另一個與其相似的六邊形的周長為66，則與其相似的六邊形的最短邊為________．【答案】6【詳解】設另一個與它相似的六邊形的最短邊為，由題意，得：，整理得：，解得：，故答案為：6．20．如圖，在矩形中，，．點在矩形的邊上，連接，將矩形沿翻折，翻折后的點落在邊上的點處，得到矩形．若矩形與原矩形相似，則的長為______．【答案】【詳解】矩形矩形，∴，即，整理得，，解得，（舍去），，故答案為：．題型五平行線分線段成比例定理的應用題型五平行線分線段成比例定理的應用21．如圖，已知，，，那么的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，即，，故選：B．22．如圖，在中，D，E分別是上的點．且．若，，則的長是（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：D．23．如圖，與相交于點O，，若，則的長為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【詳解】解：∵與相交于點O，，∴，∵，＝8，∴，∴＝6，∴．故選：C．24．如圖，直線，若，，，則____________．【答案】【詳解】解：∵直線，∴，即：解得：，∴，故答案為：．25．如圖，D是的邊延長線上一點，且，直線分別交于點E、F．若，則=______．【答案】【詳解】解：作交于點G，，，，，，，，，，，，，故答案為：．題型六證明兩三角形相似題型六證明兩三角形相似26．如圖，在中，，，，相交于點，則圖中與相似的三角形有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】解：∵，∽，∽，∵，∽，∽，故選：．27．下列四組條件中，能識別與相似的是（

）A．，；，B．，，，，，C．，，，，，D．，；，【答案】C【詳解】解：A不正確：∵，；，，∴，，∴不相似；B不正確：∵與不是邊，與，的夾角，∴不相似；C相似：∵，，，，，，∴，，∴相似；D不相似：∵不是，的夾角，是邊與的夾角，∴不相似．故選：C．28．如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】A選項符合判定方法（4），符合題意．B選項相等的角不是對應邊的夾角，不符合題意．C選項相等的角不是對應角，不符合題意．D選項相等的角不是對應角，不符合題意．29．如圖，∥，∥，與交于點G，則圖中相似三角形共有_______對．【答案】3【詳解】圖中三角形有：，，，∵，∴共有3個組合分別為：∴，，故答案為：3．30．如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC=20°，點D從點C出發沿順時針方向繞圓心O旋轉α°（0＜α＜180），當α=______時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．【答案】50、70或160【詳解】解：如圖1所示：當點D從點C出發沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE交BC于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖2所示：當點D從點C出發沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE與BC交于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖3所示：當點D從點C出發沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE與AC交于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．故答案為：50、70或160．31．如圖，點C，P均在上，且分布在直徑的兩側，于點E．(1)求證：．(2)若，求的長．【詳解】（1）∵是的直徑，，，∵，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴．32．如圖，已知點在△的外部，，點在邊上，．(1)求證：；(2)在邊取一點，如果，，求證：．【詳解】（1）∵，∴∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得∴，，∵，∴，∴∴∴∵，∴，33．如圖，在和中，，．(1)和相似嗎？為什么？(2)如果，則成立，據此你能說明和相似嗎？【詳解】（1）解：，∴，，，；（2）解：∵，∴，∴，，，．題型七利用相似三角形的性質求解題型七利用相似三角形的性質求解34．若兩個相似三角形的對應高的比是，則它們的周長比是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵兩個相似三角形的對應高的比是，∴它們的相似比為∴它們的周長比為．故選：B．35．如圖，分別是的邊上的點，且，若：：，則：的值是（

）A．： B．： C．： D．：【答案】B【詳解】解：：：，：：，，∽，．故選：B．36．已知中，，，，分別為直線，上的點，且，若以點，，為頂點的三角形與相似，則_____．【答案】或【詳解】解：如圖，，，,當時，即解得當時，即解得故答案為：或37．如圖，電燈P在橫桿的正上方，在燈光下的影子為，，橫桿與的距離是3m，則P到的距離是___________m．【答案】1.5【詳解】作于E，交于F，如圖，∵，設，則得即P點到的距離是1.5m.故答案為：1.538．如圖，，，．(1)求的長．(2)若平分，求的長．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，即，∴．（2）∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．39．如圖所示，在平行四邊形中，是的延長線上一點，，連接與，，分別交于點，．(1)若的面積為3，求平行四邊形的面積；(2)求證．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，；四邊形是平行四邊形，，，，，，平行四邊形的面積為：；（2）證明：，，，，，，，．題型八利用相似三角形求坐標題型八利用相似三角形求坐標40．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在AB邊上時，平移的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】解：如圖，設正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，∵頂點A，B的坐標分別為（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四邊形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故選：C．41．如圖，已知點A（1，0），點B（b，0）（b＞1），點P是第一象限內的動點，且點P的縱坐標為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的P點個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】∵點P的縱坐標為，∴點P在直線y＝上，①當△PAO≌△PAB時，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，則P(1，)；②∵當△PAO∽△BAP時，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB?OA，∴＝b﹣1，∴(b﹣8)2＝48，解得b＝8±4，∴P(1，2+)或(1，2﹣)，綜上所述，符合條件的點P有3個，故選D．42．如圖，在直角坐標系xOy中，，，連接AB并延長到點C，連接CO，若，則點C的坐標為______．【答案】【詳解】解：設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，設點的坐標為，如圖，過點作軸于點，則，，，，，，，，，，在中，，解得，經檢驗，是所列分式方程的解，則，所以點的坐標為，故答案為：．43．如圖，在平面直角坐標系中，與軸交于點，已知點，，，是線段上一點，連接，若與相似，則的長為______．【答案】2或4【詳解】如圖，∵A(1,4)，C(3,0)，D(0,3)，∴，，，；∴是直角三角形∵點M在x軸上，設點M的坐標是（x，0），∽∴∴=1∴當時，CM=2；當時CM=4，故答案為：2或4．44．如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點和點，與y軸，x軸分別交于C，D兩點，(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)點E為反比例函數（x>0）上一點（不與點A，B重合），過點E作軸，垂足為點F，當時，求點E坐標．【詳解】（1）解：∵反比例函數過點∴且將，帶入直線得：，故一次函數為：．（2）解：設點，則點，點則，當時即：，解得：，（舍去）∴點．45．如圖，在平面直角坐標系中，⊙C與與y軸相切，且點C坐標為（1，0），直線l過點A（-1，0），與⊙C相切于點D．（1）求直線l的解析式．（2）是否存在⊙P，使圓心P在x軸上，且與直線l相切，與⊙C外切？如果存在，請直接寫出圓心P的坐標；如果不存在，請說明理由．【詳解】解：（1）連接CD∵點C坐標為（1，0），A（-1，0）∴AC=1－（-1）=2，OA=OC=1∵⊙C與y軸相切，直線l與⊙C相切于點D∴CD=OC=1，∠CDA=90°∴sin∠CAD=∴∠CAD=30°在Rt△AOB中，OB=OA·tan∠OAB=∴點B的坐標為（0，）設直線l的解析式為y=kx＋b將點A、B的坐標代入，得解得：∴直線l的解析式為y=x＋；（2）當⊙P在⊙C左側時，則⊙P與⊙C外切于點O，與直線l相切于點E，連接PE，設⊙P的半徑為r∴∠AEP=∠ADC=90°，OP=PE=r，AP=OA－OP=1－r，∵∠EAP=∠DAC∴△AEP∽△ADC∴即解得：r=∴此時點P的坐標為（，0）；當⊙P在⊙C右側時，則⊙P與⊙C外切于F，與直線l相切于點E，連接PE，設⊙P的半徑為r∴∠AEP=∠ADC=90°，PF=PE=r，AP=OA＋OF＋PF=1＋2＋r=3＋r，∵∠EAP=∠DAC∴△AEP∽△ADC∴即解得：r=3∴OP=OF＋PF=5∴此時點P的坐標為（5，0）綜上：存在，圓心P的坐標為（，0）或（5，0）．題型九相似三角形性質與判定的綜合應用題型九相似三角形性質與判定的綜合應用46．如圖，為的邊延長線上的一點，且，的面積為4，則的面積為（）A．34 B．27 C．30 D．32【答案】C【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵的面積為4，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴故選：C47．如圖，在中，點D、E分別在AC、AB上，連接DE，若，且，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：D．48．如圖，交于點C，，若，則_____．【答案】2【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，解得：．故答案為：249．如圖，在矩形中，，，B為中點，連接．動點M從點O出發沿邊向點A運動，動點N從點A出發沿邊向點B運動，兩個動點同時出發，速度都是每秒1個單位長度，連接，，，設運動時間為秒．則______時，為直角三角形．【答案】或8【詳解】解：過點作的垂線，交于點，交于點，如圖，點是的中點，，，由勾股定理可求：，，，，，，，，，當，由勾股定理可求：，，，，，，，，，，當，，，，，，，，，，，，，，當，由題意知：此情況不存在，綜上所述，為直角三角形時，或8，故答案為：或8．50．如圖，在矩形中，E，F分別是的中點，連接，若，(1)求證：；(2)若，求的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，，E，F分別是的中點，∴，∵，∴，即，∴．51．如圖，四邊形是正方形，點是邊上動點(不與重合)．連接過點作交于點．(1)求證：；(2)連接，試探究當點在什么位置時，，請證明你的結論．(3)若，求BF的最大值．【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，；（2）點在中點位置時，，證明如下：如圖，連接，延長于的延長線相交于點H，為中點，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，，，故當點在中點位置時，．（3）解：∵四邊形是正方形，∴，設，則，∵，∴，即∴，在中，，∴要使最大，則要使最大，∵，∴，∴．52．如圖1，和都是等腰直角三角形，，且點A是上的點（點A不與點D，E重合），過點B作交的延長線于點H，的延長線交于點G．過點A作交于點F，連接．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)如圖2，若，求的值．【詳解】（1），，，（2），，，∴=，，∵，∴；（3）如圖2，作于P，∴，∴，，，

，，，，，，，，∴是等腰直角三角形，∴，，，，，，設，，，===﹣1．53．如圖，已知，若三點共線，線段與交于點．(1)求證：；(2)若，，的面積為，求的面積．【詳解】（1）證明：，，，即，，；（2）解：由（1）知，，，，，，，，，，．54．如圖，在中，，，(1)求證：；(2)若，，求線段的長；(3)若，時，四邊形的面積是______．【詳解】（1）解：證明：∵在中，，，∴．∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴∴；（3）∵，，∴相似比為∴，∵，∴，∵，相似比為，∴面積之比為，∴，∴．55．在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點A為公共頂點，點D在的延長線上，，．(1)圖1中陰影部分的面積與的面積比為______；(2)若將固定不動，把繞點A逆時針旋轉，此時線段，射線分別與射線交于點M，N．①當旋轉到如圖2所示的位置時，求證：∽；②如圖2，若，求的長；③在旋轉過程中，若，請直接寫出的長（用含d的式子表示）．【詳解】（1）解：∵、都是等腰直角三角形，∴，，∴∽，∴，∴陰影部分的面積與的面積比為，故答案為：．（2）解：①證明：∵，，∴∽；②解：在中，，，則，∴，∵，，∴，∵，∴∽，∴，即,解得：；③解：如圖2，當點N在線段上時，由②可知：∽，∴，即解得：，∴，如圖3，當點N在線段的延長線上時，綜上所述：的長為或．56．如圖，A，B兩點的坐標分別為，，點P，Q同時出發作勻速運動，其中點P從A出發沿向終點O運動，速度為每秒3個單位；點Q從O出發沿向終點B運動，速度為每秒2個單位，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也隨之停止運動．(1)坐標平面內是否存在點C，使以O，A，C為頂點的三角形與全等？請直接寫出點C的坐標；(2)設從出發起，運動了t秒，以O，P，Q為頂點的三角形與相似，求出此時t的值；(3)是否存在t，使為等腰三角形？若存在，求出運動的時間t；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）如圖所示，當時，，∴根據對稱的性質可得，點C的坐標為；當時，，，∴根據對稱的性質可得，點C的坐標為；當時，，，∴根據對稱的性質可得，點C的坐標為；∴綜上所述，當點C的坐標為，或時，以O，A，C為頂點的三角形與全等；（2）∵∴，，，分兩種情況討論：①如果∽，則，，解得②如果∽，則，，解得故當或時，以O，P，Q為頂點的三角形與相似；（3）當為等腰三角形時，分三種情況：①如果，