重難點04空間直角坐標系建系方法（六種）匯總

題型解讀

題型1利用共頂點的互相垂直題型4利用正棱錐的中心與高

的三條棱建立空間直角坐標系,所在直線建立空間直角坐標系

題型利用線面垂直建立空間重難點空間直角坐標系

204題型5利用圖形中的對稱關系

直角坐標系建系方法（六種）匯總建立空間直角坐標系

題型3利用面面垂直關系建立

L7題型6做線面垂直輔助線建系

空間直角坐標系

滿分技巧/

技巧一.建立空間直角坐標系時，可以按照以下步驟進行：

1.確定空間直角坐標系的三個坐標軸方向，一般選擇為某軸、y軸和z軸。

2.確定空間直角坐標系的原點，一般選擇為三個軸的交點。

3.確定坐標軸的正方向，一般按照右手定則確定，即當右手的大拇指指向某軸正方向，食指指向X軸正方

向時，中指所指的方向即為z軸正方向。

4.確定坐標軸的長度和間距，一般選擇適當的數值，方便計算。

5.根據需要，可以在空間直角坐標系中建立坐標系網格和標注坐標軸上的刻度值，方便進行坐標計算和表示

幾何體。

技巧二.利用共頂點且相互垂直的三條棱建系

V

B

x

技巧三.利用線面垂直建系

技巧四.利用面面垂直建系

技巧五.利用正棱錐的中心與高所在直線建系

技巧六.利用圖形中的對稱關系建系

圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱

性可建立空間直角坐標系.

13M題型提分練

題型1利用共頂點的互相垂直的三條棱建立空間直角坐標系

【例題1］（2023秋?天津津南?高二校考期末次口圖AE1平面ABC。,CF//AE,AD//BCfAD1AB,AB=AD=

1,AE=BC=2CF=2.

(1)求證：8尸〃平面2DE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(3)求平面8DE與平面夾角的余弦值.

【變式1-111.(2023春?全國?高一期末)如圖,邊長為2的正方形4BCD中，點E是4B的中點，點F是BC

的中點，將^AEDADCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A',連接EF、A'B.

(1)求證：A'D1EF；

(2)求直線AD與平面EFD所成角的正弦值.

【變式1-112.(2023春?天津紅橋?高一統考期末)如圖，在底面是矩形的四棱錐P-4BCD中，PA，平面

ABCD,PA=AB=2,BC=4,￡1是PO的中點.

(1)求證：CD，平面PAD；

(2)求平面瓦4c與平面ac。夾角的余弦值；

(3)求B點到平面瓦4c的距離.

【變式1-1]3.(2023秋?新疆?高二校聯考期末汝口圖，在正方體48C0-4B1C也中，。是4c的中點，「是

的中點.

(1)證明：也〃平面。。6.

(2)求平面ACC1和平面BCP所成銳二面角的余弦值.

【變式1-U4.(2023秋?云南保山?高三統考期末)如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA1平面28C。,底面

4BCD是矢巨形,PA=AD=4,“是PD上一點,PB||平面71cM.

(1)求證：AMJ_平面PCD；

(2)從下面三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并作答：①異面直線CD與BM所成角的正切值為企；

②直線PC與平面48CD所成角的正弦值為|；③點。到平面ACM的距離為平；

若,求平面M4B與平面MBC夾角的余弦值.

【變式1-1]5.(2023春福建龍巖?高二統考期末)如圖，在直三棱柱力BC-4出6中，4&=AB=2,E

為的中點，平面&BC，平面力.

⑴求證：AEIBC；

(2)若AAiBC的面積為2a,試判斷在線段4C上是否存在點D,使得二面角2-8。-C的大小為學.若存

在，求出器的值；若不存在，說明理由.

題型2利用線面垂直建立空間直角坐標系

【例題2](2022春?云南保山?高二統考期末)如圖，在四棱錐P-4BCD中,PA1平面ABCD,AD||BC,AD=

2BC,A48c是等邊三角形,PA=AB=1.

⑴求證：平面PCD1平面P4C；

(2)求平面24C與平面PBC夾角的余弦值.

【變式2-1]1.(2023秋?新疆烏魯木齊?高二烏魯木齊101中學校考期末)如圖，在四棱錐P-2BCD中，

AD//BC,AADC=APAB=90°,BC=CD=1AD為棱4D的中點，異面直線P4與CD所成的角為90°.

(1)在平面248內是否存在一點M，使得直線CM〃平面P8E，如果存在，請確定點M的位置，如果不存在,

請說明理由;

(2)若二面角P-CD-4的大小為45。，求P到直線CE的距離.

【變式2-1]2.(2023春?江西萍鄉?高二萍鄉市安源中學校考期末)如圖，直四棱柱-2/心。1的

底面4BCD為菱形,且N4BC=60°,AA1=AB=2,E,F分別為BC,a/i的中點.

(1)證明：平面EFG1平面.

(2)求平面EFG和平面&B1CD的夾角的余弦值.

【變式2-1]3.(2022秋?安徽亳州?高二校聯考期末)如圖，在三棱推P-ABC中，底面是邊長為4的正

三角形，PA=2,P4，底面ABC,點E,F分別為AC,PC的中點.

⑴求證：平面BEF1平面PAC；

⑵在線段PB上是否存在點G使得直線AG與平面PBC所成角的余弦值為乎?若存在確定點G的位置；

若不存在，請說明理由.

【變式2-1J4.(2023秋?山東濟南?高二山東省濟南市萊蕪第一中學校考期末如圖在三棱柱4BC-&&的

中，8C=BBi，BC]CiBjC=O,AO1平面BB^C.

(1)求證:ZB1BQ

(2)若乙BiBC=60°,直線4B與平面BBiGC所成的角為30°,求二面角4-B】Ci-4的正弦值.

【變式2-1]5.(2023秋?遼寧營口?高二統考期末)已知三棱柱/IBC-4/iG,44]=有=BC,^BAC=

30°,4在平面ABC上的射影為B,二面角&-4C-B的大小為45。，

(1)求44與BC所成角的余弦值；

⑵在棱441上是否存在一點E，使得二面角E-BC-Bi為90。，若存在，求出點的值，若不存在，說明理

由.

【變式2-1】6(2023春?吉林長春?高一長春十一高校考期末如圖在四棱錐P-4BCD中PA1平面2BCD,

AB//CD,且CD=2,AB=1,BC=242,PA=2,AB1BC,N為PD的中點.

(1)求證：AN〃平面PBC；

(2)求平面P4D與平面PC。夾角的余弦值；

⑶點M在線段4P上,直線CM與平面PAD所成角的正弦值為等,求點M到平面PCD的距離.

題型3利用面面垂直關系建立空間直角坐標系

【例題3](2023春?河南南陽?高二統考期末)三棱柱ABC-4/?中，平面4。的&1平面4BC,△ABC是

等邊三角形，乙=45°,441=2V2,XC=2.

⑴證明：平面4BC1平面ABC；

(2)求二面角4-BCi—Bi的平面角的余弦值.

【變式3-1]1.(2023春?全國?高一期末)在三棱錐P-4BC中，BC1平面P4B,平面PAC1平面4BC.

(1)證明：PA_L平面力8C；

(2)若。為PC的中點，且PA=2mB,AB=BC,求二面角力-BD-C的余弦值.

【變式3-1]2.(2023春?江蘇蘇州?高一江蘇省昆山中學校考期末)如圖，三棱錐P-4BC,PA=PB=

3,AB=AC=4,ABAC=6?(0<0<n),平面P4B1平面ABC,點M為線段PC上的動點.

(1)若點M為PC的中點時力M1AB,求BC的長；

(2)當。=用寸，是否存在點M使得直線BM與平面ABC所成角的正弦值為等？

【變式3-1]3,(2023春?高二校考期末)如圖，四邊形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB〃CD,

ABLBC,/.DAB=60°,AB=AD=4,AE1DE,AE=DE,平面28E與平面CDE交于EF.

⑴求證：CD//EF；

(2)若EF=CD,求二面角力-BC-F的余弦值；

(3)在線段BC上是否存在點M使得AMLEM?若存在，求BM的長；若不存在，說明理由.

【變式3-1]4.(2023春?浙江臺州?高一溫嶺中學校考期末)如圖，已知四棱臺4BCD-4遇?。1的底面

是菱形，且乙4BC=60。，側面力BB1&是等腰梯形，AB=3ArBr=6,BB1=2Vxec】=4,E為棱0%上一

點，且。送=

(1)求證：平面力BB1A11平面力BCD；

(2)若過點C,E的平面a與B。平行，且交直率于點F,求二面角尸-CB-。的余弦值.

【變式3-1]5.（2023春?廣西南寧?高二賓陽中學校聯考期末）圖1是由矩形4DEB、RtAABC和菱形BFGC

組成的一個平面圖形，其中4B=1,BE==BF=2"FBC=60。.將其'沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連

接DG,如圖2.

FGBC

圖1圖2

⑴證明：圖2中的A,C,G,D四點共面，且平面4BC1平面BCGE；

（2）求圖2中8G與平面力CGD所成角的正弦值.

【變式3-1]6.（2023春?四川宜賓?高二統考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面力BCD是一個邊長為

4的菱形，且NBCD=60。，側面P4B是正三角形.

(1)求證：AB_LPD；

（2）若平面P28，平面，求平面P4B與平面PCD所成角的正弦值.

【變式3-117.（2023秋?浙江嘉興?高三統考期末）如圖，在三棱錐力-BCD中，平面力CD1平面BCD

Z.ACD=乙BCD=30°,點E在棱上,S.BC=3BE=2AC=V3DC=6.

(1)證明:DE1平面AC。；

(2)設F是4B的中點，點G在棱BC上,且EF〃平面力DG,求二面角E-AD-G的余弦值.

題型4利用正棱錐的中心與高所在直線建立空間直角坐標系

【例題4](2022秋?新疆阿克蘇?高三校考期末)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面4BCD為正方形，頂

點P在底面上的射影為正方形的中心O,E為側棱PC的中點.

(1)求證：P4〃平面BDE；

⑵若48=2V2,四棱錐P-28CD的體積為號,求PB與平面D8E所成角.

【變式4-1]1.(2023春?陜西寶雞?高一寶雞中學校考期末)如圖，在三棱錐P-4BC中,AB=AC,D為

BC的中點,PO1平面ABC,垂足。落在線段4。上，已矢口BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

(1)求異面直線4尸，8c所成角的大小；

⑵在線段2P上存在點M且4M=3,探究二面角力-MC-B的大小并說明理由.

【變式4-1]2.(2023春?江蘇南通?高二統考期末)如圖，在三棱錐P-28C中，AC，BC,D是AC的中

點，E是AB上一點，AC1平面PDE.

p

⑴證明：DE〃平面PBC；

(2)若AC=BC=4,PD=PE=2,求二面角D-PB-E的正弦值.

【變式4-1]3.(2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學校考期末)如圖，三棱錐E-和尸-均

為棱長為2的正四面體，且A,B,C,D四點共面，記直線AE與CF的交點為Q.

(2)求二面角A-QD-C的正弦值.

題型5利用圖形中的對稱關系建立空間直角坐標系

【例題5】(2023秋?河北?高三校聯考期末)如圖，圓柱0'。的軸截面4BCD是邊長為4的正方形，EF為圓

。的直徑，ADOF=60°.

F

(1)求點4到面BDF的距離；

(2)求平面AEF與平面8EF夾角的余弦值.

【變式5-1]1.（2023春?廣東廣州?高一華南師大附中校考期末）已知圓臺。1。2的軸截面為，圓臺

的上底面圓半徑與高都等于1，下底面圓半徑等于2，點E為下底圓弧6的中點，點N為上底圓周上靠近點4

的弧初的四等分點，經過。1，。2，7三點的平面與弧⑦交于點M,且E,M,N三點在平面28CD的同側.

Q）判斷平面。15MN與直線CE的位置關系，并證明你的結論；

（2）P為下底圓周上左半部分（靠近。點）的一個動點，且與M點在CD的不同側，當四棱錐P-4BCD的體積等于

近時，求二面角N-PM-。的余弦值.

【變式5-112.（2023春?貴州?高二校聯考期末）如圖，已知正三棱柱XBC-ABC中，點E,F分別為棱

的中點.

（1）若過4民尸三點的平面，交棱斗心于點P,求篝的值；

（2）若三棱柱所有棱長均為2,求生E與平面4EF所成角的正弦值.

【變式5-1]3.（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期末）如圖，P為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓

心為底面直徑,△48。為底面圓。的內接正三角形，且△4BD的邊長為百，點E在母線PC上，且4E=顯,

CE=1.

p

（1）求證：直線PO〃平面BDE,并求三棱錐尸-BDE的體積：

（2）若點M為線段P。上的動點，當直線DM與平面4BE所成角的正弦值最大時，求此時點M到平面4BE的距離.

【變式5-1]4.（2023春福建廈門?高二廈門外國語學校校考期末）如圖，已知圓柱的上、下底面圓心分

別為。是圓柱的軸截面，正方開鄉內接于下底面圓

P,Q,4416ABCDQ,AB=a,AAr=6.

B

⑴當a為何值時，點Q在平面PBC內的射影恰好是仆PBC的重心;

⑵在（1）條件下，求平面24。與平面PBC所成二面角的余弦值.

題型6做線面垂直輔助線建系

【例題6]（2023春?全國?高一期末）如圖，在三棱柱ABC-4/?中,AB1AC,頂點在&底面4BC上的

射影恰為點且力

B,B=AC=ArB=2.

G4

R

(1)求證：&G_L平面484/1

(2)求棱與BC所成的角的大小；

(3)在線段BiG上確定一點P，使4P=V14,并求出二面角P-4B的平面角的余弦值.

【變式6-1]1.(2023春?北京海淀?高二清華附中校考期末)四棱錐P-ABCD中，PAl^ABCD,PA=

CD=1,AB=BC=2,PC=3,AB//CD.

Q)求證:BC1平面PAB；

(2)求二面角a-PD-c的余弦值.

【變式6-1]2.(2023春?安徽蕪湖?高二統考期末)在三棱錐p-ABC中，底面△ABC是邊長為2的等邊

三角形，P4=PB