重難點突破03陰影部分面積求解問題

目錄

?題型特訓?精準提分

方法一直接公式法

方法二和差法

題型01直接和差法

題型02構造和差法

題型03割補法

類型一全等法

類型二等面積法

類型三平移法、旋轉法

類型四對稱法

題型04容斥原理

題型特訓-精準提分

【基礎】設。0的半徑為R,n°圓心角所對弧長為I,n為弧所對的圓心角的度數，則

扇形弧長公式[=噤（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關，且n表

lol）

示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位.）

nnR21,

扇形面積公式Sc扇形=360=2ZR

圓錐側面積公式S圓錐側=Tirl（其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=nrl+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h,圓r2+h2=I2

錐的底面半徑r

【方法技巧】

1）利用弧長公式計算弧長時，應先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結果.在弧長公式

[=峭中，已知1,必R中的任意兩個量，都可以求出第三個量.

180

2）在利用扇形面積公式求面積時，關鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數或扇形的弧長，然

后直接代入公式S扇形=嘿或S扇形=中求解即可.

3602

3）扇形面積公式S扇形=|ZR與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個曲邊三角形、

把弧長1看成底，R看成底邊上的高即可.

4）根據扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，1,n,R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量.

5）在解決有關圓錐及其側面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側面展開圖扇形的弧長，即

27TL寢，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側面展開圖扇形圓心角n。之間的關系，有時也根據圓

錐的側面積計算公式來解決問題.

6）求弧長或扇形的面積問題常結合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側面展開即為扇形，而這個扇形的

弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長.注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開

后的扇形半徑兩個概念.

【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規則的圖

形的面積轉化為規則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構造和差法

法全等法

等面積法

和差法割補法平移法

旋轉法

對稱法

容斥原理

1）直接用公式求解.

圖形公式

S陰影=S扇形ABC

A)c

VB

S陰影=SAABC

4

B

S陰影=S四邊形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面積的圖形是一個不規則圖形，可將其轉化變成多個規則圖形面積的和或差，進行求解.

①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形士S常見圖形）

圖形面積計算方法圖形面積計算方法

AS陰影=S、ACB-S扇0S陰影一S扇形AOB—

形ABDSAAOB

BXc

S陰影=SaAOB-S扇,1）S陰影=S扇形BAD-

形CODS半圓AB

S陰影=S半圓AB-CLs陰影=s扇形之和

_nnR2_TIR2

SAAOB

3602

ABJvJ

S陰影=S扇形EAF-

SAADE

巨l

,4^---------R

②構造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構造扇形、三角形或特殊四邊形，然后進行相加減。）

圖形公式

S陰影=S扇形AOC+SABOC

S陰影=SAODC-S扇形DOE

S陰影=S扇形AOB-SAAOB

第4+

F_Br,_B

出S陰影=S扇形BOE+SAOCE-S扇形COD

A（：0A（：0.

3）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用

公式法或和差法創造條件，從而求解.

①全等法

②等面積法

圖形公式

S陰影=S扇形COD

P0P0

④旋轉法

圖形公式

4E4ES陰影一S扇形AOE

-@3

S陰影二S扇形BOD

心D

A。￡AdE

E/：S陰影=S扇形ABE-S扇形MBN

J

八MB"/IMB"

當陰影部分是由幾個圖形疊加形成時,

1）需先找出疊加前的幾個圖形；

2）然后理清圖形之間的重疊關系.

圖形（舉例）公式

S陰影=S扇形BAB'+S半圓AB-S半圓AB

1

2ASB

B

S陰影二S半圓AC+S半圓BC-SAACB

CA

CS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD-SAACB

ADEB

方法一直接公式法

1.（2022?湖北武漢?校考三模）如圖，4B是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、C4為半徑向內作直角

扇形，再以。為圓心、DC為半徑向內作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若48=10,則陰影部分的面積

為（）

A.167rB.127rC.87TD.47r

2.（2023?四川成都?校考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,以B為圓心，BC的長為半徑畫弧,

交4。于點E.若將一骰子（看成一個點）投到矩形2BCD中，則骰子落在陰影部分的概率為

3.（2023?吉林長春?吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在RtAABC中，/.BAC=90°,BC=6,點、D是

BC的中點，將2。繞點A按逆時針方向旋轉90。得4）.那么圖中陰影部分的面積為

方法二和差法

題型01直接和差法

4.（2019上?河北石家莊?九年級統考期中）已知點C在以AB為直徑的半圓上，連接AC、BC,AB=10,

BC-.AC=3:4,陰影部分的面積為.

5.（2023?青海?統考中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長是4,分別以點A,B,C,。為圓心，2為半徑

作圓，則圖中陰影部分的面積是（結果保留兀）.

6.（2023?湖南婁底?統考一模）如圖，在等腰直角三角形4BC中，ZC=90°,AC=",以點C為圓心畫弧

與斜邊力B相切于點D,交2C于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積是.

7.（2023?山東濟南?統考中考真題）如圖，正五邊形48CDE的邊長為2,以4為圓心，以AB為半徑作弧BE,

則陰影部分的面積為（結果保留兀）.

題型02構造和差法

8.（2023?四川瀘州?統考模擬預測）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。。為RtAABC的

內切圓，則圖中陰影部分的面積為（結果保留TT）（）

A-TB.6—乎C.5一午D.3+全

9.（2022?湖北恩施?統考模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2,AB=4,乙4=30。，以點2為

圓心，4D的長為半徑畫弧交力B于點E,連接CE,則陰影部分的面積是（）

D

AEB

A.3—ITB.3IT—C.—TtD.-it—3

3333

10.（2023?安徽?模擬預測）如圖，o。的半徑為2,AB=2?則陰影部分的面積是.（結果保留兀）

11.（2023上?安徽六安?九年級校考期末）如圖，在RtAABC中，4C=90°,乙4=60°,AC=2.點、D為BC邊

的中點，以點。為圓心，CB長為直徑畫半圓，交AB于點E,則圖中陰影部分的面積為.（結

果保留無）

12.（2022.廣東江門?鶴山市沙坪中學校考模擬預測）如圖，在半徑為遮，圓心角等于45。的扇形2。8內部作

一個正方形CDEF,使點C在。4上，點D、E在。8上，點尸在腦上，則陰影部分的面積為.

13.（2022?福建?一模）如圖，在平行四邊形紙板4BCD中，點E,F,。分別為4B,CD,BD的中點，連接

DE,OF,BF.將一飛鏢隨機投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為.

14.（2023?廣東梅州?校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知。￡?經過原點。，與x軸、y軸分別交于

A、8兩點，點B坐標為（0,2代），。。與OD交于點C,ZOCX=30°,則圓中陰影部分的面積

為.

15.（2023?河南周口?淮陽第一高級中學校考模擬預測）如圖，扇形力MB的圓心角=60。，將扇形4MB

沿射線MB平移得到扇形CMD,已知線段CN經過初的中點E,若4M=2百，則陰影部分的周長為.

16.（2024?西藏拉薩?統考一模）如圖，等腰A/IBC的頂點A,C在。。上，BC邊經過圓心0且與。。交

于。點，NB=30°.

（1）求證：4B是。。的切線；

（2）若4B=6,求陰影部分的面積

17.（2023?山西長治?統考模擬預測）如圖，在AABC中，C4=CB,AB=4,點。是4B的中點，分別以點力、

B、C為圓心，40的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H,若點E、F是線段4c的三等分點時,

圖中陰影部分的面積為（）

R

A.8V2-2TTB.16V2-4nC.8V2-4itD.16&-2TT

18.（2022?湖北武漢?校考模擬預測）已知AB是O。的直徑,D4DE、BC是O。的三條切線，切點分別為2、E、

B,連接。E.

圖1圖2

（1）如圖1,求證：OE2=DE?CE；

（2）如圖2,AD=1,BC=3,求圖中陰影部分的面積.

題型03割補法

類型一全等法

19.（2022上?安徽阜陽?九年級校考期末）2B是O。的直徑，弦CD1AB,a=30°,CD=48，則S陰影=

C.疑D.4兀

20.（2023?山西晉城?模擬預測）如圖，在矩形4BCD中，AB=1,以點2為圓心，矩形的長力。為半徑畫弧,

交BC于點E,交4B的延長線于點F,若4E恰好平分NB4D,則陰影部分的面積為（）

「TT-A/2-IC2V^"+TT

A.1D.-----------------D.V2-1

2?4

21.（2023?內蒙古?統考中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為2,對角線相交于點。，以點8為圓心,

對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E,則圖中陰影部分的面積為.

22.（2022?青海?統考中考真題）如圖，矩形力BCD的對角線相交于點O,過點。的直線交4。，BC于點E,F,

若48=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為

23.（2022上?江西南昌.九年級統考期末）如圖，半徑為10的扇形。A8中，AAOB=90°,C為弧48上一點,

E.若NCDE=40。，則圖中陰影部分的面積為（）

A40110

A.—71B.——71C.—71D.10TT

399

類型二等面積法

24.（2023?遼寧錦州?統考二模）如圖，在△48C中，AB=AC,以4C為直徑的。。與BC分別交于點

E,連接4E,DE,若NBED=45。，AB=2,則陰影部分的面積為（）

25.（2023?山西大同?校聯考模擬預測）閱讀與思考

下面是小明的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務：

通過構造全等三角形來解決圖形與幾何中的問題

在圖形與幾何的學習中常常會遇到一些問題無法直接解答，需要作輔助線構造全等三角形才能得到解決，

比如下面的題目中出現了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交，構造全等三

角形，再運用全等三角形的性質解決此問題.

例：如圖1,。是AABC內的點，且2D平分ABAC,CD1AD,連接若AdBC的面積是10,求圖中陰影

部分的面積.

該問題的解答過程如下：

解：如圖2,延長CD交4B于點E.

AC,

?*.Z.DAB=ADAC.

'：AD1CD,

：.Z-ADC=^ADE=90°.

在AAOE和Aaoc中,

Z.DAB=/-DAC

AD=AD

Z.ADC=Z.ADE

△ADE=^ADC(ASA').

，SAADE=S&ADC(依據*)，ED=DC.

任務:

(1)上述解答過程中的“依據*”是指」

(2)請將上述解答過程的剩余部分補充完整;

(3)如圖3,在AABC中，Z.ABC=90°,AB=BC,4。平分NB4C交BC于點CEJ.4。交AD的延長線于點

E,連接BE.若BE=5,請直接寫出4。的長.

圖3

26.(2023上?遼寧撫順?九年級統考期末)如圖,C,。是以為直徑的半圓上的兩點，連接BC,CD,AC,BD,

則圖中陰影部分的面積為

類型三平移法、旋轉法

27.(2023?山西大同?校聯考模擬預測)如圖，正六邊形4BCDEF內接于半徑為8cm的O。中，連接CE,AC,

AE,沿直線CE折疊，使得點。與點。重合，則圖中陰影部分的面積為()

A

BF

D

A.3275cmB.875cm2C.Sircm2D.+3n)cm2

28.（2023?浙江?模擬預測）如圖，△ABC是直角邊長為2的等腰直角三角形，直角邊48是半圓的直徑,

半圓。2過C點且與半圓。1相切，則圖中陰影部分的面積（)

AA.——7-TCB.9cD

9-%-i

29.（2018?山西?統考中考真題）如圖，正方形A3CD內接于。O,。。的半徑為2,以點A為圓心，以AC

長為半徑畫弧交A5的延長線于點肛交的延長線于點R則圖中陰影部分的面積為（）

A.4TI-4B.47i-8C.8K-4D.871-8

類型四對稱法

30.（2017上?山東東營?九年級校聯考期末）如圖，以48為直徑，點。為圓心的半圓經過點C,若AC=8C=

V2,則圖中陰影部分的面積是.

H

31.（2023?廣西北海?統考三模）如圖，在平行四邊形4BCD中，對角線AC,BD相交于點。，EF過點。，交

4。于點R交BC于點E.若4B=3,AC=4,AD=5,則圖中陰影部分的面積是（）

A.1.5B.3C.6D.4

32.（2023?河北保定?統考一模）如圖，在正方形4BCD中，AC和8。交于點0,過點。的直線EF交48于點E（E

不與4,B重合），交CD于點F.以點。為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點M,N.若AB=1,則圖中陰影

33.（2022?山東荷澤?統考二模）如圖，等邊三角形ABC內接于。0,半徑。力=3,則圖中陰影部分的面積

是,（結果保留n）

34.（2023?江蘇南通統考二模）如圖，在。。中，弦4B垂直于半徑。C,垂足為。，點E在。C的延長線上,

（1）求證：直線4E是。。的切線;

（2）若OE=6,sinzE=求圖中陰影部分的面積.

題型04容斥原理

35.（2022上.重慶?九年級重慶巴蜀中學校考期末）如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,分另！J以48、BC、"邊

為直徑作半圓，圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”.當4B