專題2-1直線與圓對稱問題八大題型匯總

。常考題型目錄

題型1點關于點對稱..............................................................2

題型2點關于直線對稱............................................................4

題型3直線關于點對稱...........................................................10

題型4直線關于直線對稱.........................................................13

題型5圓關于點對稱.............................................................18

題型6圓關于直線的對稱.........................................................20

題型7圓與圓關于直線對稱.......................................................26

題型8反射光線問題.............................................................32

但知識梳理

知識點一.軸對稱

1.兩點關于直線對稱設Pl,P2,關于直線?對稱，則直線P1P2，與I垂直，目P1P2的中

點在I上。這類問題的關鍵就是根據"垂直"和"平分”構造方程組。

特別的，A(x,y)關于x軸對稱的點為A1(x,-y)

A(x,y)關于y軸對稱的點為A1(-x,y),

A(x,y)關于x=a對稱的點為A(2a-x,y),

A(x,y)關于y=b對稱的點為A1(x,2b-y),

A(x,y)關于y=x+b對稱的點為A1(y-b,x+b),

A(x,y)關于y=-x+b對稱的點為A1(b-y,b-x)0、、//

2.兩直線關于直線對稱：設k,12關于直線I對稱。

(1)當三條直線11,12,1共點時,I上任一點到11,12,的距離相等，且k上的

任意一點關于I的對稱點一定在直線12上。

(2)當11//12//1時,11到I的距離等于L至！11的距離。

知識點二.中心對稱

1、兩點關于點對稱：設匕f,yiJ,P(a,b),貝!IP】(xr,yr)關于P(a,b)對稱

的點為P2(2a-%1,2b-yi)，即P為線段PF2P的中點。

特別的，A(x,y)關于原點的對稱點A1(-x,-y)

2、兩直線關于點對稱：設直線li,b關于點P對稱，這時k上的任意一點關于P的對稱點

在b上.且k〃b

但題型分類

題型1點關于點對稱

【方法總結】

點關于點對稱實質：該點是兩對稱點連線段的中點

方法：利用中點坐標公式

說明：平面內點關于P(a㈤對稱點坐標為(2。-%,26-2))平面內點

AG,%),A'(X2,乃)關于點五產,歸比］對稱；

I227

【例題U2023?全國?高二課堂例題)已知不同的兩點P(a,-b)與Q(b+1,。-1)關于點(3,4)

對稱，則防=()

A.—5B.14C.—14D.5

【答案】C

【分析】根據中點公式，列出方程，求得a,b的值，進而求得ab的值.

【詳解】因為兩點P(a,-b)與Q(b+l,a-1)關于點(3,4)對稱，

fa+b+l=3

可得卜乙,,即仁二，解得a=7,b=-2,

所以ab=7x(-2)=-14.

故選：C.

【變式1-1】1.(2023?全國?高二專題練習)已知直線2x-y+r=。與圓C:(x+I)2+

(y—37=產(r>o)交于A,B兩點，且線段AB關于圓心對稱，則r=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得圓心C的坐標，進而列出關于r的方程，解之即可求得r的值.

【詳解】圓C：(x+1尸+(y-3)2=，的圓心以-1,3),

由圓心C(—1,3)在直線2%—y+r=0上，可彳導一2—3+r=0,

解之得r=5.

故選：D

【變式1-U2..(2023?全國?高二專題練習)點4(-3,1)((1,y)關于點8(-1,-3)對稱，則

MC|=___________

【答案】4V5

【分析】由中點坐標公式得出y,再有距離公式求解即可.

【詳解】由已知得等=-3,解得y=-7,即CQ-7),

\AC\=7[1-(-3)]2+(-7-1)2=4V5

故答案為：4V5

【變式1-U3.(2023秋?高二課時練習)已知不同的兩點P(a,-6),Q(b+1,a-1)關于點

(3,4)對稱，則25=.

【答案】-14

【分析】由點對稱，應用中點公式列方程組求出參數，即可得結果.

'a+b+1_3

【詳解】由題意知ZIZI，即｛：tb=l'解得｛「二,2，故帥=T4.

-4

2

故答案為：-14

【變式1-U4.(2023秋?高二課時練習)已知A,B兩點是圓C：x2+(y-I)2=4上的兩

點，若A,B關于直線x+ay-3=0對稱，則實數a=_；若點A,B關于點(1,2)對

稱，則直線AB的方程為.

【答案】3x+y-3=0

【分析】由圓上點關于直線對稱，則直線過圓心，將圓心坐標代入求參數；根據圓上點關于

點對稱，結合直線垂直求斜率，應用點斜式寫出直線方程.

【詳解】若4B關于直線比+ay-3=。對稱,則直線經過圓心C(0,l),

將點代入可得a=3.

若圓上存在4B兩點關于點P(l,2)中心對稱，則CP±AB，且P為AB的中點,

'：kcp=言=1,故七B=-1，

二直線AB的方程為y—2=-(x-1),即x+y-3-0.

故答案為：3,x+y-3=0

題型2點關于直線對稱

【方法總結】

實質：軸(直線)是對稱點連線段的中垂線

L當直線斜率存在時：方法：利用"垂直"和"平分"這兩個條件建立方程組，就可求出

對稱點的坐標，

一般地：設點(加,yo)關于直線Ax+By+C=0的對稱點(N,y'),則

=4-3=-1

X-/kB)

<

A』+BZ±A+C=。

[22

2.當直線斜率不存在時：點(%,%)關于X=M的對稱點為(2m-x0,y0)

【例題2](2022秋?四川瀘州?高二統考期末)點(0,0)與點(-2,2)關于直線I對稱，則I的方

程是()

A.x+y+2=0B.x—y+2=0C.x+y-2=0D.x—y—2=0

【答案】B

【分析】求出兩個定點的中點坐標及這兩個定點確定的直線斜率作答.

【詳解】過點(0,0)與點(-2,2)直線的斜率為學;=-1,則直線I的斜率為—吃=1,

點(0,0)與點(—2,2)的中點為(—1,1),

所以直線I的方程為y-1=x+1,即x-y+2—0.

故選：B

【變式2-1]1.(2023?全國?高二課堂例題)已知直線Ly=3%+3,則點P(4,5)關于I的

對稱點的坐標為.

【答案】(-2,7)

【分析】設點P關于直線I的對稱點為匕(乙,為)，根據題意，列出方程組，即可求解.

【詳解】設點P關于直線/的對稱點為PM/,為)，則線段PP1的中點”(竽，竽)在直線1上，

且直線PP'垂直于直線/,

仁=3?0+3

2

可得，y_-5，解得=-2,%=7,

——x3=-1

I%1-4

所以點Pi的坐標為(-2,7).

故答案為：(—2,7).

【變式2-1】2.(多選)(2023秋?江西宜春?高二江西省宜豐中學校考開學考試)下列說法

正確的是()

A.過(久】,乃),(右，％)兩點的直線方程為人=工

y2-yi

B.直線x-y-4=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8

C.點(1,0)關于直線y=x+1的對稱點為(-1,1)

D.直線mx+y+m=0(mGR)必過定點

【答案】BD

【分析】對于A,根據兩點式直線方程的使用條件判斷即可;對于B,求出直線分別在x軸和y軸

上的截距，再用三角形面積公式求解即可;對于G設點(1,0)關于直線y=x+1的對稱點為

O,y),列方程組求解即可;對于D,將直線山久+y+m=0可轉化為y=-m(x+1)即可進行

判斷.

【詳解】對于A,當山=久2或%=丫2時，不存在選項中的兩點式直線方程，故A錯誤；

對于B,直線在久軸上的截距為4,在y軸上的截距為-4,所以直線x-y-4=。與兩坐標軸圍成

的三角形的面積是［x4x4|=8,故B正確；

對于G設點(1,0)關于直線y=x+1的對稱點為(x,y),

叫」二口，解得。二1，

(22

即點(1,0)關于直線y=X+1的對稱點為(-1,2),故C錯誤；

對于D,直線7nx+y+m=0(meR)可轉化為y=-m(x+1),過定點(一1,0),故D正確.

故選:BD.

【變式2-1】3.(多選)(2022秋?廣東珠海?高二珠海市第一中學校考期末)下列結論正確

的是()

A.若直線a久+y+l=0與直線4x+ay+2=。平行，則它們的距離為?

B.點(5,0)關于直線y=2x的對稱點的坐標為(-3,4)

C.原點到直線kx+(2k+l)y-3k-l=。的距離的最大值為魚

D.直線*+高=1與坐標軸圍成的三角形的面積為小,+m

【答案】BC

【分析】由題意利用兩條直線平行的性質求得a的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，

計算求得結果判斷A;利用對稱知識求出對稱點判斷選項B;求出直線系經過的定點，利用

兩點間距離公式求解最大值即可判斷C；求解三角形的面積判斷D.

【詳解】又寸于A,?直線a久+y+1-0與直線4K+ay+2-0平彳亍，

顯然a*0,所以—a=--,且—1,解得a=-2,

aa

故兩條平行直線即為直線2%-y-1=0與直線2%-y+1=0z

則它們之間的距離為蔣=亭,所以A不正確；

V55

'b-0__1

對于B假設點(5,0)關于直線y=2%的對稱點的坐標為(a,b)則|~解得a=-3,

—=2x—

V22

b=4,

即點(5,0)關于直線y=2x的對稱點的坐標為(-3,4),故B正確；

(X+2y_0

對于C，由/c%+(2k+l)y—3k—1=0彳導+2y-3)+y—1=0,由)_13—,

Iy=上

得％=y=1,

故直線k%+(2/c+l)y-3k-1=0過定點(1,1),

所以原點到直線依+(2k+l)y-3k-l=。的距離的最大值為『TN=近故C正確；

對于D,令％=0，得y=2m+2,令y=0，得％=m,

所以直線A+嘉=1與坐標軸圍成的三角形的面積為［|2m+2|-\m\=|m2+,故D不

正確.

故選:BC.

【變式2-1]4.(2023?全國?高二專題練習)已知半徑為3的圓C的圓心與點P(-2,1)關于

直線x-y+l=。對稱，則圓C的標準方程為()

A.(x+I)2+(y—l)2=9B.(x—l)2+(y—l)2=81

C.x2+(y+l)2=9D.x2+y2=9

【答案】C

【分析】設出圓心坐標，根據對稱關系列出方程組，求出圓心坐標，結合半徑為3,即可求

解.

【詳解】設圓心坐標C(a,6),由圓心C與點P關于直線y=比+1對稱，

得到直線CP與y="+1垂直,

結合y=尤+1的斜率為1，得直線CP的斜率為-1,

所以宇=-1，化簡得a+b+l=0?

再由CP的中點在直線y=x+l上，+=等+1,化簡得a-b-1=0②

聯立①②，可得a=o,b=-1,

所以圓心C的坐標為(0,-1),

所以半徑為3的圓C的標準方程為/+⑶+1)2=9.

故選：C

【變式2-1]5.(2023,全國偏二專題練習塔點4(a+2,b+2),B(b—4,a—6)關于直線4x+

3y—11=0又寸稱，貝!ja=；b=.

【答案】42

【分析】根據給定條件，利用軸對稱的性質列出方程組，解方程組即可作答.

【詳解】依題意，直線的斜率為慧=產，線段AB的中點(二二，”白)，

D—4—(a+z)D—CL—bZZ

ci—b—83

于是Ib-a-64整理得fa-b-2解得a=4b=2

4,a+b-2+3b+a-4_口=0，工理[守Ia+6=6,用牛恬',

v22

所以a=4,b=2.

故答案為：4;2

【變式2-1]6.(2023?全國?高二專題練習)設點P(2,5)關于直線x+y=1的對稱點為Q,

則點Q的坐標為過點Q且與直線x+y-3=0垂直的直線方程

為.

【答案】(-4,—1)x-y+3=0

【分析】先利用對稱的性質得到關于Q的坐標的方程組，解之即可求得點Q的坐標；再利用

直線垂直的性質，結合待定系數法即可得解.

f—x(-l)=-l

【詳解】依題意，設Q(a,b),則(宜+2b+5?解得。=-4,6=-1,

I—+—=1

即點Q的坐標為(-4,-1),

設與直線久+y-3-。垂直的直線方程為％-y+c-0,

將Q(—4,—1)代入該式，得—4+1+c=0,故c=3,

所以所求直線方程為x-y+3=0.

故答案為：(—4,—1)'x—y+3—0.

【變式2-1]7.(2023秋?河北保定?高二河北省唐縣第一中學校考階段練習)已知直線珀勺

方程為3x-4y+2=0.

(1)求圓心為(1,0)且與直線，相切的圓的標準方程；

⑵求直線久-y-1=0與2久+y-2=0的交點力坐標，并求點4關于直線/的對稱的點的坐

標.

【答案】(l)(x-1)2+y2=1

(2)4(1,0),對稱的點的坐標為(-!》

【分析】(1)設圓的標準方程為(尤-I)2+y2=*,再根據直線與圓相切列式可得「=1,

進而可得方程；

(2)解方程組二;即可得4(1,0),設點力(1,0)關于直線3久-4y+2=0的對稱

的點的坐標為(犯幾)，根據4(1,0)與對稱點的連線中點在直線3x-4y+2=0上，且與3尤-

4y+2=0垂直列式求解即可.

【詳解】(1)設圓的標準方程為(％-1)2+y2=r2,

由題意可知廠_|1X3_O+2|_

-V32+(-4)2-1.

所求圓的標準方程為(支-I)2+y2=L

(2)解方程組LU：一,得仁.

所以直線久一y—1=。與2%+y—2=0的交點為4(1,0).

設點4(1,0)關于直線3尤-4y+2=0的對稱的點的坐標為(皿碼，則

所以點4(1,0)關于直線3x-4y+2=0的對稱的點的坐標為(-g)

題型3直線關于點對稱

【方法總結】

直線關于點對稱實質：兩直線平行

法一：轉化為"點關于點'的對稱問題(在/上找兩個特殊點(通常取直線與坐標軸的交點),

求出各自關于A對稱的點，然后求出直線方程)

法二：利用平行性質解(求出一個對稱點，且斜率相等或設出平行直線系，利用點到直線

距離相等)

【例題3](2023?全國?高二專題練習)直線2%-y+3=0關于點P(3,2)對稱的直線的一般

式方程為—.

【答案】2x-y-11=0

【分析】由直線勿-y+3=。關于點P(3,2)對稱的直線與已知直線平行，設出所求直線方

程，再根據點P(3,2)到兩條直線的距離相等可解出答案.

【詳解】設對稱直線為2x-y+C=0,

根據點P(3,2)到兩條直線的距離相等，

則有需黑=需黑，即|4+C|=7,解得C=3(舍)或。=-11.

所以對稱直線的方程為2x-y-11=0.

故答案為：2x—y-11=0.

【變式3-1]1.(2023秋?高二課時練習)直線/：2%-3y+1=0關于點4(-1,一2)對稱的

直線，'的方程為.

【答案】2x-3y-9=0

【分析】根據直線關于點對稱，設廠上的點坐標，寫出關于4對稱的點坐標，根據點在已知

直線上求直線方程.

【詳解】設P(x,y)為，'上任意一點，則PO,y)關于點4(-1,-2)的對稱點為4-2-居-4-y),

因為P'在直線I上所以2(—2-x)-3(-4一y)+1=0，即直線廠的方程為2光—3y—9=0.

故答案為：2x—3y—9=0

【變式3-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)求直線3x-y-4=0關于點(2,-1)對稱的直

線I的方程.

【答案】3x-y-10=0.

【分析】解法一設M(x,y),得到對稱點坐標，再代入直線3x-y-4=0即可得到答案；解

法二在直線上取兩特殊點，得到其關于(2,-1)的對稱點，則得到直線I方程；解法三根據對

稱特點設I的方程為3*-y+C=0。力-4),代入一個具體的對稱點坐標即可得到答案.

【詳解】解法一：設直線I上任意一點M的坐標為(x,y),

則此點關于點(2,-1)的對稱點為Mi(4-x,-2-y),

且風在直線3比—y—4=0上,

所以3(4—x)—(—2—y)—4=0,

即3x—y—10=0.

所以所求直線I的方程為3x-y-10=0.

解法二：在直線3x-y-4=。上取兩點4(0,-4),8(1,-1),

則點4(0,—4)關于點(2,—1)的對稱點為公(2X2-0,-2+4),即4(4,2)

點8(1,-1)關于點(2,-1)的對稱點為Bi(3,-1),

%述1=2：；)=3,所以直線為當的方程為y-2=3(%-4)

化簡彳導3x-y-10=0,

即所求直線I的方程為3x-y-10=0.

解法三：由平面幾何知識易知所求直線I與直線3久-y-4=0平行，

則可設I的方程為3比-y+C=0(C力-4).

在直線3*-y-4=。上取一點(0,-4),

則點(0,-4)關于點(2,-1)的對稱點(4,2)在直線3x-y+C=0±,

所以3x4-2+C=0,所以C=-10,

所以所求直線I的方程為3x-y-10=0.

題型4直線關于直線對稱

【方法總結】

1：當h與/相交時方法：此問題可轉化為"點關于直線”的對稱問題

2：當li與/平行時方法：對稱直線與已知直線平行

【例題4】(2023秋?山西大同?高二大同一中校考階段練習)已知直線：l1-.y=ax+3與"關

于直線y=X對稱，12與，3：X+2y-1=0平行，貝(ja=()

A-4B-1C「2D.2

【答案】C

【分析】點(x,y)關于直線y=%的對稱點為(％%)可得。的方程，再根據相互平行可得答

案.

【詳解】直線4關于直線y=%對稱的直線，即是交換位置所得，

即%：%-ay+3,G/相互平行，l3-x+2y-l-。的斜率為一J

故a=-2.

故選：C.

【變式4-1]1.(2023?全國?高二專題練習)若直線y-2=(k-l)x和直線4關于直線

y=x+1對稱，則直線%恒過定點()

A.(2,0)B,(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)

【答案】C

【分析】先求出直線過定點(0,2),再根據對稱性求得直線I?所過定點.

【詳解】因為直線4：y-2=(fc-l)x過定點(0,2),

點(0,2)關于直線y=比+1對稱的點為(1,1),

故直線，2恒過定點(1，D

故選：c

【變式4-1J2.(2023?全國?高二專題練習股直線y尤-2y-2=。與%關于直線刀2x-y-

4=。對稱，則直線%的方程是()

A.11%+2y—22=0B.11%+y+22=0

C.5x+y-11=0D.10x+y-22=0

【答案】A

【分析】根據三條直線交于一點，再利用點關于直線的對稱點公式，求直線L上一點，即可

求解.

【詳解】聯立會多二仁〉得憂〉

取直線船刀—2y-2=0上一點(0,—1),設點(0,—1)關于直線1：2%—y—4=0的對稱點為

b+l__1

，解得：a=11=_-,

{2x|一等―4=055

直線，2的斜率k=W，所以直線。的方程為y=-弓(尤-2),

整理為：llx+2y-22=0.

故選：A

【變式4-1J3.(多選X2023?江蘇?高二假期作業)已知直線中ax-y+1=0,l2：x+ay+

1=0,aeR,以下結論錯誤的是()

A.無論a為何值，4與%都互相平行

B.當a變化時，。與%分別經過定點4(0,1)和耿-1,0)

C.無論a為何值，4與%都關于直線％+y=。對稱

D.若。與％交于點M,則|MO|的最大值是企

【答案】AC

【分析】結合直線平行或垂直、直線過定點、直線與直線對稱、直線與直線交點、兩點間距

離公式等知識分別對各選項分析，即可求解.

【詳解】對于A,因為ax1+(-1)xa=0,故無論a為何值，。與"都相互垂直，故A錯

誤；

對于B，直線ax-y+l=O,當a變化，久=。時,y=1恒成立，所以入恒過定點2(0,1)；

/2：x+ay+l=0,當a變化,y=0時，x=一1恒成立,所以恒過定點8(-1,0),故B正

確；

對于C,在人上任取一點(居ax+1),關于直線x+y=0對稱的點的坐標為(-ax-1,-x),

代入必x+ay+1-0，得2ax=0,不滿足無論a為何值，2ax-0恒成立,故C不正確；

-a-1

X=—

:二雷::,解得a2+l

對于D,聯立?-a+1

所以|MO|=W/(當a=。時取等號)，所以阿。|的最大值是

a,故D正確.

故選：AC.

【變式4-1]4.(2022秋?湖北黃岡?高二統考期中)過直線y=x+l上的點P作圓

C：(久-+(y—6/=2的兩條切線4，12,當直線4,G關于直線V=X+1對稱時，兩切

點間的距離為()

A.1B.2C.V3D.V6

【答案】D

【分析】由兩條切線關于直線y=%+1對稱，可確定PC與直線y=x+1互相垂直,即可求

得PC得長，再結合直角三角函數和垂徑定理，即可求解.

【詳解】依題意，設兩切點分別為人B,并連接4B交PC于點。，作出示意圖：

7O\x

當直線k12關于直線y=x+1對稱時，則兩條直線4/2與直線y=x+1的夾角相等，且PC

與直線y=x+1互相垂直，

???IPCI的長為圓心C（l,6）到直線y=%+1的距離，即IPCI=匕科=2V2,

V2

又???圓的半徑r=\BC\=V2，:在Rt△BCP中，coszBCP=昌=］故NBCP=三,

.?.結合垂徑定理得1=2|BC|sinzBCP=2x/義苧=①，即兩切點間的距離為連,

故選：D.

【變式4-1】5.（多選）（2023秋?河北唐山?高二唐山一中校考期末）如圖所示，邊長為2的

等邊△。4B從起始位置（。&與y軸重合）繞著。點順時針旋轉至。B與久軸重合得到小。為多,

在旋轉的過程中，下列說法正確的是（）

y

2

◎

2x

A.線段4B的中點在圓/+*=3上運動

B.直線4遇2與直線Bi為關于直線久-y=。對稱

C.邊&&與邊Bi/所在直線的交點為（3-舊,3-百）

D.乙40B的角平分線所在直線方程是y=*,直線。4的方程為y=

【答案】AB

【分析】由題意，設4B邊的中點為E,則|。回=V3,所以E的軌跡方程是。為圓心，半徑為

次的圓可判斷A；求出4(0,2),42(1，8)關于直線％-曠=0對稱點可判斷B；求出邊4遇2

與邊B/2所在直線的交點坐標，可判斷C；求出直線。4的方程可判斷D.

【詳解】由題意可知，4(0,2)、為(暮1)、&(1,百)、B2(2,0),

對于A,設力B邊的中點為E,則|。或=V3,S.OE1AB,

所以E的軌跡方程是。為圓心，半徑為舊的圓，

所以線段48的中點E在圓/+y2=3上運動，所以A正確；

對于B,4(0,2),X2(l,V3),其中4(0,2)關于直線x-y-。對稱點為4(2,0),

其中4(1,8)關于直線久-y-。對稱點為名(百,1),

所以直線與直線當殳關于直線比-y=。對稱，故B正確；

對于C,直線4遇2的方程為y=(V3-2)x+2,直線B/2的方程為y=(%-2),

(V=(V3-2)x+2fx=l+—

聯立1,「可得北，所以C不正確；

(y=*d)[y=l+1

對于D,設。力的傾斜角為a，~1。8的角平分線的傾斜角為￡,

所以a=°十,即tana=tan(S琛)=福=9=|遙，

623

直線。力的方程為y=誓無，故D不正確.

故選:AB.

【變式4-1】6(2023秋?湖南邵陽?高二校考階段練習直線仁3尤-y-3=。關于直線%：%+

y-l=。的對稱直線方程為.

【答案】x-3y-1=0

【分析】兩直線方程聯立可求得交點在所求對稱直線上；在直線4上取一點4(0,-3),求得

其關于直線％對稱的點的坐標4(4,1),該點也在對稱直線上；由直線兩點式可整理得到結果.

【詳解】設直線4關于直線％對稱的直線為％，

由胃；;二;二;得：{;二;，則點(1,。)在直判上；

在直線人上取一點2(0,-3),設其關于直線)對稱的點為4(“幾)，

'n+3y

則良；3_]=0，解得:{:二：，即4(4，D；

、22—

???直線k的方程為:衿=的，即%-3y-1=0.

(J—11—4

故答案為：x-3y-1=0.

題型5圓關于點對稱

【方法總結】

轉化為圓心關于點對稱問題

【例題5](2021秋?江蘇南通?高二金沙中學校考階段練習)圓(x+2)2+*=6關于點

P(l,l)對稱的圓的方程為()

A.(x—4)2+(y—2)2=6B./+(y_4)2=6

C.(x+2)2+(y+2/=6D.比2+5+4)2=g

【答案】A

【分析】求得圓心關于點P的對稱點的坐標，由此求得對稱圓的方程.

【詳解】圓(久+2)2+y2=6的圓心為(—2.0),半徑為佃,

(-2.0)關于點P(l,l)的對稱點為(4,2),

所以對稱圓的方程為(％—4)2+(y-2)2=6.

故選：A

【變式5-1]1.(2023?全國?高二專題練習)已知圓C：/+/=25，則圓C關于點(-3,4)對

稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y—4)2=16B.(x+3)2+(y—4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)2=25

【答案】D

【分析】圓關于點對稱只是圓心的位置發生了變化，因此只需求圓心關于點(-3,4)對稱后的

坐標即可解決.

【詳解】圓C：/+*=25的圓心為(0,0),半徑為5,

(0,0)關于(-3,4)對稱的點為(-6,8),

圓C對稱后只是圓心位置改變，圓的半徑不會變化，仍為5,

因此所求的圓的方程為(X+6/+(y-8)2=25.

故選：D

【變式5-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)已知P是圓C:(x-5產+(y-5)2=r2(r>0)

上的一個動點，它關于點4(9,0)的對稱點為Q,O為原點，線段OP繞原點O逆時針方向

旋轉90。后，所得線段為OR,求|QR|的最小值與最大值.

【答案】IQRlmin=V2|2V53-r|,IQRlmax=V2(2A/53+r).

【分析】設點P的坐標是(x,y),根據題意分析可得|QR|=V2-JO—9乃+(y+9尸,可知

—9尸+(y+9尸的幾何意義為點M(9,—9)到圓C上的點P(*,y)的距離，結合圓的性質

運算求解.

【詳解】如圖所示，設點P的坐標是(x,y),則點Q的坐標是(18-x,-y),

線段OR由0P繞原點逆時針旋轉90°得到，則點R的坐標為(-y,x),

則|QR|=7(18—x+y')2+(―y—%)2=72^/(%—9)2+(y+9)2.

因為P(x,y)為圓C:。—5)2+(y—5)2="上的點，

則—9尸+。+9》的幾何意義為點M(9,—9)到圓C上的點P?y)的距離，

連接PM,當|PM|最小時,|QR|也最小；當|PM|最大時,|QR|也最大；

連接MC,如圖所示，則|MC|=J(9—5尸+(—9—5)2=2753,

當點P為R時,則|PM|取到最小值||MC|—"=|2V53-r|；

當點P為22時，則IPM取到最大值|MC|+r=2V53+r；

所以|QR|的最小值為&憎,最大值為V^(2V^+r).

題型6圓關于直線的對稱

【方法總結】

轉化為直線過圓心問題

【例題6】(2023?全國?高二課堂例題)若圓C：/+*+2%-4y+3=。關于直線2a無+

by+6=。對稱，則由點(a,6)向圓所作的切線長的最小值是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】可以用兩種方法求最小值：(1)代數法：直接利用勾股定理求出切線長，把切線

長中的變量統一成一個，利用函數求最值；

(2)幾何法：把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題.

【詳解】方法一：由/+y2+2x-4y+3=0,得(x+l)2+(y-2)2=2,

依題意得圓心2)在直線2a比+by+6-0上,

即2ax(-1)+2b+6=0,整理得a=b+3①.

易知由點(a,b)向圓所作的切線長/=J(a+l)2+(b—2尸一2②，

將①代入②，得/=+4'+S-21—2=J2(b+1)2+16.

又bER,所以當b--1時,Zmin=4.

方法二：因為過圓外一點的圓的切線長人半徑r和該點到圓心的距離d滿足勾股定理，

即J=-/，所以切線長最短時該點到圓心的距離最小，則原問題轉化成求該點與圓心

的距離的最小值問題.

由題意知圓心。(一1,2),半徑r=V2，點(a,b)滿足a-b+3，即點(a,b)在直線y=x—3上；

所以點(a,b)與圓心的距離的最小值即圓心到直線y=x—3的距離出，

易求得d，=累m=3V2,所以切線長的最小值為J(3/『-2=4.

故選：C

【變式6-1]1.(2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學校考階段練習)公元前3世紀，古

希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第

七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定

值(不為1)的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點

力(-1,0)和B(2,l)且該平面內的點P滿足|P4|=V2|PB|若點P的軌跡關于直線mx+ny-

2=0(m,n>0)對稱，則導+:的最小值是()

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【分析】由題意計算得P的軌跡方程為(乂-5)2+(y-2/=20,根據對稱性可得圓心在直

線方程上，即5nl+2n-2,從而利用乘T法即可得到最值.

【詳解】設點P的坐標為?y),因為|P*=V2\PB\,則|P*2=21PBi2,

即(久+I)2+y2=2[(x—2)2+(y—l)2],

所以點P的軌跡方程為(％—5>+(y-2)2=20,

因為P點的軌跡關于直線mx+ny-2-0(m>0,n>0)對稱，

所以圓心(5,2)在此直線上，即+2幾=2,

所以2+三=l(5m+2n)(-+-)=，20+鯉+%)210+工x2/----20,

當且僅當肝=—，即巾=Q=泄，等號成立，

所以巳+三的最小值是20.

mn

故選：B.

【變式6-1]2.(2023?全國?高二專題練習)已知圓(X-I)?+(y-2)2=4關于直線ax+

by-2=。對稱，則,a?+爐的最小值為()

A.-B.謔C.-D.1

555

【答案】B

【分析】根據題意分析可得表示直線a+2b-2=0上任一點P(a,b)到坐標原點

。(0,0)的距離，結合點到直線的距離運算求解.

【詳解】已知圓(％-I)2+(y-2>=4的圓心為(1,2),半徑r=2,

由題意可知：直線a久+by-2=0過圓心(1,2)，即a+2b-2=0,

7a2+#表示直線a+26-2=0上任一點P(a,b)到坐標原點。(0,0)的距離，

故GTP的最小值即為。(0,0)到直線a+2h-2=0的距離d="寄ZZ1=管.

V1+25

故選：B.

【變式6-1】3.(2023?全國?高二專題練習)點M、N在圓C：/+y2+2"+2my—4=。

上，目M、N兩點關于直線久-y+l=0對稱，則圓C的半徑()

A.最大值為*B.最小值為?C.最小值為學D.最大值為言

【答案】C

【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得出圓心坐標和半徑的表達式，利用已知條件，得

到圓心在直線上，結合二次函數的性質即可求解.

2222

【詳解】由r+y2+2kx+2my-4=0,得(％+fc)+(y+m)=/c+m+4z

22

所以圓心C為(-々,一瓶)，半徑為丁=V/c+m+4z

由題意可得直線％-y+1=。經過圓心C,

故有—k+771+1=0,即/c=771+lf

所以半徑為廠=Vfc2+m2+4=yj(m+l)2+m2+4=J2(m+0+1>誓，

當巾=-泄，圓c的半徑的最小值為挈

故選：C.

【變式6-1]4.(多選)(2023秋?全國?高二隨堂練習)(多選)若圓上的點(2,1)關于直線

x+y=。的對稱點仍在圓上，且圓的半徑為迷，則圓的標準方程可能是()

A.x2+y2=5B.(x—l)2+V=5C.x2+(y+l)2=5D.(x—l)2+(y+l)2=5

【答案】AD

【分析】由題意可知圓心在直線x+y=0上，設圓心坐標為(a,—a),由(2-a)2+(1+a)2=

5求得a=。或a=1,再根據圓的標準方程即可求解.

【詳解】.?圓上的點(2,1)關于直線久+y=。的對稱點仍在圓上，，圓心在直線x+y=0上.

設圓心坐標為(a,-a),則由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=。或a=1,

，圓的標準方程為(x-I)2+(y+I)2=5或/+y2=5.

故選：AD.

【變式6-1]5.(多選)(2023秋?廣東廣州?高二廣州市天河中學校考期末)已知圓

M：（X-1）2+（y-2）2=1,則（）

A.圓M關于直線x—y+1=。對稱

B.圓M關于直線久+y+l=。對稱的圓為O+3)2+(y+2>=1

C.直線/過點(2,0)且與圓M相切，則直線/的方程為3x+4y-6=0

D.若點P(a,6)在圓M上,則J(a+3。+(6—2人的最小值為3

【答案】ABD

【分析】利用圓心在直線上判斷A;利用圓心關于直線對稱判斷B;利用直線x=2也符合

題意判斷C；利用圓心到定點的距離減去半徑判斷D.

【詳解】圓“：0-I)2+(y-2)2=1的半徑為1,圓心為“(1,2)在直線x—y+1=

。上,所以圓M關于直線％-y+1-。對稱，A正確；

因為O+3尸+(y+2)2=1的半徑為1，圓心為N(-3,-2),所以MN的中點坐標為E(-1,0),

E(—1,0)在直線久+y+1=0上，

又因為kMN=鬻=1，直線/：X+y+1=。的斜率為-1,所以MN1I,所以M,N關于直

線1對稱，即兩圓半徑相等圓心關于直線/：x+y+1=0對稱，所以兩圓關于直線Z：x+y+

1=。對稱，B正確；

因為直線久=2經過(2,0),且其到圓心M(l,2)的距離等于半徑1,所以直線x=2也與圓”相

切，故C錯誤；

J(a+3/+(b—2)2表示。(。匕)到尸(—3,2)的距離,因MF=y/(l+3)2+(2-2)2=4,

所以J(a+3尸+(b—2)2的最小值為MF—1=4—1=3,D正確.

故選:ABD.

【變式6-1】6.(2023?全國?高二課堂例題)圓。%2+。—2)2=16關于直線a久+by-12=

。對稱，動點S在直線y+b=0上，過點S弓|圓C的兩條切線S4sB,切點分別為4B,則直線

48必過定點，那么定點的坐標為.

【答案】(0,0)

【分析】根據已知條件求出b=6，設S(t,-6)，根據C4ISA,CB1SB，求出過四點S,4C,B

的圓的方程，利用兩個圓的方程相減得直線4B的方程，從而可得定點坐標.

【詳解】因為圓C關于直線ax+by-12=。對稱，

所以直線ax+—12=。過圓C的圓心(0,2),得b=6,

故動點S在直線y+6=