專題29排列組合

【考點預測】

知識點1、排列與排列數

（1）定義：從〃個不同元素中取出加（加W"）個元素排成一列，叫做從"個不同元素中取出加個元素的

一個排列.從"個不同元素中取出加（"4”）個元素的所有排列的個數，叫做從〃個不同元素中取出加個元

素的排列數，用符號4：表示.

（2）排列數的公式：=n（n-\）｛n-2\--[n-m+\\=-----1―.

\<n-my.

特例：當加二〃時，/；=〃!=〃（〃—1）（〃—2）…3?2?1；規定：0!=1.

（3）排列數的性質：

1M

①父=/，②4"=—4：,,+'=-41③吸+41

n-mn—m

（4）解排列應用題的基本思路：

通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）.

注意：排列數公式的兩種不同表達形式本質是一樣的，但作用略有不同，人：="〃-1卜-（〃-加+1）常

用于具體數字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用A；=T—.

（n-m）!

知識點2、組合與組合數

（1）定義：從〃個不同元素中取出m（根4"）個元素并成一組，叫做從"個不同元素中取出加個元素的

一個組合.從〃個不同元素中取出加（加W”）個元素的所有組合的個數，叫做從〃個不同元素中取出加個元

素的組合數，用符號C：”表示.

（2）組合數公式及其推導

求從九個不同元素中取出m個元素的排列數/：",可以按以下兩步來考慮：

第一步，先求出從這"個不同元素中取出加個元素的組合數

第二步，求每一個組合中加個元素的全排列數/,：；

根據分步計數原理，得到A'：=C：.4：；

因此Cj里=〃（"1）（”2）…（i+1）

"4：加

.VII_

這里"，機€乂，且mV",這個公式叫做組合數公式.因為/："=/、，所以組合數公式還可表示

HI

為：c：=屋口.特例：C：=c：=l.

m\[n-my.

注意：組合數公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是

按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題.公式禺=如一1）（"-2）…-7"+1）常用于具體數字計算,

m\

C：=---常用于含字母算式的化簡或證明.

m\（n—m）!

（3）組合數的主要性質：①c：=c；"；②c;+=Ml.

（4）組合應用題的常見題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②，，至少,，或，，最多，，含有幾個元素的題型

知識點3、排列和組合的區別

組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數目問題，它們之間的主要區別

在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題.排列

是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排

列”.

知識點4、解決排列組合綜合問題的一般過程

1、認真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多

少步；

3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數是多少及取出多少個元

素；

4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

【典型例題】

例1.（新疆維吾爾自治區2024屆高三學期第一次適應性檢測數學試題）在古典名著《紅樓夢》中有一道名

為“茄餐”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時要求香菌、

新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄餐”時不同的

下鍋順序共有（）

A.72種B.36種C.12種D.6種

【答案】C

【解析】由題意可知六種原料中可以把香菌、新筍、豆腐干看成一種，即有A：種放法，

又茄子凈肉放在雞脯肉后，則有多=12種放法.

故選：C

例2.（貴州省六校聯盟2024屆高考實用性聯考（三）數學試題）2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（決

賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學校的3名同學和2

名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學，則不同的站法有（）種.

A.48B.64C.72D.120

【答案】C

【解析】根據題意，分兩步進行：

第一步：安排3名同學站成一排合影，不同的站法共A；種；

第二步：安排2名老師，采用插空法，不同的站法共A；種；

由分步乘法計數原理可得：不同的站法共A；A；=72種.

故選：C

例3.（山東省煙臺市、德州市2024屆高三學期高考診斷性考試數學試題）將8個大小形狀完全相同的小球

放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數為（）

A.3B.6C.10D.15

【答案】B

【解析】依題意，每個盒子放入2個球，余下2個球可以放入一個盒子有C；種方法，放入兩個盒子有C；種

方法，

所以不同放法的種數為C；+C；=6.

故選：B

例4.（高三數學臨考沖刺原創卷（一））某中學高三14班有50名學生，其中男生20人，女生30人，現采

取分層隨機抽樣的方式從該班選取5名學生，再從選取的5名學生中隨機選取3名學生參加學校的演講比

賽，則既有男生又有女生的選取方式有（）

A.6種B.7種C.8種D.9種

【答案】D

【解析】由題知男生和女生的人數比例是2:3,則從50名學生中選5名學生，

23

選到的男生有5x^=2（名），女生有5x1=3（名），再從中隨機選取3名，

既有男生又有女生的情況有2種，

情況一：1名男生2名女生，有C；C；=6（種）選取方式；

情況二：2名男生1名女生，有C；C；=3（種）選取方式，

故一共有6+3=9（種）選取方式.

故選：D.

例5.（江西省部分地區2024屆高三學期3月月考數學試題）有2男2女共4名大學畢業生被分配到

三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且A工廠只接收女生，則不同的分配方法種

數為（）

A.12B.14C.22D.24

【答案】B

【解析】按A工廠接收的女生人數分類，

第一類：A工廠僅接收1名女生，從2名女生中選1人，有C；種選擇，

再把剩余的3人分為兩組，和民C兩工廠進行全排列，有C；A；種選擇,

故有C；砥A：=12種分配方法;

第二類：A工廠接收2名女生，則剩余的兩個男生和兩個工廠進行全排列,

有C；A；=2種分配方法.

綜上，不同的分配方法有12+2=14種.

故選：B

例6.（吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數學試題）如圖所示，一種兒童儲蓄罐有6個密碼格，由

購買者設定密碼后方可使用，其中密碼的數字只能在01,2中進行選擇，且每個密碼格都必須設定數字，則

數字“1”出現奇數次的不同密碼個數為（）

A.172B.204C.352D.364

【答案】D

【解析】若數字“1”出現1次，則有C：x25=192種可能；

若數字“1”出現3次，有C"23=160種可能；

若數字“1”出現5次，則有C；x2=12種可能，

故數字“1”出現奇數次的不同密碼個數為192+160+12=364.

故選：D.

例7.（云南省昆明市云南師范大學附屬中學2024屆高三學期3月月考數學試卷）某食品公司共有4,B,C

三條生產線，產量占比為3：2：5,為檢查新一批次食品添加劑使用量是否合格，用分層隨機抽樣方法進行

調查現從這3000件食品中抽檢5%,則不同的抽樣方法共有（）

A.C款.C落CK種B.C*.C*°.C黑種

C.C款+C熱種D.C；iC熱種

【答案】D

【解析】3000件食品中，A,B,C三條生產線的生產量分別為900件、600件、1500件,

抽檢總量為3000x0.05=150件,

325

利用分層隨機抽樣，分別從/,B,C三條生產線抽檢150x歷=45,150x證=30、150x歷=75件，

按照分步乘法計數原理，共有C篇C黑C2。種方法，

故選：D.

例8.（湖北省荊州市沙市中學2024屆高三學期3月月考數學試題）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老

師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.8種B.16種C.24種D.32種

【答案】D

【解析】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有C；-C；?A；=16種排法，

當老師從左到右排在第三位時,共有=16種排法，

于是共有16+16=32種排法.

故選：D.

例9.（四川省大數據學考聯盟2024屆高三第一次質量檢測數學（理科）試題）為了深化教育改革，堅持“五

育并舉”融合育人.某學校準備組建書法、音樂、美術、體育4個不同的社團.現將甲、乙、丙、丁、戊5

名同學分配到這4個社團進行培訓，每名同學只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學，且甲乙

兩名同學不能在同一個社團培訓，則不同的分配方案共有（）

A.192種B.216種C.240種D.432種

【答案】B

【解析】由題意可得，將5名同學分配到這4個社團進行培訓每名同學只能分配到1個社團，

每個社團至少分配1名同學，則不同的分配方案共有戢?0；?xA：=240種,

A3

當甲乙兩名同學在同一個社團培訓，則不同的分配方案有A：=24種,

綜上可得，不同的分配方案共有240-24=216種.

故選:B

例10.已知正整數X],矛2，X3,X4,X5滿足芭+%2+退+尤4+X5=1°，則不同的有序實數對（西,々戶3/4，%）

有種可能.

【答案】126

【解析】先將10拆成10個1，并排成一排，于是正整數4，X2,x3,匕，％表示在這10個1中占有1的個數,

然后用四個隔板把這一列1分為五組，由于這一列數中間有9個空，

因此四個隔板的放置方法種數為C；=126（種）.因此不同的有序實數對（為應,％,匕,%）有126種可能.

故答案為：126

【過關測試】

一、單選題

1.（河南省新鄉市2023-2024學年高三第二次模擬考試數學試題）老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、

丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）

A.248種B.168種C.360種D.210種

【答案】D

【解析】根據題意進行分類：

第一類：甲、乙、丙每人分得2本，N]=C，C；C；=15x6x1=90（種）；

第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本，N2=C：C[C；A；=15x4x1x2=120（種）.

所以由分類加法計數原理可得共有N=N+『=90+120=210種不同的分法.

故選：D.

2.（湖南省長沙市四縣區2024屆高三學期3月調研考試數學試卷）將甲、乙、丙、丁4個人全部分配到4房。

三個地區工作，每個地區至少有1人，則不同的分配方案為（）

A.36種B.24種C.18種D.16種

【答案】A

【解析】依題意，4民。三個地區中必有一個地區有2人，

先在甲、乙、丙、丁4個人中選2個人有C：種組合，將這兩個人捆綁在一起看作一個元素，

與其他2個人一起分配到45C三個地區，共有C；A；=36種.

故選：A

3.（2024年普通高等學校招生全國統一考試數學猜題卷（六））隨著國潮的興起，大眾對漢服的接受度日漸

提高.目前中國大眾穿漢服的場景主要有漢服活動、藝術拍攝、傳統節日、旅游觀光、舞臺表演、日常活

動、婚慶典禮7類.某自媒體博主準備從圖片網站上精選8張中國大眾穿漢服的照片，要求每類場景至多

選2張，則不同的選擇方案的種數為（）

A.252B.162C.357D.324

【答案】C

【解析】從7類場景中選8張照片，且每類場景至多選2張，也可以不選，

貝IJ不同選法有2+2+2+2,2+2+2+1+1,2+2+1+1+1+1,2+1+1+1+1+1+1,

所以不同的選擇方案的種數為C；+C；C"C；C；+C；屋=357.

故選：C.

4.（2024屆遼寧省名校聯盟高考模擬卷（調研卷）數學試題（一））第19屆亞運會于2023年9月至10月

在杭州舉行，來自浙江某大學的4名男生和3名女生通過了志愿者的選拔，若從這7名大學生中選出2人

或3人去某場館擔任英語翻譯，并且至少要選中1名女生，則不同的挑選方案共有（）

A.15種B.31種C.46種D.60種

【答案】C

【解析】至少要選中一名女生的對立事件是選中的全為男生，故所求挑選方案的種數為

颶—瑤+G—C=46.

故選：C

5.（陜西省咸陽市2024屆高三學期高考模擬檢測（二）數學（理科）試題）為了強化學生安全意識，落實

“12530”安全教育，某學校讓學生用這5個數字再加一個0來設定自己教室儲物柜密碼，若兩個0之間至少

有一個數字，且兩0不都在首末兩位，可以設置的密碼共有（）

A.72B.120C.216D.240

【答案】C

【解析】從左到右的6個位置分別為4瓦C,。,瓦尸，

若兩個0之間有一個數字，此時兩個0的位置有4c或3,。或C,E或尸四種情況，

在把剩余的4個數進行全排列，此時共有4A：=96種，

若兩個0之間有兩個數字，此時兩個0的位置有4。或及E或C,E三種情況，

剩余的4個數進行全排列，止匕時有3A：=72種，

若兩個0之間有三個數字，此時兩個0的位置有4E或民尸兩種情況，

剩余的4個數進行全排列，此時有2A：=48種，

綜上，可以設置的密碼共有96+72+48=216個.

故選：C

6.（2024屆遼寧省遼寧名校聯盟（東北三省聯考）高三3月模擬預測數學試題）某表彰會上3名男同學和

4名女同學從左至右排成一排上臺領獎，則女生甲與女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰的排法種數為（）

A.194B.240C.388D.480

【答案】D

【解析】因為女生甲與女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰，

則捆綁起來算作兩個元素，與3名男同學構成5個元素，

則排法共有：A；-A>A；=480種，

故選：D

7.（FHsxl225yli68）某團支部進行換屆選舉，從甲、乙、丙、丁四人中選出三人分別擔任書記、副書記、

組織委員，規定上屆任職的甲、乙、丙三人不能連任原職，則不同的任職方案有（）

A.10種B.11種

C.12種D.13種

【答案】B

【解析】解析：當丁不入選時，由甲、乙、丙三人任職，甲有兩種選擇，余下的乙和丙只有一種選擇；當

丁入選時，有三種結果，丁擔任三個人中沒有入選的人的職務時，只有一種結果，丁擔任入選的兩個人的

職務時，有兩種結果，共有3X（2+1）=9（種）任職方案.綜上可知，共有9+2=11（種）任職方案.

8.（湖南省邵陽市2024屆高三第二次聯考數學試題）某市舉行鄉村振興匯報會，六個獲獎單位的負責人甲

、乙、丙等六人分別上臺發言，其中負責人甲、乙發言順序必須相鄰，丙不能在第一個與最后一個發言，則不

同的安排方法共有（）

A.240種B.120種C.156種D.144種

【答案】D

【解析】將將甲乙捆綁看做一個元素，由丙不能在第一個與最后一個發言，

則丙的位置有3個，將剩余4個元素再排序有A：A；=48種方法，

故不同的安排方法共有3x48=144種.

故選：D.

9.（浙江省強基聯盟2024屆高三學期3月聯考數學試題）現有一項需要用時兩天的活動，要從5人中安排

2人參加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（）

A.20種B.10種C.8種D.6種

【答案】D

【解析】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動，有A；=6種方法.

故選：D

10.（內蒙古呼和浩特市2024屆高三第一次質量數據監測理科數學試卷）在寒假中，某小組成員去參加社

會實踐活動，已知該組成員有4個男生、2個女生，現將他們分配至兩個社區，保證每個社區有2個男生、1

個女生，則不同的分配方法有（）種.

A.6B.9C.12D.24

【答案】C

「2020If4

【解析】男生的分配方法有號A；,女生的分配方法有守A；,

「2r2

所以總的分配方法有卓A；吟1A；=12,

故選：C

11.（陜西省榆林市2023-2024學年高三第二次模擬檢測數學（理科）試題）甲、乙、丙、丁四人計劃一起去陜

西省榆林市旅游，他們從榆林古城、鎮北臺、紅石峽、榆林沙漠國家森林公園、紅堿淖、白云山、易馬城遺址這7

個景點中選4個游玩（按照游玩的順序，最先到達的稱為第一站，后面到達的依次稱為第二、三、四站），已

知他們第一站不去榆林沙漠國家森林公園，且第四站去紅堿淖或白云山，則他們這四站景點的選擇共有（）

A.180種B.200種C.240種D.300種

【答案】B

【解析】先考慮第四站，第四站去紅堿淖或白云山，故有C；種安排方法，

接著考慮第一站，去掉榆林沙漠國家森林公園以及第四站去的景點，有C；種選擇，

最后從剩下的景點中選擇任意兩個景點游玩有A；

故可得他們這四站景點的選擇共有C；C[A；=200種.

故選：B

12.（貴州省安順市2023-2024學年高三學期期末質量監測數學試題）安順市第三屆運動會于2023年11月

8日至11月10日在安順奧體中心舉行.某中學安排4位學生觀看足球、籃球、乒乓球三個項目比賽，若一

位同學只觀看一個項目，三個項目均有學生觀看，則不同的安排方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【解析】四位同學觀看三個項目比賽，由于一位同學只觀看一個項目，三個項目均有學生觀看，

根據題意，其中有兩人看一個項目，所以安排方案有C；A；=36種.

故選：C

13.（河南省濟洛平許2024屆高三第三次質量檢測數學試題）有5名志愿者去定點幫扶3位困難老人，若

要求每名志愿者都要幫扶且只幫扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法共有

（）

A.180種B.150種C.90種D.60種

【答案】C

【解析】由題意得，先將5名志愿者分成3組，只有2,2,1一種情況，

即生冬'=15種分組方法,

再將3組志愿者分配給3為位老人，則共有15A；=90種安排方法.

故選：C

14.（山東省淄博市2024屆高三學期一模考試數學試題）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常

數ea2.71828…的前6位數字2,7,1,8,2,8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰,且

相同數字之間有一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為（）

A.24B.16C.12D.10

【答案】B

【解析】若兩個2之間是8,則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；

828217；828271；782821；182827；178282；718282,共12種

若兩個2之間是I或7,則有272818；818272；212878；878212,共4種；

則總共有16種，

故選：B.

15.（四川省瀘州市2024屆高三第二次教學質量診斷性考試數學（理科）試題）某校安排高一年級（1）?

（4）班共4個班去A,B,C三個勞動教育基地進行社會實踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一

個班，則高（1）班被安排到A基地的排法總數為（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】依題意，若A基地只安排一個班，則有C；A；=6種安排方法；

若A基地安排兩個班，則有A；=6種安排方法；

綜上可得高（1）班被安排到A基地的排法總數為6+6=12種.

故選：B

16.（江蘇省南通市如皋市2024屆高三學期1月診斷測試數學試題）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲

車體較寬，停靠時需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰停放，則共有（）種停放方法.

A.72B.144C.108D.96

【答案】A

【解析】先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有3種停法，則乙車有2種停法，

除甲、乙外的其它三輛車共有A；種停法；

若貨車甲靠邊，共有2種停法，則乙車有3種停法，

除甲、乙外的其它三輛車的排法共有A；種，

故共有3x2xA；+2x3xA；=36+36=72種停放方法.

故選：A.

17.（湖北省襄陽市優質高中2023-2024學年高三學期2月聯考數學試卷）襄陽為“中國優秀旅游城市”，境

內生態環境優美，旅游資源十分豐富，景區景點給人以自然的美妙與人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨,

谷城蓬山，保康五道峽，棗陽白水寺、唐梓山風景區，襄州鹿門寺都是風景宜人的旅游勝地，一位同學計

劃在假期從上面7個景區中選擇3個游玩，其中香水河和五道峽最多只去一處，不考慮游玩的順序，則不

同的選擇方案數有（）

A.20B.30C.35D.40

【答案】B

【解析】因為香水河和五道峽最多只去一處，

故可分為兩種情況討論.

當香水河和五道峽只去一處時且不考慮游玩的順序，

則不同的選擇方案為C；C"

當香水河和五道峽一處也不去時且不考慮游玩的順序，

則不同的選擇方案為C；.

綜上：滿足題意的不同選擇方案數為C；C；+C；=30.

故選：B.

18.（廣東省佛山市順德區華僑中學2024屆高三學期港澳班2月開學考試數學試題）某人進行年度體檢，

有43,C,O,E五個檢查項目，為了體檢數據的準確性，/項目必須作為第一個項目完成，而2和C兩項不

連在一起接著檢查.則不同順序的檢查方案一共有（）

A.6種B.12種C.18種D.24種

【答案】B

【解析】依題意，將兩個項目全排列，有A；=2種情況，

再將用C兩個項目排在排列所形成的3個空位中，有A；=6種情況，

最后將A項目放在第一位，有1種情況，

所以共有2x6x1=12種情況.

故選：B.

19.（河南省中原名校2024屆高三學期3月聯考數學試題）已知現需派6名專員去/,B,C共3個單位進

行慰問，每個單位去兩人，其中專員甲不去/單位的派法種數為（）

A.30B.60C.120D.180

【答案】B

【解析】由題意先從瓦C這2個單位選一個派專員甲去，再從其余5人中選一人去甲所去的單位，

再將剩余4人平均分為2組，派去其余2個單位，

「2r2

共有C；C；.*.A"60（種）派法，

故選：B

二、填空題

20.（湖南省長沙市雅禮中學2024屆高三學期月考（七）數學試題）雅禮中學將5名學生志愿者分配到街

舞社、戲劇社、魔術社及動漫社4個社團參加志愿活動，每名志愿者只分配到1個社團、每個社團至少分配1

名志愿者，則不同的分配方案共有種

【答案】240

【解析】根據題意，分2步進行分析：

①將5名學生志愿者分為4組，有C；=10種分組方法，

②將分好的4組安排參加4個社團參加志愿活動，有A：=24種情況，

貝I］有10x24=240種分配方案.

故答案為：240.

21.（2024屆江西省九江市二模數學試題）為助力鄉村振興，九江市教科所計劃選派5名黨員教師前往5個

鄉村開展“五育”支教進鄉村黨建活動，每個鄉村有且只有1人，則甲不派往鄉村/的選派方法有種.

【答案】96

【解析】第一步，由于甲不派往鄉村4則N地有C；種選派方法，

第二步，其他4個鄉村有A：種選派方法，所以共有C；A：=96種選派方法.

故答案為：96.

22.（2024屆山西省高考一模數學試題）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學中考語文、數學、外語的成績如下表:

甲乙內T戊己

語文108110115110118107

數學110120112111100118

外語110100112114110113

將每人中考成績最高的科目認定為他的“最擅長科目”，例如甲的最擅長科目為數學和外語.現從這六位同學

中選出三人分別擔任語文、數學、外語三個科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每個科代表對應的科目

都是他的最擅長科目，則符合要求的安排方法共有種.

【答案】10

【解析】由表格可知：甲最擅長科目為數學和外語，乙為數學，丙為語文，丁為外語，

戊為語文，己為數學.

則語文可從丙、戊兩位同學選，數學可從甲乙己三位同學選，

外語可從甲丁兩位同學選，

若甲不為課代表，則只需選語文、數學科目代表即可，有C；C；=4種選法；

若甲為課代表，則①甲為數學課代表，只需選語文課代表即可，有C；=2選法；

②甲為外語課代表，只需選語文、數學課代表即可，有有C；C；=4種選法；

綜上所述，共有10種方案.

故答案為：10

23.（內蒙古赤峰市2024屆高三學期1.30模擬理科數學試題）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須

有人去，去幾人自行決定，共有種不同的去法.（用數字回答）

【答案】7

【解析】由題意，去1人有C；=3種去法，去2人有C；=3種去法，去3人有C；=l種去法，

所以共有3+3+1=7種不同的去法，

故答案為：7

24.（山東省濰坊市2024屆高三一模數學試題）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派5人參加連續6天的

志愿服務活動，其中甲連續參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種.（結果用數值表示）

【答案】120

【解析】在6天里，連續2天的情況，一共有5種，

則剩下的4人全排列有A：種排法，

故一共有5xA；=120種排法.

故答案為：120.

25.（專題10計數原理（解密講義））某校將8個足球賽志愿者名額分配到高一年級的四個班級，每班至少

一個名額，則不同的分配方法共有種（用數字作答）.

【答案】35

【解析】依題意，將8個名額排成一列，有7個間隔，

在這7個間隔中插入3個隔板，可將8個名額分成4組，依次對應4個班級，

所以有C；=35種分配方法.

故答案為：35

26.（上海市南洋模范中學2023-2024學年高三學期初態考試數學試卷）上海國際電影節影片展映期間，某

影院準備在周日的某放映廳安排放映4部電影，兩部紀錄片和兩部懸疑片，當天白天有5個時段可供放映

（5個連續的場次），則兩部懸疑片不相鄰（中間隔空場也叫不相鄰），且當天最先放映的一定是懸疑片的排

片方法有種（結果用數字表示）.

【答案】44

【解析】由題意當天最先放映的一定是懸疑片，若第一場是懸疑片，

從2個懸疑片中選1個安排到第一場有C；種排法，由兩部懸疑片不相鄰（中間隔空場也叫不相鄰），可以從

5個場次中的后3場選1場安排另一部懸疑片有C；種排法，

所以排懸疑片有C；C；種排法，兩部紀錄片排在剩下的3個位置，有A；種排法，

共有C；C；A；=36種；

若第一場為空場，則第二場從2個懸疑片中選1個安排有C；種排法，

從后2場選1場安排另一部懸疑片有C；種排法，

所以排懸疑片有C；C；種排法，兩部紀錄片排在剩下的2個位置，有A；種排法，

共有C；C；A；=8種；

所以符合題意的排法一共有36+8=44種排法.

故答案為：44

27.（寧夏回族自治區石嘴山市第三中學2024屆高三第一次模擬考試數學試題）某校需要大量志愿者協助

開展工作，學校現有3名男教師、3名女教師申請成為志愿者，若安排這6名志愿者到3個不同部門協助工

作，每個部門需要男女教師各1名，則不同的安排方式種數是種.（用數字作答）

【答案】36

【解析】先安排男教師、再安排女教師，各有A；中安排方式，

故不同的安排方式共有=36種.

故答案為：36.

28.（陜西省渭南市三賢中學2024屆高三學期名校學術聯盟高考模擬信息卷押題卷理科數學試題（一））琴、

棋、書、畫、詩、酒、花、茶被稱為中國傳統八雅.為弘揚中國傳統文化，某校決定從“八雅”中挑選“六雅”，

于某周末開展知識講座，每雅安排一節，連排六節.若“琴”“棋”“書”“畫”必選，且要求“琴”“棋”相鄰，“書”“畫”

相鄰，則不同的排課方法共種.（用數字作答）

【答案】576

【解析】先從詩、酒、花、茶中選出“兩雅"，有C；=6種選法，

然后將“琴”“棋”和“書”“畫”各看作一個整體，和選出的“兩雅”全排列，

故共有C；A；A：A：=576種排法，

故答案為：576

29.（專題10計數原理（解密講義））教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵

教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到43、。三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只

能去一個學校，不同的選派方法數有種（用數字作答）.

【答案】150

【解析】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，

第一類：各組人數分別為1,1,3,共有C；種分法；

第二類:各組人數分別為1,