第6講面積比分析

前言：除了三角形、四邊形面積計算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結論，且比求面積要復雜得多，

常見面積比處理策咯⑴計算；⑵轉化.

知識導航

化比例為計算

探究兩個三角形之間比例關系時，若已知其中一個面積，則可通過比值求出另一三角形面積，即可將比例問題

轉化為定值問題.

弓I例1：綜合與探究：如圖，拋物線yax2+bx+6經過點A(-2,0)、B(4,0)兩點與y軸交于點C,點D

是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為m(l<m<4).連接AC、BC、DB、DC.

⑴求拋物線的函數表達式；

(2)ABCD的面積等于△AOC的面積的|時，求m的值；

解析：(1)設解析式為交點式：y=a(x+2)(x-4),

展開得：y=ctx2—2ax—8a,

常數項對應相等，-8a=6,

解得：a=

4

???拋物線解析式為：y=-；%2+|%+6.

(2)考慮△AOC和小BCD在位置上無明顯關系，且^AOC是確定的三角形，可通過面積比推導△BCD的面積.

由題意得S40C=5*2x6=6,

過點D作DQLx軸交BC于點Q,

則SBCD=SCDQ+SBDQ=$08,DQ,

設點D坐標為(m，-+|m+6)

由題意得直線BC解析式為y=-1%+6,

???點Q坐標為(m，-|m+6)

37

DQ=--m+3m,

SBCD=j><4-(-|m2+3m)=1

解得:m1=l(舍),m2=3,

綜上，m的值為3.

2化面積比為線段比

化面積比為底邊比：SABD'ACD=BD:CD.

推廣：對于共邊的兩三角形△ABD和4ACD,連接BC交AD于點E,則SAABD:SAACD=BM:CN=BE:CE.

引例2：已知拋物線y=ax2+bx+3經過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內拋

物線上的動點.

⑴拋物線的解析式為拋物線的頂點坐標為；

(2)如圖，連接OP交BC于點D,當SCPD0PD=1：2時，請求出點D的坐標.

解析：(⑴y=-X2-2x+3;頂點坐標為(-1,4).

⑵根據SCPD：SBPD=1：2,可得CD:BD=1:2,

D點是線段BC靠近點C的三等分點，

又..項々,。)、C(0,3),

過點D作x軸的垂線構造相似，

可得D點坐標為(-1,2).

3構造相似轉化比例

在坐標系中，若三角形底或高與坐標軸不平行，可構造相似，將底或高之比轉化為與坐標軸平行線段的比值.

2+2x+c(a<0)

與x軸交于點A和點B(點A在原點的左側，點B在原點的右側)，與y軸交于點C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數解析式.

(2)如圖，連接BC,點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD、CD.0D交BC于點F,當SC0F:SCDF=3:2

時，求點D的坐標.

解析：⑴解析式：y=-久2+2%+3.

⑵考慮△COF和4CDF共高，將面積之比化為底邊之比.OF:DF=SC0F-.SCDF=3:2.

思路1:轉化底邊比為“A”字型線段比

在y軸上取點E(0,5),過點E作BC的平行線交x軸于G點，EG與拋物線交點即為所求D點,

根據平行線分線段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直線EG解析式為：y=-x+5,

與拋物線聯立方程，得：—/+2x+3=—%+5,

解得：%1=1,%2=2.

.?.D點坐標為(1,4)或(2,3).

思路2:轉化底邊比為“8”字型線段比

過點D作DG//y軸交BC邊于點G,則￡=號又0C=3,/.點G滿足DG=2即可.設出點D坐標可解.答案

同思路1.

弓例4:如圖.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3以點C為圓心作。C與直線BD相切，點P是。C上一個動點，

連接AP交BD于點T,則空的最大值是______.

；?當PN最大時，得的值最大.如

圖，當PN過點C時，PN取到最大值2x￡=k

此時上="=2,絲=3,

ATAM1AT

.?寫的最大值為3.

真題演練

1.把兩個含30。角的直角三角板按如圖所示拼接在一起點E為AD的中點連結BE交AC于點F.則蕓=

2.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O,ZABC=ZDAC=90°,tanZACB=B-D=&則皿=

203SCBD

3.如圖，拋物線.y=ax2+bx{aH0)過點4(,，-3)和點B(3臼，0)..過點A作直線AC〃x軸，交y軸于點

(1)求拋物線的解析式；

⑵拋物線上是否存在點Q，使得S40c=^SAOQ?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

4.如圖拋物線經y=ax2+bx+c過點A(-l,0)、點C(0,3),且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸；

(2)點P在拋物線上，連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分，求點P的坐標.

5.在平面直角坐標系中，過點A

(3,4)的拋物線y=a久2+6%+4與x軸交于點B(-1,O),與y軸交于點C,過點A作ADLx軸于點D.

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖，點P是直線AB上方拋物線上的一個動點,連接PD交AB于點Q,連接AP,當SAQD=ZS叱Q時,

求點P的坐標.

6.如圖，拋物線y=ax2-3ax-4a的圖像經過點C(0,2),交x軸于點A、B(點A在點B左側)，連接BC,直

線y=kx+l(k>0)與y軸交于點D,與BC上方的拋物線交于點E,與BC交于點F.

(1)求拋物線的解析式及點A、B的坐標；

(2)黑是否存在最大值？若存在，請求出其最大值及此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.

DF

7在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a/+版+。與x軸交于A(-l,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C(0,

-2).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖1,點D為第四象限拋物線上一點，連接AD,BC交于點E,連接BD,記4BDE的面積為Sx,AABE

的面積為S2,求金的最大值.

8.在平面直角坐標系中，拋物線丫=a/+次+。過點人(-1,0).B(3,0),與y軸交于點C,連接AC、BC,

將△OBC沿BC所在的直線翻折，得到△DBC,連接OD.

(1)用含a的代數式表示點C的坐標.

⑵設AOB。的面積為SM04C的面積為S2,若||=|,求a的值

9.如圖，二次函數y^-x2+bx+3的圖像與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,點A的坐標為(-1,0),點D

為OC的中點點P在拋物線上.

(1)b=;

(2)若點P的橫坐標小于3,過點P作PQ1BD,垂足為Q,直線PQ與x軸交于點R,且.SPQB=2SQRB，求

點P的坐標.

10.如圖,已知二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標為(5,0),點D的坐標為(1,

3).

(1)求該二次函數的表達式；

(2)試問在該二次函數圖像上是否存在點G，使得△ADG的面積是4BDG的面積的|?若存在，求出點G的

坐標；若不存在，請說明理由.

第6講面積比分析

解析：分別過點B、E作BM、ENXAC,設CD=2a,

貝！IAC=2V3a,BC=V3a,EN=a,BM=ma,CM=ga,

*MN*a,易證BMF,ENF?翳NE2

MB3

?4F—ga+如a?—逋a竺一整—三即

1

-VJa+2a5-5a”?.2b-5'即AC~s

32

解析：過點B作BH±AC交AC于H點

則翳哪噎，又CH=2BH,BH=2AH,

.：AO=^BH,CO=^BH,.：S"BD_A03

ScBDCO32’

???比值為I

3.解析：⑴將A、B兩點坐標代入即可求得解析式：y=|久2一學久;

⑵取點M（0,9）,連接AM,則S40c=]SM°M，過點M作MN〃OA,與拋物線交點即為所求Q點.

由題意可知直線MN解析式：y=-V3x+9,

聯立方程：|x2=-V3x+9,

_

解得：%!=3V3,X2=2V3,

故Q點坐標為（3百,0）或（-2次,15）.

取點N(0,-9),過點N作OA的平行線，顯然與拋物線無交點，故這種情況不存在對應的點Q.

綜上所述，Q點坐標為(3遮,0)或(-2V3,15).

4.解析：⑴解析式為y=-x2+2x+3,對稱軸為直線x=l.

(2)連接CP,可將四邊形CBPA分為△CAP和4CBP.

即SCAP：SCBP=3:5或SCAP:SCBP=5:3.

考慮△CAP和4CBP共底邊CP,記CP與x軸交于點M廁SCAP-.SCBP=AM-.BM.

①AM:BM=5:3,點M坐標為(2,0),

根據C、M坐標求解直線CM解析式：y=-2x+3,聯立方程：+2%+3=—2x+3,解得：x[=0倍法=4.

故P點坐標為(4,-5).

②AM:BM=3:5,點M坐標為|(.0).

根據C、M坐標求解直線CM解析式為：y=-6x+3,聯立方程：一支,+2x+3=-6%+3,解得：打=0(舍)，%2

=8.故P點坐標為(8,-45).

綜上，P點坐標為(4,-5)或(8,-45).

5.解析：(1)拋物線解析式為y=-x2+3x+4

(2)轉化面積比為底邊比:Q：PQ=SAQD-.SAPQ=2：1,考慮P、Q均為動點，可轉化底邊之比為“A”字型線段比：

?；BD=4,...取E(-3,0)滿足BE=2,

過點E作AB平行線，由題意得解析式為：y=x+2,

聯立方程得：一/+3x+4=x+2,

解得：*1=1+V2,x2=1—V2,

代入得點P坐標為(1+V2-4+夜)或(1-V2-4-V2).

6.解析:⑴將點C(0,2)代入，得：—4a=2,a=—

...拋物線解析式為y=-|x2+|x+2,令一+|%+2=0,

導：=—1,乂2=4,

.?.點A坐標為(-1,0),點B坐標為(4,0);

(2)過點E作EHJ_x軸交BC于點H,則EH〃CD,

△CFDsaHFE,；.EF=HHD,：CD=1,二當EH最大時,一最大,設點E坐標為+^m+2),由

B、C坐標可得直線BC解析式為y=-1%+2,

點H坐標為(zn，-如+2),￡7/=-如2+2m,當m=2時，EH取到最大值2,(?,?的最大值為2此時點

E坐標為(2,3).

7.解析：⑴設拋物線解析式為y=a(x+l)(x-4),將點C(0,-2)代入得：a=*

拋物線的函數解析式為y=jx2-|x-2;

(2)由題意可得：=器過點D作DN±x軸交BC于點N,過點A作AM±x軸交BC延長線于點M,.\AM

S2AE

〃DN,???△AEMs/XDEN,???DEAE=DN,由題意得直線BC解析式為y=1—2,又點A坐標為(-1,0),?,?點M坐

標為(-1，-|)即AM=|,???若要.§1S2取到最大值，DN最大即可，設點D坐標為(6彳/_1nl-2)

則點N坐標為(加弓6-2),DN=-1m2+2m,當m=2時DN取到最大值2,??.興嘮=柴=4=1

\2/2SaAEAM±5

2

?1?SS的最大值是i

8.解析：⑴設解析式為y=a(x+l)(x-3),

化簡得y=ax2—2ax—3a,即c=-3a.；.C點坐標為(0,-3a).

(2)S2=|XXOXOC=10C過點D作DM_Lx軸交x軸于M點，S[=:xOBxDM=-DM,

若^=1，即迦=2,也=2,

$23Loc30C9

2

接下來的問題便是如何將DM與0C聯系起來？考慮對稱的性質，記AD與BC交于點E,E為0D中點且E為垂

足，過點E作ENLx軸交x軸于點N.

轉化DM:EN=?M,故"

BN=l，ON=/射影定理可求：EN=等

0C=9EN=6A/2,a=-2A/2.

9.解析：(1)將A(-1,0)代入得:b=2；

(2)SPQB=2SQRB轉化為PQ=2QR,但這里PQ與QR均不易表示，所以繼續轉化線段比.

過P點作PF±x軸，交BD于E點交x軸于F點

即gpE?爭F=2:3,

APF:PE=6:5,解得P點坐標為(2,3).

當P點在y軸左側時，同理，過點P作PMLx軸分別交x軸、BD延長線于M、N兩點，此時.

PR，32磊冷,券=專9M*PN=1:2,

綜上，P點坐標為(2,3)或

10解析：(1)設頂點式y=a{x-I)2+3,代點B(5,0),解得：a=-方故拋物線解析式為

1O

y=一2(x-1)2+3.

(2)當點G在x軸下方時，如圖所示，記DG與x軸交點為M點，化面積比為線段比：SADG:SBDG=AM-BM考

慮AM=8,當AM:BM=3:5時，M點坐標為(0,0)又D點坐標為(1,3),故直線DM解析式為：y=3x,

與拋物線聯立方程：-+竟+普=3%

loolo

解得.Xi=-15,x2=1(舍)

故第1個G點坐標為(-15,-45).

當點G在x軸上方時，如圖所示，此時△ADG和4BDG共底邊DG，但高并不易求，可用鉛垂法分別算兩三

角形面積.

過點G作x軸的垂線分別交AD、BD延長線于M、N兩點,SADG=1x4xGM2GM(A、D兩點之間水平

距離為4）,SBDG=^X4XGN=2GN（B、D兩點之間的水平距離為4）,SADG-.SBDG=3:5,即GM:GN=3:5,

設G點坐標為(加一看小+孤+1|),

AD解析式為：y=：x+：,BD解析式為：y=-|