鞍山二中2025年02月26日九年數學驗收一．選擇題（共10小題30分）1.稀土是鈧、釔、鑭系種元素總稱，素有“工業味精”之美譽，是我國重要的戰略礦產資源．年我國稀土勘探在四川涼山取得新突破，預期新增稀土資源量萬噸．將用科學記數法表示為（）A. B. C. D.2.魯班鎖起源于我國古代建筑中的卯結構．圖2是六根魯班鎖（圖1）中的一個構件，從前面看這個構件，可以得到的圖形是（）A. B.C. D.3.下列計算正確是（）A. B.C. D.4.在能源和環保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發展方向．下面關于新能源汽車新勢力品牌的圖標中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.5.在一個不透明的盒子中裝有個白球，其余為黃球，它們除顏色不同外，其余都相同，若從中隨機摸出一個球，顏色是白球的概率為，則黃球的個數是（）A. B. C. D.6.如圖，五線譜由等距離的五條平行橫線組成，現有一條截線與五線譜交于點，，．若線段，則線段的長為（）A. B.2 C.3 D.97.《算法統宗》中記載了這樣一個問題，其大意：個和尚分個饅頭，大和尚人分個饅頭，小和尚人分個饅頭．問大、小和尚各有多少人？設大和尚有人，小和尚有人，則可列方程組為（）A. B.C. D.8.在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，以原點為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，可以得到，則點的坐標為（）A B.或 C.或 D.9.如下圖左，在平面直角坐標系中，直線與x軸的夾角為，且點A坐標為，點B在x軸上方，設，那么點B的橫坐標為（）A. B. C. D.10.如圖，在長方形中，在線段上取一點M，使得，以點M為圓心，為半徑作弧，交于點N，分別以點A、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，連接、，若，則等于（）A. B. C. D.二．填空題（共5小題15分）11.已知關于x的一元二次方程的兩個實數根的平方和等于44，則m的值是_________12.如圖，已知中，，，，將繞點B順時針方向旋轉到的位置，連接，則的長為_________．13.如圖，正方形的邊長為6，邊，分別在軸、軸的正半軸上，頂點在第一象限內，反比例函數的圖象與正方形的兩邊，分別相交于點，．若的面積為10，則的值為______．14.如圖1，在正方形中，動點P以1cm/s的速度自D點出發沿方向運動至A點停止，動點Q以2cm/s的速度自A點出發沿折線運動至C點停止，若點P、Q同時出發運動了t秒，記的面積為，且S與t之間的函數關系的圖像如圖2所示，則圖像中m的值為_____cm2．15.如圖：在四邊形中，，，點在線段上移動，且，與相交于點，若，，與相交于點，三角形中，，則的正弦值為________．三．解答題（共8題）16.（1）計算：；（2）化簡求值：．17.如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸上，反比例函數的圖象經過點和點，且點為的中點．（1）求的值；（2）求的面積．18.某校為了解九年級學生對消防安全知識掌的情況，隨機抽取該校九年級部分學生進行測試，并對測試成績進行收集、整理、描述和分析（測試滿分為100分，學生測試成績x均為不小于60的整數，分為四個等級：，部分信息如下：信息一：信息二：學生成績在B等級的數據（單位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．請根據以上信息，解答下列問題：（1）求所抽取的學生成績為C等級的人數，并補全頻數分布直方圖；（2）求所抽取的學生成績的中位數；（3）該校九年級共有360名學生，若全年級學生都參加本次測試，請估計成績為A等級的人數．19.某村為了提高廣大農戶生活水平，經過市場調查，決定推廣種植某特色水果．該水果每千克成本為20元，每千克售價需超過成本，但不高于50元，某農戶日銷售量（千克）與售價（元/千克）之間存在一次函數關系，部分圖象如圖所示，設該水果的日銷售利潤為元．（1）分別求出與，與之間的函數解析式；（2）該農戶決定從每天的銷售利潤中拿出100元設立“救助基金”，以幫助其他鄰居共同致富，若捐款后該農戶的剩余利潤是900元，求此時水果的售價；（3）若該水果的日銷量不低于90千克，當售價單價定為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少元．20.小偉站在一個深為3米的泳池邊，他看到泳池內有一塊鵝卵石，據此他提出問題：鵝卵石的像到水面的距離是多少米？小偉利用光學知識和儀器測量數據解決問題，具體研究方案如下：問題鵝卵石的像到水面的距離工具紙、筆、計算器、測角儀等圖形說明根據實際問題畫出示意圖（如上圖），鵝卵石在C處，其像在G處，泳池深為，且，于點N，于點B，于點H，點G在上，A，B，G三點共線，通過查閱資料獲得．數據，．請你根據上述信息解決以下問題：（1）求的大小；（2）求鵝卵石的像G到水面的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，）21.如圖，在中，，點F在上，以為直徑的與邊相切于點D，與邊相交于點E，且，連接并延長交于點G，連接．（1）求證：是的切線；（2）若的長為，求圖中陰影部分的面積．22.實踐操作：（1）在矩形中，，，點在上，連接繞點順時針旋轉90度點的對應點恰好在上．求的值；（2）在矩形中，，，現將紙片折疊，點的對應點在上，折痕為（點、是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原，當點在上，點在上時（如圖②），求證：四邊形為菱形，并求當時的菱形的面積；拓展延伸：（3）在矩形中，，，現將紙片折疊，點的對應點，折痕為，點與點重合，點在直線上且，線段與射線交于點，射線與射線交于點．直接寫出線段的長度．23.定義：在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標等于它的橫坐標的三倍，則稱該點為“縱三倍點”．例如都是“縱三倍點”．（1）下列函數圖象上只有一個“縱三倍點”的是______；（填序號）①；②；③．（2）已知拋物線（均為常數）與直線只有一個交點，且該交點是“縱三倍點”，求拋物線的解析式；（3）若拋物線（是常數，）的圖象上有且只有一個“縱三倍點”，令，是否存在一個常數，使得當時，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

鞍山二中2025年02月26日九年數學驗收一．選擇題（共10小題30分）1.稀土是鈧、釔、鑭系種元素的總稱，素有“工業味精”之美譽，是我國重要的戰略礦產資源．年我國稀土勘探在四川涼山取得新突破，預期新增稀土資源量萬噸．將用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了科學記數法表示數，解題的關鍵是掌握科學記數法的表示方法．科學記數法的形式為，其中，為整數，的值與小數點移動的數位相同，據此即可求解．【詳解】解：，故選：D．2.魯班鎖起源于我國古代建筑中的卯結構．圖2是六根魯班鎖（圖1）中的一個構件，從前面看這個構件，可以得到的圖形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了從不同方向看幾何體．找到從前面看到的圖形即可．【詳解】解：從前面看這個構件，可以得到的圖形是，故選：C．3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了合并同類項、冪乘方、單項式的除法、同底數冪的乘法等知識．根據運算法則計算后即可得到答案．【詳解】A.，故選項錯誤，不符合題意；B.，故選項正確，符合題意；C.，故選項錯誤，不符合題意；D.，故選項錯誤，不符合題意；故選：B4.在能源和環保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發展方向．下面關于新能源汽車新勢力品牌的圖標中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義，一個圖形繞著某固定點旋轉后能夠與原來的圖形重合，則稱這個圖形是中心對稱圖形，這個固定點叫做對稱中心；尋找對稱中心是解題的關鍵；根據中心對稱的定義逐項判斷即可．【詳解】A．找不到一點旋轉后與原圖重合，不是中心對稱圖形，故該項符合題意；B．找不到一點旋轉后與原圖重合，不是中心對稱圖形，故該選項符合題意；C．可以找到一點旋轉后與原圖重合，是中心對稱圖形，故選項符合題意；D．找不到一點旋轉后與原圖重合，不是中心對稱圖形，故選不項符合題意；故選：C．5.在一個不透明的盒子中裝有個白球，其余為黃球，它們除顏色不同外，其余都相同，若從中隨機摸出一個球，顏色是白球的概率為，則黃球的個數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了根據概率公式計算概率，解分式方程等知識點，根據概率公式正確列出方程是解題的關鍵．根據“概率所求情況數與總情況數之比”，列方程求解即可．【詳解】解：設黃球的個數為個，根據題意可得：，解得：，經檢驗，是原分式方程的解，，即：黃球的個數是個，故選：C．6.如圖，五線譜由等距離的五條平行橫線組成，現有一條截線與五線譜交于點，，．若線段，則線段的長為（）A. B.2 C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據平行線分線段成比例可得，進而可求解，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．【詳解】五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成，，即：，解得：，故選C．7.《算法統宗》中記載了這樣一個問題，其大意是：個和尚分個饅頭，大和尚人分個饅頭，小和尚人分個饅頭．問大、小和尚各有多少人？設大和尚有人，小和尚有人，則可列方程組為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，理解題意，建立等量關系是解題關鍵．根據題意列方程組即可．【詳解】解：根據題意列方程組得，，故選：

A．8.在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，以原點為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，可以得到，則點的坐標為（）A. B.或 C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據位似圖形的性質：位似圖形對應點的坐標比等于位似比解答即可．本題考查了位似圖形的性質：位似圖形對應點的坐標比等于位似比，熟練運用位似圖形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵以點為位似中心，把縮小為原來的，點的坐標為，∴當在原點的同側時，點的坐標為，即點的坐標為，∴當在原點的兩側時，點的坐標為，即點的坐標為，∴點的坐標為或，故選．9.如下圖左，在平面直角坐標系中，直線與x軸的夾角為，且點A坐標為，點B在x軸上方，設，那么點B的橫坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質，三角形內角和定理，先求出，過點B作軸于C，則，進而可得，求出，據此可得答案．【詳解】解：∵點A坐標為，∴，如圖所示，過點B作軸于C，∵，∴，∴，∴，∴點B的橫坐標為，故選：D．10.如圖，在長方形中，在線段上取一點M，使得，以點M為圓心，為半徑作弧，交于點N，分別以點A、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，連接、，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的作圖及其性質、等腰三角形的性質與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．由長方形和可得，再根據作圖可得直線是線段的垂直平分線，得出的度數，再利用求出的度數，最后在利用三角形內角和定理即可解答．【詳解】解：如圖，連接，長方形，，，，是等腰直角三角形，，，由作圖可得，直線是線段垂直平分線，，，，，，，解得：，，，．故選：A．二．填空題（共5小題15分）11.已知關于x的一元二次方程的兩個實數根的平方和等于44，則m的值是_________【答案】1【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，若，為方程的兩個根，則，與系數的關系式：，．先根據根與系數的關系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根據根的判別式判斷即可．【詳解】解：設方程的兩個實數根為，，則，∴，令，即，解得：，∵方程有實數根，∴，即：，綜上所述：．故答案為：1．12.如圖，已知中，，，，將繞點B順時針方向旋轉到的位置，連接，則的長為_________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，添加適當輔助線構造等邊三角形是解題的關鍵．連接，由旋轉的性質可得，，，，進而可得是等邊三角形，于是可得，，則，即是直角三角形，由勾股定理可得，由此即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接，由旋轉的性質可得：，，，，是等邊三角形，，，，為直角三角形，由勾股定理可得：，故答案為：．13.如圖，正方形的邊長為6，邊，分別在軸、軸的正半軸上，頂點在第一象限內，反比例函數的圖象與正方形的兩邊，分別相交于點，．若的面積為10，則的值為______．【答案】24【解析】【分析】本題考查了正方形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．首先得到，設，，根據代入求解即可．【詳解】∵正方形的邊長為6，∴設，，∴，，，∵的面積為10，∴∴解得∵反比例函數的圖象在第一象限∴．故答案為：24．14.如圖1，在正方形中，動點P以1cm/s的速度自D點出發沿方向運動至A點停止，動點Q以2cm/s的速度自A點出發沿折線運動至C點停止，若點P、Q同時出發運動了t秒，記的面積為，且S與t之間的函數關系的圖像如圖2所示，則圖像中m的值為_____cm2．【答案】【解析】【分析】由圖1和圖2可知：動點P沿方向運動，動點Q沿方向運動，的面積逐漸變大，當動點Q運動到點B時，的面積逐漸最大，最大面積是，當動點Q沿方向運動，的面積逐漸變小，設正方形的邊長為acm，運動了t秒的面積最大，由題意可知：，得，，當時，，點Q在線段上，由三角形面積的求法，即可得答案．【詳解】解：由圖1和圖2可知：動點P沿方向運動，動點Q沿方向運動，的面積逐漸變大，當動點Q運動到點B時，的面積逐漸最大，最大面積是，當動點Q沿方向運動，的面積逐漸變小，設正方形的邊長為acm，運動了t秒的面積最大，由題意可知：，當，的面積最大，，，（舍去），，當時，，，可知點Q在線段上，，故答案為：1.2．【點睛】本題考查了正方形的性質，二次函數的應用，三角形的面積，解題的關鍵是求出的面積最大時，，判斷點Q在線段上．15.如圖：在四邊形中，，，點在線段上移動，且，與相交于點，若，，與相交于點，三角形中，，則的正弦值為________．【答案】或【解析】【分析】設，則，根據題意得出，則有，由得到，得出是等腰直角三角形，進而推出，得到，再利用三角形的內角和定理得出，得到，設，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的長，再利用勾股定理求出的長，最后根據正弦的定義即可解答．【詳解】解：，設，則，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，設，則，在中，，，解得：，；①當，即時，設，則，在中，，，解得：，，在中，；②當，即時，設，則，在中，，，解得：，，在中，；綜上所述，的正弦值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值、等腰三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定、勾股定理、一元二次方程的應用，熟練掌握相關知識點，結合題目條件找出圖中的等腰三角形是解題的關鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強的推理論證能力，適合有能力解決幾何難題的學生．三．解答題（共8題）16.（1）計算：；（2）化簡求值：．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題主要考查二次根式的化簡，負指數冪，零次冪，分式的混合運算，掌握二次根式的化簡，分式的混合運算法則是解題的關鍵．（1）化簡二次根式，負指數冪，零次冪，再根據加減法即可求解．（2）首先計算括號內的部分，并將除法轉化為乘法，然后根據分式乘法運算法則計算求解．【詳解】解：（1）；（2）．17.如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸上，反比例函數的圖象經過點和點，且點為的中點．（1）求的值；（2）求的面積．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）將代入得，，計算求解即可；（2）由題意知，點橫坐標為，則點橫坐標為，當，，可知，，根據，計算求解即可．【小問1詳解】解：將代入得，，解得；∴的值為12；【小問2詳解】解：由題意知，點橫坐標為，∴點橫坐標為，當，，∴，∴，∴，∴的面積為9．【點睛】本題考查了反比例函數解析式，反比例函數與幾何綜合．解題的關鍵在于求出坐標．18.某校為了解九年級學生對消防安全知識掌的情況，隨機抽取該校九年級部分學生進行測試，并對測試成績進行收集、整理、描述和分析（測試滿分為100分，學生測試成績x均為不小于60的整數，分為四個等級：，部分信息如下：信息一：信息二：學生成績在B等級的數據（單位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．請根據以上信息，解答下列問題：（1）求所抽取的學生成績為C等級的人數，并補全頻數分布直方圖；（2）求所抽取學生成績的中位數；（3）該校九年級共有360名學生，若全年級學生都參加本次測試，請估計成績為A等級的人數．【答案】（1）7，補全圖形見解析（2）85（3）120【解析】【分析】本題主要考查中位數以及用樣本估計總體，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．（1）根據B組的人數和占比求出抽取學生總數，即可求出C等級的人數，并補全頻數分布直方圖；（2）根據中位數定義求解即可；（3）先求出樣本中A等級人數的占比，再乘以360即可得出結論．【小問1詳解】解：（人）C等級的人數為：（人），補全條形統計圖如下：【小問2詳解】解：30個數據按大小順序排列，最中間的兩個是第15、16個，即84，85，所以，中位數是；【小問3詳解】解：（人），即估計成績為A等級的人數為120人．19.某村為了提高廣大農戶的生活水平，經過市場調查，決定推廣種植某特色水果．該水果每千克成本為20元，每千克售價需超過成本，但不高于50元，某農戶日銷售量（千克）與售價（元/千克）之間存在一次函數關系，部分圖象如圖所示，設該水果的日銷售利潤為元．（1）分別求出與，與之間的函數解析式；（2）該農戶決定從每天的銷售利潤中拿出100元設立“救助基金”，以幫助其他鄰居共同致富，若捐款后該農戶的剩余利潤是900元，求此時水果的售價；（3）若該水果的日銷量不低于90千克，當售價單價定為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少元．【答案】（1）；（2）該食品的售價為30元/千克（3）售價為35元時，每天獲利最大為1350元【解析】【分析】（1）設與的函數關系式為：，代入，，可求得和；根據利潤（售價進價）銷量，可表示出；（2）根據利潤（售價進價）銷量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售價的范圍是否滿足要求；（3）根據該水果的日銷量不低于90千克，可求得，由可知，該圖象開口向下，對稱軸為直線，從而判斷出時，有最大值，將代入，可求得答案．【小問1詳解】解：設與的函數關系式為：，把，代入得，解得，與函數關系式為：即【小問2詳解】解：由題意得，，整理得，解得，答：此時水果的售價為30元/千克；【小問3詳解】解：，解得，，，對稱軸為直線，∴該圖象開口向下，在時，隨的增大而增大，時，取最大值，此時（元），答：售價為35元時，每天獲利最大為1350元．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，二次函數與利潤問題，二次函數的最值問題，一元二次方程與利潤問題，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．20.小偉站在一個深為3米的泳池邊，他看到泳池內有一塊鵝卵石，據此他提出問題：鵝卵石的像到水面的距離是多少米？小偉利用光學知識和儀器測量數據解決問題，具體研究方案如下：問題鵝卵石的像到水面的距離工具紙、筆、計算器、測角儀等圖形說明根據實際問題畫出示意圖（如上圖），鵝卵石在C處，其像在G處，泳池深為，且，于點N，于點B，于點H，點G在上，A，B，G三點共線，通過查閱資料獲得．數據，．請你根據上述信息解決以下問題：（1）求的大小；（2）求鵝卵石的像G到水面的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：（1）根據，求出，然后結合即可求解；（2）先求出，在中，利用正切定義求出，在中，，利用正切定義求出即可．【小問1詳解】解：∵，∴，又，∴，又，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，在中，，在中，，∴．21.如圖，在中，，點F在上，以為直徑的與邊相切于點D，與邊相交于點E，且，連接并延長交于點G，連接．（1）求證：是的切線；（2）若的長為，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）陰影部分的面積為．【解析】【分析】（1）連接OD，由推出是等邊三角形，再利用全等三角形判定定理證明，得到，再根據切線的判定定理即可證明；（2）由的長計算出半徑，再根據含的直角三角形的性質求出的邊長，利用陰影部分面積的面積扇形的面積，計算即可得到答案．【小問1詳解】證明：如圖，連接OD，與相切于點D，，，，，，，，，，又，是等邊三角形，，，，，，，，，，是的切線．【小問2詳解】的長為，，，，，，，，，陰影部分的面積為．【點睛】本題考查的是切線的判定與性質、扇形面積計算、等邊三角形的判定和性質、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性質，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑、扇形面積公式是解題的關鍵．22.實踐操作：（1）在矩形中，，，點在上，連接繞點順時針旋轉90度點的對應點恰好在上．求的值；（2）在矩形中，，，現將紙片折疊，點的對應點在上，折痕為（點、是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原，當點在上，點在上時（如圖②），求證：四邊形為菱形，并求當時的菱形的面積；拓展延伸：（3）在矩形中，，，現將紙片折疊，點的對應點，折痕為，點與點重合，點在直線上且，線段與射線交于點，射線與射線交于點．直接寫出線段的長度．【答案】（1）；（2）證明見解析，菱形的面積為；（3）線段的長度為或【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，矩形與折疊，旋轉的性質，勾股定理等知識點；（1）由矩形和旋轉可證明，，，求出，再利用勾股定理計算的長度即可；（2）由折疊可得垂直平分，得到，，，再證