專題05一元一次方程的解法

嫌內容早知道

今第一層鞏固提升練（9大題型）

目錄

題型一等式的基本性質..........................................................................1

題型二一元一次方程的定義.....................................................................2

題型三已知方程的解求字母或代數式的值.........................................................4

題型四解一元一次方程..........................................................................5

題型五解一元一次方程錯解復原問題.............................................................7

題型六已知含參數一元一次方程的解為整數解求參數的值.........................................10

題型七已知含參數一元一次方程的解求另一元一次方程的解.......................................11

題型八一元一次方程中與運算有關的新定義型問題...............................................14

題型九解一元一次方程中的新定義型拓展問題...................................................15

。第二層能力提升練

臺第三層拓展突破練

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題型一等式的基本性質

☆技巧積累與運用

等式的性質1等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數或式，所得結果仍是等式。

字母表達式為：如果a=6,那么a土c=6土c.

等式的性質2等式的兩邊都乘或都除以同一個數或式（除數不能為零），所得結果仍是等式。

字母表達式為：如果。=6,那么ac=6c,或區=2（＜;/0）.

CC

等式的傳遞性如果a=6、b=c,那么a=c。

例題:（23-24七年級上?廣西百色?期末）下列等式變形正確的是（）

A,若a=6,貝i|a+3=6+2B.若苫=了，貝！|x-2=2-y

若r=R,貝lj=2乃RD.若a=b,則色=2

C.

【答案】C

【知識點】等式的性質

【分析】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的基本性質是解題的關鍵.根據等式的基本性質判斷即可.

【詳解】解：A.若4=b,則a+3=6+3,故/不符合題意；

B.若％=九則x-2=y-2,故8不符合題意；

C.若廠=R,貝1]2"=2萬/?,故C符合題意；

D.若。=6,且c/0,則3=2,故。不符合題意；

CC

故選：C

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?貴州黔東南?期末）下列變形正確的是（）

ab

A.若。=b—1,貝！J〃一l=bB.若一=一，貝！=J

1y

Yx

C.若±1X=3,則x=±3D.若3+1=3-土，則x+l=6-x

2222

【答案】D

【知識點】等式的性質

【分析】本題考查等式的基本性質，利用等式的基本性質逐項驗證即可得到答案，熟練掌握等式的基本性

質是解決問題的關鍵.

【詳解】解：4、若。=6-1,貝3+1=6,選項中的變形錯誤，不符合題意；

B、若色=2,則改=砂，選項中的變形錯誤，不符合題意；

xy

C、若gx=3,則尤=6,選項中的變形錯誤，不符合題意；

x

D、若JY--I-1=3-：，則x+l=6-x,選項中的變形正確，符合題意；

22

故選：D.

2.（23-24七年級上?安徽阜陽?期末）下列說法正確的是（）

A.若/=〃，貝丘二方B.若◎=即，則"一1=0+1

C.若a=b,則,,二:'D.若x=y,則土=上

【答案】C

【知識點】等式的性質

【分析】本題考查等式的性質，根據等式的性質，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：/、若/=〃，則或。=_人，原說法錯誤，不符合題意；

B、若◎=即，則"原說法錯誤，不符合題意；

C、若。=6,因為蘇+i>o,則，=原說法正確，符合題意；

D、若'=y，且機*0,則二=上,原說法錯誤，不符合題意；

mm

故選c.

題型二一元一次方程的定義

☆技巧積累與運用

一元一次方程定義：只含有一個未知數，未知數的次數都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次

方程。

細節剖析：判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：

①只含有一個未知數,未知數的次數為1;②未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數.

例題：（23-24六年級下?上海嘉定?期末）下列式子屬于一元一次方程的是（）

A.x-5x=UB.3x-5=yC.x2-4=0D.->\

【答案】/

【知識點】一元一次方程的定義

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數，且未知數的次數為1的整式方程叫做

一元一次方程，據此求解即可.

【詳解】解：/、x-5x=ll是一元一次方程，符合題意；

B、3x-5=y含有兩個未知數，不是一元一次方程，不符合題意；

C、，-4=0未知數的次數不是1,不是一元一次方程，不符合題意；

。、不是方程，不是一元一次方程，不符合題意；

故選：A.

【變式訓練】

1Y

1.（23-24七年級上?廣東汕頭?期末）已知下列方程：①x-2=—；②0.2x=l；③；=x-3；@x-y=6.

x3

⑤x=0,其中一元一次方程有（）

2個氏3個C.4個D5個

【答案】B

【知識點】一元一次方程的定義

【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數，且未知數的指數是1,一次項系數

不是0,這是這類題目考查的重點.只含有一個未知數（元），并且未知數的指數是1（次）的方程叫做一元

一次方程.它的一般形式是ax+b=0（。，b是常數且。/0）.

【詳解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程；

②0.2x=1是一元一次方程；

③：=是一元一次方程；

④x->=6,函數2個未知數，不是一元一次方程；

⑤x=0是一元一次方程.

一元一次方程有：②③⑤共3個.

故選：B

2.（23-24七年級上?湖南長沙,期末）已知（加-1時4-3=0是關于x的一元一次方程，則加的值為一.

【答案】-1

【知識點】一元一次方程的定義

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，根據一元一次方程的定義列出關于加的方程求解即可得出

答案.

【詳解】解：?.?（〃/-1）--3=0是關于x的一元一次方程，

7〃-1R0且同=1,

解得：m=—l,

故答案為：-1.

題型三已知方程的解求字母或代數式的值

☆技巧積累與運用

一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根

例題：（23-24七年級上?浙江金華?期末）已知x=3是方程辦-2=-a+6的解，則。=.

【答案】2

【知識點】方程的解

【分析】本題考查了方程解的定義，使方程的左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解.

將尤=3代入原方程，可得出關于。的一元一次方程，解之即可得出a的值.

【詳解】解：將x=3代入原方程得3a-2=-a+6,

解得：a-2,

■?■a的值為2.

故答案為：2.

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?河南洛陽?期末）已知x=2是關于x的一元一次方程2x+優-5=0的解，則%-3=.

【答案】-2

【知識點】方程的解、已知字母的值，求代數式的值

【分析】本題考查了一元一次方程的解，先把尤=2代入2x+"?-5=0,解得〃?的值，即可作答.

【詳解】解：???xn2是關于x的一元一次方程2X+〃L5=0的解，

二把元=2代入2x+m-5-0

得2x2+m-5=0

解得m=1

???加一3=1-3=-2

故答案為：-2

2.(23-24七年級上?江蘇徐州?期末)若x=0.5是關于x的方程2"-36-5=0的解，則代數式

3。-9b-10=?

【答案】5

【知識點】已知式子的值，求代數式的值、方程的解

【分析】本題考查一元一次方程，解題的關鍵是正確理解一元一次方程的解的概念，本題屬于基礎題型.將

x=0.5代入原方程即可求出a-3b=5,然后將其整體代入求值.

【詳解】解：將x=0.5代入原方程可得：。-36=5,

.-.3fl-%-10=3(a-36)-10=15-10=5,

故答案為：5

題型四解一元一次方程

☆技巧積累與運用

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數.

(2)去括號：依據乘法分配律和去括號法則，先去小括號,再去中括號,最后去大括號.

(3)移項：把含有未知數的項移到方程一邊，常數項移到方程另一邊.

⑷合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數的項及賞數項，把方程化為》=6(aW0)的形式.

(5)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數得到方程的解x=2QW0).

a

⑹檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解；若方程左右兩邊的值丕

相等，則不是方程的解.

例題：(24-25七年級上.全國.期末)解方程：————

⑴5尤一6=3(龍一4)+2；⑵=2

【答案】⑴x=-2

(2)x=-13

【知識點】解一元一次方程(二)一一去括號、解一元一次方程(三)一一去分母、解一元一次方程(一)

一一合并同類項與移項

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵.

(1)根據解一元一次方程的步驟：去括號、移項、合并同類項、系數化為1,即可求出答案；

(2)根據解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,即可求出答案.

【詳解】(1)解：去括號，得5x-6=3x-12+2,

移項，得5x-3x=-12+2+6，

合并同類項，得2x=-4,

系數化為1,得x=-2；

（2）去分母，得4（2x-l）-3（3為-5）=24,

去括號，得8x-4-9x+15=24,

移項，合并同類項，得-x=13,

系數化為1,得x=-13.

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?貴州遵義期末）解下列方程:

⑴3x-4=4x+5；

,、2x-l_2x+l

2------+2=--------.

36

【答案］⑴》=-9

9

⑵「

【知識點】解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】本題主要考查解一元一次方程，解題的關鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、

移項、合并同類項、系數化為1.

（1）方程移項合并，把x系數化為1,即可求出解；

（2）方程去分母，去括號，移項合并，把x系數化為1,即可求出解；

【詳解】（1）解:3x-4=4x+5

移項，合并同類項得，-x=9

系數化為1得，x=-9；

2x-l、2x+l

(2)解:-------+2=--------

36

去分母得,2（2x—l）+12=2x+l

去括號得，4x-2+12=2x+l

移項，合并同類項得，2x=-9

系數化為1得，x=

2.（22-23七年級上?北京西城?期末）解方程:

（1）7%—20=2（3-3x）；

2x-33x-l

(2)+1.

52

【答案】⑴x=2

（2）x=-l

【知識點】解一元一次方程（二）一一去括號、解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）

——合并同類項與移項

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解此題的關鍵.

（1）先去括號，再移項、合并同類項，最后系數化為1即可得出答案；

（2）先去分母，再去括號、移項、合并同類項，最后系數化為1即可得出答案.

【詳解】（1）解：去括號得：7x-20=6-6x,

移項得：7x+6x=6+20,

合并同類項得：13x=26,

系數化為1得：x=2；

（2）解：去分母得：2（2x-3）=5（3x-l）+10,

去括號得：4x-6=15x-5+10,

移項得：4x-15x=-5+10+6,

合并同類項得：-Hx=ll,

系數化為1得：x=-L

題型五解一元一次方程錯解復原問題

☆技巧積累與運用

解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數.

（2）去括號：依據乘法分配律和去括號法則，先去小括號,再去中括號,最后去大括號.

（3）移項：把含有未知數的項移到方程一邊，常數項移到方程另一邊.

⑷合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數的項及常數項,把方程化為辦=6（aW0）的形式.

（5）系數化為1：方程兩邊同除以耒細數的系數得到方程的解x=2QWO）.

a

⑹檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解；若方程左右兩邊的值丕

相等，則不是方程的解.

例題：（23-24七年級上?河南鄭州?期末）下面是小穎解方程f=1的過程：

解:,得4（2x-l）=3（x+2）-12（第一步）

去括號，得8x-4=3x+6-12（第二步）

移項，得8x-3x=6-12-4（第三步）

合并同類項，得5x=T0（第四步）

方程兩邊同除以5,得x=-2（第五步）

請認真閱讀上面的過程，解答下列問題：

⑴以上求解步驟中，第一步進行的是，這一步的依據是；

⑵以上求解步驟中，第步開始出現錯誤；

⑶請寫出正確的解方程過程.

【答案】⑴去分母；等式兩邊同時乘同一個數，所得結果仍是等式

⑵三

2

(3)x=--,過程見解析

【知識點】解一元一次方程(三)一一去分母

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，等式的基本性質是解題的關鍵.

(1)根據等式的基本性質解答即可；

(2)根據解一元一次方程的步驟解答即可；

(3)按照解一元一次方程的步驟進行計算即可.

【詳解】(1)解：以上求解步驟中，第一步進行的是去分母，這一步的依據是等式兩邊同時乘同一個數,

所得結果仍是等式

故答案為：去分母；等式兩邊同時乘同一個數，所得結果仍是等式；

(2)解：以上求解步驟中，第三步開始出現錯誤；

故答案為：三；

(3)解:去分母,得4(2x-l)=3(x+2)-12,

去括號，得8x-4=3x+6-12,

移項，得8x-3x=6-12+4,

合并同類項，得5x=-2,

系數化為1,得工=-(.

【變式訓練】

1.(23-24七年級下?吉林長春?期末)下面是小明同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

解方程：:-與=1

2o

解：，得3x-(x-2)=6第一步

去括號，得3x-x+2=6第二步

移項，得3x-x=6+2第三步

合并同類項，得2x=8第四步

方程兩邊同除以2,得x=4第五步

⑴以上求解步驟中，第一步進行的是；

⑵以上求解步驟中，第步開始出現錯誤；

⑶請寫出正確解方程的過程.

【答案】⑴去分母

⑵三

⑶見解析

【知識點】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，等式的基本性質是解題的關鍵.

（1）根據解一元一次方程的步驟解答即可；

（2）根據解一元一次方程的步驟解答即可；

（3）按照解一元一次方程的步驟進行計算即可.

【詳解】（1）解：以上求解步驟中，第一步進行的是去分母，

故答案為：去分母；

（2）解：以上求解步驟中，第三步開始出現錯誤，具體的錯誤是移項時沒有變號，

故答案為：三；

（3）解：3-丫=1

兩邊同乘6得：3x-（x-2）=6￡［，

去括號得：3x-x+2=6,

移項得：3x-x=6-2,

合并同類項得：2x=4,

兩邊同除以2,得x=2.

2.（23-24七年級上?貴州黔南?期末）下面是小紅解一元一次方程三匚=牛-2的主要過程，請仔細閱讀小

紅的解題過程，

解決下列問題.

解:去分母,得：3（x-7）=2（l+x）-2.①

去括號，得3x-21=2+2x-2.②

移項，得3x-2x=2-2+21.③

合并同類項，得x=21.④

⑴小紅在以上解方程過程中，從第步開始出現錯誤，出現的錯誤是.

⑵請寫出正確的解答過程.

【答案】（1）①；漏乘常數項

⑵見解析

【知識點】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本題考查了去分母解一元一次方程

（1）根據解方程的基本步驟，觀察解答即可.

（2）利用去分母法解方程即可.

【詳解】（1）根據解題步驟，得到第①步錯誤；主要錯誤是漏乘常數項，

故答案為：①；漏乘常數項.

去分母，得3（x-7）=2（l+無）-12,

去括號，得3x-21=2+2x-12,

移項，得3x-2x=2-12+21,

合并同類項，得x=U.

題型六已知含參數一元一次方程的解為整數解求參數的值

☆技巧積累與運用

解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母⑵去括號⑶移項⑷合并（5）系數化為1（6）檢驗.

例題：（23-24七年級上?重慶九龍坡?期末）已知關于x的方程苫-與竺=鼻-1有負整數解，則所有滿足條

件的整數a的值之和為.

【答案】-5

【知識點】一元一次方程解的綜合應用、方程的解

【分析】本題考查一元一次方程的特殊解問題，先解方程，再根據負整數解求解即可得到答案；

【詳解】解：解方程=得，

???方程有負整數解，

3+2a等于-1或-2或-3或-6,

59

解得：a=-2或一；或一3或°=一彳，

22

,:a是整數，

.??滿足條件的整數a的值之和為：-2+（-3）=-5,

故答案為：-5.

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?廣東廣州?期末）已知關于x的方程2X-6=-MX（加為正整數）有整數解，則加的值

為_____

【答案】1或4

【知識點】一元一次方程解的綜合應用、方程的解

【分析】本題考查一元一次方程的整數解問題，先解方程根據解是整數求解即可得到答案;

【詳解】解：解方程得，

6

，

x=32Z+m

?.?方程2x-6=-〃zx(加為正整數)有整數解，

.?.2+%是6的因數，

???m=1或4,

故答案為：1或4.

2.(23-24七年級上?江蘇揚州?期末)若關于x的方程2G=(a+l)x+6的解為正整數，整數。的值是.

【答案】2或3或4或7

【知識點】解一元一次方程(二)一一去括號

【分析】首先解方程表示出x的值，然后根據解為正整數求解即可.本題主要考查方程的解和解一元一次方

程，解題的關鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.

【詳解】解：2ax=(a+l)x+6,

移項得：2ox-(a+l)x=6,

合并同類項得：("l)x=6,

系數化為1得：X=

???關于X的方程2ax=(a+l)x+6的解為正整數，

...》=二為正整數，

a-v

。一1=1或。-1=2或q-l=3或〃-1=6

。=2或。=3或。=4或Q=7.

故答案為：2或3或4或7

犀型七已知含參數一元一次方程的解求另一元一次方程的解

☆技巧積累與運用

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母⑵去括號⑶移項⑷合并(5)系數化為1(6)檢驗.

Y

例題：(23-24七年級上?浙江嘉興?期末)已知。為實數，關于1的方程+的解為％=5,則關

2024

于y的方程^1+0+4048=2024y的解為y=____.

2024

【答案】7

【知識點】方程的解

【分析】本題考查了一元一次方程的解，正確掌握轉化思想是解題的關鍵.兩個方程形式相似，第一個方

程3+”2024x的解為x=5,則第二個方程中歹-2與％對應，可得歹—2=5,可得結果?

2024

【詳解】解：關于X的方程z三+a=2024x的解為X=5,

2024

v—2

則—+Q+4048=2024y

2024

+a=2024y-4048=2024（y-2）,

J-2=5,

"=7.

故答案為7

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?江蘇南通?期末）若關于x的一元一次方程2笠0231x+加=2x-4的解為x=-4,則關于V

2024

的一元一次方程曷（5-#-機=14-2y解為了=.

【答案】1

【知識點】方程的解

【分析】本題考查了一元一次方程的解，將一元一次方程W（5-y）-"z=14-2y變形可得歹-5=-4是方

2024'/

程施什-5）+加=2（y-5）-4的解，即可得出答案，解題的關鍵是得出＞-5=-4是方程

竭（了一5）+加=2（廣5）-4的解.

【詳解】解：將一元一次方程而j（5-田-〃?=14-2了變形得：（y_5）+a=2（y-5）-4,

???關于x的一元一次方程20嬴23x+加=2x-4的解為x=-4,

??.y_5=_4是方程髭（y_5）+m=2（y_5）_4的解，

解得：＞=1，

故答案為：1.

2.（23-24七年級上?湖南長沙?期末）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為2,我們就稱這兩個方程為“成

雙方程”.例如：方程2x-1=2和21=0為"成雙方程

⑴請判斷方程4x-（尤+5）=1與方程-21-＞=3是否互為"成雙方程"；

Y

⑵若關于X的方程2+加=0與方程3X-2=X+4互為"成雙方程"，求加的值；

⑶若關于x的方程焉xT=0與焉x+l=3x+k互為"成雙方程"，求關于》的方程

貴(y+2)+l=3y+左+6的解.

【答案】⑴不是互為"成雙方程"，理由見解析：

⑶>=-2024.

【知識點】方程的解、解一元一次方程(三)一一去分母、一元一次方程解的綜合應用

【分析】本題考查方程的解，解一元一次方程.掌握“成雙方程"的定義，是解題的關鍵.

(1)求出兩個方程的解，再根據"成雙方程”的定義，進行判斷即可；

(2)求出兩個方程的解，再根據"成雙方程”的定義，列出關于〃?的方程，進行求解即可；

(3)先求出焉x-l=0的解，根據"成雙方程”的定義，得到焉x+l=3x+左的解，進而得到

上71V+2)+1=3y+左+6中y+2的值，進一步求解即可.

2024

【詳解】(1)解：方程4x-(x+5)=l與方程-2y-y=3不是互為“成雙方程〃；

解4x-(x+5)=l,得：x=2；

解-2歹一尸3,得：歹=-1,

???2—l=lw2,

故方程4》-(》+5)=1與方程-2'-〉=3不是互為"成雙方程"；

V

(2)+m=0,

2

???x=-2m,

3x-2=x+4,

x-3,

Y

???方程7+m=o與方程3x-2=x+4互為”成雙方程〃，

2

???3-2m=2,

1

2

???x=2024,

「方程高無-1=0與焉X+1=3x+上互為"成雙方程”,

20242024

x+l=3x+k的解為2-2024=-2022,

2024

?.?^^(>+2)+1=3>+左+6=3(>+2)+左,

y+2=—2022,

.?)=—2024.

題型八一元一次方程中與運算有關的新定義型問題

☆技巧積累與運用

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母⑵去括號⑶移項⑷合并(5)系數化為1(6)檢驗.

例題：(23-24七年級上?寧夏銀川?期末)定義一種新運算"°食，”的含義為：a^b=-2a+b.例如：

3^(-4)=-2x3+(-4)=-10,若(3x-7)^(3-2x)=2,則x的值為.

【答案】v

O

【知識點】一元一次方程解的綜合應用

【分析】已知等式利用題中新定義化簡，整理即可求出X的值.

本題考查新定義運算及解一元一次方程算，解題關鍵是弄清題中的新定義.

【詳解】解：5☆6=-2。+6,

(3x-7悶3-2x)=-2(3x-7)+(3-2x)=2,

整理得：-6x+14+3-2x=2,

解得：x=

O

故答案為：--.

O

【變式訓練】

加+〃(加之0)

；■\若工※(-8)=5,貝！Jx=_

(m-n(m<0)一

【答案】13或-3

【知識點】一元一次方程解的綜合應用

【分析】本題主要考查了在新定義下解一元一次方程，根據新定義分情況：當xNO和x<0時解題即可求出

x值.

【詳解】當時，無※(-8)=》+(-8)=5,

解得：x=13,

當無<0時，x※(-8)=x-(-8)=5,

解得：x=-3.

故答案為：13或-3.

2.(23-24七年級上?貴州畢節,期末)對于任意有理數a,b,定義一種新運算:a*b——a+—,等式右邊是

b

通常的加法、減法運算，如：2*；=-2+3=1.

⑴求(-3)*2的值；

⑵若(2勿)*1=機*5,求機的值.

7

【答案】⑴]

(2)?

【知識點】倒數、一元一次方程解的綜合應用

【分析】本題考查了有理數的混合運算，解題關鍵在于理解新定義.

(1)根據新定義進行計算，一個變負數，一個變倒數計算即可，

(2)首先根據新定義分別表示出等號兩邊的，然后在求出m即可；

【詳解】(1),?*b=—a+—

（2）（2m）*l=-（2m）+l=l-2m,m*5=-m+,

1cI

/.I—2m=—m+—

5

4

:.m=—.

5

題型九解一元一次方程中的新定義型拓展問題

☆技巧積累與運用

解一元一次方程的一般步驟：

(I)去分母⑵去括號⑶移項(4)合并(5)系數化為I(6)檢驗.

例題：(23-24七年級上?湖北孝感?期末)定義：如果兩個一元一次方程的解之和為2,我們就稱這兩個方程

為”和諧方程〃.例如：方程2x—7=3和x+3=0為〃和諧方程〃.

⑴方程3x-(x+5)=l與方程尸2歹=1是，，和諧方程〃嗎？請說明理由；

Y

⑵若關于X的方程3x-4=x+6與方程彳+加=0是"和諧方程”，求加的值；

⑶若關于X方程2x-〃+3=0與x+5〃-l=0是"和諧方程"，求〃的值.

【答案】(1)是“和諧方程"，理由見解析

3

(2)^=-

⑶〃=1

【知識點】解一元一次方程(二)一一去括號

【分析】本題以新定義題型為背景，考查了一元一次方程的求解，熟記相關求解步驟是解題關鍵.

(1)分別求解方程3x-(x+5)=l、y-2y=l即可判斷；

(2)分另U求解方程3x-4=x+6、j+m=O,根據"和諧方程"的定義可得5+(-2加)=2,即可求解；

(3)分別求解方程2x-〃+3=0、x+5〃-l=0,根據"和諧方程"的定義可得5+(-2相)=2,即可求解.

【詳解】(1)解：方程3x-(x+5)=l與方程了-2y=1是"和諧方程〃，理由如下：

由3x-(x+5)=l,解得x=3；

由了-2y=l,解得y=-l.

??-3+(-1)=2,

方程3x-(x+5)=1與方程了-2y=1是"和諧方程〃.

(2)解：由3x-4=x+6,解得x=5；

X

由一+加=0,解得x=-2m.

2

Y

?.?方程3x—4=%+6與方程2+加=0是"和諧方程〃，

.-.5+(-2m)=2,

解得加=；3.

n—3

(3)解：由2x—〃+3=0,解得x=---；

由x+5〃-1=0,解得％=1—5〃；

???關于x方程2x-幾+3=0與x+5〃-1=0是"和諧方程"，

n-31__

-------F1—5〃=2,

2

解得

【變式訓練】

1.(23-24七年級上?江蘇鹽城?期末)定義：關于x的方程如-6=0與方程法-。=0(°、6均為不等于0

的常數)稱互為“伴生方程"，例如：方程2x-l=0與方程x-2=0互為"伴生方程

(1)若關于X的方程2x-3=0與方程3x-c=0互為"伴生方程"，貝IjC=；

⑵若關于x的方程4x+3優+1=0與方程5工-〃+2=0互為"伴生方程"，求"?、〃的值；

⑶若關于x的方程5x-6=0與其"伴生方程"的解都是整數，求整數6的值.

【答案】⑴2

(2)m=-2,n=6

⑶b的值為5或-5

【知識點】一元一次方程解的綜合應用

【分析】本題考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定義，是解題的關鍵.

(1)根據“伴生方程"的定義，即可得出C的值；

(2)根據“伴生方程〃的定義，得到3加+1=-5,”2=4,求解即可；

(3)求出兩個方程的解，根據解都是整數，進行求解即可.

【詳解】(1)解：?.?關于x的方程2》-3=0與方程3x-c=0互為"伴生方程"，

*'?c=2；

故答案為：2；

(2)由題意，得：3m+l=-5,2=4,

m=—2,〃=6；

(3):5x-b=0,

b

*.x——,

5x-6=0的"伴生方程"是bx-5=0,

解得：x=1

b

???健均為整數,

5b

6=±5.

2.(23-24七年級上,湖南邵陽,期末)【定義】若關于x的一元一次方程◎=/)的解滿足x=6+”，則稱該方

程為“友好方程"，例如：方程2x=-4的解為》=-2,而-2=-4+2,則方程2x=-4為"友好方程

【運用】

(1)①-2x=4,②3x=-4.5,③x=-l三個方程中，為“友好方程"的是_(填寫序號)；

⑵若關于x的一元一次方程3x=6是"友好方程"，求6的值；

⑶若關于x的一元一次方程-2尤=加"+"(〃/0)是“友好方程"，且它的解為X=",求加、”的值.

【答案】⑴②；

9

(2)^=--;

⑶加=-3,77=-|

【知識點】方程的解、一元一次方程解的綜合應用、解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】（1）利用題中的新定義判斷即可；

（2）根據題中的新定義列出有關6的方程，求出方程的解即可得到6的值，利用題中的新定義確定出所求

即可；

（3）根據“友好方程"的定義即可得出關于“、”的二元二次方程組，解之即可得出入、"的值；

此題考查了一元一次方程的解，解題的關鍵是正確理解方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值.

【詳解】（1）①-2x=4

解得：x=-2,

而-2*-2+4,不是"友好方程"；

②3x=-4.5

3

解得：x=--,

3

--=-4.5+3,是〃友好方程〃；

@x=-l

-+1，不是“友好方程"；

故答案為：②；

（2）方程：3x=6的解為x=g,

???關于］的一元一次方程3x=b是〃友好方程〃

：.—=3+b,

3

9

解得6=-1:

（3）?.?關于龍的一元一次方程-2x=%〃+",它的解為X=〃，

???-2n=mn+n,

;川w0,

-2=m+1,解得：加=一3,

,??關于X的一元一次方程-2x=加〃+〃（〃W0）是“友好方程"，它的解為X=n,

2

n=mn+n-2,解得：〃=-§.

一、單選題

1.（23-24七年級下?海南省直轄縣級單位?期末）下列各式是方程的是（）

A.4x+5=9B.3x-4<1C.6x-5xD.3+5=8

【答案】A

【知識點】一元一次方程的定義

【分析】本題考查方程的定義，根據含未知數的等式叫做方程，進行判斷即可.

【詳解】解：/、4x+5=9是方程，符合題意；

B、3x-4<l,不是等式，不符合題意；

C、6x-5x,不是等式，不符合題意；

D、3+5=8,不含未知數，不符合題意；

故選

2.（24-25七年級上?全國?期末）已知x=2是關于x的方程gx-2a=0的解，則代數式2.-1的值是（）

2

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【知識點】已知式子的值，求代數式的值、方程的解

【分析】本題考查了方程的解，代數式求值，把x=2代入方程可得2a=5,再代入代數式計算即可求解，

掌握方程解的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：?；x=2是關于x的方程gx-2a=0的解，

一x2—2a=0,

2

???2a=5,

.?.2Q—1=5—1=4,

故選：B.

3.（23-24七年級上?廣東汕頭?期末）下列說法正確的有（）

oh

①若貝!Jac=bc；②若ac=be,貝!JQ=6；③若一二—,貝④若。=6,貝!!—二—；⑤若

CCCC

a=b,則：=?；⑥若a/=后,貝ljq=b；⑦若/=/,貝九。=6..

c+1c+1

4.2個5.3個C.4個D5個

【答案】B

【知識點】等式的性質

【分析】本題考查了等式的性質，能熟記等式的性質是解此題的關鍵，注意：等式的性質1：等式的兩邊都

加或減同一個數或式子，等式仍成立，等式的性質2：等式兩邊都乘同一個數或式子，等式仍成立，等式的

兩邊都除以同一個不等于0的數或式子，等式仍成立.根據等式的性質逐個判斷即可.

【詳解】解：;"b,

二等式兩邊都乘c,得ac=bc,故①正確；

當c=0時，由ac=bc不能推出,故②錯誤；

..a_b

,一=一，

cc

..?等式兩邊都乘C,得a=6,故③正確；

當c=0時，由不能推出3=2,故④錯誤；

CC

:不論C為何值，C2+1>h

.,.由a=6能推出2"，=:、，故⑤正確；

c+1c+1

當c=0時，由℃2=兒2不能推出。=6,故⑥錯誤；

當。=2,6=-2時/=62,但。二方，故⑦錯誤；

即正確的個數是3,

故選:B

4.（24-25七年級上?全國?期末）下列方程變形中，正確的是（）

45

A.方程未知數系數化為1,得x=-l

54

B.方程3x+5=4x+l,移項，得3x-4x=-l+5

C.方程3x—7（x-l）=3-2（x+3）,去括號，得3x—7+7=3—2x-3

1_7rI1

D.方程y竺=上尸-3,去分母后化成7（l-2x）=3（3x+l）-63

【答案】D

【知識點】解一元一次方程（二）一一去括號、解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）

一—合并同類項與移項、等式的性質1

【分析】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題關鍵.A.根據等式的性質即可得到

答案；B.根據等式的性質即可得到答案；C.根據去括號法則即可得到答案；。.根據等式的性質，兩邊

同時乘21,可得答案.

【詳解】4方程￡4X=-5-,未知數系數化為1,得x=25原變形不正確，故不符合題意；

5416

B.方程3無+5=4x+l,移項，得3x-4x=l-5,原變形不正確，故不符合題意；

C.方程3x-7（x-l）=3-2（x+3）,去括號，得3x-7x+7=3-2x-6,原變形不正確，故不符合題意；

D.=-3,去分母得7（1-2x）=3（3x+l）-63,原變形正確，故不符合題意.

故選：D.

5.（23-24七年級下?四川內江?期末）若關于x的方程8-3=履+2有整數解，那么滿足條件的整數人的取

值個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【知識點】解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】本題考查的是一元一次方程的解與方程的解法，掌握"方程的整數解的含義以及求解整數解的方法"

是解本題的關鍵.

先解方程可得x=三，再根據關于x的方程5x-3=fcc+2有整數解，左為整數，可得5-左=土1或

5-k=+5,從而可得答案.

【詳解】解：:5。-3=丘+2,

■?■5x-kx=5,即（5-左）x=5,

當5-kNO時，

???關于x的方程5尤-3=區+2有整數解，%為整數，

5-左=±1或5一4=±5,

解得：左=4或％=6或左=0或左=10,

.??滿足條件的整數上的取值個數是4,

故選：C.

二、填空題

6.（23-24七年級上?甘肅定西,期末）方程從4x+21=x-7到4x-x=-7-21變形的依據是.

【答案】等式的性質1

【知識點】等式的性質

【分析】本題主要考查了等式的基本性質，等式性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，等

式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數或字母，等式仍成立..

根據等式的基本性質即可解答.

【詳解】解：?.?方程4x+21=x-7的兩邊同時減去x,再同時減去21,即可得到4x-x=-7-21,

???依據是等式的性質1.

故答案為：等式的性質1.

7.（23-24七年級下?河南駐馬店?期末）若關于x的方程2%+左=3的解為x=l,則左的值為.

【答案】1

【知識點】方程的解

【分析】本題考查方程的解，將x=l代入方程，進行求解即可.

【詳解】解：把％=代入2%+左=3,得：2+左=3,

?,?左二1；

故答案為：1.

8.（23-24七年級上?全國?期末）若4加-5的值與心-3的值互為相反數，則加的值為.

【答案】If

【知識點】解一元一次方程（二）一一去括號、相反數的定義

【分析】此題主要考查相反數的定義及一元一次方程的應用.先根據互為相反數的兩個數的和等于0列出

方程，然后解關于m的一元一次方程即可求出m的值.

【詳解】解：根據題意得：（4加一5）+（加一；|=0,B|J5m-y=0,

解得：加=||，

心小4二36

故答案為：—.

9.（23-24七年級下?重慶萬州?期末）若（加-2）W--2=5是關于x的一元一次方程，則加的值是—.

【答案】-2

【知識點】一元一次方程的定義

【分析】本題考查一元一次方程的定義，根據一元一次方程的定義可得|加|-1=1,加-2x0,求解即可.

【詳解】由題意得：同T=1,解得：m=±2

丁加一2w0,即〃/w2

/.m=—2

故答案為：-2.

10.（23-24七年級上?吉林四平?期末）對于有理數x,V,定義一種新運算〃。〃，規定

%。>=|%+>|+|%-川.若。。%）。（％+1）=8,則x值為.

【答案】2或-2

【知識點】化簡絕對值、解一元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【詳解】本題考查有理數的混合運算、新定義，一元一次方程的解法及絕對值，能對1的取值范圍進行準確

的分類是解題的關鍵.根據題中定義的新運算，建立關于1的方程即可解決問題.

【分析】解：由題知，

因為％Oy=|%+y|+|%-歹|,

所以xG）x=|x+x|+|%-x|=|2x|.

又因為+1）=8,

則當x20時，

|2,x+x+11+12x—x—11=8,

3x+1x-11=7,

當xNl時，

3x+x-1=7,

解得x=2；

當0?x<1時,

3x-x+1=7,

解得x=3,

不符合題意，故舍去.