2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

二次函數(shù)的線段問(wèn)題(二階)學(xué)生版

考法探究突破

考法一單線段最值

1.(1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)表達(dá)

式得到動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo).

(2)表示豎直方向的線段長(zhǎng)：結(jié)合函數(shù)圖象，用上方點(diǎn)的縱坐標(biāo)減

去下方點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得線段長(zhǎng).

(3)表示水平方向的線段長(zhǎng)：結(jié)合函數(shù)圖象，用右側(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減

去左側(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得線段長(zhǎng).

(4)表示不與坐標(biāo)軸平行的線段長(zhǎng)(斜線段)：第一步：以所求線

段長(zhǎng)為一邊構(gòu)造直角三角形；第二步：找與其相似的直角三角形(一

般情況下，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形與其相似)；第

三步：利用三角函數(shù)或相似列等量關(guān)系求解.

考法二線段和(差)最值(將軍飲馬)

2.兩定點(diǎn)十一動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)在直線上)

(1)兩定點(diǎn)A,5位于直線/異側(cè)：如圖1,連接A5,與直線/的交

點(diǎn)即為P,此時(shí)PA+P5的最小值為A5的長(zhǎng)；如圖2,作點(diǎn)5關(guān)于

直線/的對(duì)稱點(diǎn)夕，作直線AQ，與直線/的交點(diǎn)即為P,此時(shí)IPA

-PBI的最大值為線段AV的長(zhǎng).

圖1圖2

(2)兩定點(diǎn)A,5位于直線/同側(cè)：如圖3,作點(diǎn)5關(guān)于直線/的對(duì)

稱點(diǎn)"，連接AV,與直線/的交點(diǎn)即為P,此時(shí)PA+P5的最小值

為AV的長(zhǎng)；如圖4,連接A5并延長(zhǎng)，與直線/的交點(diǎn)即為尸，此時(shí)I

PA-PBI的最大值為線段A3的長(zhǎng).

圖3圖4

3.一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上)

(1)如圖1,點(diǎn)尸是定點(diǎn)，點(diǎn)A,5分別是直線/1,/2上的動(dòng)點(diǎn)，作

點(diǎn)尸關(guān)于直線/i的對(duì)稱點(diǎn)P,作尸3^/2于點(diǎn)5,交直線/i于點(diǎn)A,

此時(shí)PA+AB的最小值為線段P'B的長(zhǎng).

(2)如圖2,點(diǎn)尸是定點(diǎn)，點(diǎn)A,5分別是直線/2上的動(dòng)點(diǎn)，分

別作點(diǎn)尸關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)尸‘和尸"，連接尸‘尸"，與兩直線交點(diǎn)即

為點(diǎn)A,B,此時(shí)△出臺(tái)周長(zhǎng)的最小值為線段P7"的長(zhǎng).

4.兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上)

(1)如圖1,點(diǎn)尸，。是定點(diǎn)，點(diǎn)"，N分別是直線/1,/2上的動(dòng)點(diǎn),

分別作點(diǎn)。，尸關(guān)于直線/1，/2的對(duì)稱點(diǎn)。'和尸'，連接。'P,與兩直

線交點(diǎn)即為點(diǎn)N,此時(shí)四邊形尸周長(zhǎng)的最小值為線段。P

十。尸的長(zhǎng).

(2)如圖2,點(diǎn)A,5分別是直線&/2上的定點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是

直線/1，/2上的動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于直線/2的對(duì)稱點(diǎn)4,作點(diǎn)B關(guān)于直

線/i的對(duì)稱點(diǎn)〃，連接A5交直線/2于點(diǎn)加，交直線/i于點(diǎn)N,止匕時(shí)

AM+MN+NB的最小值為線段A3的長(zhǎng).

圖1圖2

題型分類過(guò)關(guān)

類型一單線段最值

1.(2024商河二模節(jié)選)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),拋物線Mi：

y=ax2+bx(a#0)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)5為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，其縱

坐標(biāo)為一6,tanNOAB=2.

(1)求拋物線跖的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。為直線A3下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作軸交

直線A3于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為九當(dāng)CD取最大值時(shí)，求用的

值.

2.(2023長(zhǎng)清一模節(jié)選)拋物線L：y=~x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,

3),與它的對(duì)稱軸直線％=1交于點(diǎn)A

(1)求拋物線上的表達(dá)式；

(2)E在直線⑷V上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作EHLAN,垂足為

求EH的最大值.

類型二線段和差最值（含周長(zhǎng)最值）

3.（2024槐蔭二模節(jié)選）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y

=Q%2+2%+C的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B,。三點(diǎn)，其中點(diǎn)A（3,0）,

OA=OC,P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG±AB

于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)求尸"+"。的最大值.

4.(2024平陰一模節(jié)選)已知拋物線,=依2+笈+4與％軸相交于點(diǎn)

A(1,0),B(4,0),與y軸相交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△尸AC的周

長(zhǎng)最小時(shí)，求N的值.

5.(2023槐蔭一模節(jié)選)拋物線y=—%2+b%+c與％軸交于點(diǎn)A(3,

0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)如圖，連接AC,點(diǎn)尸在線段AC上，作直線產(chǎn)。，入軸，與拋

物線交于點(diǎn)Q.以線段PQ為邊構(gòu)造矩形PQMN,邊在y軸上.當(dāng)

矩形尸周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

類型三線段比值

6.(2023商河二模節(jié)選)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

+bx+c(aVO)與X軸交于4(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,且0C=20A.

(1)試求拋物線的表達(dá)式；

(2)直線y=H+l(左＞0)與y軸交于點(diǎn)。，與拋物線交于點(diǎn)尸，

與直線BC交于點(diǎn)M,記機(jī)=瞿，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐

DM

標(biāo).

達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)

1.如圖，拋物線y=a^+bx+A與％軸交于A(—1,0),B(點(diǎn)A

在點(diǎn)B左側(cè))兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC.

(1)求a,〃的值；

(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作尸軸，

交拋物線于點(diǎn)。，作PE//y軸，交入軸于點(diǎn)及連接ED交直線BC

于點(diǎn)F,當(dāng)DF=EF時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.(2023歷城二模節(jié)選)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=

a%2+b%+2與％軸交于點(diǎn)4(—4,0)和點(diǎn)5(1,0),與y軸交于

點(diǎn)、C,連接AC,BC.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖2,點(diǎn)M為直線AC上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)"作

y軸的平行線，交AC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)”作入軸的平行線，交直線AC

于點(diǎn)°,求△MN0周長(zhǎng)的最大值.

3.如圖，拋物線y=—9+%+4與X軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在

點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸與％軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)、

P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,連接BC.

(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點(diǎn)下是直線BC上一點(diǎn)，求AF+E7的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的

坐標(biāo).

(3)過(guò)點(diǎn)P作直線ILBC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G,是否存在點(diǎn)P,使得

直線BC垂直平分線段PG?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

二次函數(shù)的線段問(wèn)題（二階）教師版

考法探究突破

考法一單線段最值

1.（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)表達(dá)

式得到動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo).

（2）表示豎直方向的線段長(zhǎng)：結(jié)合函數(shù)圖象，用上方點(diǎn)的縱坐標(biāo)減

去下方點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得線段長(zhǎng).

（3）表示水平方向的線段長(zhǎng)：結(jié)合函數(shù)圖象，用右側(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減

去左側(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得線段長(zhǎng).

（4）表示不與坐標(biāo)軸平行的線段長(zhǎng)（斜線段）：第一步：以所求線

段長(zhǎng)為一邊構(gòu)造直角三角形；第二步：找與其相似的直角三角形（一

般情況下，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形與其相似）；第

三步：利用三角函數(shù)或相似列等量關(guān)系求解.

考法二線段和（差）最值（將軍飲馬）

2.兩定點(diǎn)十一動(dòng)點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)在直線上）

（1）兩定點(diǎn)A,5位于直線/異側(cè)：如圖1,連接A5,與直線/的交

點(diǎn)即為P,此時(shí)PA+P5的最小值為的長(zhǎng)；如圖2,作點(diǎn)5關(guān)于

直線/的對(duì)稱點(diǎn)夕，作直線A9，與直線/的交點(diǎn)即為P,此時(shí)IPA

-PBI的最大值為線段AV的長(zhǎng).

(2)兩定點(diǎn)A,5位于直線/同側(cè)：如圖3,作點(diǎn)5關(guān)于直線/的對(duì)

稱點(diǎn)"，連接AQ,與直線/的交點(diǎn)即為P,此時(shí)P4+P5的最小值

為AV的長(zhǎng)；如圖4,連接A5并延長(zhǎng)，與直線/的交點(diǎn)即為P,此時(shí)I

PA-PBI的最大值為線段AB的長(zhǎng).

3.一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上)

(1)如圖1,點(diǎn)尸是定點(diǎn)，點(diǎn)A,5分別是直線/1,/2上的動(dòng)點(diǎn)，作

點(diǎn)尸關(guān)于直線/i的對(duì)稱點(diǎn)尸'，作尸于點(diǎn)5,交直線/i于點(diǎn)4,

此時(shí)PA+AB的最小值為線段P'B的長(zhǎng).

(2)如圖2,點(diǎn)尸是定點(diǎn)，點(diǎn)A,5分別是直線/i,心上的動(dòng)點(diǎn)，分

別作點(diǎn)尸關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)尸和尸"，連接尸‘尸"，與兩直線交點(diǎn)即

為點(diǎn)A,B,此時(shí)APAB周長(zhǎng)的最小值為線段尸7〃的長(zhǎng).

4.兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上)

(1)如圖1,點(diǎn)P,。是定點(diǎn)，點(diǎn)"，N分別是直線/1,/2上的動(dòng)點(diǎn),

分別作點(diǎn)。，P關(guān)于直線/1，/2的對(duì)稱點(diǎn)。'和尸'，連接。P,與兩直

線交點(diǎn)即為點(diǎn)M,N,此時(shí)四邊形PQMN周長(zhǎng)的最小值為線段QP

+。尸的長(zhǎng).

（2）如圖2,點(diǎn)A,5分別是直線/i,/2上的定點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是

直線/1,/2上的動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于直線心的對(duì)稱點(diǎn)4',作點(diǎn)5關(guān)于直

線/i的對(duì)稱點(diǎn)方，連接45交直線/2于點(diǎn)"，交直線/i于點(diǎn)N,止匕時(shí)

AM+MN+NB的最小值為線段的長(zhǎng).

Q：/

Ni，2

lMB

PA,

圖2

題型分類過(guò)關(guān)

類型一單線段最值

1.（2024商河二模節(jié)選）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,拋物線Mi：

y=a^+bx（?#0）過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)5為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，其縱

坐標(biāo)為一6,tanNOAB=2.

（1）求拋物線Mi的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)。為直線A5下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作CD〃％軸交

直線45于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為九當(dāng)取最大值時(shí)，求力的

值.

解：（1）設(shè)A5交y軸于點(diǎn)M.

?.?點(diǎn)A坐標(biāo)為（4,0）,：.OA=4.

：

VtanZOAB=—OA=2,.OM=2OA=S,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,-8）.

設(shè)AB的表達(dá)式為y=kx-\-b,

(

4/c+b=0解得|f/c=2,

lb=一8,

、b=—8,

：.AB的表達(dá)式為y=2%—8.

二,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為一6,

???把y=—6代入丁=2%—8得％=1,

.,.點(diǎn)5的坐標(biāo)為(1,—6).

VMi：y=ax2+bx(aWO)過(guò)點(diǎn)A,B,

.??0十——6，解得

???拋物線Mi的表達(dá)式為y=2x2-8x

（2）;點(diǎn)。在拋物線y=2/—8%上，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為九

/.C（/z,2/z2—8/z）.

,/CD//x軸，???點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2層一8幾把y=2h2~Sh代入y=2x

—8,得x=//2—40+4,???點(diǎn)Z）（序一4。+4,2h2—8。）,/.CD=h

—（序—4/z+4）=一序+5/i-4=—（h—0+[.

...點(diǎn)。為直線A3下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

.\1WJW4,.?.當(dāng)）三時(shí),的最大值為U

24

2.（2023長(zhǎng)清一模節(jié)選）拋物線L：y=~x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（0,

3）,與它的對(duì)稱軸直線％=1交于點(diǎn)A

(1)求拋物線上的表達(dá)式;

(2)E在直線A7V上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作垂足為H,

求EH的最大值.

c=3,口(b=2,

解:(1)由題意，得解得?則拋物線L的表達(dá)

=LC=3,

式為y——X2+2%+3.

(2)過(guò)點(diǎn)E作ET〃丁軸交AN于點(diǎn)T,由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)N

(3,0),貝l]ON=OA=3,則NOAN=45°.

由點(diǎn)A,N的坐標(biāo)得，直線⑷V的表達(dá)式為y=—%+3.?「以〃》軸,

：.ZHTE=ZOAN=45°,又?：EH工AN,：.EH='ET.設(shè)點(diǎn)、E(x,

—j?+2x+3)，則點(diǎn)T(%,一冗+3)，

則ET=(一r+2%+3)-(―X+3)=-(%—力2+-<-,即ET

244

的最大值為三故的的最大值為竽.

48

類型二線段和差最值(含周長(zhǎng)最值)

3.(2024槐蔭二模節(jié)選)如圖，平面直角坐標(biāo)系X0y中，二次函數(shù)y

=af+2%+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B,。三點(diǎn)，其中點(diǎn)A(3,0)，

OA=OC,P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PGLAB

于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)求尸”+HC的最大值.

解：⑴VA(3,0),：.OA=3.

'：OA=OC,：.OC=3,：.C(0,3).

Qrt+6+C=0

把A(3,0),C(0,3)代入y=a?+2x+c,得|一’解

、c=3,

得F=T

、c=3,

J二次函數(shù)表達(dá)式為y=-X2+2X+3.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作CTUPG于點(diǎn)T.設(shè)直線AC的表達(dá)式為丁=依

+0,

QZz-4—卜—Qk——1

把4(3,0),C(0,3)代入得一‘解得’...直線

=3,1b=3,

AC的表達(dá)式為y=—%+3.設(shè)點(diǎn)尸(機(jī)，一m2+2m+3)(0<x<3),

貝!I點(diǎn)"(m,—m+3),'.PH=-m2+2m+3-(-m+3)=—nr

+3m.\'OA=OC,ZCOA=90°,：.ZOCA=45°.'：PG±AB,

.?.尸軸，軸，...NTCH=45°,，△CM為等腰直角三

角形，.,.CH=em,.,.P"+CH=-m2+3m+V2/w=-m2+(3+V2)

2

機(jī)=一(小一等)+U乎.?.?一ivo,.?.p”+c“的最大值為衛(wèi)等.

4.(2024平陰一模節(jié)選)已知拋物線>="2+云+4與％軸相交于點(diǎn)

A(1,0),B(4,0),與y軸相交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周

長(zhǎng)最小時(shí)，求二的值.

解：(1):?拋物線〉=依2+陵+4與％軸相交于點(diǎn)A(1,0),B(4,

0),

._a=],

fa+b+4=0,斛得z]

116a+4b+4=0,

、b=-5

.??拋物線的表達(dá)式為尸好一5%+4.

(2)'：y=x2~5x+4,當(dāng)％=0時(shí)，y=4,：.C(0,4),拋物線的

對(duì)稱軸為直線％=§.:△PAC的周長(zhǎng)等于尸A+PC+AC,4C為定長(zhǎng),

當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小.〈A,B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)

稱，：.PA+PC=PB+PC^BC,當(dāng)P,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC

的值最小，為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P為直線6c與對(duì)稱軸的交點(diǎn).設(shè)直

線的表達(dá)式為y=/nx+〃，則「血十'=°'解得［血=—L

ji=4,1n=4,

?,?尸r+4.當(dāng)％=|時(shí)，產(chǎn)一94=|,"(1，|).

乙乙乙\乙乙/

VA(1,0),C(0,4),：.PA=I)、?。學(xué)'PC

J(iy+(4—i)匕第費(fèi).

5.(2023槐蔭一模節(jié)選)拋物線>=一%2+&￥+<?與x軸交于點(diǎn)A(3,

0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)如圖，連接AC,點(diǎn)尸在線段AC上，作直線產(chǎn)。，％軸，與拋

物線交于點(diǎn)Q.以線段尸。為邊構(gòu)造矩形PQMN,邊在y軸上.當(dāng)

矩形尸QMN周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

解：(1)將點(diǎn)4(3,0)，B(—1,0)代入y=—^+云+的

得［。=-9+3”解得產(chǎn)

、0=-1—b+c,lc=3,

/.拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3.

(2)\,拋物線表達(dá)式為y=—T+Zx+B,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,3).

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx-\-b.

將A(3,0),C(0,3)代入直線表達(dá)式，得解得

、3=b,

(k=—1

???直線AC的表達(dá)式為y=—%+3.

力=3,

設(shè)尸(。，-a+3),則。(a,—a2+2a+3)，

則矩形PQA/N的周長(zhǎng)為2（PQ+PN）=2（一屋+3a+a）=-2（屋

—4。)=-2(a—2)2+8,

...當(dāng)a=2時(shí)，矩形尸0MN的周長(zhǎng)取最大值，

：.P(2,1).

類型三線段比值

6.(2023商河二模節(jié)選)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a%2

-\-bx-\-c(a〈0)與％軸交于A(—2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,且0C=20A.

(1)試求拋物線的表達(dá)式；

(2)直線y=H+l(左＞0)與y軸交于點(diǎn)￡),與拋物線交于點(diǎn)P,

與直線交于點(diǎn)記機(jī)=瞿，試求機(jī)的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐

DM

標(biāo).

解：(1)因?yàn)閽佄锞€y=ax2+b%+c經(jīng)過(guò)A(—2,0),B(4,0)

兩點(diǎn)，設(shè)y=a(X+2)(x-4).'：0C=20A,0A=2,：.0C=20A

=4,：.C(0,4),代入拋物線的表達(dá)式得到a=一????5=一］(%

+2)(x—4)或y=-■1%2+%+4或＞=—|(x-1)2+1.

(2)如圖，作PE1.X軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)F.?:CD〃PE,

.*.△CMDsAFMP,

.??加=熱=言.?.?直線丁="+1(Q0)與y軸交于點(diǎn)。，則。(0,

1),,.,呂。的表達(dá)式為y=—%+4.設(shè)尸(八，一|n2+w+4),則尸(八，

—九+4),'.PF=--n2+n+4—(—n+4)=--(八一2)2+2,

22

2

CD=--6(?-2)+-3.V--6<0,.?.當(dāng)〃=2時(shí)，7〃有最大值，

最大值為|,此時(shí)尸(2,4).

達(dá)標(biāo)演練檢測(cè)

1.如圖，拋物線y=ax2JrbxJr4與％軸交于A(—1,0),B(點(diǎn)A

在點(diǎn)B左側(cè))兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC.

(1)求a,b的值；

解：令％=0,得y=4,

...點(diǎn)C(0,4).

'：OB=OC,

:.點(diǎn)、B(4,0).

將點(diǎn)A(-1,0),B(4,0)的坐標(biāo)代入y=a%2+b%+4中,

得［ai+4=0,

116a+4b+4=0,

解得歸了

(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PD//x軸,

交拋物線于點(diǎn)。，作PE//y軸，交入軸于點(diǎn)E,連接ED交直線BC

于點(diǎn)F,當(dāng)DF=EF時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：由(1)可知拋物線的表達(dá)式為y=—%2+3%+4,

?1y=—%2+34+4=+京

..?拋物線的對(duì)稱軸為直線％=|.

設(shè)點(diǎn)P(m,—m2+3m+4),

則點(diǎn)。(3—m,—m2+3m+4),點(diǎn)E(m,0),

,:DF=EF,.??點(diǎn)尸是。E的中點(diǎn)，

...點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(號(hào)三，f)

即停，—叱3-+4).

設(shè)直線的表達(dá)式為丁=丘+八(左W0),

將點(diǎn)5(4,0),C(0,4)代入y=Ax+八中，

得［軟+九解得廠=一L

ji=4,In=4,

/.直線BC的表達(dá)式為y=-x+4.

?.?點(diǎn)尸在直線5C上，當(dāng)夫=|時(shí),y=|,

...一叱3.+4=|,解得加=1或產(chǎn)萼，此時(shí)—加2+3冽+4=5,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1，5)或(穿，5).

2.(2023歷城二模節(jié)選)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=

與％軸交于點(diǎn)A(—4,0)和點(diǎn)5(1,0),與y軸交于

點(diǎn)C,連接AC,BC.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖2,點(diǎn)"為直線AC上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)”作

y軸的平行線，交AC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)M作％軸的平行線，交直線AC

于點(diǎn)0,求AMN。周長(zhǎng)的最大值.

解：(1)將A(-4,0)和5(1,0)代入得

a1

工6a-4b+2=0,解得2

、a+b+2=0,b3

2

拋物線的表達(dá)式為y=—%2—1%+2.

（2）由（1）中拋物線的表達(dá)式可知,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）.VA

1

(-4,0),C(0,2),直線AC的表達(dá)式為y=#+2,AC=

(-4-0)2+(0—2)2=2y.設(shè)屈(犯一3瓶2一|瓶+2),貝(J

N(m,|m+2),：.MN--m2--m+2—f-1m+2）=一加一

222

2根.丁〃。〃％軸，MN//y^,：.ZMQN=ZCAO,ZNMQ=ZAOC

=90。，...△0MNS-OC,.?.g="=嗎即”="=華，

匕OCOACA242V5匕

=2MN,NQ=V5MN,：.C&MNQ=MN+MQ+NQ=MN+2MN+有MN

(3+代)MN=(3+V5)X(一刎—2加)=—呼(m+2)2

+6+2代.二一竽＜0,當(dāng)根=—2時(shí)，△MN0的周長(zhǎng)最大，最

大值為6+2A/5.

3?如圖，拋物線產(chǎn)一呆+%+4與％軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在

點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸與%軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)

P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,連接BC.

（1）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點(diǎn)下是直線BC上一點(diǎn)，求A尸+E尸的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的

坐標(biāo).

(3)過(guò)點(diǎn)P作直線ItBC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G,是否存在點(diǎn)P,使得

直