2025中考專項復習：如何作輔助圓

1.（10分）（1）【學習心得】

小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決,

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是△ABC外一點，S.AD=AC,求/BDC的

度數，若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓04則點C、。必在。4上，NA4c是OA的圓心角，

而N2OC是圓周角，從而可容易得到N8OC=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形A8CQ中，ZBAD=ZBCD=90°,NBDC=25°,求N8AC的度數.

小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△A3。的外接圓就是以

的中點為圓心，工3。長為半徑的圓；△2。的外接圓也是以BD的中點為圓心，工3。長為半徑的

22

圓.這樣A、B、C、O四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出NR4C的度數，請運用小

剛的思路解決這個問題.

（3）【問題拓展】

如圖3,在△ABC中，ZBAC=45°,是8C邊上的高，且8。=6,CD=2,求的長.

2.（10分）小明在學習了圓內接四邊形的性質“圓內接四邊形的對角互補”后，想探究它的逆命題“對

角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上”是否成立.他先根據命題畫出圖形，并用符號表示已知，求

證.

已知：如圖①，在四邊形ABC。中，ZB+ZA￡）C=180°.

求證：點A,B,C,。在同一個圓上.

他的基本思路是依據“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，先作出一個過三個頂點A,B,C的。。，

再證明第四個頂點D也在上.

具體過程如下；

步驟一、作出過A,B,C三點的OO.

如圖1,分別作出線段AB,8c的垂直平分線機，n,設它們的交點為O,以。為圓心，OA的長為半徑作

QO.連接。4,OB,OC,

：.OA=OB,OB=OC（①）.（填推理依據）

：.OA=OB=OC.

.?.點8,C在。。上.

步驟二、用反證法證明點。也在O。上.

假設點。不在上，則點。在。。內或。。外.

i、如圖2,假設點。在內.

延長CD交O。于點。1,連接AO1.

.?.ZB+Z￡>i=180°（②）.（填推理依據）

,/ZADC是△ADDi的外角，

AZADC=ZDADi+ZDi（③）.（填推理依據）

ZADOZDi.

：.ZB+ZADC>180°.

這與已知條件/3+NAOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在O。內.

爪如圖3,假設點。在。。外.

設C￡）與。。交于點。2,連接AO2.

：.ZB+ZAD2C=1SO°.

,：ZAD2C是△A6。的外角，

/AD2C=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

.?.ZB+ZADC<180°.

這與已知條件NB+/AOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在。。外.

綜上所述，點。在。。上.

...點A,B,C,。在同一個圓上.

閱讀上述材料，并解答問題：

(1)根據步驟一，補全圖1（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡）；

(2)填推理依據：①.,②.

3.（10分）綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組

繼續利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側有兩點8,D,連接AD,AB,BC,CD,如果那么A,B,C,。四點

在同一個圓上.

探究展示：

圖1圖2

如圖2,作經過點A,C,。的OO,在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE,貝I/AEC+

ZD=180°（依據1）

,:/B=/D

：.ZA￡C+ZB=180°

...點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

:.點B,。在點A,C,E所確定的。。上（依據2）

...點A,B,C,。四點在同一個圓上

反思歸納：

(1)上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？

依據1：;

依據2：.

(2)如圖3,在四邊形ABC。中，N1=N2,N3=45°,則/4的度數為.

拓展探究：

(3)如圖4,已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,點。在BC上(不與8C的中點重合)，連接AD作

點C關于的對稱點E,連接班并延長交的延長線于尸，連接AE,DE.

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2五,尸的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

圖3圖4

4.(5分)如圖，已知四邊形ABC。是矩形，BC=4,AB>2,若CE=2,且點E在矩形ABC。的內部,

求NA2E的取值范圍.

5.(10分)如圖，已知矩形A8CD

(1)如圖①，請在矩形ABC。的內部或邊上畫出使NAP8=45°的點尸的軌跡；

(2)如圖②，請在矩形48cD的內部或邊上畫出使/4尸2=90°的點尸的軌跡；

(3)如圖③，請在矩形A8C。的內部或邊上畫出使/AP8=120°的點P的軌跡.

6.(3分)如圖，在四邊形A8CD中，CD//AB,CB=4,AB=AC=AD=3,則8。的長

為.

7.(3分)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,8C=2,點。在AC邊上運動，將△BCD沿8。翻折,

點C的對應點為C',在點。從點C到點A的動過程中，點。運動的路徑長為

C'

8.（3分）如圖示，A,2兩點的坐標分別為（-2,0）,（3,0）,點C在y軸上，S.ZACB=45

則點C的坐標為.

AO\Bx

9.（3分）如圖，平面直角坐標系中，點A、B坐標分別為（3,0）、（0,4）,點C是無軸正半軸上一

點，連接BC.過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D,連接BD,則sin/BOC的

值是__________________.

0\ACx

10.（3分）如圖，△ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,A8=2,點尸從C點出發，沿C8運動到點8

停止，過點8作射線AP的垂線，垂足為。，點。運動的路徑長為.

11.（3分）如圖，在矩形48CD中，48=3,BC=5,點E在對角線AC上，連接8E,作垂

足為E,直線所交線段。C于點/，則變=____________.

參考答案與試題解析

1.(1)［學習心得］

小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決,

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖①，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是△ABC外一點，且AO=AC,求NBDC的

度數.若以點A為圓心，A8為半徑作輔助圓04,則點C,。必在OA上，NA4c是OA的圓心角，

而N8OC是圓周角，從而可容易得到NBDC=45或易5°.

(2)［問題解決］

如圖②，在四邊形A8CA中，ZBAD=ZBCD=90°,/BDC=25：求NBAC的度數.小剛同學認

為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△A3。的外接圓就是以BD的中點

為圓心，工2。長為半徑的圓；的外接圓也是以2。的中點為圓心，長為半徑的圓.這樣

A,B,C,D四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出NBAC的度數，請運用小剛的思路

解決這個問題.

(3)［問題拓展］

如圖③，在△A8C中，ZBAC=45°,是8c邊上的高，S.BD=6,CD=2,求的長.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解即可；

(2)根據已知90。的角不難得到點A,B,C,。共圓，然后根據同圓中，同弧所對的圓周角相等即可

得解；

(3)作AABC外接圓，構造等腰直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：(1)'：AD=AC,AB=AC,

以點A為圓心，點、B,D,C必在OA上.］

當點D在劣弧上時，

：/CAB是OA的圓心角，而/CQ8是圓周角，

ZCDB=AZCAB=45°；

當點。在優弧上時，則/BOC=135°；

故答案為:45或135.

(2)如圖①，取3D的中點。，連接。1,0C,

■:/BAD=NBCD=90°,

...點A,B,C,。共圓，

：.ZBDC=ZBAC=25°；

(3)如圖②，作△ABC的外接圓，過圓心。作0EL8C于點E,作。于點R連接。4,0B,

0C.

VZBAC=45°,

/.ZBOC=90°.

在Rtz^BOC中，BC=6+2=8,OB2+CO2=BC1,

:.BO=CO=AM.

'：OE±BC,

.?.8E=EC=LC=4,

2

:.DE=0F=EC-CD=2.

在RtZkBOE中，BO=4&,BE=4,

：.OE=DF=4.

在RtZWOF中，AO=4近,OF=2,

AF=7AO2-OF2=V(4V2)2-22=2V7，

.?.AD=2-77+4.

ED

②

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質以及勾股定理等知

識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

2.小明在學習了圓內接四邊形的性質“圓內接四邊形的對角互補”后，想探究它的逆命題“對角互補的

四邊形的四個頂點在同一個圓上”是否成立.他先根據命題畫出圖形，并用符號表示已知，求證.

己知：如圖①，在四邊形中，ZB+ZADC=180°.

求證：點A,B,C,。在同一個圓上.

他的基本思路是依據“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，先作出一個過三個頂點A,2,C的

OO,再證明第四個頂點。也在上.

具體過程如下；

步驟一、作出過A,B,C三點的。0.

如圖1,分別作出線段AB,BC的垂直平分線加，n,設它們的交點為。，以。為圓心，的長為半

徑作OO.連接。4,OB,OC,

：.OA=OB,OB=OC(①).(填推理依據)

：.OA=OB=OC.

:.點、B,C在。。上.

步驟二、用反證法證明點。也在上.

假設點。不在O。上，則點。在O。內或O。外.

i、如圖2,假設點。在OO內.

延長CD交。。于點連接AD1.

.-.ZB+Z￡)i=180o(②).(填推理依據)

ZADC是△ADD1的外角,

：.ZADC=ZDADi+ZDi(③).(填推理依據)

ZADOZDi.

.?.ZB+ZADO180°.

這與已知條件/B+NAOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在O。內.

爪如圖3,假設點。在。。外.

設CD與O。交于點。2,連接AO2.

.?.ZB+ZAD2C=180°.

,/ZAD1C是的外角，

NAD2C=ZDADI+ZADC.

：.ZADC<ZADiC.

.,.ZB+ZADC<180°.

這與已知條件/8+/AOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在O。外.

綜上所述，點。在O。上.

...點A,B,C,。在同一個圓上.

閱讀上述材料，并解答問題：

（1）根據步驟一，補全圖1（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡）；

（2）填推理依據：①線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，②圓內接四邊形的對

角互補，③三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

【分析】（1）根據作線段的垂直平分線的基本作法作圖;

（2）根據反證法的步驟進行證明.

【解答】解：（1）如圖：即為所求；

（2）步驟一、作出過A,B,C三點的O。.

如圖1,分別作出線段AB,的垂直平分線機，n,設它們的交點為。，以。為圓心，0A的長為半

徑作O。.連接。4,OB,OC,

：.OA=OB,OB=OC（線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）.

：.OA=OB=OC.

.?.點8,C在。。上.

步驟二、用反證法證明點。也在。。上.

假設點。不在O。上，則點。在O。內或O。外.

i、如圖2,假設點。在。。內.

延長交O。于點。1,連接AD1.

.?.ZB+ZDi=180°（圓內接四邊形的對角互補）.

ZADC是△ADD1的外角，

AZADC^ZDADi+ZDi（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）.

ZADOZD1.

：.ZB+ZADO1800.

這與已知條件/8+NADC=180°矛盾.

...假設不成立.即點。不在OO內.

爪如圖3,假設點。在。。外.

設CD與O。交于點￡>2,連接A￡>2.

2c=180°.

ZAD2C是△AO2。的外角，

/.ZAD2C=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

：.ZB+ZADC<1SO°.

這與已知條件/8+/AOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在。。外.

綜上所述，點D在O。上.

...點A,B,C,。在同一個圓上.

故答案為：①線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；②圓內接四邊形的對角互補；③三

角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

【點評】本題考查了反證法，掌握線段的垂直平分線的性質及有關圓的性質是解題的關鍵.

3.綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小

組繼續利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側有兩點8,D,連接A。，AB,BC,CD,如果那么A,B,C,D

四點在同一個圓上.

探究展示：

如圖2,作經過點A,C,。的O。，在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE,則/

AEC+Z￡>=180°（依據1）

;NB=/D

：.ZA￡C+ZB=180°

...點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

...點8,。在點A,C,E所確定的。。上（依據2）

...點A,B,C,。四點在同一個圓上

反思歸納：

（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？

依據1：圓內接四邊形對角互補；依據2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓.

（2）如圖3,在四邊形A8CD中，Z1=Z2,Z3=45°,則/4的度數為45°.

拓展探究：

（3）如圖4,已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,點。在8C上（不與8c的中點重合），連接AD作

點C關于的對稱點E,連接班并延長交的延長線于E連接AE,DE.

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2a,的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

A

圖1圖2

【分析】(1)根據圓內接四邊形的性質、過三點的圓解答即可；

(2)根據四點共圓、圓周角定理解答；

(3)①根據軸對稱的性質得到AE=AC,DE=DC,ZAEC=ZACE,ZDEC=ZDCE,進而得到/

AED=/ABC,證明結論；

②連接c尸，證明尸3,根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

【解答】(1)解：依據1：圓內接四邊形對角互補；依據2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個

圓，

故答案為：圓內接四邊形對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；

(2)解:VZ1=Z2,

...點A,B,C,。四點在同一個圓上，

；./3=/4,

VZ3=45°,

,-.Z4=45°,

故答案為：45°；

(3)①證明：?.?AB=AC,

ZABC=ZACB,

,：點E與點C關于的對稱，

：.AE^AC,DE=DC,

：.ZAEC=ZACE,ZDEC=ZDCE,

：./AED=/ACB,

：.ZAED=ZABC,

D,B,E四點共圓；

②解：的值不會發生變化，

理由如下：如圖4,連接CR

:點E與點C關于AD對稱，

：.FE=FC,

：.ZFEC=ZFCE,

：.ZFED=ZFCD,

VA,D,B,E四點共圓，

:.NFED=NBAF,

:.NBAF=NFCD,

：.A,B,F,C四點共圓，

NAFB=NACB=ZABC,

；/BAD=/FAB,

：.△ABDs^AFB,

.AD=ABT

,,而AF)

【點評】本題考查的是四點共圓、相似三角形的判定和性質、軸對稱的性質，正確理解四點共圓的條件

是解題的關鍵.

如圖，已知四邊形A8C。是矩形，BC=4,AB>2,若CE=2,且點E在矩形ABC。的內部，貝的

【分析】以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，當8E與OC相切時，/CBE最大,此時NA8E最小，這

時求出/C8E,即可解決問題.

【解答】解：以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，

當3E與OC相切時，/CBE最大,此時N4BE最小,

:半徑CE±BE,

sinZ

BC42

:.NCBE=30°,

AZABE=90°-30°=60°,

,/點E在矩形ABCD的內部，

ZABE<90°,

.1.60°W/ABE<90°.

故答案為：60°^ZABE<9Q°.

【點評】本題考查矩形的性質，三角函數定義，圓的性質，關鍵是以點C為圓心，CE長為半徑畫圓,

判斷出BE與OC相切時NA8E最小.

5.如圖，已知矩形ABCD

（1）如圖①，請在矩形A8CQ的內部或邊上畫出使/A尸8=45°的點P的軌跡;

（2）如圖②，請在矩形ABCD的內部或邊上畫出使/AP8=90°的點P的軌跡;

（3）如圖③，請在矩形A8CD的內部或邊上畫出使/AP8=120°的點P的軌跡

圖①圖②圖③

【分析】（1）作等腰直角三角形498，使NAOB=90°,以。為圓心，04為半徑畫圓即可;

（2）以為直徑作圓，則篇即為所求；

（3）作等腰△A02,使NAOB=120°,以。為圓心，。4為半徑畫圓，則忘即為所求.

【解答】解：（1）如圖，作等腰直角三角形A08,使/AO8=90°,以。為圓心，04為半徑畫圓,

~囪①

則PP'即為所求;

（2）如圖，以為直徑作圓，則益即為所求（不與42重合）；

圖②

（3）如圖，作等腰△A02,使NAOB=120°,以0為圓心，為半徑畫圓，則AB即為所求（不與

A、8重合)；.

【點評】本題主要考查了圓周角與圓心角的關系，等腰三角形的性質，軌跡問題，熟練掌握同弧所對的

圓周角相等是解題的關鍵._

6.如圖，在四邊形ABCD中，CD//AB,CB=4,AB=AC=AD=3,則BD的長為2.

【分析】以A為圓心，A8長為半徑作圓，延長8A交于F連接。孔在中，由勾股定理即

可求出BD的長

【解答】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長交OA于R連接。足

VAB=AC=AZ)=3,

???￡),。在圓A上，

'：DC//AB,

???弧=弧3。，

：.DF=CB=4fBF=AB-^-AF=2AB=6f

???尸3是OA的直徑，

：.ZFDB=90°,

?*-5D=7BF2-DF2=V20=2V5

故答案為：2娓.

【點評】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是作出以A為圓心，A3長為半徑的圓，構建直角三角形，

從而求解.

7.如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,8C=2,點。在AC邊上運動，將△BCD沿8。翻折，點C的

對應點為C',在點。從點C到點A的動過程中，點C'運動的路徑長為2TT.

C'

----------

【分析】由題意可知點C'的運動軌跡是以8為圓心，BC為半徑的扇形，由此即可解決問題.

【解答】解：由題意可知點C'的運動軌跡是以2為圓心，8c為半徑的扇形，

當點。從點C到點A的動過程中，點C'運動的軌跡是扇形，扇形的圓心角為180°,

點C'運動的路徑長=18°兀"2=2^,

180

故答案為：21T.

【點評】本題考查翻折變換，弧長公式等知識，解題的關鍵是正確尋找點C'的運動軌跡，屬于中考常

考題型.

8.如圖示，A,8兩點的坐標分別為(-2,0),(3,0),點C在y軸上，且/ACB=45°,則點C的

【分析】在x軸的上方作等腰直角△ABF,FB=FA,ZBAF=90°,以F為圓心，麗為半徑作。尸交

y軸于C,連接CB,CA.首先證明/AC8=45°,根據八7=旦巨，構建方程即可解決問題.

2

【解答】解：在X軸的上方作等腰直角△ABRFB=FA,ZBAF=90°,以尸為圓心，剛為半徑作。尸

交y軸于C,連接C8,CA.

VZACB=AZAFB=45°,

2

,：B(-2,0),A(3,0),△ABF是等腰直角三角形,

：.F(A,A),FA=FB=FC=^^,設C(0,機)，

222

則(_1)2+(777-A)2=(5V2_)2,

222

解得m=6或-1(舍棄)

：.C(0,6),

根據對稱性可知C(0,-6)也符合條件，

綜上所述，點C的坐標為（0,6）或（0,-6）.

故答案為（0,6）或（0,-6）.

【點評】本題考查圓周角定理，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題，屬

于中考常考題型

9.如圖，平面直角坐標系中，點A、8坐標分別為（3,0）、（0,4）,點C是無軸正半軸上一點，連接

BC.過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D,連接BD,則sin/BOC的值是

4

【分析】作。5ax軸于點E,設交于點凡先證明△AEBsaCFD,導出相應的條件以證明4

AFCS^BFD,則/D4E=NZ)BC,再證明由勾股定理求出A3的長，則sin

N8OC=sinN8Ao=9=全

AB5

【解答】解：作。無軸于點E,設AD交于點R

'：AD±AB,CD±BC,

：.ZBAF=ZDCF=90°,

,：ZAFB^ZCFD,

：.AAFB^ACFD,

AF-B-F,

CFDF

A-F

BF-C-F,

DF

?.,NAFC=NBFD,

：.△AFCsABFD,

:.ZFAC=ZFBD9

即ND4E=NDBC,

VZAED=ZBCD=90°,

AZADE+ZDAE=90°,ZBDC+ZDBC=90°,

???ZADE=NBDC,

VZAED=ZBAD=90°,

AZADE=90°-ZDAE=ZBAO.