熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專(zhuān)題05圓錐曲線(十二大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01定點(diǎn)問(wèn)題...............................................................................2

題型02定直線問(wèn)題.............................................................................2

題型03定值問(wèn)題...............................................................................3

題型04最值問(wèn)題...............................................................................4

題型05取值范圍問(wèn)題...........................................................................4

題型06向量問(wèn)題..............................................................................5

題型07弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦問(wèn)題.......................................................................6

題型08數(shù)列在圓錐曲線的應(yīng)用...................................................................6

題型09軌跡問(wèn)題...............................................................................6

題型10新定義題...............................................................................7

題型11三角形的“心''在圓錐曲線的應(yīng)用...........................................................7

題型12證明恒等式............................................................................8

*>----------題型探析?明規(guī)律-----------*>

【解題規(guī)律?提分快招】

麗比司薪恿南

(1)把直線或曲線方程中的變量X,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要

對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的

解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn).

(2)由直線方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)—y0=k(x—xO),則直線必過(guò)定點(diǎn)(xO,yO)；

若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過(guò)定點(diǎn)(0,m).

2、圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值.

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求

得.

(3)求某線段長(zhǎng)度為定值.利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得.

3、圓錐曲線中最值的求法

(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，

求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

4、圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種常用解法

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

5、存在性問(wèn)題的解題策略

存在性的問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論.

(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.

(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

■「01莫麗顧

22

【典例1-1].(2024?上海寶山?一模)已知橢圓「:土+匕=1,直線/經(jīng)過(guò)橢圓「的右頂點(diǎn)P且與橢圓交于

93

另一點(diǎn)A,設(shè)線段4P的中點(diǎn)為

⑴求橢圓「的焦距和離心率；

(2)若后.=-；，求直線/尸的方程；

⑶過(guò)點(diǎn)尸再作一條直線與橢圓「交于點(diǎn)3,線段2尸的中點(diǎn)為N.若。則直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？

若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1-1].(2024?上海?三模)阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、

物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率兀等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)

22

的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C:A+彳=l(a>b>0)的面積等于2兀，且橢圓C的焦距為273.點(diǎn)尸(4,0)、

ab

0(0,2)分別為x軸、V軸上的定點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)區(qū)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形尸。尺面積的最小值，并求此時(shí)&點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)/、B,已知A關(guān)于丁軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為8點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,已

知尸、M,N三點(diǎn)共線，試探究直線/是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型02定直線問(wèn)題

【典例2-1】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知A、8是橢圓E:1r+的左、右頂點(diǎn)，橢圓石

的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)”（〃?,0）（加>0）與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.

（1）求橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑵求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶過(guò)點(diǎn)初作直線/交橢圓E于C、。兩點(diǎn)（與A、3不重合），連接NC、8。交于點(diǎn)G.證明：點(diǎn)G在定

直線上；

I*2"21

【變式2-1].（23-24高三下?上海?開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓一宗+方=1e>6>0）的離心率為左右焦點(diǎn)分

別為耳月，”是橢圓上一點(diǎn)，\MF]=2,/邛明=60。.

（1）求橢圓的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)N（l,l）的直線與橢圓交于尸，。兩點(diǎn)，R為線段尸。中點(diǎn).

（i）求證：R點(diǎn)軌跡方程為正凸+心力=0;

43

（ii）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)S,點(diǎn)G為直線OR上一動(dòng)點(diǎn)，且礪.加=2歷、求證：點(diǎn)G

在定直線上.

題型03定值問(wèn)題

【典例3-1]】.（2024?上海徐匯?一模）已知過(guò)點(diǎn)尸（3,夜）的雙曲線C的漸近線方程為x士島=0.如圖所示，

過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線I交C的右支于42兩點(diǎn).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知點(diǎn)。g,o],求證：AAQF=ABQF-

（3）若以為直徑的圓被直線x截得的劣弧為而，則疝所對(duì)圓心角的大小是否為定值？若是，求出

該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【變式3-1】.（2024?上海嘉定一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓”?+￡=1,耳月是其左、右焦

點(diǎn)，過(guò)橢圓「右焦點(diǎn)鳥(niǎo)的直線尸。交橢圓于尸,0兩點(diǎn).

(1)若尸耳子B=3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)若△片尸。的面積為4天0，求直線尸。的方程；

(3)設(shè)直線/與橢圓「交于48兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn).當(dāng)自時(shí)-kAB=kOA-kOB^,△048的面積是否為定值?

如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型04最值問(wèn)題

【典例4-1].(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知點(diǎn)G是圓7:(尤+丁+廿=16上一動(dòng)點(diǎn)(T為圓心)，點(diǎn)”

的坐標(biāo)為(1,0),線段G4的垂直平分線交線段7G于點(diǎn)尺動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C

⑴求曲線C的方程；

3

⑵M,N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線OM、ON的斜率分別為左和右，且"2=-“則AMON

的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶設(shè)尸為曲線C上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)OP至。，使詼=3麗，點(diǎn)0的軌跡為曲線E,過(guò)點(diǎn)尸的直線/交曲線

E于/、8兩點(diǎn)，求面積的最大值.

【變式4-1].(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「：[+/=1的左，右焦點(diǎn)外

別為片，鳥(niǎo)，設(shè)P是第一象限內(nèi)「上的一點(diǎn)，尸耳、陰的延長(zhǎng)線分別交「于點(diǎn)2、Q2.

⑴求△尸￡2的周長(zhǎng)；

⑵求△W面積的取值范圍;

(^)求S△尸尸Q-S/\p尸20]的最大值.

題型05取值范圍問(wèn)題

22

【典例5-11.(2024?上海青浦?一模)已知橢圓C-.—+^=l,F為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/

43

交橢圓C于A、B兩點(diǎn).

O\FJX

⑴若直線l垂直于X軸，求橢圓c的弦的長(zhǎng)度；

（2）設(shè)點(diǎn)尸（-3,0）,當(dāng)ZPAB=90°時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M（3,0）,記MA、的斜率分別為左和左2，求匕+左2的取值范圍.

【變式5-1】.（2023?上海閔行?一模）已知0＜。＜4,曲線口、口的方程分另U為丁=2/（0VXW8/20）和

x2=2處（0V旌8,x20）,口與口在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)K（%,五）.

（1）若10Kl=4應(yīng)，求0的值；

（2）若°=2,定點(diǎn)T的坐標(biāo)為（4,0）,動(dòng)點(diǎn)加?在直線》=無(wú)上，動(dòng)點(diǎn)雙仁可,打）（04馬44）在曲線匕上，求

|兒叫+眼力的最小值；

⑶已知點(diǎn)/（再,必）（04再4/）、8（程%）（弘＜馬48）在曲線匚上，點(diǎn)A、8關(guān)于直線》=無(wú)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別

為C、D,設(shè)|/C|的最大值為加，忸必的最大值為/,若：e1,2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題型06向量問(wèn)題

【典例6-1】.（2023?上海奉賢?一模）已知橢圓三+以=1（。＞6＞0）的焦距為2道，離心率為心，橢圓的

ab2

左右焦點(diǎn)分別為片、耳，直角坐標(biāo)原點(diǎn)記為O.設(shè)點(diǎn)尸（0,。，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角為銳角的直線/與橢圓交于不

同的兩點(diǎn)8、C.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)T,求行?（西-福）的取值范圍；

⑶設(shè)線段5c的中點(diǎn)為M,當(dāng)行時(shí)，判別橢圓上是否存在點(diǎn)。，使得非零向量?jī)膳c向量包平行，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

題型07弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦問(wèn)題

22

【典例7-1].(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)尸(11)在雙曲線「:二-仁=1的一條漸近線上，耳匕為雙曲

ab

線的左、右焦點(diǎn)且不?麻=0.

⑴求雙曲線「的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線/與雙曲線「恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線/的方程；

(3)過(guò)點(diǎn)尸的直線/與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)4B,求證：\AB\min<2.7.

22

rv

【變式7-1】.(2024?上海?三模)已知雙曲線「：/一方=1(。>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2.

(1)若「的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,焦距為4,求「的漸近線方程：

(2)若6=4,雙曲線「左支上任意點(diǎn)T均滿足|有|22”，求°的最大值；

(3)若雙曲線「的左支上存在點(diǎn)P、右支上存在點(diǎn)Q滿足但用=|尸。|=|。閭，求「的離心率e的取值范圍.

題型08數(shù)列在圓錐曲線的應(yīng)用

【典例8-1】?(23-24高三上?上海寶山?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)拋物線「：/=2”(0>0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線

與拋物線交于42兩點(diǎn).

(1)若。=2,求線段N尸中點(diǎn)〃的軌跡方程；

⑵若直線A8的方向向量?=(1,2),當(dāng)焦點(diǎn)為尸時(shí)，求△CM8的面積；

(3)若M是拋物線「準(zhǔn)線上的點(diǎn)，直線成4,MB,MF的斜率分別為勺，k2,《，求證：片為左，質(zhì)的等差中

項(xiàng).

題型09軌跡問(wèn)題

【典例9-1】?(22-23高三上?上海寶山?期中)已知中心在原點(diǎn)。，左焦點(diǎn)為耳(T,。)的橢圓。的左頂點(diǎn)為

A,上頂點(diǎn)為B,不到直線的距離為可

⑴求橢圓C的方程;

⑵過(guò)點(diǎn)尸(3,0)作直線I,使其交橢圓。于A、s兩點(diǎn)，交直線x=1于。點(diǎn).問(wèn)：是否存在這樣的直線/,使|尸@

是|PR|、|PS|的等比中項(xiàng)？若存在，求出直線/的方程；若不存在，說(shuō)明理由；

2222

⑶若橢圓G方程為三+4=1(。>6>0)，橢圓G方程為：斗+多=%("0,左H1),則稱(chēng)橢圓G是橢圓G

abab

的后倍相似橢圓.已知G是橢圓G的3倍相似橢圓，若直線>=sx+f與兩橢圓C1、G交于四點(diǎn)(依次為尸、

。、R、S),且市+市=2函，試研究動(dòng)點(diǎn)￡(sj)的軌跡方程.

【變式9-11.(2021?上海黃浦?三模)已知直線/：y=x+加交拋物線C：/=4x于48兩點(diǎn).

(1)設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為T(mén),若行=2滿，求實(shí)數(shù)旭的值；

(2)若點(diǎn)M、N在拋物線。上，且關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，求證：4&A/、N四點(diǎn)共圓：

(3)記尸為拋物線C的焦點(diǎn)，過(guò)拋物線C上的點(diǎn)尸、。作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)。、匕，若陽(yáng)的面積

是XPQF的面積的兩倍，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.

題型10新定義題

2222

【典例10-1].(24-25高三上?上海?階段練習(xí))我們把由半橢圓》+￡=l(x20)與半橢圓方+1r=l(xV0)

合成的曲線稱(chēng)作“果圓“，其中/="+,2,a>0,b>c>0.如圖，設(shè)點(diǎn)片，鳥(niǎo)是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，

4，4和片，鳥(niǎo)是“果圓”與x,y軸的交點(diǎn)，M是線段44的中點(diǎn).

22

⑴設(shè)尸是“果圓”的半橢圓方+{=1(x40)上任意一點(diǎn)，且6=4,c=3.求證：當(dāng)1PM取得最小值時(shí)，P

在點(diǎn)4處；

⑵若尸是“果圓”上任意一點(diǎn)，求|尸訓(xùn)取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

(3)連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱(chēng)為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)上，使斜率為左的“果圓”平行弦的

中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的左值；若不存在，說(shuō)明理由.

題型11三角形的“心”在圓錐曲線的應(yīng)用

【典例11-1】.(2024?上海?二模)在ZUBC中，已知/TO),C(l,0),設(shè)G,H,P分別是△/BC的重心、

垂心、外心，且存在％eR使麗=2打.

⑴求點(diǎn)A的軌跡「的方程；

(2)求△4BC的外心少的縱坐標(biāo)加的取值范圍；

⑶設(shè)直線/少與「的另一個(gè)交點(diǎn)為記△NPG與AMG*的面積分別為工㈤，是否存在實(shí)數(shù)X使

S7

若存在，求出彳的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【變式11-11.(2022?上海青浦?二模)已知橢圓「：乙+匕=1的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/交「于A,B

43

兩點(diǎn).

(1)若直線/垂直于x軸，求線段的長(zhǎng)；

(2)若直線/與x軸不重合，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△/08面積的最大值；

(3)若橢圓「上存在點(diǎn)C使得|，。|=忸。，且的重心G在丁軸上，求此時(shí)直線/的方程.

題型12證明恒等式

【典例12-1】.(2023?上海楊浦?模擬預(yù)測(cè))貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線.法

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