熱點題型?解答題攻略

專題04統計與概率(六大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01統計估計與概率.........................................................................1

題型02統計圖表與概率.........................................................................4

題型03隨機變量的分布與特征...................................................................5

題型04線性回歸及其綜合應用...................................................................7

題型05獨立性檢驗列聯表.....................................................................11

題型06函數的實際應用與統計概率綜合........................................................15

?>----------題型探析?明規律-----------?>

【解題規律?提分快招】

工一商敵私廊變靜希利而須函應再

(1)利用“概率之和為1”可以求相關參數的值.

(2)利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和“求某些特定事件的概率.

(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確.

2、求離散型隨機變量自的均值與方差的步驟

(1)理解自的意義，寫出自可能的全部值.

(2)求自取每個值的概率.

⑶寫出自的分布列.

(4)由均值、方差的定義求E&),D?.

3、獨立性檢驗的一般步驟

(1)根據樣本數據制成2x2列聯表.

⑵根據公式/2=計算.

(3)比較必與臨界值的大小關系，作統計推斷.

題型。丁統訐估訐寫新軍

【典例1-1].(24-25高三上?上海金山?期末)某高中舉行了一次知識競賽.為了了解本次競賽成績情況，

從中抽取了部分學生的成績作為樣本進行統計.將成績進行整理后，依次分為五組

([50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項.請根

據下面的頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題：

⑴求a、b的值；

（2）從樣本數據在60,60）,[70,80）兩個小組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取7名學生，再從這7名學生

中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；

（3）某老師在此次競賽成績中抽取了10名學生的分數：%,尤2，尤3廣、再。，己知這10個分數的平均數元=88,方

差s'=25,若剔除其中的95和81兩個分數，求剩余8個分數的平均數與方差.

【典例1-2】.（2024?上海青浦?一模）第七屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海

舉辦，某公司生產的A.B,C三款產品在博覽會上亮相，每一種產品均有普通裝和精品裝兩種款式，

該公司每天產量如下表：（單位:個）

產品A產品B產品C

普通裝n180400

精品裝300420600

現采用分層抽樣的方法在某一天生產的產品中抽取100個，其中B款產品有30個.

⑴求"的值；

（2）用分層抽樣的方法在C款產品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產品，求其中至少有一

個精品裝產品的概率；

（3）對抽取到的B款產品樣本中某種指標進行統計，普通裝產品的平均數為10,方差為2,精品裝產品的

平均數為12,方差為1.8,試估計這天生產的B款產品的某種指標的總體方差（精確到0.01）.

【變式1-11.（2024?上海嘉定?一模）在一場盛大的電競比賽中，有兩支實力強勁的隊伍甲和乙進行對決.

比賽采用5局3勝制，最終的勝者將贏得10萬元獎金，比賽過程中，每局比賽雙方獲勝的概率相互獨立且

甲隊每局獲勝概率為0.4,乙隊每局獲勝概率為0.6.比賽開始后，甲隊先連勝兩局，此時，主辦方記錄了兩

隊隊員在這兩局比賽中的一些數據.甲隊隊員的擊殺數（單位：個）數據如下：

24,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙隊隊員的擊殺數（單位;個）數據如下：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39.

然而此時比賽場地突發技術故障，比賽不得不中止.請回答以下問題：

⑴根據目前情況（甲隊已連勝兩局），寫出甲、乙兩隊”采用5局3勝制”的比賽結果的樣本空間；

（2）根據所給數據，繪制甲、乙兩隊隊員的擊殺數分布的莖葉圖；

（3）在目前情況下（甲隊已連勝兩局），估算甲乙兩隊獲勝概率，并據此分配10萬元獎金.

【變式1-2】.（2024?上海虹口?一模）2024年法國奧運會落下帷幕.某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿

意度，隨機調查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分

為［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）.并在這些評分

中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到

⑴求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數；

（2）若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概

率；

（3）已知這1000名觀眾的評分位于［50,80）上的均值為67,方差為64.7,位于［50,100］上的均值為73,方差

為134.6,求這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差.

【變式1-3】.（24-25高三上?上海?期中）某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生

產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20

人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式，完成生產任務的工作時間不超過70分

鐘的工人為“優秀”，否則為“合格”.根據工人完成生產任務的工作時間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：

（1）求40名工人完成生產任務所需時間的第75百分位數；

（2）獨立地從兩種生產方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優秀的概率;

(3)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個職工的體重數據，發現全部介于45公斤到75公

斤之間，現將100個體重數據分為6組：第一組[45,50),第二組[50,55),…，第六組[70,75),得到如圖

所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求與。的值.

C

題型02統計圖表與概率

【典例2-1】.(2024?上海長寧?一模)2024年第七屆中國國際進口博覽會(簡稱進博會)于11月5日至10

日在上海國家會展中心舉行.為了解進博會參會者的年齡結構，某機構隨機抽取了年齡在15-75歲之間的200

名參會者進行調查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區間為

[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75].把年齡落在區間[15,35)內的人稱為“青年人”，把年齡落在

區間[35,65)內的人稱為“中年人”，把年齡落在[65,75]內的人稱為“老年人”.

200名參會者的頻率分布直方圖

(1)求所抽取的“青年人”的人數；

(2)以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會者做進一步訪談，發現其中女性共4人,

這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.

①簡述如何采用抽簽法任選2人；

②設事件42人均為“中年人”，事件8：2人中至少有1人為男性，判斷事件N與事件8是否獨立，并說

明理由.

【變式2-1】.(2024?上海奉賢?一模)某芯片代工廠生產甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指標,

從這兩種芯片中各抽取100件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：

頻率

頻率

乙型芯片

假設數據在組內均勻分布，以樣本估計總體，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計乙型芯片該項指標的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為

代表)；

(2)已知甲型芯片指標在［80,100)為航天級芯片，乙型芯片指標在［60,70)為航天為航天級芯片.現分別采用

分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在［70,90)內取2件，乙型芯片指標在［50,70)內取4件，再從這6件中任

取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率.

【變式2-2】.(24-25高三上?上海松江?期末)某日用品按行業質量標準分成五個等級，等級系數X依次為

1、2、3、4、5,現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下:

X12345

fa0.20.45bc

(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求°、6、c的值；

⑵在(1)的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為多、尤2、%,等級系數為5的2件日用品記為必、

%,現從多、%、%、乂、為這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所

有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率.

題型03隨機變量的分布與特征

【典例3-1】.(2024?上海松江?二模)某素質訓練營設計了一項闖關比賽.規定：三人組隊參賽，每次只派

一個人，且每人只派一次：如果一個人闖關失敗，再派下一個人重新闖關；三人中只要有人闖關成功即視

作比賽勝利，無需繼續闖關.現有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關成功的概率分別為百、2、2,

假定B、0、烏互不相等，且每人能否闖關成功的事件相互獨立.

321

(1)計劃依次派甲乙丙進行闖關，若Pi=z，P2=j-P3=］，求該小組比賽勝利的概率；

(2)若依次派甲乙丙進行闖關，則寫出所需派出的人員數目X的分布，并求X的期望E(X)；

(3)己知若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數目的期望較小，試確定甲、丙誰先派

出.

【典例3-2】?(24-25高三上?上海奉賢?期中)某市數學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學

生中隨機抽取100名學生，得到他們的成績，將數據分成五組：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),

［90,100］,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)若只有前35%的學生能進決賽，則入圍分數應設為多少分?

(2)采用分層隨機抽樣的方法從成績為[80,100]的學生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機抽取2名學

生進行問卷調查，設X為其中達到90分及以上的學生的人數，求X的概率分布及數學期望.

【變式3-1】.(24-25高三上?上海?開學考試)為了緩解高三學生學業壓力，學校開展健美操活動，高三某

班文藝委員調查班級學生是否愿意參加健美操，得到如下的2x2列聯表.

性別愿意不愿意

男生610

女生186

(1)根據該2x2列聯表，并依據顯著水平a=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認為“學生性別與是否愿意參加健

美操有關”；

(2)在愿意參加的所有學生中，根據性別，分層抽樣選取8位學生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2人

作為領隊，記這2人中女生人數為隨機變量X,求X的分布及期望E[X].

2

附：P(Z>3,841)^0.05.

【變式3-2】.(2023?上海閔行?三模)某學校有48兩個餐廳為學生提供午餐與晚餐服務，甲、乙兩位學生

每天午餐和晚餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統計如下：

選擇餐廳情況(午餐，晚餐)(仙)(4為(民⑷(B,B)

甲30天20天40天10天

乙20天25天15天40天

為了吸引學生就餐，A餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為g,而3餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐

送一張.

假設甲、乙選擇餐廳就餐相互獨立，用頻率估計概率.

(1)分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇/餐廳就餐的概率，乙午餐和晚餐都選擇8餐廳就餐的概率；

(2)記X為學生乙在一天中獲得貼紙的數量，求X的分布列和數學期望E(X)；

(3)A餐廳推出活動當天學生甲就參加了抽獎活動，已知如果學生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去A餐廳

2

就餐的概率為如果學生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在A餐廳就餐的概率為夕，若A餐廳推出

活動的第二天學生甲午餐去A餐廳就餐的概率是:，求。.

【變式3-3】.(24-25高三上?上海松江?階段練習)某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，

從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：

賠償次數01234

單數800100603010

假設：一份保單的保費為04萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司

賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.

（1）估計一份保單索賠次數不少于2的概率；

（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

（i）記X為一份保單的毛利潤，估計X的數學期望E[X]；

（ii）如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤的數學期望估計值與（i）中E[X]估計值的大小.

【變式3-4].（23-24高三下?上海青浦?階段練習）中國首個海外高鐵項目——雅萬高鐵全線長142.3千米,

共設有哈利姆站、卡拉旺站、帕達拉朗站、德卡伯爾站4個車站.在運營期間，鐵路公司隨機選取了100名

乘客的乘車記錄，統計分析，得到下表（單位：人）：

下車站上車站卡拉旺站帕達拉朗站德卡魯爾站總計

哈利姆站5201540

卡拉旺站102030

帕達拉朗站3030

總計53065100

用頻率代替概率，根據上表解決下列問題:

（1）在運營期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設這3人到德卡魯爾站下車的人數為隨機變量X,求X

的分布列及其數學期望；

（2）己知A地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，A地居民到哈利姆站乘車的概率為0.4,到卡拉旺站乘車的概率

為0.6（A地居民不可能在卡拉旺站下車）.在高鐵離開卡拉旺站時，求從哈利姆站上車的乘客來自A地的概

率與從卡拉旺站上車的乘客來自A地的概率的比值.

題型04線性回歸及其綜合應用

【典例4-1].（2024?上海?一模）為幫助鄉村脫貧，某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況，測得了

平均金屬含量了（單位：克每立方米）與樣本對原點的距離x（單位：米）的數據，并作了初步處理，得到

[19

了下面的一些統計量的值.（表中%=一,7=%￡%）.

Xj9tr

9_9_9_9__9__

Z（%-"）2￡（其一

XyUE（%-"）（％一）

i=\Z=1i=lZ=1Z=1

697.900.212400.1414.1226.13-1.40

（1）利用相關系數的知識，判斷y=。與y=C+@哪一個更適宜作為平均金屬含量y關于樣本對原點的距

離X的回歸方程類型；

（2）根據（1）的結果建立了關于x的回歸方程，并估計樣本對原點的距離x=20米時，平均金屬含量是多

少？

【典例4-21.（2023?上海楊浦?模擬預測）某科技公司為確定下一年度投入某種產品的研發費，需了解年研

發費x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現對近6年的年研發

費為和年銷售量％（，=1，2,…，6）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

2t(y.-y)2

Xy為”)火仇-力

Z=1Z=1i=li=lZ=1

12.52223.5157.5168004.51254270

表中=lnx,?，〃=

6z=i

（1）根據散點圖判斷i=Z+與i=Z+21nx哪一個更適宜作為年研發費x的回歸方程類型；（給出判斷即可，

不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

⑶已知這種產品的年利潤z=0.5y-x,根據（2）的結果，當年研發費為多少時，年利潤z的預報值最大？

附：對于一組數據（叱，匕），（也,％）,…，（叱,V”），其回歸直線￡=3+/w的斜率和截距的最小二乘法估計

1=1

【變式4-11.（2023?上海奉賢?一模）某連鎖便利店從2014年到2018年銷售商品品種為2000種，從2019

年開始，該便利店進行了全面升級，銷售商品品種為3000種.下表中列出了從2014年到2023年的利潤額.

年份X2014201520162017201820192020202120222023

利潤額

27.642.038.448.063.663.772.880.160.599.3

力萬元

（1）若某年的利潤額超過45.0萬元，則該便利店當年會被評選為示范店；若利潤額不超過45.0萬元，則該便

利店當年不會被評選為示范店.試完成2x2列聯表，并判斷商品品種數量與便利店是否為示范店有關？（顯

著性水平a=0.05,P（72>3.841）?0.05）

品種為2000種品種為3000種總計

被評為示范店次數

未被評為示范店次數

總計

⑵請根據2014年至2023年（剔除2022年的數據）的數據建立丁與x的線性回歸模型①；根據2019年至2023

年的數據建立丁與x的線性回歸模型②.分別用這兩個模型，預測2024年該便利店的利潤額并說明這樣的預

測值是否可靠？（回歸系數精確到0.001,利潤精確到0.1萬元）

回歸系數&與g的公式如下：

Sx^-rixy人Z%-匯天

2=-----------------=-------------tb=y-ax=---------

￡（占-可2￡x；一而2"

z=li=l

【變式4-2】.（2024?上海?模擬預測）某航天公司研發了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進器飛行距

離與損壞零件數進行了統計，數據如下:

飛行距離x（kkm）5663717990102110117

損壞零件數了（個）617390105119136149163

（1）建立y關于x的回歸模型步=八+6,根據所給數據及回歸模型，求回歸方程及相關系數（B精確到

0.1,4精確到1,r精確到0.0001）

（2）該公司進行了第二次測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60臺進

行飛行前保養，測試結束后，有20臺報廢，其中保養過的推進器占比30%,請根據統計數據完成2x2列聯

表，并根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養有關?

保養未保養合計

報廢20

未報廢

合計60100

附：八_______Mad-bcf_______

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(X>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【變式4-3】.（23-24高三下?上海浦東新?階段練習）環境監測部門為調研汽車流量對空氣質量的影響，在

某監測點統計每日過往的汽車流量x（單位：輛）和空氣中的PM2.5的平均濃度丁（單位：gg/m3）.調

研人員采集了50天的數據，制作了關于（%,入改=1,2,3,…,50）的散點圖，并用直線x=1500與y=100將散

點圖分成如圖所示的四個區域I、II、HI、IV,落入對應區域的樣本點的個數依次為6,20,16,8.

斗

200?[4：?；

100W息聲三

,*v**HI：IV,

O15002000X

（1）完成下面的2x2列聯表，并判斷至少有多大把握認為“PM2.5平均濃度不小于100照/m3與“汽車日流量不

小于1500輛”有關;

汽車日流量x<1500汽車日流量X21500合計

PM2.5的平均濃度了<100

PM2.5的平均濃度>2100

合計

⑵經計算得回歸方程為]=012X-73.36,且這50天的汽車日流量x的標準差工=252,PM2.5的平均濃度

了的標準差s”=36.

①求相關系數/，并判斷該回歸方程是否有價值；

50

②若這50天的汽車日流量x滿足￡X；=1.2X108,試推算這50天的PM2.5日均濃度了的平均數歹.（精確

Z=1

到0.1）

n(ad-兒丫

參考公式：r2=其中n=a+b+c+d

q+b)(c+d)(Q+c)(6+d)'

尸（/源）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

￡（七一可（乂一刃

回歸方程/=0+公，其中右=J------------.

可2

1=1

￡（苞-可（乂-刃

相關系數，=.若卜|20.75,則認為y與x有較強的線性相關性.

J￡（x,-可2t包一刃2

VZ=1Z=1

題型05獨立性檢驗列聯表

【典例5-1】?（24-25高三上?上海?期中）學校為了解學生對“公序良俗”的認知情況，設計了一份調查表，

題目分為必答題和選答題.其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩

共七道題，被調查者在選答題中自主選擇其中4道題目回答即可.現從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選

答一道的學生中隨機抽取100名學生進行調查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數及人數統計如表：

選答④、⑥、⑧、⑩的題目數1道2道3道4道

人數20303020

⑴現規定：同時選答④、⑥、⑧、⑩的學生為“公序良俗”達人.學校還調查了這100位學生的性別情況,

研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例，得到的數據如下表：

性別“公序良俗”達人非“公序良俗''達人總計

男性30

女性7

總計100

P(x2>左)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

請完成上述2x2列聯表，并根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析“公序良俗”達人與性別是否有關.

（2）從這100名學生中任選2名，記X表示這2名學生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數之差的絕對值，求隨機

變量X的分布和數學期望.

n(ad-be)2

參考公式:其中〃=a+b+c+d.附表見上圖.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【典例5-2】?（24-25高三上?上海?階段練習）為了了解廣大消費者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相

關性，某汽車APP采用問卷調查形式對400名消費者進行調查，數據顯示這400人中中老年人共有150人,

且愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車

的4倍.

購車意向

年齡段合計

愿意購買新能源車愿意購買燃油車

青年

中老年

合計

⑴完善2x2列聯表，請根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析消費者對新能源車和燃油車的意向購買

與年齡是否有關；

(2)采用分層隨機抽樣從愿意購買新能源車的消費者中抽取9人，再從這9人中隨機抽取5人，求這5人中

青年人數的分布和期望.

2n(ad-bcY

附:V=---------------------------------------------------n=a+b+c+d.

(a+6)(c+4)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【變式5-1】.(24-25高三上?上海?階段練習)某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇.為了

解該校學生是否同意“三項體育活動中要有籃球”，學校隨機調查了200名學生，數據如表:

男生女生合計

同意7050120

不同意305080

合計100100200

(1)能否有99%的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關?

(2)現有足球、籃球、跳繩供學生選擇.若甲、乙兩學生從三項運動中隨機選一種(他們的選擇相互獨

2

立).若在甲學生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為記事件A為“甲學生選擇足球”，事件8

為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件48是否獨立，并說明理由.

(3)經觀察，該校學生每分鐘跳繩個數X?N085,169),由往年經驗，訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時

增加10個，該校有1000名學生，預估經過訓練后每分鐘跳182個以上人數(結果四舍五入到整數).

2n^ad-bcy

參考公式和數據:,(a+6)(c+d)(a+c)(6+4)其中〃=a+6+c+d；

尸（/工）0.0230.0100.005

%5.0246.6357.879

若X?N(〃口?)，則尸■b0.6827,尸(國一“<2o■卜0.9545,尸(|X-“<3o■卜0.9973.

【變式5-2].（24-25高三上?上海?期中）2024年某瓷器公司計劃向市場推出兩種高檔中國紅瓷杯/和3,

己知/和8燒制成功率分別為80%和90%,燒制成功一個/,盈利30元，否則虧損10元；燒制成功一個

B,盈利80元，否則虧損20元.

（1）設X為燒制一個/和一個3所得的利潤之和，求隨機變量X的分布和數學期望；

（2）求燒制4個/所得的利潤不少于80元的概率；

（3）公司將用戶對中國紅瓷器的喜歡程度分為“非常滿意”（得分不低于85分）和“滿意”（得分低于85分）

兩類，通過調查完成下表.

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

年齡低于45歲61442317

年齡不低于45歲4647358

根據調查數據完成下列2x2列聯表，并依據顯著性水平a=0.05的獨立，性檢驗，判斷居民對瓷器的喜歡程度

是否與年齡有關聯?

非常滿意滿意合計

年齡低于45歲

年齡不低于45歲

合計

2

%”2_n(ad-be)

n=a+b+c+d,P(/>k)^a,a與k的若干對應數值見下表

?"(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.250.050.005

k1.3233.8417.879

【變式5-3】.（24-25高三上?上海?階段練習）近年來，隨著智能手機的普及，網上買菜迅速進入了我們的

生活。現將一周網上買菜次數超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市

民認定為“不喜歡網上買菜”.某市M社區為了解該社區市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區100名市民,

得到的統計數據如下表所示：

喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計6040100

（1）能否有95%的把握認為M社區的市民是否喜歡網上頭菜與年齡有關？

（2）M社區的市民小張周一、二均在網上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜如果

4

周一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為），如果周一選每8平臺買菜，那么周二選擇A

平合買菜的概率為:，求小張周二選擇8平臺買菜的概率；

⑶用頻率估計概率，現從M社區隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數為隨機變量X,并

記隨機變量￥=2丫+3,求X、丫的期望和方差.

其中〃=

參考公式：?+6黑就…）a+6+c+d.

pg>h)0.10.050.010.0050.001

*2.7063.8416.6357.87910.828

【變式5-4].（24-25高三?上海?課堂例題）“日行萬步”正成為健康生活的代名詞.某地一研究團隊統計了

該地區1000位居民的日行步數，得到如下表格:

日行步數（單位：千步）[0,2]僅4](4,6]（6用(8,10](10,12](12,14]

人數（人）206017020030020050

（1）為研究日行步數與居民年齡的關系，以日行步數是否超過8千步為標準進行分層抽樣，從上述1000位居

民中抽取200人,得到如下列聯表，請將2x2列聯表補充完整，并根據2x2列聯表判斷是否有95%把握認為

日行步數與居民年齡超過40歲有關;

日行步數48千步日行步數＞8千步總計

40歲以上（人）100

40歲以下（含40歲）（人）50

總計200

2

P(K>k0)0.500.400.250.150.0100.050.0250.010

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

⑵以這1000位居民日行步數超過8千步的頻率，代替該地區1位居民日行步數超過8千的概率，每位居民

日行步數是否超過8千相互獨立.為了深入研究，該研究團隊隨機調查了20位居民，其中日行步數超過8

千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？

【變式5-5】.（2024?上海徐匯?二模）為了解中草藥甲對某疾病的預防效果，研究人員隨機調查了100名人

員，調查數據如表.（單位：個）

未患病者患病者合計

未服用

291645

中草藥甲

服用

46955

中草藥甲

合計7525100

（1）若規定顯著性水平a=0.05，試分析中草藥甲對預防此疾病是否有效；

（2）已知中草藥乙對該疾病的治療有效率數據如下：對未服用過中草藥甲的患者治療有效率為對服用過

3

中草藥甲的患者治療有效率為二.若用頻率估計概率，現從患此疾病的人員中隨機選取2人（分兩次選取，

每次1人，兩次選取的結果獨立）使用中草藥乙進行治療，記治療有效的人數為X,求X的分布和數學期

望.

n^ad-bc^

附:n=a+b+c+d.

(〃+6)(c+d)(a+c)(6+a)

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

題型06函數的實際應用與統計概率綜合

【典例6-1].（2023?上海金山?二模）某網站計劃4月份訂購草莓在網絡銷售，每天的進貨量相同，成本價

為每盒15元.假設當天進貨能全部售完，決定每晚七點前（含七點）售價為每盒20元，每晚七點后售價為

每盒10元.根據銷售經驗，每天晚七點前的購買量與網站每天的瀏覽量（單位：萬次）有關.為確定草莓的

進貨量，相關人員統計了前兩年4月份（共60天）網站每天的瀏覽量（單位：萬次）、晚七點前購買草莓

的數量（單位：盒）以及達到該流量的天數，如下表所示：

每天的瀏覽量(0,1)[1,+°°)

每天晚七點前的購買量300900

天數3624

以每天的瀏覽量位于各區間的頻率代替瀏覽量位于該區間的概率.

（1）求4月份草莓一天晚七點前的購買量X（單位：盒）的分布；

⑵設4月份銷售草莓一天的利潤為y（單位：元），一天的進貨量為"（單位：盒），〃為正整數且

[600,900],當“為多少時，y的期望達到最大值，并求此最大值.

【變式6-1】.（2023?上海長寧?二模）某地新能源汽車保有量符合阻沛型增長模型X?）=「k，其中X”）

為自統計之日起，經過t年后該地新能源汽車保有量、2和r為增長系數、M為飽和量.

下表是該地近6年年底的新能源汽車的保有量（萬輛）的統計數據：

年份20182019202020212022

t01234

保有量X”）9.612.917.123.231.4

假設該地新能源汽車飽和量M=290萬輛.

（1）若r=0.31,假設2018年數據滿足公式工?）=1之/，計算彳的值（精確到0.01）并估算2023年年底該

地新能源汽車保有量（精確到0.1萬輛）；

M

⑵設尸工-1,則Iny與/線性相關.請依據以上表格中相關數據，利用線性回歸分析確定彳和r的值（精

確到0.01）.

附：線性回歸方程了=公+3中回歸系數計算公式如下：-----------,b=y-ax.

i=\

【變式6-2】.（2023?上海浦東新?模擬預測）為幫助鄉村脫貧，某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情

況，測得了平均金屬含量了（單位：g/m3）與樣本對原點的距離x（單位：m）的數據，并作了初步處理,

1]9

得到了下面的一些統計量的值.（表中%=一）

再9I

9.9999

力(再-可￡(%-才￡（》一刃2

XyU￡(為-元)(乂-刃2(%-))(%-歹)

Z=1Z=11=1Z=1i=l

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

（1）利用樣本相關系數的知識，判斷歹=。+區與y=c+@哪一個更適宜作為平均金屬含量了關于樣本對原點

的距離X的回歸方程類型？

⑵根據（1）的結果回答下列問題：

（i）建立了關于X的回歸方程；

（ii）樣本對原點的距離X=2O時，金屬含量的預報值是多少？

⑶已知該金屬在距離原點x米時的平均開采成本印（單位：元）與X4關系為少=100（j-lnx）（14xW100）,

根據（2）的結果回答，x為何值時，開采成本最大？

【變式6-3】.（2023?上海松江?二模）某城市響應國家號召，積極調整能源結構，推出多種價位的新能源電

動汽車.根據前期市場調研，有購買新能源車需求的約有2萬人，他們的選擇意向統計如下：

車型ABCDEF

價格9萬元12萬元18萬元24萬元30萬元40萬元

占比5%15%25%35%15%5%

（1）如果有購車需求的這些人今年都購買了新能源車，今年新能源車的銷售額預計約為多少億元？

（2）車企推出兩種付款方式：

全款購車：購車時一次性付款可優惠車價的3%；

分期付款：無價格優惠，購車時先付車價的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付車價的!.

O

①某位顧客現有。萬元現金，欲購買價值。萬元的某款車，付款后剩余的資金全部用于購買半年期的理財

產品（該理財產品半年期到期收益率為1.8%）,到期后，可用資金（含理財收益）繼續購買半年期的理財產

品，問：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計算結果精確到0.0001）

②為了激勵購買理財產品，銀行對采用分期付款方式的顧客，贈送價值1888元的大禮包，試問：這一措施

對哪些車型有效？（計算結果精確到0.0001）

O---------------題型通關?沖高考----------*

一、解答題

1.（2023?上海普陀?一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公

眾關注的熱點話題之一，為了了解公眾對“延遲退休”的態度，某研究機構對屬地所在的一社區進行了調查,

并將隨機抽取的50名被調查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.

女男

67789278

123358323344567

01368994023344589

2385234578

24604

（1）經統計發現，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數，求此百分位數；

（2）經統計年齡在［50,59）的被調查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現從該組被調查者中隨機選

取男女各2人進行跟蹤調查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結果用最簡分數表示）

2.（2024?上海徐匯?一模）某企業招聘員工，指定“英語聽說”、“信息技術”、“邏輯推理”作為三門考試課程，

有兩種考試方案.

方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；

方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.

假設某應聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是.Pi，P2，P3（Pi￡（04）』=123）,且三門課程考試是否

及格相互之間沒有影響.

⑴分別求該應聘者選方案一考試通過的概率（和選方案二考試通過的概率T2；

⑵試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.

3.（2024?上海奉賢?三模）在剛剛結束的杭州亞運會上，中國羽毛球隊延續了傳統優勢項目，以4金3銀2

銅的成績傲視亞洲.在舊制的羽毛球賽中，只有發球方贏得這一球才可以得分，即如果發球方在此回合的

爭奪中輸球，則雙方均不得分.但發球方輸掉此回合后，下一回合改為對方發球.

.3

（1）在舊制羽毛球賽中，中國隊某運動員每一回合比賽贏球的概率均為a，且各回合相互獨立.若第一回合

該中國隊運動員發球，求第二回合比賽有運動員得分的概率；

（2）羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊員往往會更加占據心理上的優勢，給出以下假設：

假設1：各回合比賽相互獨立；

假設2：比賽雙方運動員甲和乙的實力相當，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為十；

求第一回合發球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？

4.（2024?上海?模擬預測）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業成績的關系，從該地區29000名學生中

抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業成績的數據如下表所示：

時間范