婁底市年秋季高三教學質量檢測數學注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即可判斷選項.【詳解】命題“，”的否定是“，”,故選:B.2.已知復數z滿足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由復數的除法法則求得z，再由模的定義計算.【詳解】因為復數z滿足，所以復數z滿足，第1頁/共21頁所以.故選：A.3.已知集合，，若，則實數a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化簡集合B，結合和集合具有互異性，得出實數a的取值范圍.【詳解】由，解得，所以，因為，又因為，所以.故選：D.4.若，則下列結論一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式展開計算可得結論.【詳解】由已知得：，即，所以.故選：A.5.在中，點D在邊上，且，設，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第2頁/共21頁【分析】根據給定條件，利用向量的線性運算求解即得.【詳解】因為點D在邊上，且，所以.故選：C.6.如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，已知，，M是的中點，二面角的大小為.則圓錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先說明為二面角的平面角，即可求出，再根據錐體的體積公式計算可得.【詳解】因為是底面圓的直徑，所以，又M是的中點，所以，又平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，即.由已知，，可得，所以，又平面，平面，所以，第3頁/共21頁由，解得，所以圓錐的體積.故選：B.7.已知，，則下列結論正確的是（）A.且B.且C.D.【答案】D【解析】【分析】根據對數式與指數式的轉換，由對數函數的單調性，可得答案.【詳解】法一：由，則，由，則，即.因為，所以，因為，所以，故；法二：由，，，∵，∴，故.故選：D.8.已知點F是拋物線的焦點，點A是拋物線E上一點.過點A作圓的兩條切線，切點分別為B，C，且分別交拋物線的準線于M，N兩點，M，N位于y軸異側（如圖所示）.若，則的長為（）A.2B.3C.4D.第4頁/共21頁【答案】B【解析】【分析】設與圓O相切于點D，由切線長定理可得的周長為，可得，設，由題意得，可得，計算可得，結合已知可得，可求.【詳解】設與圓O相切于點D，由題圖及切線長相等可得：，，，∴的周長為，∴，設，由題意得，∵，∴，∴，由，則，解得，所以.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于利用切線長定理與三角形的面積得到，進而計算求解.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）第5頁/共21頁9.已知函數的圖象向左平移個單位長度后與函數的圖象重合，則關于函數，下列結論正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數圖象關于點對稱C.函數圖象關于直線對稱D.函數在區間上單調遞減【答案】ABD【解析】【分析】由已知條件可得，根據周期公式即可判斷A項；代入檢驗結合余弦函數的對稱性可判斷B、C項；根據正弦函數的單調性即可判斷D項.【詳解】因為將的圖象向左平移個單位長度得到，對于A，函數的最小正周期，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，令，整理得，所以單調遞減區間為，顯然時，單調遞減區間為，第6頁/共21頁因為，故D正確.故選：ABD.10.設AB，，（）A.A，B相互獨立B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據相互獨立事件、和事件、條件概率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】因為，，所以，，因為，所以，即，所以A，B相互獨立，故A正確；所以，故B錯誤；因為A，B相互獨立，所以，相互獨立，，B相互獨立，A，相互獨立，所以，故C正確；因為，，所以，故D正確.第7頁/共21頁故選：ACD.已知函數的定義域為，區間，若，，則稱是在D上的不動點，集合為在D上的不動點集.若函數在R上的不動點集為，下列結論正確的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據不動點集的定義，根據方程的三個根化簡列出等式，求解即可判斷A和B；再設m的范圍，判斷C和D即可.【詳解】因為在R上的不動點集為，所以，即方程在R上存在3個實數根，，，所以，從而，所以A正確，B錯誤；令，則，當和時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則，解得.第8頁/共21頁因為，所以C錯誤，D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點（或方程的根）的問題的方法（1）直接法，對函數求導，求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質結合零點存在定理求解：（2）構造函數法，將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法，將問題等價轉化為直線與函數圖象的交點問題．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共分）12.函數在點處的切線方程為________.【答案】【解析】【分析】先求出導函數，得，即切線斜率，然后可得切線方程.【詳解】因為，所以，又，所以切線方程為：，即.故答案為：.13.在ABC所對的邊分別為abc，的面積的最大值為________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理結合均值不等式求得最大值，再用三角形的面積公式求解即可.【詳解】因為已知，由余弦定理可得，因為，又因為，得，當且僅當時等號成立，則面積為，第9頁/共21頁當且僅當時等號成立，故的面積的最大值為.故答案為：.14.已知橢圓的左，右焦點分別為，，其中，直線與橢圓C交于PQ的面積為S時，C的離心率的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】連接，，由題意可得四邊形為矩形，利用已知可得，利用橢圓的幾何性質與勾股定理可得橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】連接，，由題意得，，所以四邊形為矩形，所以，故，又，由勾股定理得，即，則，故，第10頁/共21頁即，即，解得，又點P在直線上，且，所以，即，所以，，解得，綜上，橢圓C的離心率的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于利用已知得到，進而利用橢圓的幾何性質與勾股定理可得，進而計算即可，需注意.四、解答題（本大題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和為，若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）用累加法即可求出結果；（2）將第（1）問的結果代入原式，裂項相消求出前n項和為，即可證明結果.【小問1詳解】因為，所以當時，，，，，上述各式相加得，又，所以，第11頁/共21頁又滿足上式，故.【小問2詳解】由（1）得，所以，所以數列的前n項和，即.16.方式，全校共有200名學生自主報名參賽，統計參賽成績，參賽學生所得分數的分組區間為，，，得到如下的頻數統計表：分數區間性別男生/名154560女生/名252530（1）若學生得分不低于90分，則認為基本技能優秀，得分低于90分，則認為基本技能良好，依據小概率值獨立性檢驗，分析該校學生的基本技能與性別是否有關？（2）為進一步調研男生和女生在基本技能上的差異，在參加數學基本技能比賽的200例分層抽樣的方式隨機抽取5名學生進行問卷調研，然后再從這5名學生中隨機抽取3名學生進行座談調研，記取出的3人中女生的人數為X，求X的分布列和數學期望.附：α0.100.050.0102.7063.8416.635第12頁/共21頁，.【答案】（1）認為該校學生的基本技能與性別有關聯（2）分布列見解析，【解析】【分析】(1)由題設完善列聯表，應用卡方公式求卡方值，根據獨立檢驗的基本思想得結論；(2)由題意的可能取值有0，1，2，進而求其分布列并求期望值.【小問1詳解】根據題意得如下2×2列聯表：男生女生合計基本技能優秀603090基本技能良好6050合計12080200零假設：該校學生的基本技能與性別無關聯.，依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該校學生的基本技能與性別有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.1.【小問2詳解】由題意知，隨機抽取進行問卷調查的5名學生中，女生2名，男生3名，所以隨機變量的可能取值有0，1，2，故，，第13頁/共21頁，故X的分布列如下，X012P17.如圖，在三棱柱中，D為邊上（異于A，C兩點）的動點，平面與邊交于點E.（1）請判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）已知側面底面，，，，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）平行四邊形，理由見解析（2）【解析】1）利用線線平行證明線面平行，再證明線線平行，還要利用面面平行證明線線平行，從而可得平行四邊形；（2）利用空間向量法來求線面角的大小.【小問1詳解】第14頁/共21頁在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以,又平面平面，平面平面，平面平面，所以.所以四邊形為平行四邊形.【小問2詳解】取的中點O，連接，.在中，因，所以，因為側面底面，底面側面，底面，所以平面，又側面，所以.在中，由，，可知，在Rt中，因為，，所以，所以，所以，從而，，兩兩垂直.以O為原點，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖，第15頁/共21頁則，，，，.所以，.設平面的法向量為，則令，得.又，設直線與平面所成角為，且，則，所以直線與平面所成角的大小為.18.已知函數，.（1）證明：函數與的圖象關于直線對稱；（2）設.（ⅰ）判斷函數的單調性；（ⅱ）證明：，.【答案】（1）證明見解析（2i）在ii）證明見解析【解析】1可得答案；第16頁/共21頁（2i）整理函數解析式，根據導數與函數的單調性的關系，對于導數由指數函數恒大于零，構造函數并利用其導數求其最值，可得答案；（ii）整理不等式，構造函數，求導并利用放縮法，研究導數的最值，可得答案.【小問1詳解】設點為函數上任一點，又點關于直線對稱的點為，因為，所以，所以點在函數的圖象上.設點為函數上任意一點，又點關于直線對稱的點為，因為，所以，所以點在函數的圖象上.綜上可得，函數的圖象與的圖象關于直線對稱；【小問2詳解】（ⅰ）由已知，得，令，則，當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增，所以，所以，則在單調遞增.（ⅱ）根據題意知，當時，令，則，第17頁/共21頁令，則，所以在上單調遞增，則，所以，則在上單調遞增，則，所以，即，【點睛】關鍵點點睛：本題的單調在于第二小題第二問對于構造函數的單調性研究，關鍵在于對于構造函數的導數采用放縮法化簡，利用放縮法解決問題是要注意放縮方向以及放縮的程度.19.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，D是雙曲線C的右支上一點，若，雙曲線E的離心率為.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）設，分別是雙曲線C的左，右頂點，平行y軸的直線l交雙曲線C于P，Q（異于，）兩點.直線與直線交于點R，求交點R的軌跡E的方程；（3）過點且斜率為的直線交第（2）問的軌跡E于A，B（A，B不在坐標軸上）兩點，點G是軌跡E上一點，滿足軸，直線，分別交直線于點M，N，其中O為坐標原點，記，，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】第