第15講平面向量已知的外接圓的圓心，，則的大小關(guān)系為______．已知△ABC中滿足(eq\o(\s\up8(),AB))2＝eq\o(\s\up8(),AB)·eq\o(\s\up8(),AC)＋eq\o(\s\up8(),BA)·eq\o(\s\up8(),BC)＋eq\o(\s\up8(),CA)·eq\o(\s\up8(),CB)，a、b、c分別是△ABC的三邊．試判斷△ABC的形狀并求sinA＋sinB的取值范圍．已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則（）．A．3B．4C．5D．6△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于()．A．eq\f(3,2)B．eq\r(3)C．3D．2eq\r(3)已知G是△ABC的重心，直線EF過點(diǎn)G且與邊AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝βeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)的值為________．如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up10(→))、eq\o(OB,\s\up10(→))、eq\o(OC,\s\up10(→))，其中eq\o(OA,\s\up10(→))與eq\o(OB,\s\up10(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up10(→))與eq\o(OC,\s\up10(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))＋μeq\o(OB,\s\up10(→))(λ、μ∈R)，則λ＋μ的值為________．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(CD,\s\up10(→))＝c，eq\o(DA,\s\up10(→))＝d．且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判斷四邊形ABCD是什么圖形．空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足，則的取值（）A．只有一個(gè)B．有二個(gè)C．有四個(gè)D．有無窮多個(gè)已知點(diǎn)O、N、P在△ABC所在平面內(nèi)，且|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|，eq\o(NA,\s\up10(→))＋eq\o(NB,\s\up10(→))＋eq\o(NC,\s\up10(→))＝0，eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))·eq\o(PC,\s\up10(→))＝eq\o(PC,\s\up10(→))·eq\o(PA,\s\up10(→))，則點(diǎn)O、N、P依次是△ABC的()．A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心設(shè)△ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個(gè)頂點(diǎn)為H．⑴若用；⑵求證：AH⊥BC；⑶設(shè)△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，外接圓半徑為R，用R表示|eq\o(\s\up5(→),OH)|．

第15講平面向量．詳解：設(shè)的外接圓的半徑為，，，．，．，．．．詳解：∵(eq\o(\s\up8(),AB))2＝eq\o(\s\up8(),AB)·eq\o(\s\up8(),AC)＋eq\o(\s\up8(),BA)·eq\o(\s\up8(),BC)＋eq\o(\s\up8(),CA)·eq\o(\s\up8(),CB)，(eq\o(\s\up8(),AB))2＝eq\o(\s\up8(),AB)·(eq\o(\s\up8(),AC)＋eq\o(\s\up8(),CB))＋eq\o(\s\up8(),CA)·eq\o(\s\up8(),CB)，即(eq\o(\s\up8(),AB))2＝eq\o(\s\up8(),AB)·eq\o(\s\up8(),AB)＋eq\o(\s\up8(),CA)·eq\o(\s\up8(),CB)，即eq\o(\s\up8(),CA)·eq\o(\s\up8(),CB)＝0，△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sin(A＋EQ\F(π,4))，A∈(0，EQ\F(π,2))，∴sinA＋sinB的取值范圍為．A．詳解：因?yàn)椋裕矗瑒t．C．詳解：取BC邊中點(diǎn)M，由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，可得2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，則點(diǎn)M與點(diǎn)O重合．又由|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，可得|AC|＝|BC|sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|·|eq\o(CB,\s\up6(→))|cosC＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＝3．3．詳解:連接AG并延長(zhǎng)交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．設(shè)eq\o(EG,\s\up6(→))＝λeq\o(GF,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→)))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(AF,\s\up6(→))，∴eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(α,1＋λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λβ,1＋λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(α,1＋λ)＝\f(1,3)，,\f(λβ,1＋λ)＝\f(1,3)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)＝\f(3,1＋λ)，,\f(1,β)＝\f(3λ,1＋λ)，))∴eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝3．6．詳解：由已知∠BOC＝90°，∵eq\o(OC,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))＋μeq\o(OB,\s\up10(→))，∴eq\o(OC,\s\up10(→))·eq\o(OA,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OA,\s\up10(→))＋μeq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))，即|eq\o(OC,\s\up10(→))|·|eq\o(OA,\s\up10(→))|cos30°＝λ|eq\o(OA,\s\up10(→))|2＋μ|eq\o(OA,\s\up10(→))||eq\o(OB,\s\up10(→))|cos120°．∴2eq\r(3)×1×eq\f(\r(3),2)＝λ＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴2λ－μ＝6．①同理，eq\o(OC,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＋μeq\o(OB,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))，化簡(jiǎn)，得λ－2μ＝0．②由①②得λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6．矩形．詳解:由于eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0．∴a＋b＋c＋d＝0．∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2．∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|同理可得，|a|2＋|d|2＝|b|2＋|c|2，∴|a|2＝|c|2且|b|2＝|d|2．即|a|＝|c|，|b|＝|d|，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝－eq\o(CD,\s\up10(→))，即a＝－c．又a·b＝b·c，即a·b＝－a·b，∴2a·b＝0，∴a⊥b，即eq\o(AB,\s\up10(→))⊥eq\o(BC,\s\up10(→))，故四邊形ABCD為矩形．A詳解：注意到由于則=即只有一個(gè)值得0，故選A．C．詳解：|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|，即點(diǎn)O到三點(diǎn)A、B、C的距離相等，∴點(diǎn)O為△ABC的外心．如圖，設(shè)D為BC邊的中點(diǎn)，則eq\o(NB,\s\up10(→))＋eq\o(NC,\s\up10(→))＝2eq\o(ND,\s\up10(→))．∵eq\o(NA,\s\up10(→))＋eq\o(NB,\s\up10(→))＋eq\o(NC,\s\up10(→))＝0，∴eq\o(NA,\s\up10(→))＋2eq\o(ND,\s\up10(→))＝0，∴eq\o(NA,\s\up10(→))＝2eq\o(DN,\s\up10(→))，∴A、D、N三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)N在BC邊的中線上，同理點(diǎn)N也在AB、AC邊的中線上，∴點(diǎn)N是重心．∵eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))·eq\o(PC,\s\up10(→))，∴eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PB,\s\up10(→))－eq\o(PB,\s\up10(→))·eq\o(PC,\s\up10(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up10(→))·(eq\o(PA,\s\up10(→))－eq\o(PC,\s\up10(→)))＝0，∴eq\o(PB,\s\up10(→))·e