2025年江蘇省鹽城市、南京市高考數學一模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合S—IId,集合7'二卜/“—則s1()

A.B.SC.TD.R

2.已知向量丁-IL〃…石-?2,1?,且丁「，則加()

11

A."B.,C.2D.2

3.設。為實數，貝1”是"1"-"”-2>-1)”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.在；1一、I,「的展開式中，系數為整數的項數是()

A.9B.4C.3D.2

5.若函數，「J有零點，則2c的取值集合為()

A.{-I.1}B.{0}C.{1}D.{-1}

6.設函數=2ain(w+,)(3>以用<泉，若/(,)的圖象經過點ML11,且/⑴在［0,T］上恰有2個零

點，則實數一的取值范圍是()

A.+xiB.,—)C.)>,D.'\4-xI

'366'331fi

7.第15屆中國國際航空航天博覽會于2024年11月12日至17日在珠海舉行.本屆航展規模空前，首次打造

“空、海、陸”一體的動態演示新格局，盡顯逐夢長空的中國力量.航展共開辟了三處觀展區，分別是珠海

國際航展中心、金鳳臺觀演區、無人系統演示區.甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個觀展區至少有1人,

每人只參觀一個觀展區.在甲參觀珠海國際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區的概率為()

K,191

A.B.C.~D.

I32

8.已知點后,九是橢圓。的兩個焦點，P是橢圓Q上一點，/球〃，的內切圓的圓心為”.若

X”、，.心八萬，則橢圓門的離心率為()

1233

A.-B.-C.-D.-

257s

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.某體育器材廠生產一批籃球，設單個籃球的質量為M單位：克?.若：V-其中。0,則()

第1頁，共17頁

A.P(X<600)

B.\」、!,<-L'\7，，

C./'I\--!,<X-blIH

D.'越小，J"\7、i越大

10.設：，：為復數，則下列說法中正確的有()

A.：||+=|；|+B,+=：［+

C.若，則：一二D.若」u,則為純虛數

11.已知曲線C：'-；/'I,貝1)()

A.曲線C關于直線”「對稱

B.曲線C關于原點對稱

C.曲線C在直線,一/I，的上方

D.曲線C與坐標軸圍成的封閉圖形的面積大于;

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數八一「+ln.1的圖象在點11?處的切線的斜率為.

13.已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,點E滿足7/J，/設三棱錐〃1CE和四棱錐

3

的體積分別為「I和I，則，的值為.

I.?

14.已知等差數列卜,，：的公差不為0,若在卜「的前100項中隨機抽取4項，則這4項按原來的順序仍然成

等差數列的概率為'用最簡分數作答，

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.?本小題13分)

在中，.106，13(15.

I若「=24，求、W.I的值；

［若3"'為銳角三角形，，，-1"，求.的面積.

16

16.本小題15分)

如圖，在所有棱長都為2的三棱柱1I：<中，點￡是棱.II：的中點，1%/,/

(1)求證:平面44-8」平面4BC；

I2l^.A.AH-:，點尸滿足斯廠31戶，求直線CP與平面「I所成角的正弦值.

第2頁，共17頁

17.I本小題15分:，

己知點,幾分別為雙曲線E：'；'I..u，,川的左、右焦點，點/到雙曲線E的漸近線的距離

為2、2，點/為雙曲線E的右頂點，且2U

1，求雙曲線E的標準方程；

⑶若四邊形/BCD為矩形，其中點2,。在雙曲線￡上，求證：直線過定點.

18.本小題17分）

設函數”'Li>?H.'i-11.

U當。I時，求的最小值；

」討論函數」一的圖象是否有對稱中心.若有，請求出；若無，請說明理由；

⑶當人“時，二一都有“一'，求實數a的取值集合.

21-2J

19.?本小題17分）

若數列；，滿足：對任意"6A-In?,總存在z\；-\,使得“'''?17:1,;■-1，則稱卜；1

是融積數列.

U判斷數列｛，-，是否為融積數列，并說明理由；

」若等差數列是融積數列，求代:的通項公式；

國若融積數列何：單調遞增，打2,“_一$,求使“成立的"的最值.

第3頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因為集合'-I1.1',集合/-\<i<>--in?--■；!,'-1-1；?--1.1,

所以sur

故選：<:

根據正弦函數性質求值域得出集合T,最后根據并集的定義計算即可.

本題考查正弦函數的值域，集合的運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：1."J,，7/I2.1I,

若，則？m0,解得：…2,

故選：(二

直接由平面向量數量積的坐標表示列式求得加的值.

本題考查平面向量數量積的坐標運算，是基礎的計算題.

3.【答案】A

【解析】解：由H,解得“1或“?，

由“.1能推出H—11'I—2-II,

但由5-I，，〕-II不一定能得到1’

所以“〃?1”是“S11“2：>『’的充分不必要條件.

故選：A

解一元二次不等式，根據集合包含關系分析充分、必要條件即可.

本題考查不等式的求解，充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：二項式；1-L「展開式的通項公式為：

/1?=(.\4.1-'(:3.1.A--11.1.2.3I'<<>.7..S，

因為1./,

3

所以1-0,3,6,

所以系數為整數的項為：1,4,7,

第4頁，共17頁

故有3項.

故選：(二

根據二項式展開式的通項7,」(「「「，)/即可求解.

本題考查了二項式定理的應用，重點考查了二項式展開式的通項公式，屬中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：函數卜，：?Jr,，?1有零點，

所以A；"I'I)>解得、iu\i-T，

又由正弦函數的有界性可得：.in-,11,

所以，i1>貝！Ln［八=1-2>iir'r)=12-1’=1>

所以「小一%的取值集合為11|.

故選：”

由二次函數有零點求出、口…，再利用二倍角的余弦公式計算即可.

本題考查二次函數有零點的應用，二倍角公式的應用，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意1山可得、

*J1,in-r2,

又I:<:,

2

可得「‘，

O

所以2Tl?|,>0,

由J?I).7,可得1.一-,

666

由題意卜「'在“*|上恰有2個零點，

可得？-.H,

6

解得.!7,即實數4的取值范圍是",7.

66(>6

故選：1}

根據J，的圖象經過的點及「范圍求出，一，再根據X的范圍得-，,-----，結合正弦函數的

Uo6o

性質，列出相應不等式，即可求得J范圍，即可得答案.

本題考查了根據部分三角函數圖象確定三角函數解析式以及正弦函數的性質的應用，考查了函數思想，屬

于中檔題.

第5頁，共17頁

7.【答案】A

【解析】解：根據題意，設事件」甲參觀珠海國際航展中心，事件4甲與乙不到同一觀展區,

航展共開辟了三處觀展區，每人只能隨機去一個展區，貝卜

因為每個觀展區至少有1人，每人只參觀一個觀展區，

則先將4個人分為3組，再將這三組分配給三個展區，

基本事件的總數為，“3<,；I；

若事件/、8同時發生，即甲參觀珠海國際航展中心而乙沒有參觀珠海國際航展中心,

分2種情況討論：

若參觀珠海國際航展中心有2人，則另外一人為丙或丁，

此時，不同的參觀情況種數為21

若參觀珠海國際航展中心只有甲一人，將另外三人分成兩組，再將這兩組分配給另外兩個展區,

此時，不同的參觀情況種數為rI,種，

由條件概率公式可得八,

P\.1：1IN6

故選：

根據題意，記事件4甲參觀珠海國際航展中心，事件8：甲與乙不到同一觀展區，求出Ct、/II/。的

值，利用條件概率公式可求得所/'〃I的值，即可得答案.

本題考查條件概率的計算，涉及排列組合的應用，屬于基礎題.

8.【答案】D

所以?UJ/'?I-,ir..”■/>：,i,,i；,i;

13/;.11/2<.Ill/?II.II?,

所以，~2-e=

第6頁，共17頁

所以，的內切圓的半徑為:；，由橢圓定義可得*/*/./,/.2,

所以'二;+I。人?M，1U：■：］：A吊I*lubl?；（加+勿）*；

C3

x2ccx■如■0。3o=aHr=>巴=-=一?

a8

故選：〃

不妨設橢圓的方程為：「?二："L”,根據/》"的面積建立等式關系即可求得.

a，6*

本題考查橢圓離心率的求法，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：根據題意，、-、小“，.，「，則〃600,該正態曲線......對稱，

依次分析選項：

對于/:“\H,故/正確；

、2

對于&正態曲線關于卜600對稱,則/\■>'?>/'in_\，"、「，“_!.\blihi,

故3錯誤；

對于c：正態曲線關于八"I。對稱，則/1、?.”,，/,：A-tiir.i,故c正確；

對于。，打越小，說明數據越集中，/■\II、I越小，故。錯誤.

故選：

根據題意，利用正態分布的對稱性，依次分析選項，即可得答案.

本題考查正態分布的性質，注意正態分布的對稱性，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解：對于/：對于k一I-，，1、貝!1+:，=2\2：「2,故/錯誤；

對于瓦令.1?1,且a,b,m,N-",則：，f,,,…一，

所以「??（a+rn）—他+n卜=：［-:一故2正確；

對于C：對于r1,：「，，滿足J），顯然.1，-；，故。錯誤；

對于。，令1,小，…?,一，且a,6,加，"-

:；—1〃-，”r—a'-（>'?-1）,

則（":可得（：，：，即：為純虛數，故。正確.

Iah0L，K）

故選：Bl）.

第7頁，共17頁

由二：I-',<1，判斷/,由二1,，i判斷C;令?〃十八,二」m小，且a,6,冽，〃-〃，

結合復數的相關概念及其加法、乘方運算判斷5、D.

本題考查復數的運算，共物復數，復數的模的求法，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于選項4：設點1八.w?在曲線J.J1上，

點I".W?關于直線”=「對稱的點為I/.」L,

此時1成立，故選項A正確；

對于選項8點I.JI在曲線/./1上，點

I「I—7?關于原點對稱的點為IJ.t/?,

此時-"一；1,該式J,/1不成立，故選項3錯誤；

對于選項C："-/：」-“IlJ4廠Ji/：1.H,

因為-廠j?.；;「?L/o,

24

所以,j一。，

所以曲線C在直線，，”=。的上方，故選項C正確；

對于選項。：易知曲線J與坐標軸的交點為ML11,llji,

此時/+『=1<^+/，

即曲線，'?/1在第一象限的點到原點的距離、，.；|,

所以曲線在第一象限的圖像比單位圓凸出，

則圍成的面積大于四分之一單位圓面積;，故選項。正確.

故選：ACD.

設點1門”找出關于直線“，對稱和原點對稱的點的坐標分別驗證，進而可判斷選項a8利用相等函

數得到結果，即可判斷選項c；圍成的面積與單位圓圍成的面積做對比，即可判斷選項，

本題考查曲線與方程，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】3

【解析】解：根據題意，」「-皿，其導數/"，

X

則!'\I'3.

故函數的圖象在點11」I處的切線的斜率，=;1.

故答案為：3.

第8頁，共17頁

根據題意，求出函數的導數，再利用導數的幾何意義可求出所求切線的斜率.

本題考查導數的幾何意義，涉及導數的計算，屬于基礎題.

13.【答案】

6

【解析】解：四棱錐，的底面是平行四邊形，點￡滿足八F-力,

3

設三棱錐產.4CE和四棱錐P的體積分別為li和「，

設點C到平面PAD的距離為肌

I,??21，\'川，，則］

匕0

故答案為：I

6

根據題意，由錐體的體積公式代入計算，即可得到結果.

本題考查錐體的體積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

14.【答案】二

【解析】解：選取的4項按原來的順序仍然成等差數列，設首項為，，，公差為，」，

則四項分別為J11，（1:,

則”，T且，，…3k-100,即I-tn1100U.,

m（N“，且100UI，可得￡433

即當該四項公差為初時,共有（100種方法,其中N*且14*433,

則共有97+94+91??■I'1617種方法.

??

第9頁，共17頁

y1I<MP|?)X99?！州?!斤

而從100項中任取3項共有，,,,“門上S

4!?96!4x3x2X1

二則這4項按原來的順序仍然成等差數列的概率為「―1G17—'.

39212251125

故答案為：

2125

選取的4項按原來的順序仍然成等差數列，設首項為，，，公差為，，--V.、則四項分別為「「，〃.，，

八」，“「」，由題意求得發的范圍，再由等差數列的前〃項和公式結合概率求解.

本題考查概率統計及其有關概念，考查等差數列的性質，考查運算求解能力，是中檔題.

15.【答案】解：在/—I/"中，由正弦定理得

sinCmn

?：一,

結合.1〃(i,li(,”,可得—-';,

即工，解得cos.”廣，結合I",可得而4=-cos2A

2milACVKAsinA5

<)_?方

J因為在銳角""中，，一」：，所以Zu1=\1二行」1=*1舍負，，

16'16'

根據正弦定理，可得、iu「.3v73v7,

BC516s

結合(匚?。.J,可得「Ji—sin’C=J1-；7，

/V88

5]93''7

所以一ii3-in\f-inI',>--.Isin(1\7???\7''

1681681

可得」”的面積、-BC-Sinn1.6.5x^1=r\7

'22II

【解析】I，根據二倍角公式與正弦定理，列式算出<一」，進而運用同角三角函數的關系求得7U.I的值;

。根據同角三角函數的關系求出、.in.4的值，然后運用正弦定理求得進而算出…TUH,再利

用三角形的面積公式求出I/"的面積.

本題主要考查三角恒等變換公式、正弦定理與三角形的面積公式等知識，考查了計算能力、等價轉化的數

學思想，屬于中檔題.

16.【答案】解：I證明：取4g的中點。，連接E。，OC,

因為E為從心中點，。為48中點，所以

第10頁，共17頁

在三棱柱JWC-AB?中,AB=AAi=2,則四邊形4Hbi4是菱形,所以

則八〃：EO,又4BCE>EO(I：E，EO,CE平面EOC,

所以L平面￡。。，又因為0Cu平面EOC，

所以<"］」〃，

因為I/*'是等邊三角形，。為N3中點，所以1/L

又因為OClABi，4B\H=A,AB,\B平面人」/"，.，

所以OC_L平面IAlili,又因為8面4BC,

所以平面4148場平面ABC.

連接4”.

因為iw:,\li11,所以I.1〃是等邊三角形，所以I".I",

又平面平面48C,平面.1一/">'平面4BCAH，\<)平面44BB1，

所以］。」平面N3C,由。C,()/，一平面/8C,

得mho,又i」“，

如圖，以。為原點，OC、OB、OA所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標系”「，

則,('Iv3.0.01，/Ml.l.lh,.1,111.(1\4,,11II.J.\J.

設C(z,“,z),又「己_兩,

即,■.;'I1.JI>

得，-V39-I.：-\3，

所以，?，，」1.v<iI，(I*\,1(I，、，，,1/''，\3.l.lli，

則喬=,+=(-v/S.u.'J-；'；'

易知平面AlABBi的一個法向量nl.ii.Hi,

第11頁，共17頁

C?-7F質

所以COB<3P.7?>=~i(r

設直線CP與平面ii"/>’所成角為”，

則、in”?'isCP.1/'".

1()

【解析】IL由題意可得八"/"),根據線面垂直的判定定理可得,I〃平面EOC,結合面面垂直的判定

定理即可證明；

1建立空間直角坐標系，根據(丫:「和空間向量的坐標表示求得「人」|，利用空間向量法求

解線面角即可.

本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：I設雙曲線E的焦距為2c,

此時f「-,

已知點/到雙曲線E的漸近線0的距離為‘、'人」，

yhr+<1，

因為“12W，

所以「，i?,

解得「二3”，

又1-u24"，

解得小］,

則雙曲線￡的標準方程為-「1；

8

，證明：①當直線5D的斜率不存在時，

因為「1〃..1",

設直線3。的方程為“t,

當，」時，則…11在雙曲線J'廠|,

8

此時11.

8

解得，:，

7

當，I時，則"/，-1)在雙曲線，,11''I,

8

此時,？.支創_1,

8

所以，1不合題意舍,

第12頁，共17頁

設直線的方程為4-"I，

y=k工+tn

{/,消去y并整理得a；1、一

此時、L.什且、、。,

由韋達定理得U+"=??，"2='，，：'、

s-k1*N一k1

因為四邊形45CD為矩形，

所以」〃..1"

所以AB.4/5=(n-1,例卜"2-(11-1)(^2-1)+yiyj=0%

即(八—1乂12—1)+(kxi+m)(kx2+m)=(fc2+l"i12+(km—+m24-1—0?

國小2kr〃〃/+M

因為「1?廣」一［，'「「'一，

a-Ar8—Ar2

由［、［IA-?III;/,-'，、21?,11.-1'、-卜，rJ-1?

所以??II

、-內卜-爐N—Z

整理得Ir”，111MA10,

解得"J-4或"i—_A,

1

當m―1時，直線BD的方程為4A-??'?'.1,

此時直線恒過定點.IlId,不合題意；

<)<|。

當”/時，直線助的方程為u4…J八J-.I,

7i1

此時直線恒過定點IHi

I

第13頁，共17頁

綜上所述,直線恒過定點（一三0）.

i

【解析】；1,先根據點到直線距離計算得出八人？，再應用1/「一7人得出，；，，，計算得出“1進

而得出標準方程；

I2i分直線BD的斜率不存在和直線BD的斜率存在兩種情況，聯立方程組結合向量的數量積計算得出

…卜或…J.,結合題意即可證明定點.

7

本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理、分類討論和運算能力，屬于中

檔題.

18.【答案】解：函數「????,；、li-111-1-1,

I1I當人|時'/|?|-uII”'2\(IId1I，

當且僅當小h，即土10gti2時取等號，〃不取最小值4.

⑵設點夕（〃八為函數/（」的對稱中心，則/"I?/⑵〃—」2n,

所以小?卜〃,+HMTA=2n，所以…1?:+乃=0,

于是1+hi”且L?「“，且，，II，

即〃二—卜,〃=I）,

所以當人時，切無解，此時函數/一一的圖象沒有對稱中心；

當4.I）時，…!A）,此時函數圖象的對稱中心為四：“二」E

l3i當A門時，一、:都有'?[,

所以小，1在I-上恒成立，即2J0.

1-2J-i2

令二"rliin.Im1-2.rl,則0,

所以，in.1~，令〃i；Ina-———，則411i<0，

1lx1-lx（12『）?

所以，IC在I上單調遞減，

第14頁，共17頁

①當"?rI時，，iJ。，則J」)在I-x上單調遞減，此時當.rII時，，一,?H,舍去;

9III

②當n.1時，由,I111H~I),解得J——一.，

1-2J2hia2

「當時，/€(-3C,0)時，/(*)>(),則.?單調遞增；

-?1時，，?」“，則，「一單調遞減；

所以」II時，，」，，取極大值，貝h」一r10：1?,所以“一滿足；

2°當1時，—[”什，

2Ina

因為L?,1時，，1,“，則，一單調遞減，

2hi”2

所以，?，時，.：/I/<I)=I),舍去；

2Ina

3°當“，時，’,'in

2ina

因為J-：X1?I時，,'l^：-0,則.1，單調遞增，

2Ino

1

所以，"’時，Zl.rl>rHI：II,舍去；

2Ina

綜上，實數。的取值集合為｛「｝.

【解析】?結合指數運算法則，利用基本不等式求解即可，注意驗證等號成立條件.

，，利用中心對稱列方程，根據指數運算化簡得A,"1按照ir和，I)分類討論求解即可.

?>由題意轉化為/1“”，hi：1-■?「II恒成立，令=1.八:JIn<i-lu