2025年河南省高考數(shù)學(xué)押題試卷

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的)

1.(5分)設(shè)集合4={0,a},B={\,a-2,3。-4},若則〃=()

4

A.2B.1C.D.-2

3

Snn+11

(5分)已知等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，Q1=3,則囑

an2

3399297200

A.—B.-----C.D.

50100200303

3.(5分)在單位圓中，已知角a是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(-y),則sin(n-a)=

()

4334

A.B.C.-D.-

3355

4.(5分)在(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)(%-a)展開式中，含力的項(xiàng)的系數(shù)是6,貝!Jq=()

A.-6B.-3C.3D.6

TTT—

5.(5分)己知平面向量a=(l,2),b=Gn,-1),貝！I“機(jī)<2”是“a與b的夾角為鈍角”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.(5分)已知過拋物線f=2px(p>0)的焦點(diǎn)下作直線交拋物線于/、2兩點(diǎn)，若|/F|=3|AF|,的中

點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為|,則p的值為()

A.2B.3C.4D.5

7.(5分)如圖，一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地

面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8},記事件/="得到的點(diǎn)數(shù)為偶

數(shù)”，記事件8="得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件C="得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是()

第1頁(共21頁)

A.事件3與C互斥，N與C相互對立

B.P(4UB)=|

C.P(ABC)=P(A)P(3)P(C)但不滿足/,B,C兩兩獨(dú)立

D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)且/,B,C兩兩相互獨(dú)立

8.(5分)若g(x)=max{\2x-3|,3-2x2},h(x)=max{\2x+3\,3-2/},f(x)=min{g(x),h(x)},

其中加辦{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者，下列說法不正確

的是()

A.函數(shù)/G)為偶函數(shù)

B.當(dāng)工日1,3]時(shí)，有/(x)Wx

C.不等式“(x)]W1的解集為[一1,一孝]u[?，1]

D.當(dāng)在[-3,-2]U[2,3]時(shí)，有九/'(x)]</(%)

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部

選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

(多選)9.(6分)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,任意復(fù)數(shù)z都可以表示為三角形式r(cosO+isin。),

其中，為復(fù)數(shù)z的模,6是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以0Z所在的射線為終邊的角(也被稱為z的輻角).利

用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，法國數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)[Ncose+isin0)]"=/(cos〃e+isin〃e)

("CN*),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫佛定理.根據(jù)以上信息，若復(fù)數(shù)z滿足Z5=32,則z可能的取值為

()

-

A.2(coS".1.^+isizi-yLYf)B.2(cos-pJ—Fisin-pJ)

C.2(cos5+isi畤)D.2(cos等+is譏等)

(多選)10.(6分)已知函數(shù)/(%)=-/+3"+4下列說法正確的是()

A.若關(guān)于x的不等式/(%)<0的解集是{x|x<-2或x>8},則。

4

B.若集合{x/(x)=0}有且僅有兩個(gè)子集，則片-序的最大值為大

9

C若母1)1=73則不1+西1;的最大值為可

D.若6=4-6a,且關(guān)于x的不等式/G)>0的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(多選)11.(6分)己知菱形/BCD的邊長為2,ZADC^60°,將沿NC翻折，使點(diǎn)。與點(diǎn)2

第2頁(共21頁)

重合，如圖所示.記點(diǎn)尸為翻折過程中點(diǎn)。的位置(不包含在點(diǎn)3處的位置)，則下列結(jié)論正確的是()

A.不存在點(diǎn)P,使得4BLPC

B.無論點(diǎn)尸在何位置，總有/C上面P3D

Vio

C.當(dāng)三棱錐p-ASC的體積最大時(shí)，直線N3與平面尸3C所成角的余弦值為《一

D.當(dāng)尸5=2時(shí)，M為PB上一點(diǎn)、,則的最小值為2

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.(5分)已知數(shù)列｛斯｝滿足的=1,%+i-等=泵設(shè)S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，則出

x2+mx+L%<0

13.(5分)若函數(shù)/(%)=1的最小值為/(0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

xH---Fm,%>0

x

14.(5分)小王和爸爸玩卡片游戲，小王拿有2張標(biāo)有/和1張標(biāo)有5的卡片，爸爸有3張標(biāo)有B的卡

片，現(xiàn)兩人各隨機(jī)取一張交換，重復(fù)〃次這樣的操作，記小王和爸爸每人各有一張4卡片的概率記為

Cln，貝UC12=，Cln=?

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(13分)已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,冊+i=［冊+L”為對.

I2czn+2,n為偶數(shù)

(1)記a=02”，寫出加，bl,并證明數(shù)列｛a+3｝為等比數(shù)列；

(2)求｛斯｝的前2〃項(xiàng)和S2”.

16.(15分)記的內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,c,已知百as譏C=c(cos4+1),a=5V3,

△ABC外接圓的半徑為凡

(1)求△NBC外接圓的面積；

(2)圓〃■經(jīng)過尸(0,4),且與圓(x-1)2+(j-2)2=尺2關(guān)于直線i=o對稱，圓M被直線

截得弦長為8,求直線尸。的方程.

17.(15分)已知函數(shù)/(無)=運(yùn)某3，a&R.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

第3頁(共21頁)

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

11

(3)當(dāng)0>0時(shí)，若對于任意在口，3],不等式5Wf(久)W1+/?成立，求a的取值范圍.

18.(17分)如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面A8CD是正方形，PDL^ABCD,PD=AB=4,E為棱

PA上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若￡為棱H中點(diǎn)，證明：PC〃面￡加；

2PE

(2)在棱刃上是否存在點(diǎn)E,使得二面角8-的余弦值為丁若存在，求出力的值；若不存在,

3r/I

請說明理由；

(3)E,F,0分別在棱以，PC,PD±.,EQ=FQ^1,求三棱錐尸-成>尸的體積的最大值.

19.(17分)已知橢圓■+1|=l(a>b>0),兩焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正三角形.

(I)求橢圓方程；

(2)設(shè)直線/1：y=fcr+加與橢圓￡相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P,不過原點(diǎn)。且平行于人的直線/2與橢圓

E交于不同的兩點(diǎn)/，B,點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為C.記直線0P的斜率為左1，直線3c的斜率為

左2.

①求詈的值；

②若。，P,B,C四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形，求號叫的值.

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2025年河南省高考數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案AACBBBCC

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的）

1.(5分)設(shè)集合4={0,a},B={\,a-2,3〃-4},若則Q=()

4

A.2B.1D.-2

【角軍答】解：-A^B=A,：.AQB.

若。=1,則4=｛0,1｝,B=｛\,-1,-1）,不符合題意，舍去;

又所以Q=3Q-4且0=q-2,解得a=2.

故選：A.

2.（5分）已知等差數(shù)列｛劭｝的前項(xiàng)和為S〃，QI=3,—=——,則宅12二（）

an2

3399297200

A.-B.-----C.-----D.-----

50100200303

【解答】解：等差數(shù)列｛即｝中，＜21=3,—=

an2

則$=九（。1+廝）=n（3+ara）,

又因?yàn)閳F(tuán)=手，所以Sn=a嗎+1）="3'）,所以斯=3”，

an2z/

即得s—修，所以2=.=|6一看），

則瞠1寺=|（1-|+|-1+-+^-iUo）

-2a_J_）-33

故選：A.

3.（5分）在單位圓中，已知角a是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（-稱，y）,則sin（n-a）=

()

A434

A?一百Bc-iD.

--I5

第5頁（共21頁）

【解答】解：由題意可得cosa=V，

又角a是第二象限角，

可得sina=Vl-cos2a=J1—(-^)2=5，

所以s譏(7T—a)=sina—

故選：C.

4.(5分)在(x+1)(.x-2)(x+3)(x-4)(x+5)(%-Q)展開式中，含力的項(xiàng)的系數(shù)是6,貝！J()

A.-6B.-3C.3D.6

【解答】解：(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)(x-a)展開式中，

含%5的項(xiàng)為x5-2X5+3X5-4X5+5X5-ax5=(3-a)x5,

所以3-a=6,解得Q=-3.

故選：B.

T—TT

5.(5分)已知平面向量a=(l,2),b=(m,-1),則“機(jī)<2”是“a與b的夾角為鈍角”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

T-

【解答】解：?.?平面向量a=(1,2),b=(m,-1),

TT_)T_>T

a與b的夾角為鈍角，則a?bVO且a與b不共線，

11

—8,—2)u(—彳，2)是(-8,2)的真子集，

TT

???“加V2”是“。與b的夾角為鈍角”的必要不充分條件.

故選：B,

6.(5分)已知過拋物線B=22x5>0)的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于48兩點(diǎn)，若|/人|=3出廠的中

點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為|,則p的值為()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：拋物線產(chǎn)=2.(p>0)的焦點(diǎn)F(§,0),準(zhǔn)線2；久=—方準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K,

第6頁(共21頁)

由對稱性，不妨令點(diǎn)/在第一象限，過/,3分別作/￡＞，/,BELI,垂足分別為D,E,

過2作2G_LAD于G,交.FK于H,

令|8?=|明=〃，幺￡）|=恒月=3〃，|明=p,

則3Gl=2",|叩=〃-小

^\FH\\BF\

由FH//AG>=而'

即少=

2n4n

則p=等

線段A8中點(diǎn)M,過用■作A/N_L/于N,

則\MN\=田引=n+3n=2九，

即|MN|=等,

5nW

由48的中點(diǎn)到夕軸的距離為］得|MN|=1+

所以p=3.

故選：B.

7.（5分）如圖，一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地

面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8},記事件/="得到的點(diǎn)數(shù)為偶

數(shù)”，記事件2="得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件C="得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是（）

第7頁（共21頁）

A.事件3與C互斥，N與C相互對立

B.P(4UB)=|

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)但不滿足/,B,C兩兩獨(dú)立

D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)且/,B,C兩兩相互獨(dú)立

【解答】解：由題意可知，事件/所含的樣本點(diǎn)為：{2,4,6,8},事件3所含的樣本點(diǎn)為：{1,2,

3,4},事件C所含的樣本點(diǎn)為：{2,3,5,7},

對于選項(xiàng)工,因?yàn)槭录?,C都包含樣本點(diǎn)2,3,所以3,C不互斥，故選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)3,因?yàn)?U8所含的樣本點(diǎn)為：{1,2,3,4,6,8},

所以P(HU8)4T，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C,D,因?yàn)锳BC所含的樣本點(diǎn)為：{2},

11

所以PQ4BC)=又P(4)=P(B)=P(C)=I，

所以尸(4BC)=P(A)P(8)P(C),

又事件/C所含的樣本點(diǎn)為：{2},

1111

所以P(4C)=*,又PQ4)P(C)=打*=?

所以尸(AC)中P(A)P(C),

所以事件z,c不獨(dú)立，即aB,。兩兩獨(dú)立錯(cuò)誤，

故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

8.(5分)若g(x)—max{\lx-3|,3-2x2},h(x)—max{\2x+3\,3-2/},f(x)=min{g(x),h(x)},

其中加ax{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，根加{x,y,z}表示x,y,z中的最小者，下列說法不正確

的是()

A.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)

B.當(dāng)x€[l,3]時(shí)，有/G)Wx

C.不等式"(x)]W1的解集為[―1,—孝]U【￥，1]

D.當(dāng)xe[-3,-2]U[2,3]時(shí)，有“G)]W/(x)

【解答】解：根據(jù)題意，若|2x-3|=3-2f,解得》=0或X=1,則g(久)=『久一：1，'<0或r>l,

13-2x2,0<x<1

第8頁(共21頁)

|2久+3],x<-1Mr>0

若|2x+3|=3-2：,解得x=0或x=-l,則九(%)=

3—2x2,-1<%<0

|2%+3|,x<-1

3—2x2,-1<%<1,

{|2%-3|,x>l

畫出/(x)的圖象，如圖：

對于4,結(jié)合圖象及/(-x)=fCx)知/(x)為偶函數(shù)，故4正確；

對于5,當(dāng)比[1,3]時(shí)，x2-4x+3^0,即-12X+9W0,所以4?-12X+9W/,

所以|2x-3|Vx,所以/(x)Wx成立，故5正確；

對于C,令/(x)=t,則/⑺W1,當(dāng)〈-1時(shí)，|2什3|W1,解得-2力〈-1,

當(dāng)-1W/W1時(shí)，3-2PWL解得/W-1或又-10W1,所以-士1,

當(dāng)>1時(shí)，|2「3|WL解得1VEW2,綜上1WMW2,故1W,(x)|W2,

當(dāng)xV-1時(shí)，l<|2x+3|<2,解得-2.5WxW-2,

萬r—

當(dāng)-IWxWl時(shí)，1W3-2/W2,解得今-W久W1或一lWtW—當(dāng)，

2z

當(dāng)X>1時(shí)，lW|2x-3|W2,解得2WxW2.5,

綜上，不等式/]/(x)]W1的解集為{x|-2.5&W-2或-10W—孝或jWxWl或24W2.5},故C

錯(cuò)誤；

對于。，當(dāng)xe[2,3],令m=f3=2x-3e[l,3],

又由/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)在[-3,-2]U[2,3]時(shí)，m=f(x)e[l,3],

則/[/"(x)]^/(x)0f(m)-m^O,

結(jié)合選項(xiàng)3,當(dāng)x6[-3,-2]U[2,3]時(shí)，有九/'(x)]W/(x)成立，故。正確.

故選：C.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部

選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分)

第9頁(共21頁)

(多選)9.(6分)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,任意復(fù)數(shù)z都可以表示為三角形式「(cose+isin。),

其中r為復(fù)數(shù)z的模,。是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以。Z所在的射線為終邊的角(也被稱為z的輻角).利

用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，法國數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)［Ncose+isin0)F=/(cos"e+isin〃e)

(〃6N*),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫佛定理.根據(jù)以上信息，若復(fù)數(shù)z滿足Z5=32,則z可能的取值為

()

A.B.2(cos-^—F

C.2(cos/+isin*)D.2(cos-^-+isin^)

【解答】解：設(shè)z=r(cos解答nB),其中y>0,則z5=/(cos50+zsin50)=32,

故/cos58=32,sin58=0,而cos5e>0,故5。=2配，蛇Z,所以。=弓1左CZ,

2kir2kir

故r=2,故z=2(cos-+zsin—^―),keZ,

故8。正確，/C錯(cuò)誤.

故選：BD.

(多選)10.(6分)已知函數(shù)/(x)=-/+3"+6,下列說法正確的是()

A.若關(guān)于X的不等式/(X)<0的解集是｛x|x<-2或X>8｝,則。2a=6

4

B.若集合｛x/(x)=0｝有且僅有兩個(gè)子集，則『-廬的最大值為

9

c若母1)=175則r,不1+西1;的二，最「大，，》值,為V2可+1

D.若6=4-6a,且關(guān)于x的不等式/G)>0的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【解答】解：對于/選項(xiàng)，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式/G)<0的解集是｛x|x<-2或x>8｝,

所以-2和8是方程--+3ax+b=0的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得-2+8=3。，-2X8=-b9

解得。=2,6=16,所以。2。=24=16=6,所以4選項(xiàng)正確；

對于5選項(xiàng)，運(yùn)用集合3/G)=0｝有且僅有兩個(gè)子集，

所以方程-%2+3。二+6=0只有一個(gè)根，所以△=(3^)2-4X(-1)Xb=0,

所以9Q2+46=0,所以一言/｝=次，

將一部=次代入a2-廬得：a2—b2=—b2b=一(b+^)2+言(匕40),

74

所以當(dāng)b=-時(shí)，/-提取得最大值所以3選項(xiàng)錯(cuò)誤；

第10頁(共21頁)

117117

對于C選項(xiàng)，若/(可)=-^~，則—+所以a+b=2,

令a=l+t,則b=\-t,

?，1111112(/+2)2(/+2)

"層+i/+i-(1+“2+1(l-t)2+it2+2t+2/―2t+2-(t2+2)2-4t2-d+4'

人c.2u2u

令〃=戶+2(〃22),貝UT--F—=-----,

Q-2>+4U2-4U+8

即求2的最大值，令y=2號_

根據(jù)不等式比+]22/17|=4立，當(dāng)且僅當(dāng)a=[時(shí)取等號，

所以yW77f==與1,所以最大值為漫:，所以C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)b=4-6Q時(shí)，f(x)=-，+3辦+4-6a,

因?yàn)?(x)>0的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù)，

令g(x)=x2-3ax+6a-4,

則g(x)V0的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù)，

因?yàn)閷ΨQ軸為％=竽，又g(1)=1-3a+6a-4=3。-3,g(2)=4-6a+6a-4=0,

g(3)=9-9。+6。-4=5-3。，g(4)=16-12。+6。-4=12-6a,

要使g(x)V0的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù)1,2,3,

則(9⑶即[5—0,

[9(4)>0(12-6a>0

解得3<aW*所以Z)選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

(多選)11.(6分)已知菱形/BCD的邊長為2,ZADC=6Q°,將△/CO沿NC翻折，使點(diǎn)。與點(diǎn)8

重合，如圖所示.記點(diǎn)尸為翻折過程中點(diǎn)D的位置(不包含在點(diǎn)B處的位置)，則下列結(jié)論正確的是()

A.不存在點(diǎn)尸，使得尸C

B.無論點(diǎn)尸在何位置，總有ZCL面

Vio

C.當(dāng)三棱錐尸-ABC的體積最大時(shí)，直線48與平面P3C所成角的余弦值為M

第11頁(共21頁)

D.當(dāng)尸8=2時(shí)，M為PB上一點(diǎn)、,則NM+CM的最小值為2

【解答】解：菱形A8CD的邊長為2,ZADC=60°,將△/CO沿NC翻折，使點(diǎn)。與點(diǎn)3重合，如

記點(diǎn)P為翻折過程中點(diǎn)D的位置（不包含在點(diǎn)B處的位置），

對于4P的軌跡是以AC為軸的兩個(gè)同底的圓錐底面半圓弧，

由題意得圓錐軸截面的頂角為N24D=/8CD=120°,大于90°,

則存在兩條母線互相垂直，即存在點(diǎn)P使得尸C,

而翻折前...存在點(diǎn)P,使得4BLPC,故/錯(cuò)誤；

對于8,依題意，LABC,ZX/PC都是等邊三角形，

取/C的中點(diǎn)E,貝PELAC,

又PECBE=E,PE,BEu平面產(chǎn)BE,二/。_1_平面

又尸3u平面P3E,：.AC±PB,

:四邊形/BCD是菱形，：.AC±BD,又PBCBD=B,PB,Mu平面尸助，

；./C_L平面PAD,故5正確；

對于C,由選項(xiàng)8知，NC_L平面PBE,BE=PE=?,NPEB是二面角P-/C-3的平面角,

111

三棱錐P-ABC的體積。PYBC=言SAPEB-AC=Y^BE-PEsin乙PEB-AC=sin乙PEB<1,

當(dāng)且僅當(dāng)NPE3=90°時(shí)取等號，此時(shí)PE_L平面力BC,PB=VPE2+BE2=V6，

等腰△尸3C的面積S=±xnxJ22—（乎）2=孚，

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,

由VAPBC—VP-ABCI得qx—^―xd=1,解得d=馬普，

3Z。

第12頁（共21頁）

設(shè)直線AB與平面PBC所成的角為e,

則sin。=磊=4Wcos3-Vl-sin29=邛^,故C正確；

對于。，當(dāng)網(wǎng)=2時(shí)，三棱錐尸-48C為正四面體，

將△E48,△PC3展開在同一平面內(nèi)，如圖,

由題意得四邊形/2CP為菱形，NA4P=60°,

當(dāng)/,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值2點(diǎn)，故。錯(cuò)誤;

故選：BC.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）已知數(shù)列｛麗｝滿足的=1,與+1-號=4，設(shè)％為數(shù)列｛所｝的前九項(xiàng)和,則Sn=

n+2

4-2rlT-

【解答】解：數(shù)列｛斯｝滿足的=1,即+1-學(xué)=義，設(shè)必為數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和,

由a九+1一號=/,得271a九+i—2九一%九二1,

所以｛2七1斯｝是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列,

可得2G劭=1+1=〃，所以冊=痣1，

12n112n

^=20+21+-+^^n=^+^+-+-,

11

一一1111n1一科n2+n

兩式相減何］S廣T一喬=「—=2-------，

n=1+TT+T2+--+2n2n

所以%=4-貂.

故答案為：4-肅.

X21+mx+L%<0

13.（5分）若函數(shù)/（%）=1的最小值為/（0）,則實(shí)數(shù)冽的取值范圍為」1,01.

xH---1-m,x>0

x

【解答】解：又因?yàn)楫?dāng)X>0時(shí)，函數(shù)/（%）=%+[+TH2?1+m=TH+2,當(dāng)且僅當(dāng)X1時(shí)等號

成立;

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如果最小值為/(0)可得/(O)W加+2,所以1W加+2,解得"zN-1；

當(dāng)xWO時(shí)，函數(shù)/(x)=，+加x+1關(guān)于直線乂=—手?對稱，

如果最小值為/(O),可知一受20,所以加W0.

綜上可知，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為［-1,0］.

故答案為：［-1,0］.

14.(5分)小王和爸爸玩卡片游戲，小王拿有2張標(biāo)有/和1張標(biāo)有3的卡片，爸爸有3張標(biāo)有2的卡

片，現(xiàn)兩人各隨機(jī)取一張交換，重復(fù)〃次這樣的操作，記小王和爸爸每人各有一張N卡片的概率記為

16113

斯，則。2=即=_—(--)+

【解答】解：小王拿有2張標(biāo)有/和1張標(biāo)有3的卡片，爸爸有3張標(biāo)有3的卡片，現(xiàn)兩人各隨機(jī)取

一張交換，重復(fù)V次這樣的操作，

記〃次這樣的操作小王恰有一張/卡片的概率為斯，有兩張/卡片的概率為好,

l232,131,1、1,22、，，23、，16

則1m的=可乂可=可，81=@*可=可，%=(可x可+可xW)。］+(可X3)Z)1=27)

=(fXf)al+Xf=蘇，

重復(fù)〃次這樣的操作，

an-(3X3+3X3^n_1+(3X+3X3C1-an-l~%-1)=~gan-l+于an-5=-9(an-l-

:)'又白所以％i=/(―［廠1

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

a九+1,n為奇數(shù)

15.(13分)已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=l,an+1=

2an+2,n為偶數(shù)

(1)記與=42”，寫出加，歷,并證明數(shù)列｛為+3｝為等比數(shù)列;

(2)求｛斯｝的前2〃項(xiàng)和S2〃.

a九+1,ri為奇數(shù)

【解答】解：(1)已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,冊+1=

2an+2,n為偶數(shù)

貝U42〃+1=2。2及+2,。2篦+2=42〃+1+1?

所以〃2篦+2=2。2九+3,

即=26篦+3=6/1+3=2(b〃+3).

且6I+3=Q2+3=QI+4=5.

第14頁(共21頁)

所以｛^+3｝是以5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則6n+3=5-2-1,

1

于是61=2,&=7,bn=5-2"--3.

(2)記Cn=O2"-l，

則仇=。2〃=。2"-1+1=Cn+l,

從而數(shù)列｛即｝的前2n項(xiàng)和為：

Sin—----^ain-I)+(。2+。4+。6^^----^。2”)

=(ci+c2+…Cn)+(61+歷+…加)=2(61+62+…6”)_n

=2X[5?(1+21+…+2"-1)-3〃]-〃=5?2"+1-7〃-10.

16.(15分)記△/8C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知百as譏C=c(cos4+1),a=5舊，

△4BC外接圓的半徑為R.

(1)求△/BC外接圓的面積；

(2)圓M經(jīng)過尸(0,4),且與圓(x-1)2+(7-2)2=產(chǎn)關(guān)于直線X-〉-i=o對稱，圓又被直線

尸。截得弦長為8,求直線尸。的方程.

【解答】解：(1)A/BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

由V^as譏C=c(cosA+1),

根據(jù)正弦定理，得百s譏力sinC=sinC(cos4+1),

VCG(0,TT),AsinOO,

則8sinA=cosA+1,即2sin(A一看)=1，即sinQl一看)=1->

又又(0,it),則:),：.A-l=l，即4*,

則如=云=粵=1°,即氏=5,

T

：.A4BC外接圓的面積為TTR2=25F.

(2)由圓(x-1)2+(廣2)2=尼=25,圓心為(1,2),半徑為R=5,

圓M經(jīng)過尸(0,4),且與圓(x-1)2+(廠2)2=R2關(guān)于直線x-y-1=0對稱，

rm+l_n+2_1=0

22

設(shè)M(777,"),由題意得《9，

島xl=T

解得〃?=3,n—0,即A/(3,0),

則圓M的方程為(x-3)2+產(chǎn)=25,

當(dāng)直線尸。的斜率不存在時(shí)，直線尸0的方程為x=0,

第15頁(共21頁)

此時(shí)P(0,4),Q(0,-4),則甲Q|=8,符合題意；

當(dāng)直線尸。的斜率存在時(shí)，設(shè)直線尸0的方程為了-4=履，即fcc-y+4=0,

M(3,0)到直線P。距離為d=粵土,

Vfc2+1

由d2+(單)2=R2,得(粵粵)2+42=52,

解得k=—￡7，則直線尸0的方程為一￡7久一y+4=0,即7x+24y-96=0.

綜上所述，直線PQ的方程為x=0或7x+24j-96=0.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

11

(3)當(dāng)0>0時(shí)，若對于任意xC[l,3],不等式5W/(久)W1+7?成立，求a的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)閍=0,

所以"久)=尋,定義域?yàn)镽，

可得/'?=手

所以，(0)=2,

又/(0)=-1,

所以曲線/G)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程為y+l=2x,

即2x-y-1=0；

ax2+x—1

(2)因?yàn)?(x)=~不-,定義域?yàn)镽,

ax2—2ax+x—2_(ax+l)(x—2)

可得八支)=—

ex

當(dāng)a>0時(shí)，

令，(%)=0,

第16頁(共21頁)

1

解得％1=——JX2=2f

此時(shí)一搟VO<2,

當(dāng)xV—：時(shí)，，(x)VO,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)一工<r<2時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>2時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a=0時(shí)，/(久)，易知xe(-8,2)時(shí)，/'(X)>0,xe(2,+8),，(x)<0,

1

當(dāng)a<0時(shí)，0<-i<2,

1

即aV—2時(shí)'

當(dāng)—:時(shí)，/(X)/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)一:<r<2時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

若—，=2,即。=一'!■時(shí)，f(x)20恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增，

11

若——>2,即-2VaV0時(shí)，

當(dāng)xV2時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)2VxV—1時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)—:時(shí)，于'(X)>0,f(x)單調(diào)遞增，

綜上，所以當(dāng)aV—"I■時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—})和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為2)；

當(dāng)—稱VaVO時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,2)和(―}，+°°),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,—1)；

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,—1)和(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(―1，2)；

(3)當(dāng)。>0,

由(2)知，/(%)在口，2)上單調(diào)遞增，在(2,3]上單調(diào)遞減，

11

因?yàn)閷τ谌我夤ぴ?,3],不等式5</(x)<1+/成立，

111

所以/⑴4,/(3)4，f(2)Wl+/,

第17頁(共21頁)

彳匚I、Ial乙、9a+21乙4a+l1

所以/(I)=7-2,/3)=—>r/2)=—<1+-2.

cd匕JCc

解得4U，a<^,

Lioq

故。的取值范圍為多國.

18.(17分)如圖，在四棱錐P-48。中，底面N3CD是正方形，PDL^ABCD,PD=AB=4,E為棱

PA上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若E為棱刃中點(diǎn)，證明：PC〃面即。；

2PE

(2)在棱以上是否存在點(diǎn)E,使得二面角2-DE-/的余弦值為丁若存在，求出示的值；若不存在,

請說明理由；

(3)E,F,。分別在棱為，PC,PD上,EQ=FQ=1,求三棱錐歹-ED尸的體積的最大值.

【解答】解：(1)證明：連接/C交3。于。，則￡。為三角形中位線，易知產(chǎn)。〃E。,

又因?yàn)椤闛u平面上，PCC面EBD,

所以PC〃面EAD；

(2)以。為原點(diǎn)，以D4所在直線為x軸，。。所在直線為y軸，DP所在直線為z