2025年高考數學第一次模擬考試（北京卷02）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項:

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知全集。=區，N={x|-3<x<l},B={x\0<x<2},則圖中陰影部分表示的集合為（）

C.{x\-3<x<2}D.{x|0<x<1}

2.若復數Z滿足z=則復平面內表示Z的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知直線2x—y=0與圓°：（工_2）2+3+1）2=9相交于43,則△/8C的面積等于（）

A.273B.275c.4GD.475

4.己知尸是拋物線產=12x上的動點，”是拋物線的準線/上的動點，N（0,4）,貝1］戶叫+|尸叫的最小值是

)

A.5B.4c.4V2D.372

5.在△NBC中，內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,己知

(sin^-sm5)(/>+a)=c(sin5+sinC),則△4BC面積的最大值為()

A-IB-T

6.已知函數/(x)=x3-2x,x”x2eR,貝1]"再=0"是=0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

7.如圖，三棱柱ABC-/4。中，E,尸分別是/瓦/C的中點，平面跖Gg將三棱柱分成體積為匕，匕（左

為匕，右為匕）兩部分，則%:匕=（）

A.5:6B.3:4C.1:2D.5:7

8.春天是一個美麗、神奇，充滿希望的季節，我們每個人都應當保持像春天一樣朝氣蓬勃的生命力，去創

造屬于我們自己的美好生活.隨著2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每經過一天的生長,

荷葉覆蓋水面面積都是前一天的:倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當荷葉剛好覆蓋水面面積一

4

半時，荷葉大約生長了（參考數據1g2。0.3）（）

A.15天B.16天C.17天D.18天

一3

9.已知函數/（x）h（2"T）x+"X'l在區間（_9+8）上對任意的國力馬，都滿足〃再）[〃%）<0,則實

ax,x<l再一々

數。的取值范圍是（）.

A.1B.C.[o,][*]

10.已知等差數列｛%｝和等比數列｛々｝,%=4=-4,@=2,%=砌,加€田，貝嗨足句,也“>1的數值機（）

A.有且僅有1個值B.有且僅有2個值

C.有且僅有3個值D.有無數多個值

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

22

1L已知雙曲線1的虛軸長為2,則雙曲線C的漸近線方程是

12.已知，+止）展開式中的第4項是一次項，貝心=,展開式中系數最大的項是

13.A42c中，AC=BC,乙BAC=60°,。為2c中點，￡1為4B中點，M為線段CE■上動點，麗.互3=4,

則|/。1=；下7.而的最小值為.

14.我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數規

律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,

6,4,1,…，記作數列｛%｝,貝U%4=若數列｛%｝的前〃項和為Sn,貝97=

1

11

121

1331

14641

15.已知曲線C：4x|x|-5HM=20,點出0,3）,&（°，-3）,則下列結論正確的有

①.曲線C關于直線了=一丫對稱

②.曲線C上存在點使得|孫1TM詞=4

③.直線y與曲線C只有一個交點

④.曲線C上第一象限內的點到直線J=言工與y=一半x的距離之積為定值

三、解答題：本題共5小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（滿分13分）在△ASC中，內角4氏。的對邊分別為Q也c.已知cos24=cos_8cosC-sinBsinC.

⑴求角A的大小；

⑵已知a=6,c=2A/3.求AABC的面積.

17.(滿分14分)羨除是《九章算術》中記載的一種五面體.如圖，五面體/BCD環是一個羨除，其中四邊

形48co與四邊形/DE尸均為等腰梯形，且￡F/父D〃5C,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=回,M為4D

中點，平面8CEF與平面N0EF交于跖.

⑴求證：9〃平面CDE；

(2)已知點。是線段4E上的動點，從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求直線與平面板所成角

的正弦值的最大值.

條件①：平面40斯，平面/BCD；

條件②：EC=2.43.

18.(滿分13分)隨著“中華好詩詞”節目的播出，掀起了全民誦讀傳統詩詞經典的熱潮.某社團為調查大學

生對于“中華詩詞"的喜好，從甲、乙兩所大學各隨機抽取了40名學生，記錄他們每天學習"中華詩詞"的時

間，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分組，并整理得到如下頻率分布直方圖:

頻率/組距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O102030405060分鐘/天

圖1：甲大學圖2：乙大學

根據學生每天學習"中華詩詞"的時間，可以將學生對于"中華詩詞"的喜好程度分為三個等級:

學習時間：(分鐘/天)^<2020白<50出50

等級一般愛好癡迷

(1)從甲大學中隨機選出一名學生，試估計其“愛好”中華詩詞的概率；

⑵從這兩組"癡迷"的同學中隨機選出2人，記忑為選出的兩人中甲大學的人數，求忑的分布列和數學期望

￡信)；

⑶試判斷選出的這兩組學生每天學習"中華詩詞”時間的平均值又甲與田乙的大小，及方差與si的大小.(只

需寫出結論)

19.(滿分15分)已知函數/(x)=(x+a)lnx.

(1)若a=-l,證明：/(x)>0:

(2)若過坐標原點的直線能與曲線y=/(x)相切，求。的取值范圍.

20.(滿分15分)已知幺(2,1)是橢圓￡：［+《=1(q>6>0)上的一點，且E的離心率為"，斜率存在且

ab2

不過點A的直線