第七節(jié)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法

解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.預(yù)計2025年高考，以利用正弦定理、余弦定

2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的理測量距離、高度、角度等實際問題為主，

最值和范圍問題.常與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考

3.通過解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、查，題型主要為選擇題和填空題，中檔難度.

直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

必備知識——強基礎(chǔ)

知識梳理

測量中的幾個有關(guān)術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同

一鉛垂平面內(nèi)）所成的角中，目標(biāo),目標(biāo)

/視線

仰角與俯

視線在水平視線用上方的叫做祟角水平

覆視3線

角、目標(biāo)

仰角，目標(biāo)視線在水平視線應(yīng)］工

視線

友的叫做俯角

從某點的指北方向線起按順時針

北I

方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫"。東

方位角

做方位角.方位角。的范圍是K

0°W6?<360°

（1）北偏東Q：

北［

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線“東

方向角所成的銳角，通常表達為北（南）偏

東（西）a

（2）南偏西a：

坡面與水平面所成的銳二面角叫

坡角與坡坡角(。為坡角)；坡面的垂直高度

比與水平長度之比叫坡比(坡度)，即

1

z=-=tan0

1

解三角形應(yīng)用問題的步驟:

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“3,錯誤的打“X”)

⑴東南方向與南偏東45。方向相同.()

(2)若從/處望2處的仰角為a,從2處望/處的俯角為￡,則a,￡的關(guān)系為a=K()

(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系.()

(4)俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為［'2」.()

(5)在方向角中，始邊一定是南或北，旋轉(zhuǎn)方向一定是順時針.()

答案(1)4(2)4(3)4(4)x(5)x

2.小題熱身

(1)如圖所示，設(shè)48兩點在河的兩岸，一測量者在/所在的同側(cè)河岸邊選定一點C,測出

/C的距離為50m,/4CB=45°,/C1B=1O5。后，就可以計算出4,2兩點間的距離為（）

A.50gmB.503m

n25/

C.25也mD.------m

2

答案A

AC

解析在△45C中，由正弦定理得--------=--------,又NC氏4=180。一45。一105。=30。,

sinZACBsinZCBA

50x地

所以A8=^CsmZACB=——2_=50/(m).故選A.

sinZCBA1

2

（2）（人教A必修第二冊6.4.3例10改編）如圖所示，為測量某樹的高度，在地面上選取/,B

兩點，從A,3兩點分別測得樹尖的仰角為30。，45°,且4,8兩點之間的距離為60m,則

樹的高度為（）

A.(30-^3+30)mB.(15A/3+30)m

C.(30^3+15)mD.(15A/3+15)m

答案A

解析在△4BP中，//依=45。-30。，所以sin//P3=sin(45o-30o)=也x/一也xL=

2222

rrQ60*1

"6一72,由正弦定理得pg=''sm30=230（#+仍）,所以該樹的高度為30（#+

4sinZAPB比一也

4

旭)sin45o=3(h/5+30(m).故選A.

（3）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120。的扇形C是該小區(qū)的一個出入口，且小

區(qū)里有一條平行于AO的小路CD已知某人從。沿OD走到。用了2min,從D沿著DC走

到。用了3min.若此人步行的速度為每分鐘50m,則該扇形的半徑為m.

B?

O'C

\120°

'A

0

答案50^7

解析連接。C,在△OCD中，07）=100,CD=150,/CDO=60。,由余弦定理可得。C2

=1002+1502-2xl00xl50x-=17500,解得。。=50吊7.則該扇形的半徑為50^m.

2

考點探究——提素養(yǎng)

考點一測量距離問題

例1（2024?重慶模擬）一個騎行愛好者從/地出發(fā)，向西騎行了2km到達8地，然后再由2

地向北偏西60。騎行了23km到達C地，再從。地向南偏西30。騎行了5km到達。地，則

/地到。地的直線距離是（）

A.8kmB.3A/7km

C.33kmD.5km

答案B

解析如圖，在△48C中，ZABC=150°,AB=2,BC=23,依題意，ZBCD=90°,在△NBC

中，由余弦定理得4c=N4B2+BC2—24B-BCcos/ABC=\j4+12+8\[3弓=2幣,由正弦

A/AA/7

定理得sinN4c5=——茄——=',在中，cos/4CQ=cos(9()o+N4C5)=—sinN

ACB=一;由余弦定理得NO=/C2+C￡>2—2/。CDcos//CD28+25+2乂2中乂5弋

=3^7.所以/地到。地的直線距離是3v7km.故選B.

D

【通性通法】

距離問題的類型及解法

(1)類型：①兩點間既不可達也不可視；②兩點間可視但不可達；③兩點都不可達.

(2)解法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從

而利用正、余弦定理求解.

【鞏固遷移】

1.已知某漁船在漁港。的南偏東60。方向，距離漁港約160海里的3處出現(xiàn)險情，此時在漁

港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機/接到漁船的求救信號，海事巡邏飛機迅速將情況通知

了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點施救.若海事巡邏飛機測得漁船3的俯角為

68.20°,測得漁政船。的俯角為63.43。，且漁政船位于漁船的北偏東60。方向上.

(1)計算漁政船C與漁港。的距離；

(2)若漁政船以每小時25海里的速度直線行駛，能否在3小時內(nèi)趕到出事地點？

(參考數(shù)據(jù)：sin68.20°~0.93,tan68.20°~2.50,sin63.43°~0.89,tan63.43°~2.00,H?3.32,

\/T3~3.61)

解(1)；/O_LO3,/。2/=68.20。，03=160,

.*./0=08tan/08/M60x2.50=400,

,：AO±OC,NOC4=63.43°,

?

.ON400200.

"tan63.43°~2.00

即漁政船C與漁港o的距離為200海里.

(2)由題意知/。8。=60。+60。=120。，

在△O3C中，由余弦定理得OC^OBZ+BC—ZOBBCcos/OBC,

即40000=25600+5C2+160BC,

解得8C=—80—40岳（舍去）或5C=-80+40A/13,

即30—80+40x3.61=64.4,

644

..?2^=2576<3,

25

???漁政船以每小時25海里的速度直線行駛，能在3小時內(nèi)趕到出事地點.

考點二測量高度問題

例2（1）（2024?江蘇南通調(diào)研）湖北宜昌三峽大瀑布是國家4A級景區(qū)，也是神農(nóng)架探秘的必

經(jīng)之地，為了測量湖北宜昌三峽大瀑布的某一處實際高度，李華同學(xué)設(shè)計了如下測量方案：

有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，可粗略認

為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上/點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為3,

2

沿山道繼續(xù)走20m,抵達B點位置測得瀑布頂端的仰角為匹已知該同學(xué)沿山道行進的方向與

3

他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為；，則該瀑布的高度約為（）

A.60mB.90m

C.108mD.120m

答案A

解析根據(jù)題意作出示意圖，其中tana=3,￡=。=匹，45=20,在中，tana=Q^,

23OA

所以在RtASOH中，tan或=勿，所以或二13。〃.在A4O8中，由余弦定理，得

3OB3

OB2=OA2+AB2-2OA-ABcosd,-O/^=-O/72+202-2x-OZ/x20x-,解得077=60.所以該

3932

瀑布的高度約為60m.故選A.

（2）（2023?遼寧協(xié)作校聯(lián)考）山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內(nèi)東南方向的東關(guān)島上，渤海

五路以西，南環(huán)路以北.整個黃河樓顏色質(zhì)感為灰紅，意味黃河樓氣勢恢宏，更在氣勢上體

現(xiàn)黃河的宏壯.如圖，小張為了測量黃河樓的實際高度/瓦選取了與樓底3在同一水平面

內(nèi)的兩個測量基點C,D,現(xiàn)測得N8CD=30。，ZBDC=95°,CD=116m,在點。處測得

黃河樓頂/的仰角為45。，求黃河樓的實際高度.（結(jié)果精確到0.1m,取sin55o=0.82）

A

解由題知，NCBD=180°-ZBCD—ZBDC=55°,

在△5C。中，由正弦定理得

BD=CD

sinZBCDsinZCBD

CDsinZBCD116xin30°co

則BDs^^10.7m,

sinZCBDsin55°0.82

在AAB。中，ABLBD,ZADB=45°,

所以AB=BDtan/4DB=BDMQ7m.

故黃河樓的實際高度約為70.7m.

【通性通法】

（1）在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平

線的夾角.

（2）在實際問題中，若遇到空間與平面（地面）同時研究的問題，最好畫兩個圖形，一個空間圖

形，一個平面圖形.

（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

（4）運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用.

【鞏固遷移】

2.（2023?安徽蚌埠模擬）圭表是我國古代通過觀察記錄正午時影子長度的長短變化來確定季節(jié)

變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的

與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午陽光照射在表上時，影子就會落在圭面上，圭面上影

子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至.如圖是根據(jù)蚌埠市（北緯

32.92。）的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角（即。約為

33.65。，夏至正午太陽高度角（即N/O0約為80.51。.圭面上冬至線和夏至線之間的距離（即BD

的長）為7米，則表高（即NC的長）約為（）

cos80.51°7tan46.86°

7tan46.86°sin33.65°

7sin33.65°sin80.51。sin33.65°

sin46.86°7sin80.51°

答案c

解析由圖可知N/3C=80.51°—33.65°=46.86°.在△48。中，--------=

smZBAD

AD/曰f7sin33.650%人a”門?/”八「7sin33.65°sin80.51°乩、生八

一,#AD=---------.在A4CD中，AC=ADsmAADC=----------------.故選C.

sinZABCsin46.86°sin46.86°

考點三測量角度問題

例3已知在島4南偏西38。方向，距島43海里的5處有一艘緝私艇.島/處的一艘走私

船正以10海里/小時的速度向島4北偏西22。方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,

恰好用0.5小時能截住該走私船？修考數(shù)據(jù)：5桁38言|，sin220^j

解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，。為島/正南方向上一點，緝私艇的速度為x海里

/小時，則8C=0.5x,AC=5,

依題意，NA4c=180°—38°—22。=120。，

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosnQ°,

所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,

解得x=14.

又由正弦定理得

sx也r

.“廠ACsinZBAC5x53

smZABC=----------=乙9

BC714

所以/48C=38。，

又/240=38。，所以BC〃/D

故緝私艇以14海里/小時的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船.

【通性通法】

(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出

有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的

解.

(2)方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.

【鞏固遷移】

3.如圖所示,在坡度一定的山坡/處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15。,

向山頂前進100m到達3處，又測得C對于山坡的斜度為45。，若C〃=50m,山坡對于地

平面的坡角為仇則cos6?=()

A.膽B(tài).也一2

3

C.3一1D.A/2-I

答案C

解析由題意知，ZCAD=15°,ZCBD=45°,所以//C3=30。，135。.在△/8C中，

由正弦定理，得空-=N。,又48=i00m,所以/C=100Sm.在中，ZADC

sin30°sinl35°

ArCD

=90。+&CD=50m,由正弦定理，得------------=-----,所以cose=sin(e+9()o)=

sin(8+90。)sinl5°

^Csinl5°c1.、生三

------------=73—l.故選C.

課時作業(yè)

基礎(chǔ)就薪

一、單項選擇題

1.如圖，兩座相距60m的建筑物48,CD的高度分別為20m,50m,AD為水平面，則從建

筑物AB的頂端N看建筑物CD的張角為()

A.30°B.45°

C.60°D.75°

答案B

解析由已知，得/D=20、,i0m,AC=30yf5m,又CO=50m,所以在中，由余弦定

必+3-3

理得cosACAD

2ACAD

(30\l5)(20加0)2—5026000_也

,又0。＜/口。＜180。，所以/C4D=45。，所

2x30芯x2()V10600M2

以從頂端A看建筑物CD的張角為45。.故選B.

2.如圖，設(shè)/,5兩點在河的兩岸，在/所在河岸邊選一定點C,測量/C的距離為50m,

N4C5=30。，Z045=105°,則4,5兩點間的距離是()

A.25也mB.50啦m

C.25\5mD.503m

答案A

解析在A45C中，N4C5=30。，ZCAB=105°,所以N/5C=180。-30。-105。=45。，由

50x1

正弦定理———=———,得/8='Csin//C2=50sin30o=T=25S(m).故選A.

sinZABCsinZACBsinZABCsin45°也

2

3.(2023?山東濟南模擬)如圖，一架飛機從/地飛往8地，兩地相距500km.飛行員為了避開

某一區(qū)域的雷雨云層，從/點起飛以后，就沿與原來的飛行方向成12。角的方向飛行，飛

行到中途C點，再沿與原來的飛行方向成18。角的方向繼續(xù)飛行到終點8點.這樣飛機

的飛行路程比原來的路程500km大約多飛了(sinl270.21,sinl8°~0.31)()

c

A.10kmB.20km

C.30kmD.40km

答案B

解析在中，由4=12。，3=18。，得C=150。，由正弦定理，得5。。=_g^=^U,

sinl50°sinl20sinl8°

500pcAT

所以所以4a310km,5cH210km,所以4C+5C—45k20（km）.故選B.

—0.210.31

2

4.（2023?安徽六安一中校考模擬預(yù)測）《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五

彈箜篌，十六誦詩書.”箜篌歷史悠久、源遠流長，音域?qū)拸V、音色柔美清澈，表現(xiàn)力強.如

圖是箜篌的一種常見的形制，對其進行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個端點48處

分別作切線相交于點C,測得NC=100cm,5C=100cm,48=180cm,根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估

算出該圓弧所對圓心角的余弦值為（）

A.0.62B.0.56

C.-0.56D.一0.62

答案A

解析如圖所示，設(shè)弧對應(yīng)的圓心是O,根據(jù)題意可知，OAVAC,OB±BC,則/NOB

AC2+BC^-AB2

+ZACB=TI,因為/C=100,BC=100,AB=180,則在中，cos//C3=

2ACBC

1002+1002—18()2

0.62,所以cosN4O5=cos(7t—/NC3)=—cos//C2=0.62.故選A.

2x100x100

5.（2023?山西太原模擬）如圖，從氣球/上測得正前方的河流的兩岸2,C的俯角分別為75。,

30°,若河流的寬度8C為60m,則此時氣球的高度為（）

A.15(3—l)mB.15(3+l)m

C.30(3一l)mD.30(3+l)m

答案B

解析在AABC中，ZACB=30°,Z^C=75o-30°=45°,5C=60m,貝U180。-45。

-3。。=1。5。.又sml05=S+45o)=f<?+3x?=K^BCAC，K

一，所

sinZBACsinZABC

60x#+也

4

以ZC==30(3+1)m,所以氣球的高度為NCsin//C5=30(Y3+l)x；=15(3+

也

2

l)m.故選B.

6.（2023?福州模擬）我國無人機技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)

保監(jiān)測等領(lǐng)域.如圖，有一個從地面4處垂直上升的無人機P對地面￡C兩受災(zāi)點的視

角為NBPC,且tan/APC=l.已知地面上三處受災(zāi)點3,C,。共線，且NN￡>8=90。，BC=

3

CD=DA=\km,則無人機尸到地面受災(zāi)點。處的遙測距離尸D的長度是（）

A./kmB.2km

C.A/3kmD.4km

答案B

解析解法一：由題意得平面F4Q,：.BD上PD.設(shè)PD=x,/PBD=a,NPCD=B，

X

x~~

則tana=工，tan^=xftanZBPC=tan（fi—a）=------=于—=一，解得x=l或％=2,又在

21?xx>23

X2

Rt△尸D4中有41,???x=2.故選B.

解法二：由題意知8O_L平面E4。，；.BD1.PD.設(shè)R4=x,則％2=N+5,。。=12+2.由tan

ZBPC=-,可得cos/APC=S?,在△P8C中，由余弦定理得爐+5+苫2+2—1=

310

2\jx2+5,A/X2+2,>解得g=3,進而PD=\JX2+1=2.故選B.

7.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久

的歷史和文化，它時刻撬動著人們認識商丘、走進商丘的欲望.吳斌同學(xué)在今年國慶期間到

商丘去旅游，經(jīng)過“商”字城雕時，他想利用解三角形的知識測量一下該雕塑的高度（即圖中線

段的長度）.他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60。的方向前進7S米后到達。處（/,

C,D三點在同一個水平面內(nèi)），測得圖中線段48在東北方向，且測得點3的仰角為71.565。,

則該雕塑的高度大約是（參考數(shù)據(jù)：tan7L565%3）（）

A.19米B.20米

C.21米D.22米

答案C

解析在A4CD中，ZCAD=135°,ZACD=30°,CD=7/，由正弦定理得———=

sinZACD

...-..,所以40=0'$畝"'0'=7（米）,在RtZMBD中，ZBDA=r7\.565°,所以/5=

sinZCAD............sinZCAD

/Dtan71.565%7x3=21（米）.故選C.

8.（2023?瀘州模擬）如圖，航空測量的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機飛行的海

拔高度為10000m,速度為50m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5。，經(jīng)過420s后看山頂?shù)?/p>

俯角為45。，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為（他句.4,他句.7）（）

A.7350mB.2650m

C.3650mD.4650m

答案B

解析如圖，設(shè)飛機的初始位置為點N,經(jīng)過420s后的位置為點2,山頂為點C,作CD,

48于點。，則NA4c=15。，/CBD=45。,所以N/CB=30。，在AIBC中，48=50x420=

一一一ABRC21000廠r

21000(m),由正弦定理得--------=--------,貝！］—xsin15°=10500N6-^2)(m),

sinZACBsinZBAC1

2

因為所以CD=3Csin45o=1050046—j2)x?=10500(3—1戶7350(m),所以山頂

的海拔高度大約為10000-7350=2650(m).故選B.

二、多項選擇題

9.某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150。,然后沿新方向走了3km，結(jié)果離出發(fā)點恰好3km,

那么x的值是()

A.3B.2他

C.3D.6

答案AB

解析如圖，/8=x,8C=3,/C=3,/48C=30。.由余弦定理，得3=X2+9—2X3XXXCOS30。,

解得x=23或x=3.故選AB.

C

10.某貨輪在/處看燈塔3在貨輪的北偏東75。，距離為12#nmile；在/處看燈塔。在貨

輪的北偏西30。，距離為83nmile.貨輪由/處向正北航行到。處時，再看燈塔2在南偏東

60°,則下列說法正確的是()

A./處與。處之間的距離是24nmile

B.燈塔C與。處之間的距離是83nmile

C.燈塔C在。處的南偏西30。

D.。處在燈塔3的北偏西30。

答案ABC

解析在△48。中，由已知，得//。8=60。，/DAB=75。,則乙8=45。.由正弦定理，得/D

,12&X也

=—BsmB=——12=2%所以/處與。處之間的距離為24nmile,故A正確；在

sinAADB寸3

2

中，由余弦定理，得。》=/。2+/（22-2/。/年0$30。，又AC=g所以CO=8S.所以燈

塔C與。處之間的距離為8^3nmile,故B正確；因為/C=CO=83,所以NCZM=/C4￡>

=30°,所以燈塔。在。處的南偏西30。，故C正確；因為燈塔8在。處的南偏東60。，所

以。處在燈塔2的北偏西60。，故D錯誤.故選ABC.

三、填空題

11.神舟載人飛船返回艙成功著陸，標(biāo)志著返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙。垂直下落

于點C,某時刻地面上/,8兩個觀測點，觀測到點。的仰角分別為45。，75°,若點一,B

間的距離為10千米（其中向量方與法同向），估算該時刻返回艙距離地面的距離CD約為

千米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3al.732）

答案14

AD

解析在9臺。中，/=45。，/48￡>=180。-75。=105。，/4DB=30。，由正弦定理得上出一

sin30°

=AD,zir）=20sinl05o=20sin（60o+45o）=5（A/6+A/2）,所以CD=ADsinA=+啦）也

sinl0502

=5他+5旬4（千米）.

ABC

12.魏晉南北朝時期，數(shù)學(xué)在測量學(xué)取得了長足進展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入

相補原理,通過多次觀測，測量山高谷深等數(shù)值,進而使中國的測量學(xué)達到登峰造極的地步.關(guān)

于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高和遠的問題，故將《重差》更名為

《海島算經(jīng)》.受此啟發(fā)，小明同學(xué)依照此法測量涇陽縣崇文塔的高度（示意圖如圖所示），測

得以下數(shù)據(jù)（單位：米）：前表卻行DG=1,表高CD=EF=2,后表卻行尸〃=3,表間。尸=

85.則塔高/8=米.

答案87

解析由題意可知，公EFHs^ABH,小CDGs^ABG,所嘮嘲省怒又成

2_32_1

CD=2,DG=1,FH=3,DF=85,所以一，一

ABAD+88ABBD+1AD+88BD+1

解得登，所以48=280+2=87.

2

13.海面上有相距10nmile的4,8兩個小島，從A島望C島,和3島成60。的視角，從3

島望C島，和/島成75。的視角，則3,C間的距離為nmile.

答案5^6

解析由題意，知C=45。，/=60。，AB=10.由上G=空，得3c=5#nmile.

sirUsinC

14.山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標(biāo)（如圖1）,其主體建筑采用與地形吻合的矩形

設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“00”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)

新.如圖2,為了測量科技館最高點/與其附近一建筑物樓頂3之間的距離，無人機在點C

測得點N和點8的俯角分別為75。，30。，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點。，此時測

得點/和點2的俯角分別為45。，60°（A,B,C,。在同一鉛垂面內(nèi)），則/,8兩點之間的

距離為米.

圖1圖2

答案10S/15

解析由題意，ZDCB=3Q°,NCDB=60°,所以NC3￡>=90。，所以在RtZkCAD中，50=1。。

2

=300,BC=^CD=3OO0又NDCA=75°,ZCDA=45°,所以NC4D=60。，在A4CD中，

2

由正弦定理，得所以/C=^x也=20076,在ZU8C中，ZACB=ZACD

sin45°sin60°坐2

2

-ZBCD=75°-30°=45°,由余弦定理得，AB2=AC1+BC1-2AC-BCCOSZACB=(200\[6)2

+(300舟-2x200寸x300修?=150000,所以AB=100^/15.

四、解答題

15.某市廣場有一塊不規(guī)則的綠地，如圖所示，城建部門欲在該地上建造個底座為三角形

的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為△NBC,AABD,經(jīng)測量40=50=7米，BC

=5米，/C=8米，/C=/D.

⑴求的長度;

(2)若不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費用更低(請說明理由)？

22222

岳“(、、4zAe?iH八"C^+BC—AB8+5—AB小

解(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC=---------------------=-----------------,①

2AC-BC2x8x5

在△N3D中，由余弦定理得

cAD2+BD2-AB272+72-/52G

cosD---------------=-----------.②

2ADBD2x7x7

由NC=/。得cosC=cos。，解得/2=7,所以的長度為7米.

(2)小李的設(shè)計使建造費用更低.

理由如下：易知SA^Dnl/DADsinD,SAABC^-ACBCsinC,

22

因為AD-BD>AUBC,且/C=ND,

所以SAABD>SAABC-

故選擇A42c的形狀建造環(huán)境標(biāo)志費用更低.

16.一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運行，每2h沿軌道繞地球旋

轉(zhuǎn)一圈.假設(shè)衛(wèi)星于中午12點正通過衛(wèi)星跟蹤站點/的正上空，地球半徑約為6400km.

(1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12：03時相隔的距離；

(2)如果此時衛(wèi)星跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星，那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是

多少？(參考數(shù)據(jù)：cos9°~0.988,sin9°~0.156)

解(1)如圖所示，設(shè)人造衛(wèi)星在12：03時位于點C,其中

a

則￡=360°x言=9°,

在△NC。中，0^=6400km,OC=6400+1600=8000(km),￡=9°,

由余弦定理得/(?=64002+80002—2x6400x8000cos9°~3.79x106,

解得/CM.95X103,

因此在12：03時，人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站相距約1950km.

(2)如圖所示，設(shè)此時天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角為？，則/C4O=y+90。，

由正弦定理得

1950=8000

sin90sin(y+90°)'

故sin(y+90°)sin9°=0.64,

即cos產(chǎn)0.64,

因此，天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值約為0.64.

質(zhì)圈素養(yǎng)提并索

17.近年來臨夏州深入實施生態(tài)環(huán)境保護和流域綜合治理，城區(qū)面貌煥然一新.某片水域，

如圖，OA,為直線型岸線，04=200米，05=400米，ZAOB=~,該水域的水面邊界