第六節二項分布、超幾何分布、正態分布

課標解讀考向預測

1.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡

預計2025年高考可能將二

單的實際問題.

項分布或超幾何分布與數

2.了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.

字特征綜合起來呈現，也可

3.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量，通過具體實

能將正態分布與數據的統

例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征.

計分析綜合起來呈現.

4.了解正態分布的均值、方差及其含義.

必備知識——強基礎

知識梳理

1.伯努利試驗與二項分布

⑴伯努利試驗

國只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗;將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所

組成的隨機試驗稱為阿w重伯努利試驗.

(2)二項分布

一般地，在"重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(O<p<l),用X表示事

件A發生的次數，則X的分布列為P(X=Z)=畫列#(1—>)"",k=0,1,2,…，n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作畫X?3(%

??

(3)二項分布的均值、方差

若X?B(n,p),則6(%)=國型，￡>(X)=[06]w(l-p).

2.超幾何分布

一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取〃件(不放回)，

用X表示抽取的〃件產品中的次品數，則X的分布列為尸(乂=。=畫)不將,k=m,機+1,

m+2,...?r,其中，n,N,Af€N*,MWN,n&N,m=max{0,n—N-\-M},r=min{n,M].

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.其均值E(X)

=得，D(X)=

3.正態分布

(1)正態曲線

(工一〃)2

1

函數人%)=一2應，x€R,其中〃WR,00為參數，我們稱函數式龍)為正態密度函數,

稱它的圖象為畫正態密度曲線,簡稱正態曲線.

(2)正態曲線的特點

①曲線位于x軸畫上方，與x軸不相交;

②曲線是單峰的，它關于直線由對稱;

③曲線在回正區處達到峰值忐;

④曲線與x軸圍成的面積為叵］L

⑤在參數。取固定值時，正態曲線的位置由〃確定，且隨著回團的變化而沿無軸平移，如圖

1所示;

⑥當〃取定值時，正態曲線的形狀由。確定，較小時,峰值高，正態曲線“瘦高”，表示

隨機變量X的分布比較集中；。向較大時,峰值低，正態曲線“矮胖”，表示隨機變量x的分

布比較分散，如圖2所示.

(3)正態分布的定義及表示

(工1,1

12。2

若隨機變量X的概率分布密度函數為兀0=,x€R,則稱隨機變量X服從正態分

布，記為［1目X?M"，/).特別地，當〃=0,0=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.

(4)3。原則

①Pa-ZXW〃+力=0.6827；

②尸。/-2oWXji+2加0.9545；

③Pa—3ZXW〃+3。戶0.9973.

(5)正態分布的均值與方差

若X?NQi,〃)，則改㈤二回良，。(田=回后.

常用結

1.二項分布當"=1時就是兩點分布.

2.“二項分布”與“超幾何分布”的區別：有放回抽取問題對應二項分布，不放回抽取問題對應

超幾何分布，當總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布來處理.

3.若X服從正態分布，即X?N〃，(?),要充分利用正態曲線關于直線尤=〃對稱和曲線與x

軸之間的面積為1解題.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“Y”，錯誤的打“x”)

(1)九重伯努利試驗中各次試驗的結果相互獨立.()

(2)正態分布是對連續型隨機變量而言的.()

(3)X表示，次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數，則X服從二項分布.()

(4)從裝有3個紅球、3個白球的盒中有放回地任取一個球，連取3次，則取到紅球的個數X

服從超幾何分布.()

(5)正態分布中的參數洶和。完全確定了正態分布密度函數，參數“是正態分布的均值，c是

正態分布的標準差.()

答案⑴Y(2)4(3)d(4)x(5)4

2.小題熱身

(1)(人教B選擇性必修第二冊4.2.4練習AT4改編)設50個產品中有10個次品，任取產品

20個，取到的次品可能有X個，則E(X)=()

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析由題意知，X服從超幾何分布，則E(X)=U，=4.

(2)(人教B選擇性必修第二冊4.2.5練習BT2改編)隨機變量X?N(8,/)，若尸(7WXW9)=

0.4,則尸(X>9)=()

A.0.6B.0.5

C.0.4D.0.3

答案D

解析,隨機變量X?N(8,a2),P(7WXW9)=0.4,；.P(X>8)=0.5,尸(8<XW9)=0.2,；.P(X>9)

=0.3.

(3)設某實驗成功率是失敗率的3倍，3次實驗成功的次數為隨機變量乙則尸仁=2)=()

271

A-64B-3

-9r2

c-64D-3

答案A

解析由于成功率是失敗率的3倍，所以成功率是點失敗率是/所以產仁=2)=C權

藉故選A.

(4)已知隨機變量X服從二項分布8(12,0.25),且E(aX—3)=3,則。(aX—3)=.

答案9

9

解析因為X?8(12,0.25),所以E(X)=12xO.25=3,D(X)=12x0.25x(1—0.25)=不又E(〃X

9

-3)=aE(X)~3=3f即3〃一3=3,解得〃=2,所以。(〃X—3)=D(2X—3)=22D(X)=4X]=9.

考點探究——提素養

考點一二項分布及其應用

例1(2023?武漢聯考)在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的

比賽.已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是3

(1)求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；

(2)若該運動員能打破世界紀錄的項目數為X,求X的分布列及均值.

解(1)依題意知，該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件，并且每個事件發生

的概率相同.

設其打破世界紀錄的項目數為隨機變量4，設“該運動員至少能打破2項世界紀錄”為事件4

Alt1(N20

則P(A)=PC=2)+Pe=3)=C'(Sxg+C?x(jJ=—

(2)由(1)可知X?53

尸(X=l)=C』x|x|22

9f

P(X=2)=C?x|

8

雙2

P(X=3)=C27f

所以X的分布列為

28

927

1248

均值E(X)=0x—+lx-+2Xg+3><2^=2.

【通性通法】

二項分布概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=

期=c)*(l—p)"f的三個條件：

⑴在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p；

(2)"次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的;

⑶該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了上次的概率.

【鞏固遷移】

1.為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方

案是“3+1+2”模式，“3”是語文、外語、數學三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科,

“2”是在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目.某學校為做好選課走班教學,

給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學、生物，8組合：歷史、

政治、地理，C組合：物理、化學、地理，根據選課數據得到，選擇A組合的概率為選

擇8組合的概率為/選擇C組合的概率為點甲、乙、丙三位同學每人選課是相互獨立的.

(1)求這三位同學恰好選擇互不相同的組合的概率；

(2)記〃表示這三人中選擇含地理的組合的人數，求〃的分布列及均值.

解用A表示第i位同學選擇A組合，用5表示第i位同學選擇B組合，用G表示第z,位同

學選擇C組合，i=l,2,3.

311

由題意可知,A,,Bi，G互相獨立，且尸(4)=,，尸(氏)=型尸(G)=1.

(1)三位同學恰好選擇互不相同的組合共有A?=6種情況，每種情況的概率相同，故三位同學

恰好選擇互不相同的組合的概率

31]12

尸=6P(4B2c3)=6P(AI)P(&)P(C3)=6x-x^x-=—.

⑵由題意知，〃的所有可能取值為0,1,2,3,且〃?2(3,1),

所以P(〃=O)=C啕x◎3*,

尸(〃=l)=C』x|x@=卷，

2336

?x^F，

P(〃=3)=C啕x?：備

所以〃的分布列為

0123

2754368

p

125125125125

?、八27-54Ic36-86

￡(〃)=0義后+lx-^+2x—+3x—=-

考點二超幾何分布及其應用

例2(2023?天津模擬)某大學生志愿者協會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3

名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10

名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).

(1)求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率；

(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列及期望.

解(1)從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教，樣本點總數w=C%

設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A,事件A包含的樣本點個數m=ca+

Clrt+C？C749

則選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為P(A)=苫：=$?

⑵隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

CyC21CiCg1

尸(x=°)=47,P(X=1)=高=，，

尸（X—2）—Go—10,P（X—3）—Go-30,

所以X的分布列為

X0123

1131

P

62To30

E（X）=0義/+］義；+2x^j+3x4=,.

【通性通法】

1.隨機變量是否服從超幾何分布的判斷

若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：（1）該試驗是不放回地抽取〃次；（2）隨機變

量X表示抽取到的次品件數（或類似事件），反之亦然.

2.求超幾何分布的分布列的步驟

步驟一驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N,M,〃的值

步驟二根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率

步驟三列出分布列

【鞏固遷移】

2.第三十一屆世界大學生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕.來自

113個國家和地區的6500名運動員在此屆運動會上展現了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿

的熱情和優異的狀態譜寫了青春、團結、友誼的新篇章.外國運動員在返家時紛紛購買紀念

品，尤其對中國的唐裝頗感興趣.現隨機對200名外國運動員（其中男性120名，女性80名）

就是否有興趣購買唐裝進行了解，統計結果如下:

有興趣無興趣合計

男性運動員8040120

女性運動員404080

合計12080200

（1）是否有99%的把握認為“外國運動員對唐裝是否感興趣與性別有關”;

（2）按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名

運動員作進一步采訪，記3名運動員中男性有X名，求X的分布列與數學期望.

央老八個____________72Qld—bC2________________

多夫八八：X―（〃+8）（c+-（〃+c）（8+d）.

臨界值表:

a0.1500.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.63510.828

2

.」L200x(80x40-40x40)50

解(1)由已知72=120x80x120x80=寸5.556<6.635,

故沒有99%的把握認為“外國運動員對唐裝是否感興趣與性別有關”.

⑵按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，則其中男性運動員有

4名，女性運動員有2名，則X=l,2,3,

1C?3

尸尸

(X=l)=5f(X=2)=

Ci1

尸5=3)=d=亍

X的分布列為

X123

131

P

555

131

￡(X)=lx-+2x-+3x-=2.

考點三正態分布及其應用（多考向探究）

考向1正態曲線及正態分布的概率計算

例3（1）（多選）（2024?哈爾濱模擬）某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件，零件的尺

寸分別記為X,Y,己知X,丫均服從正態分布，X?Ng,次），Y?N5,海），其正態曲線如

圖所示，則下列結論中正確的是（）

A.甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值

B.甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值

C.甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性

D.甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性

答案AC

解析X,丫均服從正態分布，X?N（〃i，or）,Y?Ng，oi）,結合正態曲線可知，〃i=〃2，6＜。2,

故甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲

工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性，故C正確，D錯誤.

⑵(2022?新高考n卷)已知隨機變量X服從正態分布N(2,O2),且P(2<XW2.5)=0.36,則P(X

>2.5)=.

答案或春)

解析因為X?NQ,/),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)—P(2〈

XW2.5)=0.5-0.36=0.14.

【通性通法】

利用正態曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線對稱，

及曲線與x軸之間的面積為1.注意活用下面兩個結論：

(1)P(X<a)=1—P(XNa)；

(2)P(X<〃-c)=P(X>〃+a).

【鞏固遷移】

3.(2024?惠州調研)若隨機變量X滿足正態分布N〃，o2),則有尸(/,—aWXW/z+c戶0.6827,

尸儀一2°WXW〃+2o■戶0.9545.現有20000人參加數學測試，成績大致服從正態分布N(100,102),

則可估計本次數學測試成績在120分以上的學生人數為()

A.1587B.228

C.455D.3174

答案C

解析由題意可知〃=100,。=10,記本次數學測試成績為隨機變量X,由于尸〃一

+2<7>0.9545,所以P(80WXW120戶0.9545,因此本次數學測試成績在120分以上的學生約

有20000X——-——=455人.

4.(多選)(2023?石家莊模擬)若隨機變量X?N(l,/),且正態分布N(l,4)的正態密度曲線如

圖所示，則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是()

A.3-RXWO)

B.g-P(X22)

C.聶(XW2)-gp(XW0)

D.J-P(1WXW2)

答案ABC

解析根據正態分布的性質可知，正態密度曲線關于直線尤=1對稱，所以題圖中陰影部分的

面積為/一P(XWO),A正確；根據對稱性，尸(XW0)=尸(X22),所以題圖中陰影部分的面積

可表示為P(OWXW1)=T—P(XWO)=T一尸(x22),B正確；陰影部分的面積也可以表示為

p(x<2)—P(XV0)

——二------一，c正確；陰影部分的面積也可以表示為尸(0WXW1),而P(OWXWl)

=P(1WXW2),D不正確.

考向2正態分布的實際應用

例4(2023?山東濰坊模擬)2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事

共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知這種球

的質量指標式單位：g)服從正態分布X?Na,M),其中〃=270,。=5.比賽賽制采取單循環

方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下(比賽采取5局

3勝制)：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3:2取勝

的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1

班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1

班排球隊取勝的概率為p(O<p<l).

(1)令〃=匚;，則〃?N(0，1).且孰a)=P(〃<a),求。(一2),并證明再一2)+孰2)=1；

⑵第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為fip),求出加)的最大值點p0,并以po

作為0的值，解決下列問題.

①在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為X,求X的分布列；

②已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后，無

論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多)？若能，求出相應的概率；若不能，

請說明理由.

參考數據：X?(r),貝ijo-)~0.6827,20WXWM+2辦0.9545,PQi

-3oWXW〃+3o■戶0.9973.

解(l)O(—2)=P(〃<—2)=PC<260),

又P(M-2(TWXW〃+2加0.9545,

所以⑦(一2)=P(C260戶0.5—?2=0.5-0.47725=0.02275.

因為⑦(-2)=P(〃<—2),根據正態曲線對稱性，。(一2)=尸(〃<一2)=尸(〃>2),

又因為O(2)=P(〃<2)=1—P(〃22),

所以縱—2)+。(2)=1.

(2履)=C>3(1—p)=刎(1—p),

f(p)=3[3p2(1—p)+p3x(—1)]=3P2(3-4p).

3

令f(p)=o,得P=]

當p€(0,胃時，f(p)>0,加)在(o，1上為增函數;

當pe?'1)時,/3)<。，1Ap)在?,1)上為減函數.

33

所以加)的最大值點po=4，從而p=[

①X的所有可能取值為3,2,1,0.

P(X=3)=p3+C02(l-p)〃=黑，

Q1

P(X=2)=C為2(1_p)2p=近,

27

P(X=1)=C>2(1—p)3=無，

13

P(X=0)=(1_p)3+C如(1—p)3=場

所以X的分布列為

X3210

189812713

P

256512512256

②若X=3,則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，則11

輪過后的總積分是28分，29>28,所以1班如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，

189

其概率為尸(X=3)=痂.

【通性通法】

正態分布出現在解答題中，通常與二項分布、超幾何分布相結合.解決正態分布問題有三個

關鍵點：(1)對稱軸為直線x=〃；(2)標準差0；(3)分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概

率值；由〃，6分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3。特殊區間，從而求出所求

概率.

【鞏固遷移】

5.在某大學舉行的自主招生考試中，隨機抽取了100名考生的成績（單位：分），并把所得數

據列成了如下所示的頻數分布表：

組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數5182826176

（1）求抽取樣本的平均數1（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認為這次成績Z服從正態分布（其

中〃近似為樣本平均數/近似為樣本方差S2=161），且規定82.7分是復試線，那么在這

2000名考生中，能進入復試的約有多少人？附：V161~12.7,若Z?N（〃，『），則

+（7）=0.6827,PQi~+2。戶0.9545.

解（1）由所得數據列成的頻數分布表，得

尤=45x0.05+55x0.18+65x0.28+75x0.26+85x0.17+95x0.06=70.

⑵由⑴知Z?M70,161）,

所以P（70—12.7WZW70+12.7戶0.6827,

…1-0.6827

所以P（拄82.7）?------2------=0.15865,

所以在這2000名考生中，能進入復試的約有2000x0.15865=317人.

課時作業

基礎鞏固練

一、單項選擇題

1.若隨機變量X?8（5,則P（X=3）=（

)

1

A.B

3-翡

10

D

27-5

答案B

解析隨機變量X?8（5,￡）,則尸（X=3）=C$xg）xg=翡

2.（2024?貴州模擬）若隨機變量X?N（10,22）,則下列結論錯誤的是（）

A.尸（X三10）=0.5

B.尸(XW8)+尸(XW12)=1

C.尸(8WXW12)=2P(8WXW10)

D.O(2X+1)=8

答案D

解析根據隨機變量X?N(10,22),可知正態密度曲線的對稱軸為X=10,方差為4,所以

P(X210)=0.5,故A正確；P(XW8)+P(XW12)=P(X212)+P(XW12)=1,故B正確；

產(8WXW12)=2P(8WXW10),故C正確；Z)(2X+1)=4Q(X)=16,故D錯誤.故選D.

3.某市期末教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態分布，則由如圖曲線可得

下列說法中正確的是()

A.甲學科總體的均值最小

B.乙學科總體的方差及均值都居中

C.丙學科總體的方差最大

D.甲、乙、丙的總體的均值不相同

答案C

解析由題中圖象可知三科總體的平均數(均值)相等，由正態密度曲線的性質可知c越大，

正態曲線越扁平，c越小，正態曲線越尖陡，故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、

丙，則三科總體的方差從小到大依次為甲、乙、丙.故選C.

4.已知5件產品中有2件次品，3件正品，檢驗員從中隨機抽取2件進行檢測，記取到的正

品數為3則均值E(。為()

49

A-5B-10

C.1D.|

答案D

C?1c?Cl3C?

解析。的所有可能取值為0,1,2,則尸(<=0)=E|=正尸C=l)h1/=m，P(4=2)=《|=

W'則E?=oxm+1><5+2X正=亍

5.在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球、4個白球，現從中任取4個小球，設取的4個

小球中白球的個數為X,則下列結論正確的是()

A.P(X=1)=|

B.隨機變量X服從二項分布

C.隨機變量X服從超幾何分布

D.￡(X)=|

答案C

解析由題意知隨機變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；X的可能取值為0,1,2,

3,4,則尸逐=0)=魯==，P(X=1)=魯=。，尸(X=2)=警號，尸這=3)=魯=奈,

Q41183418

P(X=4)=^r=2io，所以￡(田=0乂誦+1乂丸+2x,+3x行+4x丸=亍故A,D錯誤.

6.據統計，在某次聯考中，考生數學單科分數X服從正態分布N(90,202),考生共50000

人，估計數學單科分數在130?150分的學生人數約為(附：若隨機變量。服從正態分布股,

/)，則P(/z-+a)~0.6827,P(jn—+2(r)~0.9545,P(/z-+

3加0.9973)()

A.1070B.2140

C.4280D.6795

答案A

解析由題設P(130<XW150)=+2o<XW〃+3Q=—+3c)—一

2cW1fW〃+2Q]=1x(0.9973-0.9545)=0.0214,所以數學單科分數在130?150分的學生人數

約為0.0214x50000=1070.故選A.

7.甲、乙兩羽毛球運動員之間要進行三場比賽，且這三場比賽可看作三次伯努利試驗，若甲

至少取勝一次的概率為震，則甲恰好取勝一次的概率為()

A』Ba

c.40-4

一9-27

C-64D-64

答案C

解析設甲取勝為事件4每次甲勝的概率為p,由題意得，事件A發生的次數X?8(3,p),

則有1—（1—p）3=普，得p=*則事件A恰好發生一次的概率為C?x（l一步=卷

8.某綜藝節目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態并進行記憶，記住后蒙住

眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機

抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查，得到的情況如表所示：

用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人數1721139

女性人數810166

以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超

過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范

圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數最有可能（即概

率最大）是（）

A.3B.4

C.5D.6

答案C

解析根據題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率2為5益1設隨機抽取的20

名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數為。，則。?《20,其中??）

，k=O,1,2,20,4=0時，P(<f=0)=C%|j).(J)=圖；顯然尸(。=1)=@0。圖

19(3、20

=P(<f=0)，即尸(。=0）不可能為=心最大值，當上21時，由

\P代=k)2尸&=4+1),/0

(P4=k)》尸(E=左一1),行

卜然)\由裝曠

3(4+1)》20T,1721

化簡得，解得寧4W亍,又kez,.?#=5,.?.這20名盲擰魔方愛好者

21TN3Z,

中用時不超過10秒的人數最有可能是5.故選C.

二、多項選擇題

9.（2023?遼寧沈陽三模）下列命題中正確的是（）

A.已知一組數據6,6,7,8,10,12,則這組數據的50%分位數是7.5

B.已知隨機變量X?N(2,f?),且P(X>3)=0.3,貝ijP(l<X<2)=0.2

C.已知隨機變量0，則E(y)=|

A

D.已知經驗回歸方程y=—2x+3,則y與x具有負線性相關關系

答案ABD

7+8

解析對于A,6x5O%=3,第3個和第4個數的平均數為三一=7.5,故A正確；對于B,

P(l<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.5-0.3=0.2,故B正確；對于C,F?800,；),則

E(n=?P=10x1=5,故C錯誤；對于D,—2<0,可得y與x具有負線性相關關系，可知D

正確.故選ABD.

10.(2023?遼寧大連二十四中校考三模)若隨機變量X?2。0,下列說法中正確的是()

A.尸(X=3)=CMx自Xe

20

B.￡(X)=y

C.E(3X+2)=22

D.￡)(3X+2)=20

答案BCD

解析對于A,因為I),所以尸(X=3)=C：oX停Jx(l—l),故A錯誤；對于B,

22020

￡(X)=10x^=y,故B正確；對于C,E(3X+2)=3E(X)+2=3xy+2=22,故C正確；對

2(2、2020

于D,￡)(㈤=10乂熱1一寸=豆，D(3X+2)=32D(X)=9xy=20,故D正確.故選BCD.

三、填空題

11.某大廈的一部電梯從底層出發后只能在第17,18,19,20層停靠，若該電梯在底層有5

位乘客，且每位乘客在這四層的每一層下電梯的概率都為匕用1表示5位乘客在第20層下

電梯的人數，則P(0=4)=.

答案1^4

解析每位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗，故。?8(5,

即有Pe=k）=dxQ）x$）,k=0,1,2,3,4,5.故P（＜f=4）=CWx（；）、（=需7

12.設隨機變量。服從正態分布N（〃，o2）,向量a=（l,2）與向量》=仁，-1）的夾角為銳角

的概率是則〃=.

答案2

解析當向量。=（1,2）與向量）=咯-1）的夾角為銳角時，a?加＞0且°,力不共線，則。＜1

+2x（-l）＞0,且1x（—1）—2分0,解得傘＞2,又向量。=（1,2）與向量8=（。一1）的夾角為銳

角的概率是看所以尸（今2）=；,又隨機變量。服從正態分布N（/z,/），〃=2.

13.一個口袋中裝有7個球，其中有5個紅球，2個白球，抽到紅球得2分，抽到白球得3

分.現從中任意取出3個球，則取出3個球的得分丫的均值E（r）為.

宏口案—7

解析V的可能取值為6,7,8,且尸（丫=6）=，^*=親=5,尸（丫=7）=^^2=4='P（Y=

8）=置CiC?=表5=，1所以得分/的均值E⑺=6乂2彳+7*今4+8*1"=羊48.

14.日常生活中，許多現象都服從正態分布.若X~N（/i,o2）,記Pi=P（jU—＜rWXW〃+（7）,

P2=P（/z—2cWXW〃+2Q,尸3=尸〃一3CWXW4+3Q.小明同學一般情況下都是騎自行車上

學，路上花費的時間（單位：分鐘）服從正態分布NQ8,4）.已知小明騎車上學遲到的概率為

尸0=11色.某天小明的自行車壞了，他打算步行上學，若步行上學路上花費的時間（單位：分

鐘）服從正態分布M35,9）,要使步行上學遲到的概率不大于尸o,則小明應該至少比平時出

門的時間早分鐘.

答案20

解析由小明騎車上學遲到的概率Po=與色知，小明騎車花費的時間超過〃+3c=18+3x2

=24分鐘才會遲到.若小明步行上學，要使遲到的概率不大于Po,則步行花費時間應小于

35+3義3=44分鐘，故小明應該至少比平時出門的時間早44—24=20分鐘.

四、解答題

15.（2023?順德一模）某市市民用水擬實行階梯水價，每人月用水量不超過w立方米的部分按

4元/立方米收費，超出卬立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了100位市民，

獲得了他們某月的用水量數據，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，并且前四組頻數成等差

數列.

頻率佟且距

h.........?[—

0.2-r—

0.511.522.533.544.5月用水量/立方米

(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2?2.5內的頻數；

(2)根據此次調查，為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，應將w定為多少？(精確到

小數點后2位)

(3)若將頻率視為概率，現從該市隨機調查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2.5立方

米的人數記為X,求其分布列及均值.

解(1)：前四組頻數成等差數列，

???所對應的頻耨率也成等差數列，

設a=0.2+d,6=0.2+2d,c=0.2+3d,

.,.0.5x[0.2+(0.2+(/)x2+0.2+2rf+0.2+3<7+0.1x3]=l,

解得d=0.1,

/.a=0.3,b~0A,c=0.5.

居民月用水量在2?2.5內的頻率為0.5x0,5=0.25.

居民月用水量在2?2.5內的頻數為0.25x100=25.

(2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7V0.8,

為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，

087

應規定W=2.5+~03°,~2.83.

⑶將頻率視為概率，設A(單位：立方米)代表居民月用水量，

可知尸(AW2.5)=0.7,

由題意，X?8(3,0.7),

尸(X=0)=C?X0.33=0.027,

尸(X=1)=C3X0.32X0.7=0.189,

P(X=2)=C?X0.3X0.72=0.441,

P(X=3)=0x0.73=0.343,

；.X的分布列為

X0123

p0.0270.1890.4410.343

：X?8(3,0.7),：,E(X)=np=2A.

16.為了切實維護居民合法權益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區開

展“全民反詐在行動一反詐騙知識競賽”活動，現從參加該活動的居民中隨機抽取了100名，

他們的競賽成績分布如下表所示：

成績/分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數242240284

(1)求抽取的100名居民競賽成績的平均分］和方差s"同一組中的數據用該組區間的中間值

代表)；

(2)以頻率估計概率，發現該社區參賽居民的競賽成績X近似地服從正態分布N〃，rT2),其中

〃近似為樣本成績平均分1，，近似為樣本成績方差s2,若〃一參賽居民可獲

得“參賽紀念證書”；若X>〃+2c,參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”.

①若該社區有3000名居民參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的居民人數(結果

保留整數)；

②試判斷競賽成績為96分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”.

附：若X?o2),則尸(//—trWXW〃+。戶0.6827,尸2cWXW〃+2o■戶0.9545,—

+3亦0.9973.

解(1)100名居民本次競賽成績的平均分

—242240284

尤=45'礪+55乂而+65x而+75x而+85x而+95*同=75,

2A224028

方差s2=(45—75)2x而+(55—75)2x—+(65—75)2x—+(75—75齊加+(85—75)2x—+

,4

(95-75)2x—=100.

⑵①由于〃近似為樣本成績平均分1,『近似為樣本成績方差52,

所以〃=75,/=100,0-=^/100=10.

由于競賽成績X近似地服從正態分布N3,冷,

所以參賽居民可獲得“參賽紀念證書''的概率為P(/z-(7^x^+2(7)=+CT)

P("-ZoWXjt+2。),xO.6827+1x0.9545=0.8186,

3000x0.8186=2455.8x2456,

估計獲得“參賽紀念證書”的居民人數為2456.

②當X>〃+2c,即X>95時，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”,

所以競賽成績為96分的居民能獲得“反詐先鋒證書”.

B級素養提升練

17.(多選深計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位二進制數4=0”2的。4。5(例如10100)，

其中A的各位數硒t=2,3,4,5)中，出現。的概率為本出現1的概率為京記乂=奧+的

+a4+a5,則當程序運行一次時，下列說法正確的是()

A.X服從二項分布

4

B.P(X=1)=乳

Q

C.X的均值E(X)=§

Q

D.X的方差￡>(X)=Q

答案AC

解析由二進制數A的特點知，每一個數位上的數字只能為0,1,且每個數位上的數字互不

影響，X的分布列為P(X=?=Cg[J)?&),k=0,1,2,3,4,故X?8(4,|),故A正確；

2,1、3o28918

P(X=l)=C1x-x[jJ=—,故B錯誤；E(X)=4x§=],故C正確；￡>(X)=4x^x-=-,故D錯

誤.

18.(多選)一個袋子中裝有除顏色外完全相同的10個球，其中有6個黑球，4個白球，現從

中任取4個球，記隨機變量X為取出白球的個數，隨機變量丫為取出黑球的個數，若取出一

個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則下列結論中正