熱點(diǎn)1-2不等式與復(fù)數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

1、近三年高考中，不等式是一個重點(diǎn)考查的知識復(fù)數(shù)的運(yùn)算與不等式是?？键c(diǎn)，預(yù)計在2025年的

點(diǎn)，主要涉及大小判斷、求最值和求最值范圍等問高考中仍將保持其重要地位，考查形式和難度可能

題。而基本不等式求最值是高考中的?？键c(diǎn)，通常會與近幾年的趨勢保持一致.

出現(xiàn)在選擇題和填空題中，難度不大.（1）不等式主要考查基本不等式求最值、大小判

2、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)表示及其幾何意義是高斷，求取值范圍問題；

考的必考內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，分值5（2）復(fù)數(shù)主要考查基本概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，

分，考題難度為低檔.其中復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軌復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義

是最可能出現(xiàn)的命題角度.

熱點(diǎn)題型解讀

題型1不等式性質(zhì)及應(yīng)用6、題型5基本不等式求最值

題型2—元二次不等式的解法題型6基本不等式恒成立問題

不等式與復(fù)數(shù)

題型3一元二次函數(shù)根的分布問題o-/\題型7復(fù)數(shù)的四則混合運(yùn)算

題型4一元二次不等式恒成立問題題型8復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

題型1不等式性質(zhì)及應(yīng)用

明確各個性質(zhì)（對稱性、傳遞性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、可乘方性）中結(jié)；

i

論成立的前提條件，另外在使用不等式的性質(zhì)時還需注意與作差法、作商法的結(jié)合使用.

1.（24-25高三上?陜西西安?月考）下列命題中，真命題的是（）

A.若a<b,貝U—>—B.若a>b,則

ab

C.若a>b>c>0,則，D.若0<a<b<c,則logc〃<logcb

bb+c

【答案】C

【解析】對選A,若。=0/=1,滿足此時工無意義，故A錯誤，

a

對選項B,若。=2,6=-3,滿足〃>>，不滿足故B錯誤，

aa+ctz(Z?+c)-Z?(?+c)c^a-b)

對選項C,^a>b>c>Q,-----------=------------------------=----------->u

bb+cb(b+c)b(b+c)

所以?>爐，故C正確.

bb+c

對選項D,若0<c<l,Q<a<b<c,貝Hog,。>log,故選：C

2.（24-25高三上?福建泉州?模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)。>>>0,則下列不等式不一定成立的是（）

A.0.3a<0.36B.lga>lgbC.」一<」一D.8>加

〃-1b-1

【答案】C

【解析】因?yàn)閥=03在定義域R上單調(diào)遞減且所以0.3。<0.3〃，故A正確；

因?yàn)閥=lgx在定義域（0,+e）上單調(diào)遞增且所以lga>lgb,故B正確；

當(dāng)時，--->0>-----,故C不正確；

（7-10-1

因?yàn)閥=?在定義域[0,+8）上單調(diào)遞增且匕>0,所以夜>揚(yáng)，故D正確.故選：C.

3.（24-25高三上?河北石家莊?模擬預(yù)測）（多選）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足。>6>c>0,則下列選項正確的是

（）

Aa+ca「,a-c_廠bc一,,,1、c6

A.------>—B.lg------->0C.------->-------D.a+b+.——>2v2

b+cbb-ca-ba—c?ab

【答案】BCD

【解析】對于A,實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c>0,

a+ca_[a+c]b-[b+c）a_（b-a）cma+ca

貝丁一%~~Ti17<。，即^<7，A車日底；

b+cb[b+cjb（b+c）bb+cb

n—CCL—C

對于B,由于a>Z?>c>。，i^a-c>b-c>0,:.------>1,貝ijlg^>0,B正確；

b-cb-c

對于C,因?yàn)閍>b>c>0,i^a-b>0,a-c>0,b-c>0,

bca\b-c\bc

則一7----------=7一、>0,即告>工，C正確；

a-ba-c\a-b\\a-c\a—ba—c

對于D,由于〃〉b>c>0,^a+b>2y/ab,

則a+b+廣>,而2V?fe+—/==2^2,當(dāng)且僅當(dāng)〃Z?=’時等號成立,

7ab7ab7ab2

a+Z?H—.—〉2y,D正確，故選：BCD

4.（24-25高三上?湖北武漢?期中）若實(shí)數(shù)。"滿足-1<Q+A<3,2va-〃v4,貝1J3a+b的取值范圍為一

【答案】（。,1。）

【解析】令3a+Z?=x（a+b）+y（a—Z?）=（x+y）Q+（x—y）b,

尤+y=3x=2

所以，-尸I,解得

y=i

所以3Q+Z?=2（a+Z?）+（a—Z?）,

又-l<a+/?<3,2<a-b<4,

所以0<2（々+人）+（〃一人）<10,即0<3〃+8<10,

所以紜+b的取值范圍為（0,10）.

題型2一元二次不等式的解法

i00混I

1、解一元二次不等式的一般步驟

II

（）化為標(biāo)準(zhǔn)式；（）計算相應(yīng)的判別式；（）根據(jù)相應(yīng)的一元二次方程的根的情況寫出解集.

I123I

2、解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)

的符號進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即A的符號進(jìn)行分類，最后在根存在時，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類.；

II

i____________________________________________________________________________________________i

1.（23-24高三下.河北滄州.模擬預(yù)測）已知集合4={-1,1,2,3,5},3=卜|2/-3%-2>0},則40臺=（）

A.{-1,3,5}B.{-1,2,3,5}C.{3,5}D.{2,3,5}

【答案】A

【解析】集合8={x|尤<一!■或x>2},所以Ac3={-1,3,5}.故選：A.

2.（24-25高三上?山東棗莊?月考）（多選）己知關(guān)于無的不等式加+bx+c>0的解集為出犬<-2或x>3},

則下列選項中正確的是（）

A.a<0B.不等式fer+c〉0的解集是{上<-6}

c.a+b+c>0D.不等式cf一法+a<0的解集為k|x<-g或x>1

【答案】BD

【解析】A選項，：關(guān)于x的不等式加+法+C>0的解集為{x|x<-2或x>3},A選項錯誤;

BC選項，已知-2和3是關(guān)于x的方程辦2+云+°=0的兩根，

-2+3=--

由根與系數(shù)的關(guān)系得"，則b=-a,c=-6a,

-2x3=—

a

不等式Z?x+c>0,BP-ax-6a>0,又。>0,解得了<-6,B正確；

且Q+6+C=-6Qv0,C錯誤；

D選項，不等式ex?-ZZX+Q<0,即一6改2+依+々v0,即6%?—%—1>0,

解得兀<-§或x>5，D正確.故選：BD

3.(24-25高三上?甘肅天水?月考)關(guān)于龍的不等式(1+2〃卜+2。<0的解集中恰有2個整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的

取值范圍是.

【答案"一"卜，)

【解析】關(guān)于X的不等式％2一。+24卜+24<0可化為(x-l)(x-24)<0,

3

當(dāng)2a>1時，解得l<x<2a,要使解集中恰有兩個整數(shù)，貝U3<2aW4,得］<。42；

當(dāng)2a=1時，不等式化為(x-l)2<0,此時無解；

當(dāng)2a<1時，解得2a<x<l,要使解集中恰有兩個整數(shù)，貝4-242。<-1,得

綜上，實(shí)數(shù)0的取值范圍是-1,-；1王,2.

故答案為：T-.

4.(24-25高三上?廣東廣州?月考)(多選)己知不等式加+fcv+c<0的解集為則()

A.a>c>0B.b<-2a<0

C.^—a+—b+c\(^4a+2b+c^>0D.+-2>-+t

【答案】BCD

【解析】由題意可得-和方為方程依2+Zzx+c=0的兩根,

t

且。所以＜;即/?=—〃(；+%),a=c>0f故A錯誤;

又;+，＞244=2,當(dāng)且僅當(dāng)，=1等號成立，因?yàn)?，?,所以8v—2av0,故B正確;

而L+4+c11(1}'

(4a+2Z?+c)=—CL----CI—Ft+Cl4。一2Q—Ft+ci

142.42.

=ja25-+>0,故C正確；

因?yàn)?2-Q+^=Q+r-^且;+f>2,

所以1；+'一￡|-|>0'即［+一2>；+/，故D正確.故選：BCD.

題型3一元二次方程根的分布問題

--------------------------------------------------————------------------------------------------------------------------------------?———Y

匕--------------------------------------------------------------i

一元二次方程根的分布問題主要有兩種：零分布與非零分布，零分布指的是方程的根相對于零的關(guān)系，非

零分布指的是方程的兩根相對于k的關(guān)系，解決這類問題可根據(jù)方程的系數(shù)和判別式來確定方程根的性

質(zhì)和分布情況.

1.（24-25高三上?上海浦東新?期中）若關(guān)于尤的一元二次方程2尤2一4元+5+3=0有兩個同號實(shí)根，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是.

【答案】（-3,-1]

【解析】由題設(shè)亍,n-3＜機(jī)4-1,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（-3,-1].

A=16-8（m+3）＞0

故答案為：

2.（24-25高三上?北京?月考）已知方程/+（2租-l）x+4-2,a=0的兩根一個比2大另一個比2小，則實(shí)數(shù)加

的范圍是.

【答案】m＜-3

【解析】令/（元）=1+（2l）x+4-2根，顯然二次函數(shù)/（X）的圖象開口向上,

而/?=0的兩根一個比2大另一個比2小，則/（2）<0,

BP22+2（2m-l）+4-2m<0,解得m<一3,

所以實(shí)數(shù)m的范圍是m<-3.

故答案為：機(jī)<-3

3.（23-24高三上.四川?月考）若關(guān)于尤的方程一一2%+0+2=0在區(qū)間（-2,1）上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則

。的取值范圍是（）

|ju(T，+°°)|]u(i,+⑹

【答案】A

【解析】令g（x）=f—2依+a+2,因?yàn)榉匠蘗-2分+a+2=0在區(qū)間（-2,1）上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解,

A=4a2-4(“+2)>0

所以

g（l）>0[l-2o+a+2>0

所以0的取值范圍是故選：A.

4.（23-24高三上.貴州?月考）（多選）已知一元二次方程尤2+妙+3=0有兩個實(shí)數(shù)根毛，馬，且

0<玉<2</<4,則根的可能值為（）

A.-4B.-4.5C.—4.6D.-5

【答案】ABC

【解析】因?yàn)橐辉畏匠蘓+如+3=0有兩個實(shí)數(shù)根4,馬

2

J=L0<XJ<2<X2<4,令/(%)=x+mx+3,

/(0)>03>0,

197

則由題意可得7(2)<0,即，7+2機(jī)<0,解得---<m<—,故選：ABC.

42

/(4)>019+4m>0,

題型4一元二次不等式恒成立問題

1、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立

,［a=b=Qfa>0

(1)不等式℃2+瓜+0>0對任意實(shí)數(shù)無恒成立=或1

c>0|A<0

_a=b=0fa<

(2)不等式ax2+6x+c<o對任意實(shí)數(shù)x恒成立=或〈0

Lc<0IA<0

2、一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法

:方法一：若/(x)>0在集合力中恒成立，即集合4是不等式/(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再

由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)；

;方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋奂?川，

則/(x)2a恒成立0/(刀/加N。，即/wNa；/(x)Wa恒成立今/(x)max?。，即

3、不等式能成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理

(1)若存在xe［加,〃］，a>/(x)有解今a>/(x)min；

若對任意xe［加a>/(x)無解f(x)min.

(2)若存在a</(x)有解=>a<f(x)max；

若對任意xe［加,〃］'a</(x)無解na>f(x)max,

1.(24-25高三上?陜西咸陽?月考)若關(guān)于x的不等式尤2一公+2>。在區(qū)間［1,5］上有解，則a的取值范圍是()

A.^2^2,+oojB.(-<?,2e)C.(—8,3)D.1G°，

【答案】D

r7

【解析】當(dāng)xer［l,5］時，由d-依+2>0可得。<尤+［，

又關(guān)于x的不等式*-6+2>0在區(qū)間［1,5］上有解，貝+3，

\%/may

令y=x+?易知y=x+：在區(qū)間［1,應(yīng)］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［痣,5］上單調(diào)遞增,

X

22727

又x=l時，y=3,%=5時，^=5+-=—,所以〃＜《，故選：D.

2.(24-25高三上?四川成都?月考)已知關(guān)于x的不等式加_2x+3a<0在(。,2］上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.B.-oo,—JC.(-00,0]D.(-00,0)

【答案】B

2x2

【解析】當(dāng)x《0,2]時，由62-2x+3a<0可得=

X

因?yàn)閤>0,由基本不等式可得3-3,

x+—2Jx--

XNX

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,即.石時，等號成立，故。<立.故選：B.

x3

3.(24-25高三上?天津?開學(xué)考試)若不等式/+辦+120對任意恒成立，則。的取值范圍是(

A.[0,+oo)B.(-oo,-2]C.-1',+00)D.(-oo,-3]

【答案】C

【解析】因?yàn)椴坏仁綗o2+依+GO對任意xe]。,；恒成立，

所以一。4三擔(dān)=工+，對任意恒成立，

xxI2_

設(shè)/(x)=x+J(0<xV；J,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)在[。,；上單調(diào)遞減，

所以/(工濡=d，=g+2=|>

貝Ij-awg,得“2-：,即a的取值范圍是H+s]故選：C.

22_2)

3

4.(24-25高三上?甘肅蘭州?月考)若不等式2日2十日一<。對一切實(shí)數(shù)x都成立，則％的取值范圍為

O

【答案】(T0]

3

【解析】當(dāng)人=0時，不等式為-?<0,顯然成立，符合題意；

O

k<0

當(dāng)kW0時，貝|JA72/G7/3、八，解得—35VO.

△=左一4x2左X——<0

〔I8；

綜上所述，k的取值范圍是(-3,0].

故答案為：（-3,0].

題型5基本不等式求最值

二.返

0。既0

在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.

①一正：各項均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；

③三相等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.

1.（23-24高三下?海南?模擬預(yù)測）若正數(shù)a,人滿足油=2a+（b+3,則仍的最小值為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】因?yàn)椤?，人為正?shù)，所以演=2°+戛+322J20.戛+3=2痣+3,

2V2

1.—.—

當(dāng)且僅當(dāng)2a=萬6時取等號，所以（疝下一2疑-320,

所以-3\y[ab+1）>0,

所以疝23或而V-l（舍去），

3

所以必29,當(dāng)且僅當(dāng)人=不。=6時等號成立.故選：C.

2

32

2.（23-24高三下?湖北黃岡?一模）若根>0,〃>0,且3切+2〃-1=0,則一十一的最小值為（）

mn

A.20B.12C.16D.25

【答案】D

【解析】因?yàn)?根+2〃—1=0,所以3帆+2〃=1,

所以3+2=（3+2）乂1=（』+工）（3加+2〃）=9+生+%+4213+2^1^^=13+12=25,

mnmnmnmn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)生=生61Tl，即根="=I：時取等號，

mn5

所以士3+士2的最小值為25.故選：D.

mn

1213

3.（23-24高三下.河南信陽?模擬預(yù)測）。>0,6>0,—+:=1,則一—的最小值為（

aba—1o—2

A.y/3B.2KC.5/6D.6

【答案】C

12

【解析】a>0,b>0,—+—=l,貝U"=2a+Z?,且

ab

整理得到(a-DS-2)=2,

所以U+2227―八=瓜,當(dāng)且僅當(dāng)」即。=逅+1方="+2時取等號.

a-1b-2丫("1)0-2)a-1b-23

13

即一的最小值為".故選：C.

a—\b—2

4.（23-24高三下?湖南邵陽?三模）（多選）若正數(shù)x,>滿足2x+y=孫，則（）

A.xy<8B,8x+y>18

【答案】BCD

【解析】對于A,正數(shù)MV,則沖=2x+yZ2歷，當(dāng)且僅當(dāng)>=2x=4時取等號，因此母28,A錯誤;

對于B,由2%+y=孫，得—I—=1,貝8%+y=(8x+y)(—I—)=10+—H------>10+2=18,

xyxyxy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)2=比，即y=4x=6時取等號，B正確；

%y

12144144

對于C,由一+―=1,得=+=+——=1,Bp—+—=1,Jfoxy>8,

xyxyxyxyxy

14441

Sitk—+—=1—21—3=7，c正確；

xyxy82

對于D,由2%+丁=孫，得?一2%—y+2=2,即(x—l)(y—2)=2,

17Q1IOi

町+「，得x>l,y>2,^^—+—>2^-.-=^6,

3]

當(dāng)且僅當(dāng)-TH,即尤一1=3（廣2）=#時取等號,D正確.故選：BCD

題型6基本不等式恒成立問題

0?；?/p>

不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍，在滿足條件的情況下可以把參

數(shù)分離出來.常見求解策略是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，即、2加恒成立oy.N帆；y4根恒

成立。Wax4機(jī).但要注意函數(shù)中自變量的取值范圍，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.

1.（24-25高三上?江西上饒?月考）若不等式幺±±1>。在區(qū)間[0』上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

2x+l

A.a<5/2—B.a<\C.ci<—D.Q<2>/2—

232

【答案】A

【解析】令2x+l=l,因?yàn)椋t，?1,3],

所以原不等式等價于2>。在/e[l,3]上恒成立；

f（0在te[1,72]時單調(diào)遞減，在te（V2,3）時單調(diào)遞增,

所以當(dāng)仁&時，，

若/（f）>a在re[l,3]上恒成立，則/（入n>a,所以故選：A

41

2.（24-25高三上?河北承德?月考）已知"O,y>0,且x+y=5,若看+方22利+1恒成立，則實(shí)數(shù)

機(jī)的取值范圍是（）

A.B.C.D.(-oo,4]

【答案】B

【解析】因?yàn)閤>0,y>0,且無+y=5,則無+l+y+2=8,

411j[(x+i)+(y+2)]="5?4(y+2)?x+1

所以---r+匕+」

x+1y+28(x+ly+2x+\y+2

4(y+2)_x+1

x+1y+2

2419

當(dāng)且僅當(dāng)(x+l)+(y+2)=8時，即當(dāng)xy=§時，所以-J+年的最小值為限

x>0,y>0

41Q1

因?yàn)?1+1^2根+1恒成立'所以為+1宜，解得加盤，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B.

3.（24-25高三上?湖南長沙?月考）已知x,y,。＞0,且無+曳+幺28恒成立，則”的取值范圍是

xxy

【答案】［4,口）

【解析】由x,y,。＞0,

故X+曳+《。+2、但五一+生乜/=4向

xxyyxxyx\x

當(dāng)且僅當(dāng)生=4、X=—,即尤=2右，y=4時，等號成立，

xxyx2

故4^后28,即a24,則a的取值范圍是［4,+oo）.

故答案為：［4,+oo）.

4.（23-24高三下?浙江?二模）（多選）已知正實(shí)數(shù)且。＞人＞G%y,z為自然數(shù)，則滿足

—~+~~—1------->o恒成立的羽y,z可以是()

a-bb-cc-a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.%=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

【答案】BC

【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。，瓦。，且?！礪?>c,%,y,z為自然數(shù)，所以〃-6〉0涉-c>0,a-c〉0,

貝I|二7+4+二>0恒成立，即工7+丁L>二恒成立,

a-bb-cc-aa-bb-ca—c

兩邊同乘Q-cr-b+b-c,貝(JW+b-c)+

\a-bb-c)

而(a-b+b-c)[-+X(b-c)1y(g-b)2

=x+y-\——>X+

\a-ba—bb-c

當(dāng)且僅當(dāng)彳他一(二乂”",即土?xí)r，等號成立,

a-bb-cy\b-c)

若』7+4+上>0恒成立，貝>](?+—『>z恒成立，

a-bb-cc—a\>

A.當(dāng)％=l,y=l,z=4時，(F+6)=4=z,不成立；

B.當(dāng)x=l,y=2,z=5時，(G+G)=5>z,成立；

C.當(dāng)了=2,丫=2*=7時，(6+6)=7>z,成立;

D.當(dāng)尤=l,y—3,z=9時，(6+4)，=4+2—<Z=9,不成立，故選：BC

題型7復(fù)數(shù)的四則混合運(yùn)算

解決復(fù)數(shù)四則運(yùn)算問題的思路：

1、復(fù)數(shù)的加減法：實(shí)部與虛部相加減，虛部與虛部相加減分別作為結(jié)果的實(shí)部與虛部.把i看作字母，

類比多項式加減法中的合并同類項；

!2＞復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結(jié)果中要將I?換成-1,并將實(shí)部、虛部分別合并.多

項式展開中的一些重要公式仍適用于復(fù)數(shù)，常用公式有（。+歷）（0-歷）=/+〃，

（a土歷）2-ci1-b1+2abi,（a±bi）3=a3-3ab2±（2a2Z?-Z?3）i.

2、復(fù)數(shù)的除法法則在實(shí)際操作中不方便適用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實(shí)數(shù)化”的方法，即

將分子、分母同乘分母的共輾復(fù)數(shù)，使分母成為實(shí)數(shù)，再計算.

1.（23-24高三下.江蘇南京?期中）已知i為虛數(shù)單位，則（2+石）（2-后）=（）

A.5B.-1C.1D.7

【答案】D

【解析】（2+商（2-石i）=4-3i2=4+3=7.故選：D.

2.（23-24高三下?浙江杭州?期中）已知復(fù)數(shù)2=魯，則同=（）

A.2B.1C.VsD.去

【答案】B

3+4i

【解析】慟=國=

4-3i

3.（23-24高三下?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知1-2是關(guān)于復(fù)數(shù)2的方程22-儂+〃=0（祖,“€11）的一個根,

則"7+九=（）

【答案】c

【解析】將1—2i代入方程可得(l-2i)2-m(l-2i)+n=0,

整理得l+4i?—4i—機(jī)+24+〃=0,即一3-桃+孔+(2加—4)i=。,

f—3-m+n-0fn=5

可得。/,解得」所以m+〃=7.故選：C

\2m-4=n0\m=2

4.(23-24高三下.江西新余.模擬預(yù)測)(多選)已知ZEC,1為z的共輾復(fù)數(shù)，則下列條件可判定zwR的

是：()

Z_Z-

A.同=同B.z.z=0

2222

C.z=zD.z-z=z-z

【答案】ABD

【解析】已知Z￡C,設(shè)2=〃+歷(a,bwR),則三=〃_歷，

zza+bia—bi

對于A，若不同，即777濟(jì)=77得力=-為，iw=o'

所以Z=〃，有zwR,A選項正確；

對于B,若z?三二"+/二。，則有。=h=0,得z=0,WZGR,B選項正確；

對于C,若Z2=￡,即+2〃歷-。2=々2一2〃歷_/，有4。歷=0,得必=0,

其中當(dāng)。=0,。工0時，zeR,C選項錯誤；

對于D,若Z2.N=Z-52,有(Z-N)?Z=(Z-2?5,即忖2號=忖2.彳，

若忖=0,貝lj得z=0,有zeR；若Z=5,貝Ub=0,z=a,有z^R,D選項正確.故選：ABD.

題型8復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

I——————————————————————————————————————————————————————If

\

1、復(fù)數(shù)的幾何意義

ii

(1)任一個復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bGR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,力是---對應(yīng)的.

II

(2)一個復(fù)數(shù)2=。+歷(a,beR)與復(fù)平面內(nèi)的向量應(yīng)=(a,b)是---對應(yīng)的.

2、與復(fù)數(shù)模有關(guān)的最值問題

(1)求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的集合表示的圖形時，常用的方法是通過化簡得到關(guān)于復(fù)數(shù)模的最簡等式

或不等式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義直接判斷圖形的形狀.

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式,若2=久+yi,則|z-(a+bi)|表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(居y)

與點(diǎn)(a,b)之間的距離，則|z-(a+6i)|=7"表示以(a,b)為圓心，以r為半徑的圓上的點(diǎn).

1.（24-25高三上?天津?月考）已知復(fù)數(shù)z=i（l+i）（其中i為虛數(shù)單位）,則復(fù)數(shù)z的點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限為（）

A.一B.二C.三D.四

【答案】B

【解析】z=i（l+i）=-l+i,則復(fù)數(shù)z的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第二象限，故選：B.

12i21

2.（23-24高三下.陜西銅川.模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=匕+則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

l+2i21l+2i_(l+2i)(l+i)_13.

【解析】由題意知1-i-(l-i)(l+i)~~221

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.故選：B.

3.（23-24高三下.安徽.模擬預(yù)測）若zeC,i為虛數(shù)單位，|z+2i_1=l,則|z-i|的最大值為（）

A.2B.5/10-1C.4D.V10+1

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)（1,-2）為圓心，1為半徑的圓，

所求式子|z-i|的幾何意義表示點(diǎn)（0,1）到圓上點(diǎn)的距離的最大值，

如圖所示，最大值為J（l-+1=9+1.故選:D.

4.（23-24高三下?廣西?模擬預(yù)測）（多選）復(fù)數(shù)z=x+yi（尤,yeR,i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z（尤,j）,

則下列為真命題的是（）

A.若|z+l|=|z-1],則點(diǎn)Z在圓上

B.若|z-l|+|z+l|=4,則點(diǎn)Z在橢圓上

C.若|z+l|Tz—1=2,則點(diǎn)Z在雙曲線上

D.若k+l|=|z-l|,則點(diǎn)Z在拋物線上

【答案】BD

【解析】|z+11=J(x+1)2+/表示點(diǎn)(x,y)與(-1,0)之間的距離，

|z-11=J(x-1)?+口表示點(diǎn)(羽y)與(1,0)之間的距離,記片(-1,0),與(1,0),

對于A,|z+l|=|z-l|,表示點(diǎn)z(x,y)到耳、居距離相等,

則點(diǎn)Z在線段G8的中垂線上，故A錯誤；

或由(x+l)2+y2=(x_l)2+y2,整理得彳=0,所以點(diǎn)Z在尤=0,故A錯誤；

對于B,由|z—l|+|z+l|=4得|9|+|藥|>出閭=2,這符合橢圓定義，故B正確；

對于C,若|z+l|-|z-l|=2,區(qū)娟-必閶=|耳閶=2,這不符合雙曲線定義，故C錯誤；

對于D,若|x+l|=|z-l|,則(尤+1產(chǎn)=(尤_1)2+丁,整理得;/=4x,點(diǎn)Z在拋物線，故D正確.

故選：BD.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

1.（23-24高三下.浙江溫州.模擬預(yù)測）設(shè)集合4={無叼尤2-3丈-4<0},B={x||x+l|<1},則4口3=（）

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】A

【解析】依題意,A={XGZ|-1<X<4}={-1,0,1,2,3,4）,3={尤|一1<尤+1<1}={為卜2<尤<。},

所以AcB={-l,0}.故選：A

2.(23-24高三上.湖北荊門?月考)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為(1,1),貝也+」的虛部為()

【答案】C

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為(LD,所以z=l+i,

貝UzH=l+i+-—；=1+iH—=—+~i>所以zH—的虛部為:，故選：C.

Z1+1222Z2

3.（23-24高三下?山東?二模）若則下列不等式成立的是（）

1111

A.a2<b2B.a+b<b+cC.-<-D.o<I77

ab