備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考八省專用)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.若集合A={x|log4尤〈1},8={尤|爐-2x-340},貝！|AB=()

A.[-1,3]B.[-1,4]C.(0,4]D.(0,3]

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和單調(diào)性解不等式，得到A=(O,4],解一元二次不等式得到3=[-1,3],由交

集概念求出答案.

【詳解】集合A={鄧。g/Wl}=(0,4],B={X|X2-2X-3<0}=[-1,3],

則AI8=(0,3].

故選：D.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(x-l)2+y2=2B.x2+(j-l)2=2C.(x-l)2+/=4D.x2+(j-l)2=4

【答案】C

【分析】z=x+yi,根據(jù)模長(zhǎng)公式得到一+j?=2,兩邊平方得到答案.

【詳解】z=x+yi,貝”z-1|=24(彳-1)+何|=2,

即、(龍一if+V=2,故d)2+/=4.

故選：C

3.在日常生活中，我們發(fā)現(xiàn)一杯熱水放在常溫環(huán)境中，隨時(shí)間的推移會(huì)逐漸變涼，物體在常溫環(huán)境下的溫

度變化有以下規(guī)律：如果物體的初始溫度為1,則經(jīng)過一定時(shí)間，即f分鐘后的溫度T滿足

-7；),//稱為半衰期，其中1是環(huán)境溫度.若看=25C,現(xiàn)有一杯80C的熱水降至75c大約

用時(shí)1分鐘，那么水溫從75c降至45c大約還需要()(參考數(shù)據(jù)：吆2。0.30,坨11。1.04)

A.8分鐘B.9分鐘C.10分鐘D.11分鐘

【答案】C

【分析】依題意分別將各組溫度數(shù)據(jù)代入表達(dá)式，得出方程組再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求得結(jié)果.

1_i

10

【詳解】根據(jù)題意得75-25="（80-25），即

17

，可得比2

則45-25=I"(75-25)，所以20=50x

坨2

in2晨二］

兩邊取常用對(duì)數(shù)得〃g=lg￡j=Tlg2-lg5=21g2-1Jx0.3-10

7r1-lgll-1-lgll~1-1.04-'

115lg—

11

故選：C.

4.已知向量Q*不共線，AB=Aa+b,AC=a+jubf其中若三點(diǎn)共線，則％+4〃的最

小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)锳氏C三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)左，使AB=%AC，即彳。+6=左（。+〃6）,

A=k

又向量。力不共線，所以1=次”7

由；1>0,〃>0,所以>+4〃之2,4%=4,

當(dāng)且僅當(dāng)彳=4〃時(shí)，取“=”號(hào)，

故選：B

5.若a=log3'|,6=c='則a，。，c的大小關(guān)系為().

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】由函數(shù)>=1。83苫、y=5*和y=的單調(diào)性可依次得b>l^b>c,進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)閥=iog3尤是（。,+8）上的增函數(shù),

又因?yàn)閥=5,是增函數(shù)，所以6==501>5°=1,

又＞=”是［0,用）上的增函數(shù)，

綜上所述，a,b,c的大小關(guān)系為avcvZ?.

故選：A.

6.已知函數(shù)〃x）=sin2%—gcos2%在％］與?+上的值域均為目，則a的取值范圍為（

715兀71715兀兀5兀71

A.「5'一正」B.［萬(wàn)一?C.［-仃-可D.「石，工

【答案】A

【分析】借助輔助角公式化簡(jiǎn)/'（X）后結(jié)合正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)可得，=-2,即可得與1有關(guān)不等式組,

解出即可得.

【詳解】/（x）=sin2x-V3cos2x=2sin^2x--j^,

...7C1］c7C-7C7C

右xwa,—,則2x——G2a——,

3j3L33_

兀兀_71_717C

右*X￡ClH—,一，貝（J2x￡2aH—,一,

4兀

因?yàn)?sin

所以/=一2,則有33，解得-J建r屋-5三7r，

c兀/n212

132

TTSIT

即a的取值范圍是-5,-五.

故選：A.

7.已知月,月是橢圓。:與+與=1（。＞人＞0）的左，右焦點(diǎn)，A,8是橢圓。上的兩點(diǎn).若耳A=2"B,且

ab

TT

/A耳工=I，則橢圓C的離心率為（）

A.-B.巫C.BD.-

3333

【答案】B

【分析】設(shè)|A耳|=25i,結(jié)合題意可得\AF2\,根據(jù)橢圓定義整理可得2應(yīng)a-2c=—,根據(jù)向量關(guān)系可得與A

m

//F2B,且忸詞=及機(jī)，同理結(jié)合橢圓定義可得缶+c=叫，進(jìn)而可求離心率.

m

【詳解】由題意可知:耳（-0）,由（G。）,

設(shè)|A耳|=2y/2m,m>0,

因?yàn)?A耳罵=；,貝ijA（—c+2租,2m），可得恒用=帆2+（2（?-2用/,

由橢圓定義可知：=2。，即+不4m之+（2c—2"J=2a，

整理可得2缶-2。=幺；

m

又因?yàn)橛?=2月3,則且忸用=g|A^=園,

則3（C+/"，M，可得阿|=’⑵+布+4,

由橢圓定義可知：\BF±\+\BF2\=2a,即J（2c+〃?1+療+g1n=2a,

整理可得缶+。=貴；

m

即2缶-2。=缶+C,可得0a=3c,

所以橢圓c的離心率《=￡=也.

a3

故選：B.

8.己知定義在（0,+8）上的函數(shù)“X）滿足〃尤）<工（尸（力-1）（尸（X）為“X）的導(dǎo)函數(shù)），且/⑴=0,則

（）

A./（2）＜2B./（2）＞2

C.〃3）＜3D./（3）＞3

【答案】D

【分析】由已知可得礦令g（x）=/H-lnx,可得g（x）在（0,+功上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得

XXX

/（3）＞31n3,/（2）＞21n2,可得結(jié)論.

【詳解】由題意可得獷''（X）-〃X）＞x,即寸（x）T（x）＞L

XX

令g（x）=?-lnx,則g，（x）="（x）1a）」＞0,

XXX

所以g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增,因?yàn)?1）=0,所以g（l）=〃l）一lnl=0,

所以g（3）＞g（l）=。，所以/一ln3＞0,所以了（3）＞31n3＞3,

所以g⑵〉g⑴=0,所以/一也〉。,所以〃2）＞21n2,

又21n2＜2,故f（2）與2的大小關(guān)系不確定.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.現(xiàn)有十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（物0）,伍,0）,,（%,0）,它們分別與（*10）,（%』。），，（％0，1。）關(guān)于點(diǎn)（3,5）對(duì)稱.

已知士,尤2，，,出）的平均數(shù)為。，中位數(shù)為b,方差為c,極差為d,貝!|即這組數(shù)滿足（）

A.平均數(shù)為6-aB.中位數(shù)為6-b

C.方差為cD.極差為d

【答案】ABCD

【分析】根據(jù)對(duì)稱知識(shí)可得y=6-x,（ieZ,lWi＜10）,結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的性質(zhì)，即可判斷

出答案.

【詳解】由于（/0）,每，。），,，（/，。），它們分別與（%,10）,（%,⑼，1。）關(guān)于點(diǎn)（3,5）對(duì)稱,

貝|J有％+y=6（ieZ,lW，410）,即有yi=6-xt（zeZ,1＜i＜10）.

則由平均數(shù)的性質(zhì)可得%,%，…，加這組數(shù)的平均數(shù)為6-a,

結(jié)合中位數(shù)性質(zhì)可知中位數(shù)為6-b,結(jié)合方差性質(zhì)可得方差為。，極差非負(fù)，所以極差為d.

故選：ABCD

10.在VABC中，內(nèi)角A3,C所對(duì)的邊分別為a,b,G且Z?-，+6c=0,則（）

B.若a=6,cosB=—,貝!Jc=)

55

C.若a=2,則VABC面積的最大值為右D.若bsinC=sinC+V^cosC,貝！Jc=2

【答案】ACD

【分析】結(jié)合余弦定理檢驗(yàn)選項(xiàng)A；結(jié)合正弦定理檢驗(yàn)選項(xiàng)B；結(jié)合基本不等式及三角形面積公式檢驗(yàn)選項(xiàng)

C；結(jié)合正弦定理及和差角公式檢驗(yàn)選項(xiàng)D.

【詳解】^a2-b2-c2+bc=O,由余弦定理得，cos24,

」+：2b~c2

-TT

由A為三角形內(nèi)角得，A=-,A正確；

若。二百,cos3=1,則。2+C2_稅=3,sinB=-|,

b=a=6=?

由正弦定理得,sin5sinA指,

~2

所以人=2sin5=',代入〃+。2一〃。=3,得c=^+4>,B錯(cuò)誤；

55

若〃=2,則加+/=4+拉:22Z?c,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，

所以歷(4,此時(shí)上4、且=石，C正確；

因?yàn)閟in8>0,所以c=2,D正確.

故選：ACD.

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x),對(duì)任意x,yeR,都有f(2x)+f(2y)=-/(x+y)〃x-y),且〃2)=2,

則()

A./(0)=0B./(X)為偶函數(shù)

C./(尤+1)為奇函數(shù)D./(x+4)=/(x)

【答案】BCD

【分析】利用賦值法計(jì)算可得〃o)=-2,即A錯(cuò)誤；令y=f可得〃-2x)=〃2x)滿足偶函數(shù)定義，即B

正確；取尤=l,y=0可得/(x+l)=-/(—x+1),可得了(工+1)為奇函數(shù)，即C正確；利用奇函數(shù)性質(zhì)可得

〃x+2)=-〃x),可得D正確.

【詳解】令x=y=l,得〃2)+〃2)=_〃2)〃0),又〃2)=2片0,所以〃0)=-2,故A錯(cuò)誤；

令y=f得，f(2x)+f(-2x)=-f(2x)f(O)=2f(2x),所以2x)=f(2x),故〃尤)為偶函數(shù)，故B正

確;

令x=l,y=0,得〃2)+〃0)=-/2。)=0,所以41)=。,

X/(l-x)+/(l+x)=-/(l)/(-^)=0,所以/(x+l)=—/(—x+1),

而/'(x+l)的定義域是全體實(shí)數(shù)，所以f(x+l)為奇函數(shù)，故C正確;

由C可得〃x+l)+〃_x+l)=0,也即〃x+2)+〃x)=0,所以〃x+2)=-〃x),所以

f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故D正確.

故選：BCD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(；9一9]：+[6的展開式中，其中不含x的項(xiàng)為.

【答案】和7’

【分析】利用二項(xiàng)式定理即可求解.

【詳解】由二項(xiàng)式定理可得Q+yj展開式的通項(xiàng)為Tr+I=C；]￡|6，y=竽,

所以多項(xiàng)式的展開式中不含龍的項(xiàng)分別為:

|X2XC：4/=V^4^^XC^6=^7.

2x2

故答案為：9丁4和一,7.

13.已知3sin/-cos/+3=0,sina=3sin(a+尸)，則tan(cr+#)=.

【答案】|

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式計(jì)算可得sin(i+4)(cos/-3)=cos(a+￡)sin/7,再由三角函數(shù)值域代入化

簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知sina=sin[(a+/?)—/]=sin(a+/7)cos/3一cos(a+/7)sin/?=3sin(cr+/?),

所以sin(a+￡)(cos/3-3)=cos(a+p)sin0,

由題意可知cos(e+￡)#。，cos/7-3^0,

由3sin/?-cos，+3=0可得3sin，=cos注一3,

sin(a+(3)sin/3sin/31

所以tan(a+0=

cos(6Z+/3)cos/3-33sinj33

故答案為：；

14.如圖，平面四邊形AD3C中，AB1BC,AB=^,BC=273,A3。為等邊三角形，現(xiàn)將△儂）沿AB翻

折，使點(diǎn)。移動(dòng)至點(diǎn)P,且依_LBC,則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為.

P

【答案】16兀

【詳解】因?yàn)锳B_LBC,尸3_LBC,ABcPB=B,平面

所以3C_L平面R4B,

將三棱錐P-MC補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱，則它們的外接球相同,

外接球的球心。在棱柱上下底面三角形的外心連線上，

令，245的外心為E,由△"￡＞為等邊三角形，AB=43,

WB￡=-x—XA/3=1,

32

因?yàn)镺E=gBC=6,所以在中，OB=JOE:+BE、J（后+R=2,

即外接球的半徑為2,

所以外接球的表面積為4兀義2?=16TI.

故答案為：16兀

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）等差數(shù)列｛廝｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知%=0,兀=6.

（1）求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛同｝的前〃項(xiàng)和q.

-n2+11〃廠

-----------,n<5

2

【答案】⑴4=〃-6⑵7；=

H2-1In+60,

--------------,n>6

2

【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程，即可求解;

（2）根據(jù)數(shù)列正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的分界，討論，與S〃的關(guān)系，求解.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d,

=6,%+%=1，..............................................................................................................................2分^

,.?。6=0，.*?ai=1，「?公差為1,.??％=-5,...................................................................................4分

%=-5+(〃-1)=〃-6；....................................................................................................................6分

〃(—5+〃—6)n2-lln

（2）由已知S“=8分

22

-n2+11〃

三5時(shí)，T=-S=

nn2

n2-1InH2-lln+60

此6時(shí)，T=S-2S=-----------------1-30=-----------------------12分

nn522

-n2+lln「

-----------,n<5

2

綜上北二13分

H2-1In+60,

----------------,n>6

2

16.(15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，尸A_L底面ABC。，AD.LAB,DC//AB,PA=AD=DC=1,AB=2,

E為棱PBk一點(diǎn)、.

⑴若E是依的中點(diǎn)，求證：直線CE〃平面B4D；

Q）若PE=4PB，且二面角E-AC-B的平面角的余弦值為逅，求三棱錐E-ABC的體積

3

【答案】（1）證明見解析（2））

0

【分析】（1）先取出的中點(diǎn)尸，連接DF,再由平行四邊形即可證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量由二面角E-AC-8的平面角的余弦值求出E的位置，即可由體

積公式求解.

【詳解】(1)證明：取外的中點(diǎn)/，連EF,DF,

E為尸8的中點(diǎn)，尸〃AB旦所=：A2...........................2分

又CD〃AB,且CO=LAB,

2

:.EFIICD,EF=CD,

所以四邊形CDEE為平行四邊形，.........................................................4分

:.CE//DF,

又CEN平面上4。，DFu平面R4D,故直線CE//平面R4D..................................6分

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A￡),AB,AP所在射線分別為無(wú)，V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,如圖

所示,

則4(0,0,0)0),尸(0,0,1)1),3(020),C[1,1,0),...........................................8分

設(shè)E(x,y,z),則而=(x,y,z-l),PB=(0,2,-l),

E1在棱PB上，,可設(shè)PE=/IPB(OM/IV1),

x=0

故(龍,y,z-l)=2(0,2,T),解得，y=2X,即磯0,24,1-2),

z=1-A

易知平面ACS的法向量為〃=(0,0,1),...........................................................10分

設(shè)平面ACE的法向量u=(%2，%，Z2),AE=(0,2A,l-Z),AC=(1,1,0),

v-AE=0f(x2,)；2,z2)-(0,2/l,l-/l)=0

二?〈v-AC=0，即1〈(尤2，%*2>(1/,0)=0,

2,Ay2+(1—幾”?=0

即

%2+%=°

9oo2

取％2=1,則％=T，Z2=7(：7>0)，

1—Z1—X

故——)，.........................................................................12分

1—Z

因?yàn)槎娼荅-AC-8的平面角的余弦值為亞，

3

所以|83〉|邛,即用：=

3|w|-|v|3

ar2Ao2247

即(［二)y+L)］，

1—A31—A

?(烏)2=0n(工)2=1=下=1-22+22,解得故E是PB的中點(diǎn)，......................14分

31—A31—Z2

1因止1匕/ABC=—Vp_——x—S,PA=—x—x—x2xlxl=—......................................................................15分

c.—ADG2i/toe23ADBCJ2326

23

17.(15分)已知函f(x)=ln(%+1)—k^x——+~^~)(左eR).

(1)當(dāng)左=1時(shí)，求/(元)的最大值；

(2)若VxNO,/U)<0,求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】⑴0⑵)LL

【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值.對(duì)于（2）同樣先求導(dǎo),

然后根據(jù)％的不同取值范圍，分析函數(shù)的單調(diào)性，從而確定滿足7（x）4。時(shí)上的取值范圍.

【詳解】（1）當(dāng)左=1時(shí)，/（x）=ln（x+l）-（x-y+y）,其定義域?yàn)椋ㄒ?,+00）.

對(duì)f（兀）求導(dǎo)，/'（%）=--7—（1—x+X2）.

X+1

化簡(jiǎn)r（x）=l_（x+l）d+好...............................................................2分

(%+1)(1—X+%2)=%+1—12—x++%2—兀3_|_］.

所以f（x）J-（/+1）==t..................................................................4分

X+1X+1

當(dāng)犬￡（—i,o）時(shí)，r（x）＞o,/（X）單調(diào)遞增；當(dāng)％￡（。,母）時(shí)，r（x）＜o(jì),/。）單調(diào)遞減.

O2o3

所以了（無(wú)）在x=0處取得最大值，/（O）=ln（O+l）-（O-—+y）=0..............................6分

23

（2）時(shí)，X-—+—=—（2x2-3x+6）＞0.

236

22

rY3r尤3

當(dāng)上21時(shí)，因?yàn)樽螅╔—二+三）之工一二+土，

2323

LU-A:（x--+—）＜-（x--+—），........................................................8分

2323

所以/(x)=ln(l+x)-k(x--—+—)<ln(l+x)-(x--+—)<0.

當(dāng)kWO時(shí)，因?yàn)?(l)=ln2—:左>0,所以舍去..............................................10分

6

當(dāng)0<%<1時(shí)，因?yàn)榘薠)J一■X+1)"X+=)=1-MX3+1)=-&+IT

X+lX+1X+1

所以令/'(x)=0,得x=g..............................................................12分

當(dāng)xe(0,懺)時(shí),f'(x)>0,所以“尤)單調(diào)遞增,所以“x)W/(0)=0,

不合題意，故舍去.

綜上可知：^>1.綜上所的，實(shí)數(shù)％的取值范圍為左、115分

18.（17分）已知點(diǎn)A（-2,0）,3（2,0）,點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓C上運(yùn)動(dòng)，軸，垂足為。，點(diǎn)M

滿足點(diǎn)M的軌跡為W,過點(diǎn)停,oj的直線/交W于點(diǎn)￡、F.

⑴求W的方程；

⑵若直線/的傾斜角為60。，求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)；

（3）設(shè)直線AE,8尸的斜率分別為左，右,證明上為定值，并求出該定值.

A

【答案】（1）片+上=1⑵冥亙⑶證明見解析，2

433

【分析】（1）由己知可得圓的方程，設(shè)M（x,y）,P（久0,y0），。（不，。），根據(jù)OM=OP,可得x=%,y=日陽(yáng)，

代入圓的方程即可求解；

（2）由已知可得直線方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理即可求解；

9

（3）根據(jù)題意可知直線/斜率不為0,設(shè)直線/的方程為x="+g,E（/M）,/（馬,力），聯(lián)立直線和橢圓

構(gòu)成的方程組，根據(jù)斜率的計(jì)算公式結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】（1）

>

由題意，點(diǎn)P在圓/+y=4上運(yùn)動(dòng)，設(shè)P（x0,y0）,。（與,。）,

^DM=—DP^X=X,y^y.....................................................................................................2分

20=20

又￥+*=4,所以/+（/y）2=4,所以W的方程為[+[=1；

.....................................................4分

（2）直線/的方程為＞=而尤-令，即任一y一友=0,

33

圓心（0,0）到直線氐一y-手=0的距離為d=￥,......................

.....................................................6分

所以直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為2J22-（,）2=當(dāng)3...................

....................................................8分

（3）

斗

x

由題意，直線/斜率不為0,設(shè)直線/的方程為1="+"石（％，x）,產(chǎn)（馬,%）,

2

x=ty+—

聯(lián)立22得（3?+4）y2+40—？=。，

%y13

——+—=1

143

32

所以y+%=—3，

%+4

故g（%+%）=叫%，...................................................................................

.............................................14分

/8、8/、8

h=%.4+2=%（―+?=§（?+%）+/=2

.............................................17分

k'（々一2）X》（仇一？|（X+%）-gx

19.（17分）某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理

論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,

得到如下的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值工(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的

單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃Q2),其中〃近似為樣本平均數(shù)