微專題06分式方程及其應用

考點精講

構建知識體系

考點梳理

1.分式方程的有關概念

(1)分式方程：分母里含有未知數的方程叫做分式方程

(2)增根：使分式方程的分母為零的根叫做增根

(3)產生增根的原因：分式方程本身隱含分母不為0的條件，將其化為整式方程后

沒有此條件限制了

2.分式方程的解法(2024.9)

(1)解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程

(2)解法：方程兩邊同乘各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程，再求根

驗根

3.分式方程的實際應用(6年3考)

(1)常見類型及關系式：

①行程問題：路程＝時間；

速度

②工程問題：工作總量＝工作時間當題干中沒有給出具體的工作總量時，默認工作

工作效率(

總量為1)；

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③購買問題：總價＝數量；

單價

④航行問題：順水速度＝靜水船速＋水流速度；逆水速度＝靜水船速－水流速度

(2)一般步驟：

(3)雙檢驗：①檢驗是否是分式方程的根；②檢驗是否符合實際問題

練考點

1.下列方程中不是分式方程的是()

－＝＝

A.2x0B.1

?2

3＝＋＝?

C.－xD.y2

21

2.解3下?列方程：?

(1)＝；

23

?+1－?＝

(2)－－1.

31

3.2小明?在?一2家便利店買了若干瓶酸奶，結賬時共計48元，收銀員告訴他滿50

元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花費了44.8元.設該酸奶單價為x

元/瓶，則可列方程為.

高頻考點

考點1分式方程及其解法(2024.9)

－

例1已知關于x的分式方程＝.

2???

(1)若分式方程的解為x＝3，則2?m+2的值1+為?；

(2)若m＝1，則該方程的解為；

(3)若分式方程有增根，則m的值為；

(4)若分式方程無解，則m的值為.

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易錯警示

分式方程的增根與無解并非同一概念.

(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母為0的根；

(2)分式方程無解的原因有兩個：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程的

解使得最簡公分母為0.

變式遂寧分式方程＝－的解為正數，則的取值范圍

1(2024)－1－m()

2?

A.m＞－3B.m＞－3且m?≠－12?1C.m＜3D.m＜3且m≠－2

考點2分式方程的實際應用(6年3考)

例2中華優秀傳統文化是中華民族的“根”和“魂”，是我們必須世代傳承的文化

根脈、文化基因.為傳承優秀傳統文化，某校園內掀起了傳統文化學習的熱潮.為

滿足同學們的學習熱情，該校特派兩名學生代表小偉和小聰去采購相關書籍.

(1)兩人要去距離學校10km的圖書批發市場購買圖書，因小偉有事耽擱，故小聰

騎自行車先走，過了20min后，小偉乘汽車出發，結果兩人同時到達.已知汽車

的平均速度是自行車平均速度的2倍，求小聰騎自行車的平均速度；

(2)兩人決定購買《三國演義》和《水滸傳》連環畫若干套，其中每套《三國演義》

連環畫的價格比每套《水滸傳》連環畫的價格貴60元，用4800元購買《水滸傳》

連環畫的套數是用3600元購買《三國演義》連環畫套數的2倍，則每套《水滸

傳》連環畫的價格為多少元？

(3)將書全部運回學校后，小偉和小聰開始整理所買書籍，小聰和小偉兩人共同整

理5min后，因小聰有事退出，小偉需再單獨整理7min才能完成任務，若小聰

單獨整理所買書籍需要15min，求小偉單獨整理所買書籍需要多長時間？

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真題及變式

命題點1解分式方程(2024.9)

廣東題分人教八上例題改編方程＝的解是

1.(202493·)－()

23

A.x＝－3B.x＝－9C.x＝3D?.x3＝9?

命題點2分式方程的實際應用(6年3考)

2.(2023廣東17題7分·人教八上習題改編)某學校開展了社會實踐活動，活動地

點距離學校12km.甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發，甲的速度是乙的1.2

倍，結果甲比乙早到10min，求乙同學騎自行車的速度.

變式

2.1變情景——將同向出發變為相向出發

A，B兩地相距200千米，甲車從A地出發勻速開往B地，乙車同時從B地出發

勻速開往A地，兩車相遇時距A地80千米.已知乙車每小時比甲車多行駛30千

米，求甲、乙兩車的速度.

拓展訓練

3.(2024綏化改編)一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航

行120km所用時間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時間相等，則江水的

流速為多少？

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新考法

4.[跨物理學科](人教八上例題改編)照相機成像應用了一個重要原理，用公式＝

11

＋(v≠f)表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表?示?

1

膠片?(像)到鏡頭的距離.已知f，v，則u＝()

－－

A.－B.C.－D.

???????

5.[新?定?義運算](?北?師八下復習?題?改編)對于實??數a，b，定義一種新運算“?”為：

?＝，這里等式右邊是實數運算例如：?＝＝－則方程?－

ab－.13－.x(2)

111

22

＝－??的解是138

－1()

2

A.?x＝47B.x＝6C.x＝5D.x＝4

6.[與數軸結合](人教八上習題改編)在數軸上，點A表示的數為，王老師讓同學

1

們在數軸上再標出一點B.點B表示數，且AB比OA大2.?若點A與點B的

?+8

位置如圖所示，求x的值.3?

第6題圖

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練考點

1.A

2.解：(1)方程兩邊同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，

去括號，得2x＝3x＋3，

系數化為1，得x＝－3，

檢驗：當x＝－3時，x(x＋1)≠0，

∴x＝－3是原分式方程的解；

(2)方程兩邊同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，

移項，合并同類項，得x＝－2，

檢驗：當x＝－2時，x－2≠0，

∴x＝－2是原分式方程的解.

3.－＝1

44.848

高頻0.8考?點?

例1解：(1)－(2)x＝

12

(3)－【解析】6去分母得3，2－x＝2mx，移項，合并同類項，得(2m＋1)x＝2，

3

2

系數化為1，得x＝.∵分式方程有增根，∴＝－，解得m＝－.

23

2?2+1≠0

2?+12

(4)－或－【解析】由(3)得分式方程的解為x＝2?+1.∵分1式方程無解，∴分兩

132

種情況2，當2整式方程無解時，即2m＋1＝0，解得2m?＝+1－，當整式方程有解，分

1

2

式方程無解時，即＝－，解得m＝－，∴m的值為－或－.

313

2?2+1≠0

222

變式1B【解析】2?方+1程兩邊1同時乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，

∵分式方程＝－的解為正數，∴＋＞，∴＞－，∵，即＋，

－1－m30m3x≠1m3≠1

2?

∴m≠－2，∴?m1的取值?范1圍為m＞－3且m≠－2.

例2解：(1)設小聰騎自行車的平均速度為xkm/h，則汽車的平均速度為2xkm/h，

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由題意得－＝，

10101

解得x＝15?，2?3

經檢驗，x＝15是原分式方程的解，且符合題意，

答：小聰騎自行車的平均速度為15km/h；

(2)設每套《水滸傳》連環畫的價格為x元，則每套《三國演義》連環畫的價格為

(x＋60)元，

由題意得＝2×，

48003600

解得x＝12?0，?+60

經檢驗，x＝120是原分式方程的解且符合題意，

答：每套《水滸傳》連環畫的價格為120元；

(3)設小偉單獨整理所買書籍需要xmin，

由題意得(＋)×5＋7×＝1，

111

解得x＝181，5??

經檢驗，x＝18是原分式方程的解且符合題意，

答：小偉單獨整理所買書籍需要18min.

真題及變式

【解析】＝，＝－，解得＝，檢驗：當＝時，－，

1.D－2x3(x3)x9x9x(x3)≠0

23

∴x＝9是原分式?方3程的?解.

2.解：設乙同學騎自行車的速度為xkm/h，則甲同學騎自行車的速度為1.2xkm/h，

由題意得－＝，

121210

解得x＝12?，1.2?60

經檢驗，x＝12是原分式方程的解，且符合實際，

答：乙同學騎自行車的速度為12km/h.

變式2.1解：設甲車的速度是x千米/時，乙車的速度為(x＋30)千米/時，

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由題意，得＝－，

8020080

解得x＝60，??+30

經檢驗，x＝60是原分式方程的解，且符合實際，

∴x＋30＝90.

答：甲車的速度是60千米/時，乙車的速度是90千米/時.

3.解：設江水的流速