微專題09平面直角坐標系與函數

考點精講

構建知識體系

考點梳理

1.平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)

各象

限內

點P(a，b)在坐標軸上，則有：

在x軸上?③；

坐標

在y軸上?④；

軸上

在原點上?a＝⑤，b＝⑥

注：坐標軸上的點不屬于任一象限

各象限

第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標⑦；

角平分

第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為⑧

線上

平行于平行于x軸的直線上的點的⑨相等；

坐標軸平行于y軸的直線上的點的⑩相等

第1頁共11頁

的直線上

P(x，y)P1?；

點的對

P(x，y)P2?；

稱變換

P(x，y)P3?

口訣：關于誰對稱，誰不變，另一個變號，關于原點對稱都變號

P(x，y)P?；

點的P(x，y)P(x＋m，y)；

平移

P(x，y)P?；

(m＞0)

P(x，y)P(x，y－m)

口訣：左減右加，上加下減

2.平面直角坐標系中的距離

點P(x，y)到x軸的距離是?；

點到坐標軸及

點P(x，y)到y軸的距離是?；

原點的距離

點P(x，y)到原點的距離是?

平行于坐標軸已知點P(x1，y1)，Q(x2，y2)為平面直角坐標系中任意兩點，則：

的直線上兩點(1)若PQ∥x軸?y1＝y2，PQ＝｜x1－x2｜；

間距離(2)若PQ∥y軸?x1＝x2，PQ＝｜y1－y2｜

3.函數的概念及表示方法(2022.10)

(1)函數：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對

于變量x的每一個值，變量y都有?的值與它對應，那么我

概念們稱y是x的函數，其中x是自變量；

(2)函數值：如果當x＝a時，y＝b，那么b叫做當自變量為a時的函

數值

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表示方法列表法、解析式法和圖象法

畫函數圖象

列表—描點—連線

的步驟

4.函數自變量的取值范圍

函數解析式的形式自變量的取值范圍

含有分式使?的實數

含有二次根式使?的實數

含有分式與二次根式使分母不為0且被開方數大于等于0的實數

練考點

1.在平面直角坐標系中，已知點P的坐標是(－3，－1)，填空：

(1)點P在第象限；

(2)點P關于x軸的對稱點P1的坐標為，關于y軸的對稱點P2的坐標

為；

(3)將點P向上平移2個單位長度得到點P3的坐標為.

2.在平面直角坐標系中，已知點A(－3，4)，

(1)點A到x軸的距離是，點A到y軸的距離是，點A到原點

的距離是；

(2)線段AB與x軸平行，且AB＝3，點B的坐標為.

3.下列各曲線中表示y是x的函數的是.

4.函數y＝的自變量x的取值范圍為.

2

?+3311

高頻考點

考點1平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)

例1在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為(a＋1，2a－4).

(1)若點B位于第四象限，則a的取值范圍為；

(2)若點B在x軸上，則點B的坐標為，若點B在y軸上，則點B的坐

標為；

(3)若點B在第一、三象限的角平分線上，則點B的坐標為；

(4)若點B關于原點的對稱點為點C(－4，－2)，則a的值為；

(5)若將點B向上平移3個單位長度得到點D(2，1)，則a的值為；

(6)已知點E(－1，3)，且直線BE∥y軸，則線段BE的長為.

考點2函數的相關概念及性質(2022.10)

例2(2024佛山順德區二模)要使式子－有意義，則x的取值范圍是.

?4

變式1(2024齊齊哈爾改編)在函數y＝中，自變量x的取值范圍

3+?

是.?+2

例3(人教八下復習題改編)如圖，在等邊△ABC中，AB＝2，點D在邊AB上，

過點D作DE⊥BC于點E，連接CD，設△BDE的面積為y，CE＝x，求y與x

之間的函數解析式.

例3題圖

變式2在△ABC中，AC＝5m，BC＝3m，∠ABC＝90°，D是AC邊上一動點，

動點P以1m/s的速度從點A出發沿折線A→B→C運動，且PD⊥AC.設點

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P的運動時間為xs時，點P到AC的距離PD為ym，求y與x的函數關系式并

注明自變量x的取值范圍.

變式2題圖

考點3函數圖象的分析與判斷

例4(2024武漢)如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱

體，向水槽勻速注水.下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數

關系的是()

例5(2024珠海香洲區三模)如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P，

Q同時從點B出發，點P沿折線BE－ED－DC運動到點C時停止，點Q沿BC

運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s，設P，Q同時出發ts時，△BPQ

的面積為ycm2，已知y與t的函數關系如圖②所示(曲線OM為拋物線的一部分)，

則下列結論錯誤的是()

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例5題圖

A.AE＝3cm

B.當5＜t＜7時，△BPQ的面積是10cm2

C.當0＜t≤5時，y＝t2

3

D.當t＝時，＝5

15??7

方法解讀2??10

分析判斷函數圖象的解題方法：

(1)弄清楚橫軸與縱軸所表示的函數變量；

(2)結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，在圖象中找相對應的點；

(3)拐點：圖象上的拐點既是前一段函數圖象的終點，又是后一段函數圖象的起點，

反映函數圖象在這一時刻開始發生變化；

(4)水平線：函數值隨自變量的變化而保持不變；

(5)交點：表示兩個函數的自變量與函數值分別對應相等，這個交點是函數值大小

關系的“分界點”.

真題及變式

命題點1平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)

1.(2020廣東3題3分)在平面直角坐標系中，點(3，2)關于x軸對稱的點的坐標

為()

A.(－3，2)B.(－2，3)C.(2，－3)D.(3，－2)

2.(2022廣東6題3分)在平面直角坐標系中，將點(1，1)向右平移2個單位后，

得到的點的坐標是()

A.(3，1)B.(－1，1)C.(1，3)D.(1，－1)

命題點2函數的概念(2022.10)

3.(2022廣東10題3分·源于人教八下習題)水中漣漪(圓形水波)不斷擴大，記它

的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr.下列判斷正確的是()

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A.2是變量B.π是變量C.r是變量D.C是常量

新考法

4.[真實問題情境](2024貴州)為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了

“科技創新”社團.小紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面

直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別為(－2，0)，(0，0)，則“技”所在的象限為

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

第4題圖

5.[新定義概念](2024河北)在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫

坐標的比值稱為該點的“特征值”.如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別

與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是()

第5題圖

A.點AB.點BC.點CD.點D

6.[代數推理](2024綏化)如圖，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，

0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，3－)，…，依3此規律，則點A2024

的坐標為3.33

第6題圖

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考點精講

①(－，＋)②(＋，－)③b＝0④a＝0⑤0⑥0

⑦相等⑧相反數⑨縱坐標⑩橫坐標?(x，－y)

?(－x，y)?(－x，－y)?(x－m，y)?(x，y＋m)

?｜y｜?｜x｜?＋?唯一確定?分母不為0

22

?被開方數大于等于0??

練考點

1.(1)三；(2)(－3，1)，(3，－1)；

(3)(－3，1)

2.(1)4，3，5；(2)(－6，4)或(0，4)

3.③

4.x≠－3

高頻考點

例－＜＜【解析】∵點位于第四象限，∴，解得－＜

1(1)1a2B－1

?+1>0

a＜2；2?4<0

(2)(3，0)，(0，－6)【解析】∵點B在x軸上，∴2a－4＝0，解得a＝2，∴a

＋1＝3，∴點B的坐標為(3，0)；∵點B在y軸上，∴a＋1＝0，解得a＝－1，

∴2a－4＝－6，∴點B的坐標為(0，－6).

(3)(6，6)【解析】∵點B在第一、三象限的角平分線上，∴a＋1＝2a－4，解

得a＝5，∴點B的坐標為(6，6).

(4)3【解析】∵點B關于原點的對稱點為點C(－4，－2)，∴點B的坐標為(4，

2)，即a＋1＝4，解得a＝3(或2a－4＝2，解得a＝3).

(5)1【解析】∵將點B向上平移3個單位長度得到點D(2，1)，∴點B，D的橫

坐標相同，∴a＋1＝2，解得a＝1(或2a－4＋3＝1，解得a＝1).

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(6)11【解析】∵E(－1，3)，直線BE∥y軸，∴a＋1＝－1，解得a＝－2.∴2a

－4＝－8，∴點B的坐標為(－1，－8)，∴BE＝3－(－8)＝11.

例2x≥4【解析】∵式子－有意義，∴x－4≥0，∴x≥4.

?4

變式1x≥－3且x≠－2【解析】由題意可得，，解得x≥－3且x≠－

3+?≥0

2.

?+2≠0

例3解：∵△ABC是等邊三角形，DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，BC＝AB＝2，∠B＝60°，

∵CE＝x，∴BE＝2－x，

在Rt△BDE中，∵DE＝BE·tanB，

∴DE＝(2－x)，

2

∴y＝S△BD3E＝BE·DE＝(2－x).

13

變式2解：2當點P在A2B邊上運動時，

∵AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，

∴AB＝4，

∵PD⊥AC，

∴sinA＝＝＝，即＝，

????3?3

∴y＝x，?0?≤x≤?4?；5?5

3

當點P5在BC邊上運動時，

則AB＋BP＝x，PC＝AB＋BC－x＝7－x，

∵sinC＝＝＝，

????4

即＝，????5

－

?4

5

∴y7＝?－x＋，4＜x≤7，

428

55

第9頁共11頁

，

∴y與x的函數關系式為y＝3.

5－?0＋≤?，≤4

428

例4D【解析】下層圓柱底面5半?徑大5，4水<面?上≤升7塊，上層圓柱底面半徑稍小，

水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，所以對應圖象是第一段比較陡，第二段

比第一段緩，第三段比第二段緩.

例5C【解析】當t＝5時，點Q到達點C，點P到達點E，當5＜t＜7時，

點P在ED上運動，y＝10cm2，當t＝7時，點P到達點D，故選項B正確；BE

2

＝BC＝1×5＝5cm，當5＜t＜7時，S△PBQ＝BQ·AB＝×5AB＝10cm，解得AB＝

11

22

4cm，∴AE＝－＝－＝3cm，故選項A正確；當0＜t≤5時，點

2222

P在線段BE上，?則?BP?＝?BQ＝5tcm4，如解圖①，過點P作PH⊥BC于點H，易

得△PBH∽△BEA，∴＝，∴PH＝.∴y＝BQ·PH＝×t×t＝t2，故選項C

????4?1142

錯誤；∵BE＋ED＝7cm??，∴??當t＝時，5點P在2線段CD上2，如5解5圖②，BQ＝BC

15

2

＝5cm，PQ＝BE＋ED＋CD－1×＝，＝7＝.故選項D正確.

157??27

22??510

例5題解圖

真題及變式

1.D

2.A【解析】將點(1，1)向右平移2個單位后，得到的點的坐標是(1＋2，1)，

即(3，1).

3.C【解析】在C＝2πr中，r為變量，2和π為常數，C為r的一次函數，C隨

r的變化而變化.

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4.A【解析】根據題意，“新”的坐標為(0，0)，其位置是坐標原點，“創”的坐標

為(－2，0)，其位置在x軸負半軸上，∴以“新”為原點，向右為x軸正方向，向

上為y軸正方向建立平面直角坐標系，由解圖得“技”字坐標是(1，1)，∴“技”在

第一象限.