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文檔簡介

微專題09平面直角坐標系與函數

考點精講

構建知識體系

考點梳理

1.平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)

各象

限內

點P(a,b)在坐標軸上,則有:

在x軸上?③;

坐標

在y軸上?④;

軸上

在原點上?a=⑤,b=⑥

注:坐標軸上的點不屬于任一象限

各象限

第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標⑦;

角平分

第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為⑧

線上

平行于平行于x軸的直線上的點的⑨相等;

坐標軸平行于y軸的直線上的點的⑩相等

第1頁共11頁

的直線上

P(x,y)P1?;

點的對

P(x,y)P2?;

稱變換

P(x,y)P3?

口訣:關于誰對稱,誰不變,另一個變號,關于原點對稱都變號

P(x,y)P?;

點的P(x,y)P(x+m,y);

平移

P(x,y)P?;

(m>0)

P(x,y)P(x,y-m)

口訣:左減右加,上加下減

2.平面直角坐標系中的距離

點P(x,y)到x軸的距離是?;

點到坐標軸及

點P(x,y)到y軸的距離是?;

原點的距離

點P(x,y)到原點的距離是?

平行于坐標軸已知點P(x1,y1),Q(x2,y2)為平面直角坐標系中任意兩點,則:

的直線上兩點(1)若PQ∥x軸?y1=y2,PQ=|x1-x2|;

間距離(2)若PQ∥y軸?x1=x2,PQ=|y1-y2|

3.函數的概念及表示方法(2022.10)

(1)函數:一般地,如果在一個變化過程中有兩個變量x和y,并且對

于變量x的每一個值,變量y都有?的值與它對應,那么我

概念們稱y是x的函數,其中x是自變量;

(2)函數值:如果當x=a時,y=b,那么b叫做當自變量為a時的函

數值

第2頁共11頁

表示方法列表法、解析式法和圖象法

畫函數圖象

列表—描點—連線

的步驟

4.函數自變量的取值范圍

函數解析式的形式自變量的取值范圍

含有分式使?的實數

含有二次根式使?的實數

含有分式與二次根式使分母不為0且被開方數大于等于0的實數

練考點

1.在平面直角坐標系中,已知點P的坐標是(-3,-1),填空:

(1)點P在第象限;

(2)點P關于x軸的對稱點P1的坐標為,關于y軸的對稱點P2的坐標

為;

(3)將點P向上平移2個單位長度得到點P3的坐標為.

2.在平面直角坐標系中,已知點A(-3,4),

(1)點A到x軸的距離是,點A到y軸的距離是,點A到原點

的距離是;

(2)線段AB與x軸平行,且AB=3,點B的坐標為.

3.下列各曲線中表示y是x的函數的是.

4.函數y=的自變量x的取值范圍為.

2

?+3311

高頻考點

考點1平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)

例1在平面直角坐標系中,已知點B的坐標為(a+1,2a-4).

(1)若點B位于第四象限,則a的取值范圍為;

(2)若點B在x軸上,則點B的坐標為,若點B在y軸上,則點B的坐

標為;

(3)若點B在第一、三象限的角平分線上,則點B的坐標為;

(4)若點B關于原點的對稱點為點C(-4,-2),則a的值為;

(5)若將點B向上平移3個單位長度得到點D(2,1),則a的值為;

(6)已知點E(-1,3),且直線BE∥y軸,則線段BE的長為.

考點2函數的相關概念及性質(2022.10)

例2(2024佛山順德區二模)要使式子-有意義,則x的取值范圍是.

?4

變式1(2024齊齊哈爾改編)在函數y=中,自變量x的取值范圍

3+?

是.?+2

例3(人教八下復習題改編)如圖,在等邊△ABC中,AB=2,點D在邊AB上,

過點D作DE⊥BC于點E,連接CD,設△BDE的面積為y,CE=x,求y與x

之間的函數解析式.

例3題圖

變式2在△ABC中,AC=5m,BC=3m,∠ABC=90°,D是AC邊上一動點,

動點P以1m/s的速度從點A出發沿折線A→B→C運動,且PD⊥AC.設點

第4頁共11頁

P的運動時間為xs時,點P到AC的距離PD為ym,求y與x的函數關系式并

注明自變量x的取值范圍.

變式2題圖

考點3函數圖象的分析與判斷

例4(2024武漢)如圖,一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱

體,向水槽勻速注水.下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數

關系的是()

例5(2024珠海香洲區三模)如圖①,E為矩形ABCD的邊AD上一點,動點P,

Q同時從點B出發,點P沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止,點Q沿BC

運動到點C時停止,它們運動的速度都是1cm/s,設P,Q同時出發ts時,△BPQ

的面積為ycm2,已知y與t的函數關系如圖②所示(曲線OM為拋物線的一部分),

則下列結論錯誤的是()

第5頁共11頁

例5題圖

A.AE=3cm

B.當5<t<7時,△BPQ的面積是10cm2

C.當0<t≤5時,y=t2

3

D.當t=時,=5

15??7

方法解讀2??10

分析判斷函數圖象的解題方法:

(1)弄清楚橫軸與縱軸所表示的函數變量;

(2)結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍,在圖象中找相對應的點;

(3)拐點:圖象上的拐點既是前一段函數圖象的終點,又是后一段函數圖象的起點,

反映函數圖象在這一時刻開始發生變化;

(4)水平線:函數值隨自變量的變化而保持不變;

(5)交點:表示兩個函數的自變量與函數值分別對應相等,這個交點是函數值大小

關系的“分界點”.

真題及變式

命題點1平面直角坐標系中點的坐標特征(6年3考)

1.(2020廣東3題3分)在平面直角坐標系中,點(3,2)關于x軸對稱的點的坐標

為()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(3,-2)

2.(2022廣東6題3分)在平面直角坐標系中,將點(1,1)向右平移2個單位后,

得到的點的坐標是()

A.(3,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(1,-1)

命題點2函數的概念(2022.10)

3.(2022廣東10題3分·源于人教八下習題)水中漣漪(圓形水波)不斷擴大,記它

的半徑為r,則圓周長C與r的關系式為C=2πr.下列判斷正確的是()

第6頁共11頁

A.2是變量B.π是變量C.r是變量D.C是常量

新考法

4.[真實問題情境](2024貴州)為培養青少年的科學態度和科學思維,某校創建了

“科技創新”社團.小紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中,若建立平面

直角坐標系,使“創”“新”的坐標分別為(-2,0),(0,0),則“技”所在的象限為

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

第4題圖

5.[新定義概念](2024河北)在平面直角坐標系中,我們把一個點的縱坐標與橫

坐標的比值稱為該點的“特征值”.如圖,矩形ABCD位于第一象限,其四條邊分別

與坐標軸平行,則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是()

第5題圖

A.點AB.點BC.點CD.點D

6.[代數推理](2024綏化)如圖,已知A1(1,-),A2(3,-),A3(4,0),A4(6,

0),A5(7,),A6(9,),A7(10,0),A8(11,3-),…,依3此規律,則點A2024

的坐標為3.33

第6題圖

第7頁共11頁

考點精講

①(-,+)②(+,-)③b=0④a=0⑤0⑥0

⑦相等⑧相反數⑨縱坐標⑩橫坐標?(x,-y)

?(-x,y)?(-x,-y)?(x-m,y)?(x,y+m)

?|y|?|x|?+?唯一確定?分母不為0

22

?被開方數大于等于0??

練考點

1.(1)三;(2)(-3,1),(3,-1);

(3)(-3,1)

2.(1)4,3,5;(2)(-6,4)或(0,4)

3.③

4.x≠-3

高頻考點

例-<<【解析】∵點位于第四象限,∴,解得-<

1(1)1a2B-1

?+1>0

a<2;2?4<0

(2)(3,0),(0,-6)【解析】∵點B在x軸上,∴2a-4=0,解得a=2,∴a

+1=3,∴點B的坐標為(3,0);∵點B在y軸上,∴a+1=0,解得a=-1,

∴2a-4=-6,∴點B的坐標為(0,-6).

(3)(6,6)【解析】∵點B在第一、三象限的角平分線上,∴a+1=2a-4,解

得a=5,∴點B的坐標為(6,6).

(4)3【解析】∵點B關于原點的對稱點為點C(-4,-2),∴點B的坐標為(4,

2),即a+1=4,解得a=3(或2a-4=2,解得a=3).

(5)1【解析】∵將點B向上平移3個單位長度得到點D(2,1),∴點B,D的橫

坐標相同,∴a+1=2,解得a=1(或2a-4+3=1,解得a=1).

第8頁共11頁

(6)11【解析】∵E(-1,3),直線BE∥y軸,∴a+1=-1,解得a=-2.∴2a

-4=-8,∴點B的坐標為(-1,-8),∴BE=3-(-8)=11.

例2x≥4【解析】∵式子-有意義,∴x-4≥0,∴x≥4.

?4

變式1x≥-3且x≠-2【解析】由題意可得,,解得x≥-3且x≠-

3+?≥0

2.

?+2≠0

例3解:∵△ABC是等邊三角形,DE⊥BC,

∴∠DEB=90°,BC=AB=2,∠B=60°,

∵CE=x,∴BE=2-x,

在Rt△BDE中,∵DE=BE·tanB,

∴DE=(2-x),

2

∴y=S△BD3E=BE·DE=(2-x).

13

變式2解:2當點P在A2B邊上運動時,

∵AC=5,BC=3,∠ABC=90°,

∴AB=4,

∵PD⊥AC,

∴sinA===,即=,

????3?3

∴y=x,?0?≤x≤?4?;5?5

3

當點P5在BC邊上運動時,

則AB+BP=x,PC=AB+BC-x=7-x,

∵sinC===,

????4

即=,????5

?4

5

∴y7=?-x+,4<x≤7,

428

55

第9頁共11頁

∴y與x的函數關系式為y=3.

5-?0+≤?,≤4

428

例4D【解析】下層圓柱底面5半?徑大5,4水<面?上≤升7塊,上層圓柱底面半徑稍小,

水面上升稍慢,再往上則水面上升更慢,所以對應圖象是第一段比較陡,第二段

比第一段緩,第三段比第二段緩.

例5C【解析】當t=5時,點Q到達點C,點P到達點E,當5<t<7時,

點P在ED上運動,y=10cm2,當t=7時,點P到達點D,故選項B正確;BE

2

=BC=1×5=5cm,當5<t<7時,S△PBQ=BQ·AB=×5AB=10cm,解得AB=

11

22

4cm,∴AE=-=-=3cm,故選項A正確;當0<t≤5時,點

2222

P在線段BE上,?則?BP?=?BQ=5tcm4,如解圖①,過點P作PH⊥BC于點H,易

得△PBH∽△BEA,∴=,∴PH=.∴y=BQ·PH=×t×t=t2,故選項C

????4?1142

錯誤;∵BE+ED=7cm??,∴??當t=時,5點P在2線段CD上2,如5解5圖②,BQ=BC

15

2

=5cm,PQ=BE+ED+CD-1×=,=7=.故選項D正確.

157??27

22??510

例5題解圖

真題及變式

1.D

2.A【解析】將點(1,1)向右平移2個單位后,得到的點的坐標是(1+2,1),

即(3,1).

3.C【解析】在C=2πr中,r為變量,2和π為常數,C為r的一次函數,C隨

r的變化而變化.

第10頁共11頁

4.A【解析】根據題意,“新”的坐標為(0,0),其位置是坐標原點,“創”的坐標

為(-2,0),其位置在x軸負半軸上,∴以“新”為原點,向右為x軸正方向,向

上為y軸正方向建立平面直角坐標系,由解圖得“技”字坐標是(1,1),∴“技”在

第一象限.

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