專題一數(shù)與式——2025屆中考數(shù)學突破熱點訓練營

1.全國綠化委員會辦公室發(fā)布的《2023年中國國土綠化狀況公報》顯示，2023年全國完成國

土綠化任務超800萬公頃，其中造林3998000公頃.將3998000用科學記數(shù)法表示應為()

A.3.998107B.3.998106C.3998103D.3.998103

2.數(shù)學張老師采用一種新的計分方法如下：以全班同學的平均分70分為標準，李強考了75

分記為5分，趙剛考試成績記為3分，那么他這次測驗的實際分數(shù)為()

A.65分B.67分C.73分D.75分

3.隨著北斗系統(tǒng)全球組網(wǎng)的步伐，北斗芯片的研發(fā)生產(chǎn)技術也在逐步成熟，國產(chǎn)北斗芯片可

支持接收多系統(tǒng)的導航信號，應用于自動駕駛、無人機、機器人等高精度定位需求領域，為

中國北斗導航產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供有力支持.目前，該芯片工藝已達22納米（即0.000000022米）.

數(shù)據(jù)0.000000022用科學記數(shù)法表示為()

A.0.22107B.2.2108C.22109D.221010

4.現(xiàn)有如圖所示的甲、乙、丙三種長方形或正方形紙片各15張，小明要用這些紙片中的若干

張拼接（不重疊、無縫隙）一個長、寬分別為5x4y和3xy的長方形.下列判斷正確的

是()

A.甲種紙片剩余7張B.丙種紙片剩余10張

C.乙種紙片缺少2張D.甲種和乙種紙片都不夠用

5.小林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x1，ab，3，

x21，a，x1分別對應六個字：國，愛，我，數(shù)，學，祖，現(xiàn)將3ax213bx21因式

分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是()

A.我愛數(shù)學B.愛祖國C.祖國數(shù)學D.我愛祖國

111

6.照相機成像應用了一個重要原理，用公式(vf)表示，其中f表示照相機鏡頭的

fuv

焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離.已知f，v，則u()

fvfvfvvf

A.B.C.D.

fvfvvffv

7.射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式v2as進行計算，其中a為子彈的加速度，s為

槍筒的長.如果a5105m/s2，s0.64m，那么子彈射出槍口時的速度（用科學記數(shù)法表

示）為()

A.0.4103m/sB.0.8103m/sC.4102m/sD.8102m/s

8.已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積.

對此問題，中外數(shù)學家曾經(jīng)進行過深入研究.

古希臘幾何學家海倫（Heron，約公元50年），給出了求其面積的海倫公式：

abc

Sppapbpc，其中p①

2

我國南宋時期數(shù)學家秦九韶（約1202~1261），給出了著名的秦九韶公式：

2222

122abc

Sab.②

42

若一個三角形的三邊長依次為3，5，6，請選用適當?shù)墓角蟪鲞@個三角形的面積為

()

714756

A.B.C.D.

2222

9.陽陽同學在復習老師已經(jīng)批閱的作業(yè)本時，發(fā)現(xiàn)有一道填空題破了一個洞（如圖所示），■

表示破損的部分.則破損部分的式子可能是()

x3x3x2x1x25x1

A.x1B.x1C.x2xD.x2x

10.玲玲在完成計算題12□12時，發(fā)現(xiàn)“□”處的符號模糊不清，同桌洋洋告訴她，答

案為有理數(shù)，則“□”的符號為()

A.＋或×B.＋或÷C.－或×D.－或÷

11.甲、乙兩位采購員同去一家飼料公司購買兩次飼料.兩次飼料的價格有變化，兩位采購員的

購貨方式也不同，其中，甲每次購買1000千克，乙每次用去800元，兩次購買的飼料單價分

別為m元/千克和n元/千克，而不管購買多少飼料.誰的購貨方式更合算()

A.甲B.乙C.一樣D.不能確定

簡單的規(guī)則可以涌現(xiàn)出豐富的代數(shù)結(jié)構對單項式進行如下操作：規(guī)定，計

12..xa1b1c1x

22

1a11xxxx2x1

算a2,b2a1a2,c2a1a2，稱為第一次操作：計算

1a11x1x1x

1a11xx32x22x1

2，稱為第二次操作；以此類

a3,b3a1a2a3,c3a1a2a32

1a2xx1xx

a5a6

推：①a5x；②；③當x3時，c2401698；④對任意正整數(shù)n，等式

a8a7

b4n3c4nc4n1b4n2總成立.以上說法正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.我們把形如axb（a,b為有理數(shù)，x為最簡二次根式）的數(shù)叫做x型無理數(shù)，如

2

351是5型無理數(shù)、則515是_____型無理數(shù).

14.“洞門初開，佳景自來”，園林建筑中的門洞設計有很多數(shù)學中的圖形元素，如圖中的門洞

造型，由四個相同的半圓構成，且半圓的直徑圍成了正方形，如果半圓的直徑為1米，則該

門洞的通過面積為_______平方米.

11

15.對于任意兩個非零實數(shù)a，b，定義新運算“*”如下：a*b，例如：

ba

1112024xy

3*4.若x*y2，則的值為_______.

4312xy

16.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等的原

料，通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（當碳原子數(shù)目超過10個時即用

漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷）甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙

…….CH4C2H6

烷的化學式為，，其結(jié)構式如圖所示，依此規(guī)律，十一烷的化學式為

C3H8…_______.

17.如圖，作業(yè)本上有這樣一道填空題，其中有一部分被墨水污染了.若該題化簡的結(jié)果為中

1

，則被墨水污染的部分是_________.

x3

18.小明觀看了紙牌魔術表演，非常感興趣，并做了如下實驗和探究：

將幾張紙牌摞起來（從上面分別記為第1張，第2張，第3張），先將第1張牌放到整摞牌

的下面，再去掉第2張牌；繼續(xù)將第3張牌放在整摞牌的下面，再去掉第4張牌……如此循

環(huán)往復，最終到只留下一張紙牌為止.例如，若將4張紙牌摞起來，按上述規(guī)則操作，陸續(xù)去

掉第2張，第4張，第3張，最終留下第1張紙牌.將8張紙牌摞起來，按上述規(guī)則操作，最

終留下的是第______張紙牌；將m張紙牌摞起來，按上述規(guī)則操作，若最終留下的是第1張

紙牌，則m______（用含n的代數(shù)式表示，其中n為自然數(shù)）.

19.如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為a米的正方形減去一個邊長為1米的正方形蓄水

池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為a1米的正方形，兩塊試驗田的小麥

都收獲了m千克，則高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多_________千克.

20.若一個四位數(shù)的千位數(shù)字比百位數(shù)字大1，十位數(shù)字比個位數(shù)字大2，則稱這個四位數(shù)是

“驚蟄數(shù)”，若其千位數(shù)字比百位數(shù)字大2，十位數(shù)字比個位數(shù)字大4，則稱這個四位數(shù)是“谷

雨數(shù)”，如3220是“驚蟄數(shù)”，6495是“谷雨數(shù)”，最小的“谷雨數(shù)”是______；若M、N分別是

“驚蟄數(shù)”、“谷雨數(shù)”，且它們的個位數(shù)字均為2，M、N各數(shù)位上的數(shù)字之和分別記為

MN120FM

FM和FN，若能被10整除.則當取得最小值時M的值是______.

FMFNFN

21.給出定義如下：我們稱使等式abab1成立的一對有理數(shù)a，b為“相伴有理數(shù)對”，記

112212

為a,b.如：331，551，所以數(shù)對3,，5,都是“相伴有理數(shù)對”.

223323

11

(1)數(shù)對2,，,3是不是“相伴有理數(shù)對”，請說明理由；

32

(2)若x1,5是“相伴有理數(shù)對”，求出x的值.

1

(3)若a,b是“相伴有理數(shù)對”，求3abaab5ab1的值.

2

22.數(shù)學的美無處不在.數(shù)學家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長度，

繃得一樣緊的幾根弦，如果長度的比能夠表示成正整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧.例如，

三根弦長度之比是15:12:10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和

1111

的樂聲do，mi，so.研究15，12，10這三個數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)，我們稱15，12，

12151012

10這三個正整數(shù)為一組“調(diào)和數(shù)”.

（1）已知三個數(shù)x，5，3x5是一組“調(diào)和數(shù)”，則x的值為.

（2）若a，b，c是一組調(diào)和數(shù)，其中abc0，證明：ac2b.

23.植物園工作人員選用了一塊長方形和一塊正方形花壇進行新品種花卉的培育實驗.其中長方

形花壇每排種植2ab株，種植了2ab排，正方形花壇每排種植a株，種植了a排

ab0.

（1）長方形花壇比正方形花壇多種植多少株？

（2）當a4，b2時，這兩塊花壇一共種植了多少株？

答案以及解析

1.答案：B

解析：39980003.998106

故選：B.

2.答案：B

解析：70367分，

即他這次測驗的實際分數(shù)為67分.

故選：B

3.答案：B

解析：0.0000000222.2108.故選B.

4.答案：C

解析：5x4y3xy15x217xy4y2，

要拼接一個長、寬分別為5x4y和3xy的長方形，需要甲種紙片15張，乙種紙片17

張，丙種紙片4張，

乙種紙片缺少2張.

故選：C.

5.答案：D

解析：3ax213bx213x21ab3x1x1ab，

而3對應的是我，x1對應的是國，x1對應的是祖，ab對應的是愛，

結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是我愛祖國，

故選：D.

6.答案：C

1111111vffv

解析：(vf)，則，整理，得，故u.

fuvufvufvvf

7.答案：D

解析：v2as251050.648102(m/s)，故選D.

8.答案：B

解析：∵3，5，6不是同類二次根式，無法合并，代入公式①中計算不方便，

∴可代入公式②進行計算，

∵a3,b5,c6，

2

222

12235614

∴；

S35

222

故選：B.

9.答案：A

x1x3

解析：依題意：x1x11x，

x3

x1x1，

x3

x1，

故選擇：A.

10.答案：A

解析：當“□”的符號為“＋”時，12+122，結(jié)果為有理數(shù)；

當“□”的符號為“－”時，121222，結(jié)果不是有理數(shù)；

當“□”的符號為“×”時，1212121，結(jié)果為有理數(shù)；

2

當“□”的符號為“÷”時，121212322，結(jié)果不是有理數(shù)；

故選：A.

11.答案：B

解析：兩次購買的飼料單價分別為m元/千克和n元/千克（m，n是正數(shù)，且mn），

1000m1000nmn

甲兩次購買飼料的平均單價為（元/千克），

210002

80022mn

乙兩次購買飼料的平均單價為（元/千克）；

800800

mn

mn

甲、乙兩種飼料的平均單價的差是：

mn2mn

2mn

2

mn4mn

2mn2mn

m22mnn24mn

2mn

2

mn

2mn

m、n是正數(shù)，

2

mn

mn時，也是正數(shù)，

2mn

mn2mn

0

2mn

乙的購貨方式更合算.

故選：B.

12.答案：B

1ax11a

解析：①3，4，故①是錯誤的；

a4a5x

1a3x11a4

1x1x1

②a，a，a，a是x，，，，

12341xxx1

∴四個為一個循環(huán)出現(xiàn)，

∴a5a1，a6a2，a7a3，a8a4，

ax2xax2x

∴5，6，故②是正確的；

a8x1a7x1

11

③當x3時，a，a，a，a是3，2，，，四個為一個循環(huán)出現(xiàn)，

123432

240146001，

11，故③是錯誤的；

c2401600323703

32

④∵b4n3c4nc4n1

b3c1

1x

x

x1

x2x

，

1x

xx2

bb，

4n221x

∴b4n3(c4nc4n1)b4n2，故④是正確的，

故選：B.

13.答案：3

2

解析：515

5251515

=10320

2

所以，515是3型無理。

故答案為∶3.

1

14.答案：1π

2

2

112

解析：該門洞的通過面積為112π1πm，

22

1

故答案為：1π.

2

15.答案：1012

解析：x*y2，

11

2，（x，y不為0）

yx

xy2xy，

2024xy2024xy

1012，

xy2xy

故答案為：1012.

答案：

16.C11H24

解析：甲烷的化學式為CH4，

乙烷的化學式為，

C2H6

丙烷的化學式為，

C3H8……

碳原子的個數(shù)為序數(shù)，氫原子的個數(shù)為碳原子個數(shù)的2倍多2個，

十一烷的化學式為C11H24，

故答案為：C11H24.

17.答案：x4

x4A1x4x31

解析：設被墨水污染的部分是A，由題意，得，，

x29x3x3x29Ax3

x411

，Ax4.

x3Ax3

18.答案：1；2n

解析：8張紙牌順序從上到下為，(將1張牌放到牌底，去掉下一張視為一輪)，1，2，3，4，

5，6，7，8，

前四輪去掉了2，4，6，8，

還剩下4張紙牌從上至下為1，3，5，7，

再經(jīng)過2輪去掉3，7，

還利2張紙牌、從上至下為1，5，

再經(jīng)過1輪，去掉5，

最終剩下的是原來的第1張紙牌；

由條件中4張紙牌，按上述規(guī)則操作后，最后留下的第1張紙牌，

將m張紙牌摞起來，按上述規(guī)則操作，若最終留下的是第1張紙牌，

m2n；

故答案為：1；2n.

2m

19.答案：

(a1)2(a1)

m

解析：由題意得，“豐收1號”的單位面積產(chǎn)量為千克，“豐收2號”的單位面積產(chǎn)量為

a21

m

千克.因為

(a1)2

mm(a1)m(a1)mamm(amm)

(a1)2a21(a1)2(a1)(a1)2(a1)(a1)2(a1)

ammamm2m

，所以高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多

(a1)2(a1)(a1)2(a1)

2m

千克.

(a1)2(a1)

20.答案：2040；9842

解析：根據(jù)題意，最小的“谷雨數(shù)”，若千位數(shù)字最小，則應為2，百位數(shù)字為0，此時十位數(shù)

字最小為4，個位數(shù)字最小為0，則最小的“谷雨數(shù)”是2040；

設“驚蟄數(shù)”千位、百位、十位、個位上的數(shù)字依次為：a1，a，4，2；

“谷雨數(shù)”千位、百位、十位、個位上的數(shù)字依次為：b2，b，6，2，

則M1000a1100a4021100a1042，

FMa1a422a7；

N1000b2100b6021100b2062，

FNb2b622b10；

MN1201100a10421100b2062120

則，

FMFN2a72b10

1100ab1140

，

2ab3

5502ab355031140

，

2ab3

510

550，

2ab3

MN120

能被10整除，

FMFN

51

55為整數(shù)，

2ab3

即2ab3是51的因數(shù)，

由題意可知0a8，0b7，（千位上最大的數(shù)字是9），

FM

當取得最小值時，也就是說2a7最小，

FN2b10

511317，

51

當ab3時，17；

2ab3

51

當ab2時，51；

2ab3

FM2b372b133

即當ab3時，ab3有1，b5時，最小值為

FN2b102b102b10

1.15；

FM2b272b111

當ab2時，ab2有1，b6時，最小值為

FN2b102b102b10

23；

22

FM

故當a8，b6時，有最小值，此時M的值為：9842.

FN

故答案為：9842.

11

21.答案：(1)2,不是“相伴有理數(shù)對”，,3是“相伴有理數(shù)對”

32

5

(2)x

2

1

(3)

2

解析：（1）由題意可得：

1

當a2，b時，

3