課前預習記錄：月日星期10分鐘課前預習練（北師大版）1.2等腰三角形（2）—等邊三角形的性質知識要點:1．等腰三角形兩底角的角平分線_______,兩腰上的中線_______,高_______．【答案】相等相等相等2．等邊三角形的每個內角都_______,并且每個內角都等于_______。【答案】相等60°3．等邊三角形是___________圖形，有_________條對稱軸。【答案】軸對稱34．等邊三角形每條邊上的__________、__________和所對角的___________都三線合一。【答案】中線高角平分線課堂練習一、選擇題1．如圖，中，，于D，于E，下列結論不成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得AD平分，判斷出，再根據于D，于E，可知，可判斷出和，即可得到答案．【詳解】解：A、在中，，，∴AD平分，∴，選項說法正確，不符合題意；B、∵于D，于E，∴，∵，∴，選項說法正確，不符合題意；C、∵是的外角，∴，無法得到，無法得到，選項說法錯誤，符合題意；D、在中，，在中，∴，選項說法正確，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、同角的余角相等的性質及三角形的外角的性質，解決問題的關鍵是熟練運用相關性質．2．如圖，是等邊三角形，D是BC邊上一點，于點E．若，則DC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先求解可得從而可得答案.【詳解】解：是等邊三角形，，故選C【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，含的直角三角形的性質，掌握“直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半”是解本題的關鍵.3．如圖，在ABC中，AB＝AC，AD，CE分別是ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數是（）A．35° B．40° C．55° D．70°【答案】A【分析】根據等腰三角形的性質可得AD平分∠BAC，∠B=∠ACB，從而得到，再由三角形的內角和定理，可得，即可求解．【詳解】解：∵AB＝AC，AD是ABC的中線，∴AD平分∠BAC，∠B=∠ACB，∴，∴，∵CE是ABC的角平分線，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．4．如圖，在直角坐標系中，△AOB是等邊三角形，若B點的坐標是（3，0），則A點的坐標是（）A．（，3） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】C【分析】過點A做AC⊥x軸于點C，根據等邊三角形的性質結合點B的坐標即可找出OA、OC的長度，再利用勾股定理即可求出AC的長度，進而可得出點A的坐標，此題得解．【詳解】解：過點A做AC⊥x軸于點C，如圖所示．∵△AOB是等邊三角形，若B點的坐標是（3，0），∴OA＝OB＝3，OC＝BC＝OB＝，在Rt△ACO中，OA＝3，OC＝，∴AC＝，∴點A的坐標為（，）．故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質．勾股定理以及坐標與圖形性質，利用勾股定理求出AC的長度是解題的關鍵．5．如圖，在中，AD是角平分線，且，若，則的度數是（）A．45° B．50° C．52° D．58°【答案】A【分析】根據角平分線性質求出∠DCA，再根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求解∠C和∠B即可．【詳解】解：∵AD是角平分線，，∴∠DCA==30°，∵AD=AC，∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，故選：A．【點睛】本題考查角平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形的內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解答的關鍵．二、填空題6．（1）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長分成12和9兩部分，則腰長為___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數為___．【答案】8或640°或100°或140°【分析】（1）等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分，但已知沒有明確等腰三角形被中線分成的兩部分的長，哪個是12，哪個是9，因此，有兩種情況，分類討論求解即可．（2）根據直角三角形兩銳角互余求出∠A，再分點A是頂角頂點，點A是底角頂點兩種情況求解．【詳解】解：（1）根據題意，畫出圖形，如圖所示，設等腰三角形的腰長AB=AC=2x，∵BD是腰上的中線∴AD=DC=x①若AB+AD的長為12，則2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的長為9，則2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案為：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，

∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，

①如圖1，點A是頂角頂點時，頂角為∠A，是40°；

②如圖2，點A是底角頂點時，

頂角∠BCA=180°-40°×2=100°，

③如圖3，點A是頂角頂點時，

頂角∠BAC=180°-40°=140°，

綜上所述，等腰△ABC的頂角的度數為40°或100°或140°．

故答案為：40°或100°或140°．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是根據題意分情況討論．7．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點C在AE的垂直平分線上，若DE=10cm，則AB+BD=______．

【答案】10cm【分析】由題意根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AC=CE，根據等腰三角形三線合一的性質可得BD=CD，然后求出AD+BD=DE即可．【詳解】解：∵點C在AE的垂直平分線上，

∴AC=CE，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴BD=CD，

∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，

∵DE=10cm，

∴AB+BD=10cm．

故答案為：10cm．【點睛】本題考查線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．8．如圖，等邊三角形ABC中，BD是角平分線，點E在BC邊的延長線上，且CD＝CE，則∠BDE的度數是_____．【答案】120°【分析】依據等邊三角形的性質即可得到∠DBC的度數，依據等腰三角形的性質即可求得∠E的度數,再根據三角形內角和定理即可得出∠BDE的度數．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，又∵BD是角平分線，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC=∠ACB＝30°，∴∠BDE＝180°﹣2×30°＝120°，故答案為：120°．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，等邊三角形的三個內角都相等且都等于60°，掌握利用三角形外角的性質和等腰三角形性質求∠E是解題關鍵．9．如圖，△ABC是等邊三角形，點D為AC邊上一點，以BD為邊作等邊△BDE，連接CE．若BC＝4，CD＝1，則CE＝___．

【答案】3【分析】證明△ABD≌△CBE，可得，即可求解【詳解】解：∵△ABC和△BDE是等邊三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD與△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∵AC＝BC＝4，∴CE＝AD＝4﹣1＝3，故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，以及等邊三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．10．如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點O，過O點作MN∥BC分別交AB，AC于M，N兩點，BM＝3，CN＝4．則MN＝___．【答案】7【分析】根據平行線性質和角平分線的性質先證出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，從而得出OM=BM，ON=CN，再根據MN=MO+ON，即可求出MN的值．【詳解】解：∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠OCB=∠NOC，∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴OM=BM，ON=CN，∵BM=3，CN=4，∴OM=3，ON=4，∴MN=MO+ON=3+4=7；故答案為：7．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解與掌握．此題證出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO是解題的關鍵．三、解答題11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中線，BE平分∠ABC交AD于點E，連接EC．求證：CE平分∠ACB．【答案】見解析【分析】根據等腰三角形的性質，可得∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，從而得到△BDE≌△CDE，進而得到∠DCE=∠DBE，再由BE平分∠ABC，可得，進而得到，即可求證．【詳解】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴∠DCE=∠DBE，∵BE平分∠ABC，∴，∴，∴，∴CE平分∠ACB．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握等腰三角形的兩底角相等，等腰三角形“三線合一”是解題的關鍵．12．已知：如圖，中，，，分別是，的平分線．請你寫出圖中的一對全等三角形，并證明．【答案】，（任選一對即可）；證明見解析（以為例）【分析】根據等腰三角形的性質確定，根據角平分線的性質確定，再應用全等三角形的判定定理即可證明．【詳解】解：，．以為例，證明：∵在中，，∴，即．∵，分別是，的平分線，∴，．∴．在和中，∵∠DCB=∠EBC,∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定定理，綜合應用這些知識點是解題關鍵．13．如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，AF⊥AD，垂足為A．求證：∠1＝∠2【答案】見詳解．【分析】根據等腰三角形三合一性質以及等邊對等角性質得出AD⊥BC，∠B=∠C，根據AF⊥AD，利用在同一平面內垂直同一直線的兩直線平行得出AF∥BC，利用平行線性質得出∠1=∠B，∠2=∠C即可．【詳解】證明：∵△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵AF⊥AD，∴AF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠1＝∠2．【點睛】本題考查等腰三角形性質，平行線的判定與性質，掌握等腰三角形性質，平行線的判定與性質是解題關鍵．14．如圖，在中，，是的中點，于．求證：．

【答案】見解析【分析】根據等腰三角形“三線合一”的性質推出∠BAC=2∠DAC，然后結合三角形外角性質推出∠DAC=∠EBC，即可證得結論．【詳解】證：∵在中，，∴為等腰三角形，∵是的中點，∴為的中線，由“三線合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，設AD與BE交于F點，∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，∴∠BAC=2∠EBC．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，以及三角形外角性質等，掌握等腰三角形中“三線合一”的性質，外角定理等是解題關鍵．15．如圖，已知△ABC是等邊三角形，在△ABC外有一點D，連接AD，BD，CD，將△ACD繞點A按順時針方向旋轉得到△ABE，AD與BE交于點F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大小；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的長．

【答案】（1）23°；（2）．【分析】（1）由旋轉的性質可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的內角和定理可求解；（2）連接DE，可證△AED是等邊三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋轉的性質可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵將△ACD繞點A按順時針方向旋轉得到△ABE，∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，∵