§4.6正弦定理和余弦定理第四章

三角函數、解三角形基礎知識

自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則知識梳理定理正弦定理余弦定理內容(1)＝______＝______＝2R(2)a2＝

；b2＝

；c2＝_________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(4)sinA＝

，sinB＝____，sinC＝_____；(5)a∶b∶c＝

；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝__________；cosB＝_____________；cosC＝___________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況

A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝

a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝

absinC＝________＝________；(3)S＝

r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑).1.三角形內角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；2.三角形中的三角函數關系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；【知識拓展】3.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B.(

)(3)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形.(

)(4)在△ABC中，

(

)(5)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積.(

)基礎自測×√√123456√×題組二教材改編2.[P10B組T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，則這個三角形的形狀為________________________.答案解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝

，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形.解析三角形或直角三角形等腰1234563.[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________.解析答案123456題組三易錯自糾4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則△ABC為A.鈍角三角形

B.直角三角形C.銳角三角形

D.等邊三角形答案解析√解析由已知得sinC<sinBcosA，∴sin(A＋B)<sinBcosA，∴sinA·cosB＋cosA·sinB<sinB·cosA，又sinA>0，∴cosB<0，∴B為鈍角，故△ABC為鈍角三角形.1234565.(2018·桂林質檢)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是A.有一解

B.有兩解C.無解

D.有解但解的個數不確定解析答案√解析由正弦定理得∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.1234566.(2018·包頭模擬)設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角C＝________.解析答案解析由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因為b＋c＝2a，123456題型分類深度剖析1.(2016·山東)△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，則A等于解析

在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，解析答案題型一利用正、余弦定理解三角形自主演練√2.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosC等于解析

∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC.又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB.解析答案√3.設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝

，sinB＝

，C＝

，則b＝________.解析答案1(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.(2)三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.思維升華典例

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)證明：A＝2B；證明

由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.證明題型二和三角形面積有關的問題師生共研(2)若△ABC的面積S＝

，求角A的大小.解答(1)對于面積公式

，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化.思維升華跟蹤訓練

(1)(2018·承德質檢)若AB＝2，AC＝

BC，則S△ABC的最大值為答案√解析(2)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝

，則△ABC的面積是________.解析答案解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.命題點1判斷三角形的形狀典例(1)在△ABC中，

，則△ABC一定是A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.無法確定解析由已知得

，∴＝cosB，∴cosA＝cosB，又0<A，B<π，∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形.解析答案√題型三正弦定理、余弦定理的簡單應用多維探究(2)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.不確定解析

由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝

，∴△ABC為直角三角形.解析答案√1.本例(2)中，若將條件變為2sinAcosB＝sinC，判斷△ABC的形狀.引申探究解

∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B為△ABC的內角.∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形.解答2.本例(2)中，若將條件變為a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判斷△ABC的形狀.又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC為等邊三角形.解答命題點2求解幾何計算問題典例(1)如圖，在△ABC中，B＝45°，D是BC邊上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB＝________.解析答案(2)(2018·吉林三校聯考)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是____________________.解析答案解析如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F，則BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，(1)判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系.②化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論.(2)求解幾何計算問題要注意：①根據已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；②選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理.思維升華跟蹤訓練

(1)(2018·安徽六校聯考)在△ABC中，cos2

(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析答案√∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC為直角三角形.(2)如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝

，AB＝

，AD＝3，則BD的長為________.解析答案典例(12分)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a－c＝

，sinB＝

sinC.(1)求cosA的值；(2)求

的值.審題路線圖二審結論會轉換審題路線圖規范解答審題路線圖規范解答課時作業1.(2017·長沙模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝

，b＝3，A＝60°，則邊c等于A.1 B.2C.4 D.6基礎保分練12345678910111213141516解析∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).解析答案√2.在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若A＝

，a＝2，b＝

，則B等于解析答案12345678910111213141516√3.(2017·哈爾濱模擬)在△ABC中，AC＝1，B＝30°，△ABC的面積為

，則C等于A.30°B.45°C.60°D.75°解析答案√12345678910111213141516∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故選C.4.△ABC的三個內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝

等于解析答案12345678910111213141516√5.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數列，且c＝2a，則cosB的值為

解析因為sinA，sinB，sinC成等比數列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，解析答案√123456789101112131415166.(2017·鄭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

則cosB等于解析答案12345678910111213141516√7.(2016·全國Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝

，cosC＝

，a＝1，則b＝________.解析答案123456789101112131415168.(2018·成都模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝

ac，則角B的值為______.解析答案123456789101112131415169.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝

，C＝

，則△ABC的面積為________.解析答案123456789101112131415161234567891011121314151610.(2018·長春質檢)E，F是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF＝________.解析答案12345678910111213141516解析如圖，設AB＝6，則AE＝EF＝FB＝2.因為△ABC為等腰直角三角形，1234567891011121314151611.(2018·珠海模擬)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btanA.(1)證明：sinB＝cosA；證明12345678910111213141516(2)若sinC－sinAcosB＝

，且B為鈍角，求A，B，C.解答1234567891011121314151612.(2017·全國Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

.(1)求sinBsinC；解答12345678910111213141516(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長.解答1234567891011121314151613.(2018·銀川模擬)在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝

，a＋b＝6，

＝2cosC，則c等于技能提升練解析答案12345678910111213141516√1234567891011121314151614.(2018·大理模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asinB＝

bcosA.若a＝4，則△ABC周長的最大值為________.答案解析1234567891011121314151612123456789101112