第一章空間向量與立體幾何（知識歸納+題型突破）1.能夠理解空間向量的概念,運算、背景和作用;2.能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關系的想象力;3.能夠掌握空間向量基本定理,體會其作用,并能簡單應用;4.能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的思路.一、空間向量的有關概念1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．2、幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量二、空間向量的有關定理1、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使．（1）共線向量定理推論：如果為經過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數,使①，若在上取，則①可以化作：（2）拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中2、共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使（1）空間共面向量的表示如圖空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使．或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內（四點共面）的充要條件是存在有序實數對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．（2）拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．3、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序實數組使得三、空間向量的數量積1、空間兩個向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（2）范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯系與區別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當兩向量的夾角為銳角時，；當兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，.2、空間向量的數量積定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數量積的幾何意義：向量，的數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).四、空間向量的坐標表示及其應用設，，空間向量的坐標運算法則如下表所示：數量積共線（平行）垂直（均非零向量）模，即夾角五、直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設是直線上的任意一點,則點在直線上的充要條件是存在實數,使得，即2、平面法向量的概念如圖，若直線，取直線的方向向量，我們稱為平面的法向量；過點且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．3、平面的法向量的求法求一個平面的法向量時，通常采用待定系數法，其一般步驟如下:設向量：設平面的法向量為選向量：選取兩不共線向量列方程組：由列出方程組解方程組：解方程組賦非零值：取其中一個為非零值（常取)得結論：得到平面的一個法向量.六、空間位置關系的向量表示設分別是直線的方向向量，分別是平面的法向量．線線平行，使得注：此處不考慮線線重合的情況．但用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合線面平行注：證明線面平行時，必須說明直線不在平面內；面面平行，使得注:證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．線線垂直線面垂直，使得面面垂直七、向量法求空間角1、異面直線所成角設異面直線和所成角為，其方向向量分別為，；則異面直線所成角向量求法：①；②2、直線和平面所成角設直線的方向向量為，平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則①；②.3、平面與平面所成角（二面角）（1）如圖①，，是二面角的兩個面內與棱垂直的直線，則二面角的大小．（2）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：①；②若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負），則；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）八、向量法求距離（1）點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，點P到直線l的距離為.（2）兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l，m之間的距離，可在其中一條直線l上任取一點P，則兩條平行直線間的距離就等于到直線的距離.（3）求點面距①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.即：點A到平面α的距離，其中Q∈α，是平面的一個法向量.（4）線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解直線與平面之間的距離：=，其中，是平面的一個法向量.兩平行平面之間的距離：=，其中，是平面的一個法向量.題型一空間關系的證明【例1】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）通過中位線得到線線平行，利用判定定理可證或利用法向量證明線面平行；（2）利用面面垂直的性質得到線面垂直，結合線面垂直的判定可證或利用直線的方向向量與平面的法向量平行可證.【詳解】（1）解法一：證明：取中點，連結，，由三角形中位線性質可得且，又因為且，所以且，所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．

解法二：證明：因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．如圖，以為原點，以，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，則．因為，易知為平面的一個法向量．

因此，所以．又平面，所以平面．（2）解法一：證明：因為，，，所以，所以．因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．又，平面，所以平面．解法二：由（1）可得，，．設平面的一個法向量，則，取，得，所以是平面的一個法向量．因此，所以平面．反思總結證明平行、垂直關系的方法可以運用傳統方法也可以運用空間向量。利用空間向量證明平行、垂直關系的方法:(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可。(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明平面內存在一個向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理，即證明平面內存在兩個不共線向量來線性表示直線的方向向量。(3)證明面面平行的方法:①證明兩個平面的法向量平行;②轉化為線面平行、線線平行的問題。(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直。(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;②轉化為線線垂直問題。(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個平面的法向量互相垂直;②轉化為線面垂直、線線垂直問題。鞏固訓練：1.如圖，四棱錐中，側面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面，，，E是PD的中點．證明：平面.【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標系，求出的方向向量和平面的法向量即可證明.【詳解】因為在底面內，，所以，連接，因為為的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以，因為底面，底面，所以，所以以為原點，分別以為軸建立如圖空間直角坐標系，因為側面PAD為等邊三角形，，所以，，，，，因為E是PD的中點，所以，所以，，，設平面的法向量為，則，令，得，因為，所以，又因為平面，所以平面.2.如圖所示，正四棱的底面邊長1，側棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

【答案】證明見解析【分析】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證，同理，再結合面面平行判定定理即可證明結論.【詳解】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖

則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面與平面平行．3.如圖，在正方體中，，分別為，的中點.證明：

(1)平面平面；(2)平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量來證明平面平面.（2）通過直線的方向向量和平面的法向量來證明平面.【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，，，，，.設平面的法向量為，∵，，，，∴，∴令，則，設平面的法向量為，∴，∴令，則，∴，∴平面平面.

（2）∵，分別為，的中點，∵，，∴，∴，∴平面.題型二利用空間向量求線面角【例2】如圖，已知正三棱柱中，點分別為棱的中點.

(1)若過三點的平面，交棱于點，求的值；(2)若三棱柱所有棱長均為2，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）延長交延長線于點，連接交于點，然后結合三角形的中位線定理可求得結果；（2）解法一：取中點連接，以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，解法二：設點到平面的距離為，連接，易證平面，然后利用等體積法求出，設與平面所成角為，則可得答案.【詳解】（1）延長交延長線于點，連接交于點，連接，則過三點的截面就是平面四邊形，因為是中點，∥且，所以是的一條中位線，所以∥且，所以；

（2）解法一：取中點連接，因為正三棱柱為的中點，與三棱柱的側棱平行，所以兩兩垂直，以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

所以，所以，，設平面的法向量，則，即，令，則，所以，設與平面所成角為，則，與平面所成角的正弦值為；解法二：設點到平面的距離為，連接，因為，是中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為等邊三角形的邊長為2，所以，所以，所以等腰三角形的底邊上的高為，所以的面積為，又的面積為，因為，所以，得，又，設與平面所成角為，則，故平面所成角的正弦值為.反思總結鞏固訓練1.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；(2)設的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，由面面垂直的性質可得平面，則，所以由線面垂直的判定可得平面，從而可得結論；（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因為，點是的中點，所以.因為平面平面，所以平面平面，因為四邊形為矩形，所以，因為平面平面，平面，所以平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由題意可得兩兩垂直，設，如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，

因為點是的中點，所以，所以，設平面的法向量為，則，令可得，所以平面的一個法向量.，設，即，所以.又，所以，化簡得，解得或（舍去）.所以，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.2.如圖四棱錐，點在圓上，，頂點在底面的射影為圓心，點在線段上.

(1)若，當//平面時，求的值；(2)若與不平行，四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【分析】（1）做輔助線構建平面和平面平行，然后結合面面平行的性質定理來解決；（2）通過棱錐的體積得到底面積，根據底面的數據可推出是直徑，然后建立空間直角坐標系處理.【詳解】（1）過作//交線段于，連接.//，平面,平面，//平面，又//平面，，平面，平面//平面，平面平面，平面平面，根據面面平行的性質定理，//又//，四邊形是平行四邊形，，而，故，得，得.（2）

，（為四邊形的面積），得.由，得，由余弦定理，，則，根據正弦定理，設該四邊形的外接圓半徑為，則，作直徑，由圓內接四邊形對角互補，則，故，，根據圓的對稱性，作直徑,也滿足,但此時，故重合，此時為直徑，直徑為，以為原點，射線為軸，過垂直于的方向為軸，如圖建立空間直角坐標系.

則，所以，設平面的法向量為，則即令，則，所以，設直線與平面所成角為，則.直線與平面所成角的正弦值為.3.如圖，在四棱柱中，平面，，，，，為的中點.

(1)求四棱錐的體積；(2)設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長度；【答案】(1)(2)【分析】（1）證明出平面，平面，可知點到平面的距離等于，再利用錐體的體積公式可求得四棱錐的體積；（2）以點為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，其中，求出向量的坐標，利用空間向量法可得出關于的等式，結合求出的值，可得出向量的坐標，進而可求得線段的長.【詳解】（1）解：因為平面，平面，所以，，又因為，，、平面，所以平面.因為，平面，平面，所以，平面，故點到平面的距離等于，所以，.（2）解：由平面，，以點為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，.

所以，，，.設平面的一個法向量為，則，取，可得，

設，其中，則，記直線與平面所成角為，則，整理可得，解得（舍）或.

所以，故線段的長度為.題型三利用空間向量求二面角[例3]如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面，得，結合可得平面，則，再由等腰三角形三線合一可得，再由線面垂直的判定可得平面，從而可得，（2）由題意可證得兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以.又，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.因為為的中點，，所以.由，平面，得平面.因為平面，所以.（2）解：因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則令，得..由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弘值為.反思總結利用向量法確定二面角平面角大小的常用方法。(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，結合實際圖形通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小。(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角等于二面角的平面角。確定二面角的平面角的大小,方法有:①根據幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角;②依據“同進同出互補,一進一出相等”求解;③在二面角的一個半平面內取一點P,過點P做另一個半平面所在平面的垂線，若垂足在另一個半平面內,則所求二面角為銳二面角,若垂足在另一個半平面的反向延長面上，則所求二面角為鈍二面角。鞏固訓練1．如圖，在三棱錐中，為的中點.

(1)證明：平面；(2)點在棱上，若平面與平面的夾角為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在中，根據等腰三角形的性質可得，，在中，結合勾股定理可得，進而得到，，在中，根據勾股定理得到，從而求證即可；（2）以為原點，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，設，進而求出平面與平面的一個法向量，進而列出方程求解即可.【詳解】（1）證明：在中，，因為是的中點，所以，且.在中，因為，所以.因為為的中點，連接，所以，且.在中，因為，所以.因為，平面，所以平面.（2）以為原點，以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設，則，，設平面的一個法向量為，由，得，令，得，，所以.取平面的一個法向量，又平面與平面的夾角為，所以，整理得，即或，因為，所以，所以.

2．如圖，已知圓柱的上、下底面圓心分別為P，Q，是圓柱的軸截面，正方形ABCD內接于下底面圓Q，AB＝a，．

(1)當a為何值時，點Q在平面PBC內的射影恰好是的重心；(2)在（1）條件下，求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)當時，點在平面內的射影恰好是的重心.(2)【分析】（1）取的中點，連接，證得平面，過點作，得到，進而證得平面，得到是在平面內的射影，結合恰好是的重心，得到，在直角中，即可求解；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量為和，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：取的中點，連接，可得，且，平面，所以平面，過點作，交于點，因為平面，所以，又，平面，所以平面，即是在平面內的射影，因為恰好是的重心，所以，在直角中，，，所以，所以，解得，所以時，點在平面內的射影恰好是的重心.（2）解：以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，作，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，由圖象可得平面與平面所成二面角的平面角為銳角，所以，即平面與平面所成二面角的余弦值為．

3.如圖①所示，在中，，，，D，E分別是線段，上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖②．

(1)若點N在線段上，且，求證：平面；(2)若M是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，得出，結合線面平行的判定證明即可；（2）解法一：建立如圖所示直角坐標系，利用向量法證明即可；解法二：由幾何法得出為平面與平面夾角，再結合直角三角形的邊角關系求解即可.【詳解】（1）證明：在中，過N作交于點F．因為，所以，在三角形中，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面

（2）解法一：因為，，所以，所以，．因為，，平面，所以平面，所以平面．又由，可建立如圖所示直角坐標系，則，，，，，，

則：，，設平面的法向量為，則，即，令得，可取平面的法向量，設平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成夾角的余弦值為解法二：如圖所示，因為，，所以，所以，，因為，，平面，所以平面，所以，又，，，平面所以平面在中，過M作，交于點G，在平面中，過G作交直線于點H，由平面可得平面，所以即為平面與平面夾角．

在中，由M為中點可得：，G為中點，在中，，所以，．所以，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．題型四應用空間向量求空間距離[例4]如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點．

(1)求直線BD與平面APM所成角的正弦值；(2)求D到平面APM的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（2）利用空間點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標系，

，，設平面APM的法向量為，，，于是有，，所以直線BD與平面APM所成角的正弦值為；（2）由（1）可知平面APM的法向量為，，，D到平面APM的距離為.反思總結鞏固訓練1.已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為.【答案】【分析】根據空間中點到直線的距離公式求解即可.【詳解】∵，，∴，又，∴，∴，又，∴點P到直線l的距離為.故答案為:.2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）證明出平面平面，可得出平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的距離．【詳解】（1）解：因為平面，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，因為、分別為、的中點，則，平面，平面，平面，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線與平面的距離為.（2）解：因為平面平面，則平面與平面的距離為.3．如圖，在三棱錐中，，平面平面.

(1)求異面直線與間的距離；(2)若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【分析】（1）法一：根據等腰三角形性質得PO垂直AC，，根據線面垂直的判定定理得面，在面中，作，知為異面直線與間的距離可得答案；法二：以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，且可得，由異面直線與間的距離向量求法可得答案；（2）方法一：在平面內作，則平面，在平面內作，則，得為二面角的平面角，法一：設點到平面的距離為，利用得可得答案；法二：以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建空間直角坐標系，求出平面的法向量，由線面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）法一：取中點，連接，由知，又平面平面，平面平面，故平面，連接，則，又因為為中點，故，面，故面，在面中，作，則由知為異面直線與間的距離，由，知，即異面直線與間的距離為；

法二：取中點，連接，由知，又平面平面，平面平面，故平面以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，則，設，且，則，令，則，又，則異面直線與間的距離為；

（2）由（1）知平面，可得平面平面，如圖，在平面內作，垂足為，則平面，在平面內作，垂足為，聯結，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以

故為二面角的平面角，即，設，則，在Rt中，，在Rt中，由知，得，法一：設點到平面的距離為，由，得，即，又，解得，則與平面所成角的正弦值為；法二：以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系如圖，則，，設平面的法向量為，則由，知，令，則，則與所成角的余弦值為，則與平面所成角的正弦值.

4.如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據折疊前后的幾何性質，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算得異面直線與所成的角的余弦值；（2）根據空間向量求直線與公垂線的方向向量，再結合空間向量坐標運算即可得異面直線與之間的距離．【詳解】（1）圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；（2）由（1）得，設是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.題型五平行或垂直的探索性問題[例5]如圖，在棱長為1的正方體中，點E為BC的中點．(1)在B1B上是否存在一點P，使平面？(2)在平面上是否存在一點N，使平面？【答案】(1)不存在(2)存在【分析】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設點，由可得答案；（2）設，由可得答案.【詳解】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則點A(1，0，0)，E，，，＝．假設存在點滿足題意，于是，所以，所以，解得與矛盾，故在上不存在點使平面．（2）假設在平面上存在點N，使平面．設，則，因為，所以，解得，故平面AA1B1B上存在點N，使平面．反思總結涉及線段上的動點問題,先設出動點分線段的某個比值入,根據兩個向量共線的充要條件得數乘關系,從而用入表示動點的坐標,再進行相關計算,這樣可以減少未知量,簡化過程。值得注意的是,應給出入的取值范圍。另外,建系時最好用右手直角坐標系且使幾何元素盡量分布在坐標軸的正方向上。鞏固訓練1.如圖，直三棱柱中，，D是的中點．(1)求異面直線與所成角的大小；(2)求二面角的余弦值；(3)在上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)異面直線與所成角的大小為；(2)二面角的余弦值為；(3)存在點，使得平面，此時.【分析】（1）建立空間直角坐標系，求直線與的方向向量，利用向量夾角公式求夾角；（2）求平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求結論；（3）設，再求的坐標，由條件列方程求，由此可得結論.【詳解】（1）以點為原點，以為軸的正方向建立空間直角坐標系；由已知，，，，所以，，所以，設異面直線與所成角的大小為，則，又，所以，所以異面直線與所成角的大小為；（2）因為，，，則，，設平面的法向量為，則，故，令，則，，所以為平面的一個法向量，平面的一個法向量為，所以，觀察圖象可得二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為；（3）假設存在點，使得平面，設，因為，，，則，所以，又所以，向量為平面的一個法向量，由已知，所以，所以，所以存在點，使得平面，此時.2.如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由條件證明，，根據線面垂直判定定理證明平面，根據面面垂直判定定理證明平面平面；（2）證明平面，建立空間直角坐標系，，求平面，平面的法向量，由條件列方程求即可.【詳解】（1）因為，，所以，所以，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因為，，∴，又∵，，平面，∴平面，∴、、兩兩垂直，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，因為，，所以.則，，，，平面的一個法向量為，，設，，，設平面法向量為，則，所以，取，則，，故為平面的一個法向量，所以，解得，符合題意即，∴.題型六空間向量中的最值問題[例6]如圖，平行六面體的所有棱長均為，底面為正方形，，點為的中點，點為的中點，動點在平面內．(1)若為中點，求證：；(2)若平面，求線段長度的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由條件先求，，，再證明，由此完成證明；（2）建立空間直角坐標系，設，求平面的法向量和直線的方向向量，由條件列方程確定的關系，再求的最小值即可.【詳解】（1）由已知，，，，所以，，，因為為中點，所以，又，所以，所以所以（2）連接，，∵，∴，∵，∴，連接，由正方形的性質可得三點共線，為的中點，所以，由第一問，平面，，所以平面，以為坐標原點，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系、、、、，設平面法向量為，，則，所以，

∴，令，則，．∴為平面的一個法向量，因為點在平面內，故設點的坐標為，因為，所以，，則，所以，所以當時，有最小值，最小值為.反思總結對于面積、點面距離或體積的最值,一般有兩個思考方向:一是從圖中直接觀察﹐先分清哪些量是定值,哪些量是變量,通過,點或線的變化情況尋找最值二是直接根據目標函數的關系﹐轉化為函數的最值或值域問題來處理,如果是求空間角的三角函數的最值,可直接利用數量積及模的計算公式寫出三角函數的表達式﹐再轉化為二次函數來處理。對于距離、體積或空間角的逆向存在性問題,其求解思路是先假設條件存在,把假設當作新的已知條件進行推理,通過構造方程求解。若得到合理的數據﹐則假設成立﹔若出現矛盾,則假設不成立。對于翻折問題，關鍵是抓住翻折前后幾何量的變與不變進行相關計算。鞏固訓練1.在棱長為1的正方體中，分別是