第11講直線與圓錐曲線【人教A版2019】·模塊一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系·模塊二弦長公式·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線與橢圓的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系

類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：>0直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn);

=0直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

<0直線與橢圓相離無公共點(diǎn).2．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

①代入②得.

當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).

當(dāng)0，即時(shí)，=.

>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；

=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；

<0直線與雙曲線沒有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：

①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件>0x1+x2<0x3．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.①若k≠0，當(dāng)>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，直線與拋物線相離，無交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【考點(diǎn)1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線y=32A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【解題思路】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去y然后可解出x=-136【解答過程】由y=32x+2x所以x=-又雙曲線x24y=3所以直線和雙曲線的位置關(guān)系為相交．故選：B.【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線方程y2=4x，過點(diǎn)PA．0條 B．1條 C．2條 D．3條【解題思路】考慮直線斜率存在k=0，k≠0和不存在三種情況，設(shè)直線方程為y=k【解答過程】點(diǎn)P在拋物線上，易知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不滿足；當(dāng)直線斜率k=0時(shí)，易知y當(dāng)直線斜率存在且k≠0時(shí)，設(shè)直線方程為y=ky=kx-Δ=-42-綜上所述：滿足條件的直線有2條.故選：C.【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C:x225+y29=1A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解題思路】根據(jù)直線方程可得直線l過定點(diǎn)A3,2，判斷點(diǎn)A3,2與橢圓C【解答過程】對(duì)于直線l:m+2令x-y-故直線l過定點(diǎn)A3,2∵3225+22所以直線l與橢圓C相交.故選：A.【變式1.2】（2023·全國·高三對(duì)口高考）若直線l被圓C:x2+y2=2A．x-12C．y=x2【解題思路】設(shè)出直線l的方程ax+by+c=0，根據(jù)直線l被圓C:x2+y2=2所截的弦長不小于2，由弦長公式得出d≤1，進(jìn)而得出c2≤a2+b2【解答過程】由題意，圓C:x2+y設(shè)直線方程為ax+by+c=0，直線l由弦長公式得R2-d由點(diǎn)到直線的距離公式得，a?0+b對(duì)于選項(xiàng)A，直線l到該圓圓心的距離為a?取b=0,a=c=1對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)b=0時(shí)，對(duì)于直線l有a≠0，x=-聯(lián)立橢圓方程得y2當(dāng)b≠0時(shí)，聯(lián)立直線l與橢圓方程得(Δ=所以必有公共點(diǎn)；故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立直線l與拋物線方程得bx若b=0時(shí)，則a≠0，有解若b≠0時(shí)，Δ=a2-4bc對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)b=0時(shí)，對(duì)于直線l有a≠0，x=-聯(lián)立雙曲線方程得y2取c=a2，則直線l：x=-故選：B.【考點(diǎn)2根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)】【例2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線x+2y=m與橢圓x2A．22 B．±2 C．±22【解題思路】聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y，根據(jù)Δ=0即可求解【解答過程】由x+2y=mx因?yàn)橹本€x+2y=所以Δ=4m2故選:C.【例2.2】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知雙曲線C:x24-y212=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)AA．±2 B．±43 C．±23 D【解題思路】根據(jù)題意分析可得直線AF與漸近線平行，結(jié)合平行關(guān)系運(yùn)算求解.【解答過程】雙曲線C:x24-y2所以雙曲線的漸近線方程為y=±3x因?yàn)橹本€AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線AF與雙曲線的漸近線平行，所以kAF=m故選：B.【變式2.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線C的方程為x2=12y，過點(diǎn)A0,-1和點(diǎn)Bt,3的直線A．-∞,-2C．-∞,-22【解題思路】首先求直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用Δ<0，即可求解t的取值范圍【解答過程】當(dāng)t=0時(shí)，直線l:x=0，與拋物線設(shè)直線AB的方程為y=聯(lián)立直線與拋物線方程，得y=4t由于直線與拋物線無公共點(diǎn)，即方程2x2-4tx+1=0故選：A.【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線L:y=12x+A．(-2,2) B．(-2,2)【解題思路】將曲線C的表達(dá)式整理變形可知，其圖象是由上半橢圓和上半雙曲線組成的，再根據(jù)直線L:y=1【解答過程】由題意得曲線C:y=12當(dāng)4-x2≥0時(shí)得到4當(dāng)4-x2<0由以上可得曲線C的如圖中所示，易知直線L:y=12把直線y=12x向上平移到0,1點(diǎn)時(shí)，即y=繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)直線與橢圓的上半部分相切時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓的方程y=1Δ=16m2-84m綜上可知1<m故選：C.模塊二模塊二弦長公式1．橢圓的弦長問題(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

(2)弦長公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點(diǎn)，則或.2．雙曲線的弦長問題①弦長公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d.

②解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.3．拋物線的弦長問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).【考點(diǎn)3橢圓的弦長問題】【例3.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知斜率為1的直線l過橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)，交橢圓于AA．207 B．227 C．247【解題思路】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)Ax1,y【解答過程】由橢圓知，a2=4,b所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，則直線l的方程為y=設(shè)Ax聯(lián)立y=x-1x則x1所以AB=即弦AB長為247故選：C.【例3.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓x22+y2=1與直線y=x+m交于A．±1 B．±1C．2 D．±2【解題思路】聯(lián)立方程，寫出關(guān)于交點(diǎn)坐標(biāo)的韋達(dá)定理，用兩點(diǎn)的距離公式AB=x1-【解答過程】由x22+得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．設(shè)A(x則x1+x由題意，得AB=解得m=±1故選:A.【變式3.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過橢圓x29+y2=1的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】先求過左焦點(diǎn)的通徑長度，由橢圓的性質(zhì)：過左焦點(diǎn)的弦長最短為通徑長，最長為長軸長，結(jié)合已知弦長判斷直線的條數(shù)即可.【解答過程】左焦點(diǎn)為(-22,0)，若直線垂直x軸，則直線為代入橢圓方程得89+y2=1所以，由橢圓性質(zhì)知：AB=2故選：B.【變式3.2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l是圓C：x2+y2=1的切線，且l與橢圓E：x23+y2=1A．2 B．3 C．2 D．1【解題思路】由直線與圓相切分析得圓心到直線距離為1，再分類討論直線斜率是否存在的情況，存在時(shí)假設(shè)直線方程，進(jìn)一步聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得出弦長表達(dá)式，最后化簡用基本不等式得出結(jié)果.【解答過程】∵直線l是圓C：x2∴圓心O到直線l的距離為1，設(shè)A(①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.由已知|m|1+k2=1把y=kx+m代入橢圓方程，整理得(3k.x∴|=(1+k=12(令t原式=≤當(dāng)且僅當(dāng)9t=4t即綜上所述ABmax故選：B.【考點(diǎn)4雙曲線的弦長問題】【例4.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在雙曲線x2-y2=3上，線段AB的中點(diǎn)為MA．25 B．45 C．210【解題思路】首先結(jié)合已知條件，利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，進(jìn)而得到直線AB的方程，然后聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式求解即可.【解答過程】不妨設(shè)A(x1從而x12-由兩式相減可得，(x又因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為M1,2，從而x1+故y1-y2x直線AB的方程為：y-2=1將y=12x+從而x1+x故AB=故選：C.【例4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線x2-y2=2的左焦點(diǎn)作直線l，與雙曲線交于A,BA．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解題思路】設(shè)直線方程與雙曲線聯(lián)立，利用弦長公式解方程判斷根的個(gè)數(shù)即可.【解答過程】由題意得雙曲線左焦點(diǎn)-2,0，當(dāng)直線垂直于橫軸時(shí)，AB=22故可設(shè)l:與雙曲線聯(lián)立可得y=x1由弦長公式知AB=則k=±2-故存在四條直線滿足條件.故選：D.【變式4.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點(diǎn)A．7 B．8 C．9 D．10【解題思路】根據(jù)漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可解得a2,【解答過程】∵雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=2x，∴ba=2，即b=2a.∵左焦點(diǎn)F-3,0，∴c=3故選：D.【變式4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，過H右焦點(diǎn)F且斜率為3的直線與H交于A，B兩點(diǎn)，與H的漸近線交于C，D兩點(diǎn)．若AB=5，則CD=（A．27 B．26 C．35 D．【解題思路】由已知條件可得漸近線方程為y=±x，雙曲線方程x2a2-y2a2=1(【解答過程】設(shè)雙曲線方程為x2a2因?yàn)殡p曲線H的兩條漸近線互相垂直，所以a=b所以雙曲線方程為x2a2所以直線方程為y=3(設(shè)A(x1,y8x所以x1所以AB=解得a2=4，得所以雙曲線方程為x24-直線方程為y=3(由y=xy由y=-xy所以CD=故選：C.【考點(diǎn)5拋物線的弦長問題】【例5.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為π3的弦AB，則A．837 B．163 C．8【解題思路】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程：y=3(x【解答過程】解：根據(jù)拋物線y2=4x直線AB的斜率為k=由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB:將直線方程代入到拋物線方程中，得：3(整理得：3x設(shè)A(x1，y1)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x所以弦長|AB故選：B．【例5.2】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線x2=12y的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線y=kx+m(k>0)與拋物線相交于A．2 B．2 C．22 D．【解題思路】由拋物線可得焦點(diǎn)F0,3，代入直線可得m=3，將直線與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得x1【解答過程】由拋物線x2=12y將F0,3代入y=kx將y=kx+3代入x設(shè)Ax1,所以y1由拋物線的定義可得AB=y1+故選：B.【變式5.1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線y2=-4x，過其焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)D，且B是線段AD的中點(diǎn)，則ABA．92 B．72 C．32【解題思路】設(shè)點(diǎn)A、B在直線l上的射影點(diǎn)分別為M、E，設(shè)BE=mm>0，可得出AB=BD=3m【解答過程】易知拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)為F設(shè)點(diǎn)A、B在直線l上的射影點(diǎn)分別為M、E，如圖所示：

設(shè)BE=mm>0，因?yàn)锽為線段AD的中點(diǎn)，BE⊥所以，AM=2由拋物線的定義可得AF=AM=2所以，BD=所以，cos∠因?yàn)锽E//x軸，則∠DFO=∠DBE，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)N所以，DF=又因?yàn)镈F=BF+故AB=3故選：A.【變式5.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過F的直線l交拋物線C于A,BA．1 B．32 C．3 D．【解題思路】由拋物線的定義求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線得B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得直線AB的方程，聯(lián)立拋物線與直線即可得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求得AF，從而可得λ的值.【解答過程】如圖，過A作AA1準(zhǔn)線于A1，過B作B

由拋物線C:y2=3x由拋物線的定義可得BF=BB1若B14,32，直線AB的斜率為kAB聯(lián)立y=-3x+334則AF=若B14,-32，直線AB的斜率為kAB聯(lián)立y=3x-334則AF=綜上，λ=3故選：C.【考點(diǎn)6圓錐曲線中的面積問題】【例6.1】（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F斜率不為0的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，記直線MP與直線MQ的斜率分別為k1,k2【解題思路】（1）利用點(diǎn)在橢圓上及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可；（2）設(shè)直線聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，方法一：求出弦長及三角形的高即可求出面積，方法二：利用面積分割法求解面積即可.【解答過程】（1）由題意知A1又M1,32∴-a-1a-由M1,32在橢圓C上及a=2得∴橢圓C的方程為x2（2）由（1）知，右焦點(diǎn)為F1,0據(jù)題意設(shè)直線l的方程為x=則k1于是由k1+k2=0得2由x=my+1,3xΔ=由根與系數(shù)的關(guān)系得：y1代入（*）式得：-18m3∴直線l的方程為x-方法一：Δ=144由求根公式與弦長公式得：PQ=設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，則d=∴S

方法二：由題意可知S△x-2y-1=0代入3∴Δ∴S【例6.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線y2=4x.(1)求以M(1,1)(2)若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D【解題思路】（1）將兩交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為Px1,（2）四邊形ABCD的面積為兩條垂直的對(duì)角線乘積的一半，則問題轉(zhuǎn)化為求解兩條焦點(diǎn)弦的長，最后使用基本不等式求最值.【解答過程】（1）由題意知，焦點(diǎn)弦所在的直線斜率存在.設(shè)所求直線交拋物線于Px則y1又∵y∴所求直線方程為y-即2x（2）

依題意知,直線m,n的斜率存在且不為0,設(shè)直線m的方程為與拋物線方程聯(lián)立,得y=消去y,整理得k2x2-則x3由拋物線的定義可知，|AB同理可得|CD∴四邊形ABCD的面積S=當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)所求四邊形ABCD面積的最小值為【變式6.1】（2023秋·貴州貴陽·高三校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)-2,0在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，點(diǎn)Mm,12m≠0在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，(1)求橢圓C的方程；(2)記S△BME，S△AMF分別為△BME，△AMF【解題思路】（1）利用斜率乘積建立方程，把點(diǎn)代入求解橢圓方程；（2）先求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，然后求出線段比例，最后代入三角形面積公式化簡求解即可.【解答過程】（1）設(shè)Ex,y，依題意A可得kEA?k又橢圓C過點(diǎn)-2,0，所以b2=1，故橢圓C（2）依題意，可知AM：y=-12整理得m2+1x又BM：y=32整理得m2+9x所以MAMEMFMB則S=m由于S△AMFS△BME【變式6.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0離心率為2，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是直線x=1上一點(diǎn)，且滿足3tan(1)求雙曲線C的方程；(2)求S1S【解題思路】（1）設(shè)M1,mm>0，可判斷a>1，表示出tan∠MA1（2）由（1）可知直線MA1，MA2的方程。聯(lián)立直線與雙曲線方程求出xB、xC【解答過程】（1）依題意設(shè)M1,mm>0，若0<a<1，此時(shí)0<∠MA1A2<π則tan∠MA1A所以3m1+a=ma-1，解得所以雙曲線C的方程為x2（2）由（1）可知直線MA1：y=m3由y=m3x+2所以xB=-21+54m由y=-mx-2所以xC=21+6m綜上可得3<m所以xB+x又S1又x=3所以S1S2令m2+9=t所以S1令λ=1t，則λ所以當(dāng)λ=118即m=±3時(shí)S模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·寧夏銀川·高二校考階段練習(xí)）若直線y=x+m與橢圓x2A．±6 B．±6 C．±3 D【解題思路】將直線y=x+m與橢圓x【解答過程】將直線y=x+m與橢圓x2故選：B.2．（2023春·云南楚雄·高二校考階段練習(xí)）過拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于A3,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】如圖所示，由題得Fp2【解答過程】如圖所示，由題得Fp2,0過點(diǎn)A作AM垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)N，

由拋物線定義可知，AB=∴p=3故選：C3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線x2-y28=1的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于A．一條 B．兩條C．三條 D．四條【解題思路】方法一：右焦點(diǎn)為F23,0，斜率不存在時(shí)直線AB的方程為x=3，代入雙曲線方程可得弦長AB，斜率存在時(shí)設(shè)Ax1,y1方法二：求雙曲線過右焦點(diǎn)的通徑，由此判斷當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)都在右支上時(shí)，滿足條件的直線的條數(shù)，再求雙曲線的實(shí)軸長，由此判斷直線與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足條件的直線的條數(shù)，由此確定結(jié)論.【解答過程】雙曲線x2-y當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=3代入雙曲線x2-y28當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y-代入雙曲線x2-y方程8-k2x設(shè)Ax1,y1，B所以AB=化簡可得：2k2=7

所以斜率存在且滿足條件的直線有2條，所以共有3條，故選：C.方法二：過右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長為2b因?yàn)锳B=16所以當(dāng)直線l與雙曲線的兩交點(diǎn)都在右支上時(shí)這樣的直線只有一條.又實(shí)軸長為2，16>2，所以當(dāng)直線l與雙曲線的兩交點(diǎn)分別在左、右兩支上時(shí)這樣的直線應(yīng)該有兩條，所以滿足條件的直線共三條.故選：C.4．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校考期末）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，若直線x=4與C交于AA．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】將x=4代入拋物線得y=±22p，結(jié)合弦長可得p【解答過程】令x=4，則y2=8p，故所以p=2，故準(zhǔn)線為x=-1，則故選：B.5．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A．23 B．23 C．-2【解題思路】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用Δ>0，求出m范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于m的方程，解出即可【解答過程】將直線y=x+m與橢圓聯(lián)立y=因?yàn)橹本€與橢圓相交于A,B點(diǎn)，則Δ=36設(shè)F1到AB的距離d1,F2到AB則d1=|-S△F1ABS故選：C.6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）定義曲線a2x2-b2y2=1為雙曲線x2a2-y2b2=1的“伴隨曲線”.在雙曲線C1：x2-A．0 B．1 C．2 D．與點(diǎn)P的位置有關(guān)系【解題思路】根據(jù)伴隨曲線的定義和坐標(biāo)關(guān)系以及直線與雙曲線的聯(lián)立即可求解.【解答過程】雙曲線C1：x2-1x設(shè)P(m,n則1m過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，則M(m,0)所以直線MN:聯(lián)立x2得1-n所以ΔΔ=4則直線MN與曲線C1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1故選：B.7．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）設(shè)橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k的直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O，且與橢圓相交于A，BA．直線l與OM一定垂直B．若直線l方程為y=2x+2C．若直線l方程為y=x+1，則點(diǎn)D．若點(diǎn)M坐標(biāo)為1,1，則直線l方程為2【解題思路】設(shè)Mx0,y0結(jié)合弦長的求解方法求出AB=45利用點(diǎn)差法的結(jié)論可以求出M-13利用點(diǎn)差法的結(jié)論可以求出kAB=-2，進(jìn)而判斷D【解答過程】不妨設(shè)A,B坐標(biāo)為x1,yy1+y2x對(duì)A：kAB×kOM=對(duì)B：若直線方程為y=2x+2可得：6x2+8x=0則AB=169對(duì)C：若直線方程為y=x+1，故可得y0x0×1=-2，即解得x0=-13,對(duì)D：若點(diǎn)M坐標(biāo)為1,1,則11×k又AB過點(diǎn)1,1，則直線AB的方程為y-1=-2x-1，即故選：C.8．（2023春·福建廈門·高二校考期中）過拋物線C：y2=6x上一點(diǎn)Px0,y0作兩條直線分別與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若直線AB的斜率為2，直線PA，A．154 B．5 C．152 D【解題思路】設(shè)Ay126,y1，By226,y2【解答過程】設(shè)Ay126,y因?yàn)镻x0,所以1k所以2y解之，得y0故選：C.

9．（2023·天津武清·天津市校考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑的圓與A．6 B．43 C．23 D【解題思路】結(jié)合雙曲線圖像對(duì)稱性，可得AB⊥x軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線a，b，c的關(guān)系可計(jì)算出|OA|，AF，AD，OF【解答過程】設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)D，由雙曲線的對(duì)稱性可知AB⊥x軸，|OA又因?yàn)镺A+OB=23所以∠AOF=60°，因?yàn)辄c(diǎn)A在以O(shè)F為直徑的圓上，所以O(shè)A⊥AF，點(diǎn)F(c,0)到漸進(jìn)線y所以O(shè)A=所以AF=OAtan60°=23所以S△故選：B.10．（2023秋·四川成都·高三校考開學(xué)考試）如圖拋物線Γ1的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l1，焦準(zhǔn)距為4；拋物線Γ2的頂點(diǎn)為B，焦點(diǎn)也為F，準(zhǔn)線為l2，焦準(zhǔn)距為6．Γ1和Γ2交于P、Q兩點(diǎn)，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為

①AB=5

②四邊形MNST的面積為③FS?FT=0

④A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③【解題思路】利用已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求解兩條拋物線方程，求解AB的距離判斷①；求解M，N的坐標(biāo)，推出矩形的面積判斷②，利用向量的數(shù)量積判斷③；判斷CD的距離的范圍判斷④．【解答過程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

拋物線Γ1的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l1，焦準(zhǔn)距為4；可得|AF拋物線Γ2的頂點(diǎn)為B，焦點(diǎn)也為F，準(zhǔn)線為l2，焦準(zhǔn)距為6．可得|BF|=3，所以拋物線Γ2的方程為：yΓ1和Γ2交于P、Q兩點(diǎn)，y2=8xy2=-12(x分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，可得M(-2，26)，N(8，26四邊形MNST的面積為：10×46=406又F2,0，則FT=(-4,-26)，F(xiàn)S=(6,-2根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)D在封閉曲線APBQ的上部分，設(shè)C,D在直線l1當(dāng)點(diǎn)D在拋物線BP，點(diǎn)C在拋物線AQ上時(shí)，CD=當(dāng)C,D與A,B重合時(shí)，當(dāng)D與P重合，點(diǎn)C在拋物線AQ上時(shí)，因?yàn)镻3,2直線CD:與拋物線Γ1的方程為y2=8設(shè)Cx1,y1所以CD∈當(dāng)點(diǎn)D在拋物線PA，點(diǎn)C在拋物線AQ上時(shí)，設(shè)CD:與拋物線Γ1的方程為y2=8設(shè)Cx3,y3當(dāng)t=0，即CD⊥AB當(dāng)點(diǎn)D在拋物線PA，點(diǎn)C在拋物線QB上時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，CD∈綜上，CD∈5,253故選：B．11．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：x24＋y22＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒有公共點(diǎn)．【解題思路】把直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用代數(shù)法判斷交點(diǎn)情況：（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)，需Δ＞0，解出m的范圍；（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，需Δ=0，解出m的范圍；（3）沒有公共點(diǎn)，需Δ＜0，解出m的范圍.【解答過程】直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組y=2x+9x2＋8mx＋2m2－4＝0①.方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.（1）當(dāng)Δ＞0，即－32＜m＜32時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）當(dāng)Δ＝0，即m＝±32時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（3）當(dāng)Δ＜0，即m＜－32或m＞32時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．12．（2023·全國·高二課堂例題）設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與定橢圓x2a2+(1)求弦長AB及△OAB的面積S（用含a，b，k，m(2)試求△OAB的面積S的最大值【解題思路】（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式及三角形面積公式求解.（2）由S的表達(dá)式，令t=m2a【解答過程】（1）設(shè)Ax聯(lián)立直線y=kx+m與橢圓的方程得a2由題意Δ=4x1弦長AB=1+k原點(diǎn)O到直線AB的距離d=于是△OAB的面積S（2）（2