-4-已知A(3,52),B(25,3),求x軸上點P到A,B距離和最小值主要內容：本文通過解析幾何直線性質、三角形三邊關系以及導數法，介紹已知A(3,52),B(25,3)求x軸上點P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對稱分析法根據兩點間直線距離最短，先找出其中1個點關于x軸對稱點，再與另外一個點連成直線，則直線與x軸的交點即為所求的p點。☆.找關于A點對稱步驟：A(3,52)B(25,3) xP(eq\f(119,5),0)A1(3,-52)此時A關于x軸的對稱點為A1(3,-52)，此時直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(3-(-52),25-3)=eq\f(5,2),則其直線方程為:y-3=eq\f(5,2)*(x-25).令y=0，代入求出x=eq\f(119,5),所以p(eq\f(119,5),0).☆.找關于B點對稱步驟：A(3,52)B(25,3) xP(eq\f(119,5),0)B1(25,-3)此時B關于x軸的對稱點為B1(25,-3)，此時直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(52-(-3),3-25)=-eq\f(5,2),則其直線方程為:y-52=-eq\f(5,2)(x-3).令y=0，代入求出x=eq\f(119,5),所以p(eq\f(119,5),0).?.三角形分析法已知A(3,52),B(25,3),求x軸上點P有其到A,B距離和最小，即問題轉化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(2885)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(3,52)B(25,3)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當BP與AP的夾角越接近180°時，AP+PB的值最小,設p點坐標為P(x,0)，x∈(3,25),此時AP和PB的斜率絕對值相等。又Kap=eq\f(52,3-x)，kbp=eq\f(3,25-x)，所以：|eq\f(52,3-x)|=|eq\f(3,25-x)|，求出x=eq\f(119,5)，其中x=eq\f(1291,49)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時間最短路程傳播。B(25,3)A(3,52) 90°-θθP(x,0)x所求點即為光線的入射角，光線從A點出發，在p點反射后，經過點B,設PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據斜率關系有：tanθ=kbp=eq\f(3,25-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(52,3-x),所以：3(3-x)=-52(25-x),即：x=eq\f(119,5)。?.導數分析法設p的坐標為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x-3)2+522)+eq\r((x-25)2+32),是關于x的函數，對x求導有d'x=eq\f(x-3,eq\r((x-3)2+522))+eq\f(x-25,eq\r((x-25)2+32)),令d'x=0，則eq\f(x-3,eq\r((x-3)2+522))=-eq\f(x-25,eq\r((x-25)2+32)),(25-x)eq\r((x-3)2+522)=(x-3)eq\r((x-25)2+32),可知3<x<25,方程兩邊平方有:32(x-3)2=522