第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年云南省昆明市北清實驗學校高二上學期期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={x∣?2<x≤1}，B={?2,?1,0,1,2}，則A∩B=(

)A.{?1,0} B.{0} C.{?2,?1,0,1} D.{?1,0,1}2.已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊經過點sin30°,tanA.?35 B.35 C.?3.為了調研某工業新區的空氣質量狀況，某課題組對甲地、乙地、丙地3地的空氣質量進行調查，按地域特點分別在三地設置空氣質量觀測點．已知甲、乙、丙三地區內觀測點的個數分別為2，y，z且依次構成等差數列，而2，y?1，z成等比數列，若用分層抽樣的方法抽取觀測點的30個數據，則丙地應抽取的數據個數為(

)A.18 B.16 C.10 D.44.已知直線l1:ax+2y?4=0，l2:x?a?3y?2=0，則“lA.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.在?ABC中，|AB+AC|=|AB?AC|，AB=2，AC=32，E，A.3 B.218 C.2 D.6.若兩個正實數x，y滿足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2?mA.?1,2 B.?∞,?2∪1,+∞

C.?2,1 7.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點A.x212?y24=1 B.8.若數列{an}滿足an=(2)A.Sn既無最大值，又無最小值 B.當且僅當n=1時，Sn取得最小值

C.當且僅當n=8時，Sn取得最小值 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知i為虛數單位，復數z滿足z2?i=3+4i，則(

)A.z在復平面內對應的點在第一象限 B.z的虛部為115i

C.z=510.已知四面體ABCD的頂點都在半徑為5的球O的球面上，O到平面ABC的距離為3，AC⊥BC，則下列選項正確的是(

)A.D到平面ABC距離的最小值為2 B.?ABC面積最大值為16

C.?ABD面積最大值為32 D.四面體ABCD體積最大值為12811.若函數f(x)在定義域內的某區間M上是增函數，且f(x)x在M上是減函數，則稱函數f(x)在M上是“弱增函數”，則下列說法正確的是(

)A.若f(x)=x2，則存在區間M使f(x)為“弱增函數”

B.若f(x)=x+1x，則存在區間M使f(x)為“弱增函數”

C.若f(x)=x+x3，則f(x)為R上的“弱增函數”

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，一束平行光線與地平面的夾角為60°，一直徑為24cm的籃球在這束光線的照射下，在地平面上形成的影子輪廓為橢圓，則此橢圓的離心率為

．

13.函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分圖象如圖所示，若fx1+fx14.如果直線l:x+y?b=0與曲線C:y=1?x2有公共點，那么b的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知2(1)求A．(2)若?ABC的面積為332，a216.(本小題12分)已知數列an的前n項和為Sn，a1(1)求數列an(2)設bn=n2Sn，求數列b17.(本小題12分)如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC,PA=AC=BC=3,D為棱PC的中點．(1)證明：AD⊥平面PBC；(2)若點G在棱PB上，且DG⊥PB，求平面ADG與平面PAC夾角的余弦值．18.(本小題12分)

半程馬拉松是一項長跑比賽項目，長度為21.0975公里，為全程馬拉松距離的一半.20世紀50年代，一些賽事組織者設立了半程馬拉松，自那時起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調研機構為了了解人們對“半程馬拉松”相關知識的認知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識競賽，將參與知識競賽者按年齡分成5組，其中第一組[20,25)，第二組[25,30)，第三組[30,35)，第四組[35,40)，第五組[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據頻率分布直方圖，估計參與知識競賽者的平均年齡;(2)現從以上各組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若有甲(年齡36)，乙(年齡42)兩人已確定入選為宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長的概率;(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為42和2，據此估計年齡在[35,45]內的所有參與知識競賽者的年齡的平均數和方差．19.(本小題12分)如圖，已知圓T:x2+y2+23x?21=0，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為3,0(1)求曲線E的方程；(2)過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若CA=λAH，CB=μ(3)過點M2,1作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得kMP?kMQ=1，且MD⊥PQ，點D為垂足，證明：存在定點參考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.A

6.D

7.D

8.D

9.AD

10.BCD

11.BD

12.12或0.513.?114.?1,15.解：(1)由已知條件及正弦定理，得2又sinB≠0，∴2則3∴2sin2A+π又A∈0,π，∴2A+則2A+π6=(2)由?ABC的面積為332∴34由余弦定理，得a2∴a又a2?b2=3，∴3=c2設BC邊上的高為?，則S?ABC∴?=3

16.解：(1)由2an+1=所以Sn+1又S1所以數列Sn是以?2為首項，3所以Sn當n≥2時，an當n=1時，上式不成立，所以an(2)由(1)得bn則Tn即?T?3T兩式相減得2T所以Tn

17.解：(1)∵PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵PA∩AC=A，PA,AC?平面PAC，且AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，又AD?平面PAC，∴BC⊥AD，∵PA=AC，且D為PC的中點，∴AD⊥PC，又PC∩BC=C，且BC,PC?平面PBC，因此AD⊥平面PBC．(2)以點A為原點，以過點A且平行于BC的直線為x軸，AC,AP所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，∵PA=AC=BC=3，∴D(0,3∴PD由于G在棱PB上，令PG=λ那么DG=∵DG⊥PB，∴DG?PB∴DG=(1,?1設平面ADG的法向量為m=(x,y,z)∴m?AD=32y+∵BC⊥平面PAC，∴BC=?3,0,0設平面ADG與平面PAC的夾角為θ，則cos?θ=|∴平面ADG與平面PAC夾角的余弦值為3

18.解：(1)設參與知識競賽者的平均年齡為x，

則x=(22.5×0.02+27.5×0.07+32.5×0.05+37.5×0.04+42.5×0.02)×5=31.75．

(2)由題意得，第四組應抽取0.2×20=4人，記為A(甲)，B，C，D，

第五組應抽取0.1×20=2人，記為E(乙)，F，

對應的樣本空間為：Ω={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)(B,F)(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)}，

設事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則M={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,E)，(C,E)，(D,E)，(E,F)}，

所以P(M)=n(M)n(Ω)=915=35．

(3)設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數分別為x4，x5，方差分別為s42，s52，

則x4=36，x5=42，s42=1，19.解：(1)因為x2所以(x+所以T?3因為線段GH的中垂線交線段TG于點R，所以RH=所以RT+所以動點R的軌跡是以T(?3,0)，H所以a=6，c=故曲線E的方程為x．(2)當直線AB的斜率不存在時，其方程為x=3，與當直線AB的斜率存在時，設AB所在直線方程為y=k(x?設A(x1,由y=k(x?消去y整理得(1+2kΔ>0恒成立，所以x又因為直線AB與y軸的交點為C，所以C0,?所以CA=x1CB=x2又因為CA=λAH，所以x1所以λ=x1所以λ+μ=x整理后得λ+μ=12所以λ+μ為定值?4，原題得證;(3)設P(x3,y3),Q(x設PQ的方程是y=kx+m，由y=kx+m,x2+2y2則Δ=1