第三章導數及其應用專題3.4導數的綜合問題1.函數中的構造問題是高考考查的一個熱點內容，經常以客觀題出現，同構法構造函數也在解答題中出現，通過已知等式或不等式的結構特征，構造新函數，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．2.恒(能)成立問題是高考的常考考點，其中不等式的恒(能)成立問題經常與導數及其幾何意義、函數、方程等相交匯，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現，試題難度略大．3.函數零點問題在高考中占有很重要的地位，主要涉及判斷函數零點的個數或范圍．高考常考查三次函數與復合函數的零點問題，以及函數零點與其他知識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現．考點一函數中的構造問題考點二恒(能)成立問題考點三函數零點問題知識梳理函數中的構造問題(1)出現nf(x)＋xf′(x)形式，構造函數F(x)＝xnf(x)；(2)出現xf′(x)－nf(x)形式，構造函數F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出現f′(x)＋nf(x)形式，構造函數F(x)＝enxf(x)；(4)出現f′(x)－nf(x)形式，構造函數F(x)＝eq\f(fx,enx).（5）函數f(x)與sinx，cosx相結合構造可導函數的幾種常見形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(fx,sinx)，F′(x)＝eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(fx,cosx)，F′(x)＝eq\f(f′xcosx＋fxsinx,cos2x).（6）指對同構，經常使用的變換形式有兩種，一種是將x變成lnex然后構造函數；另一種是將x變成elnx然后構造函數．2.恒(能)成立問題(1)分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.3.函數零點問題（1）利用函數性質研究函數的零點，主要是根據函數單調性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數零點的個數，此類問題在求解過程中可以通過數形結合的方法確定函數存在零點的條件．（2）含參數的函數零點個數，可轉化為方程解的個數，若能分離參數，可將參數分離出來后，用x表示參數的函數，作出該函數的圖象，根據圖象特征求參數的范圍或判斷零點個數．第一部分核心典例題型一函數中的構造問題1．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設，所以，令，令，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，得.所以，即；又，所以，即，所以.故選：B.2．設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，，所以時，，單調遞增，時，，單調遞減，，，，因為，所以.故選：D.3．已知為自然對數的底數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，令，則，，.，易知在上單調遞增．又，而，所以．故選：A.4．設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：構造函數（），，，所以在上，單調遞增，在上，單調遞減，所以，令，則，，，考慮到，可得，等號當且僅當時取到，故時，排除選項A，B.下面比較大小，由得，故，所以.故選：D.5．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則當時，，當時，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，由圖象易知，令，則由于函數在上單調遞減，，則在上有唯一解，故在上有唯一解即當時，，則函數在上單調遞減即，即故選：C題型二恒(能)成立問題6．設函數，若對任意，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數的導函數，考慮到，因此討論分界點為．情形一當時，可得對任意實數，有，符合題意．情形二當時，，而單調遞增，所以必然存在唯一正實數使得，此時在區間上有單調遞減，而，不符合題意．綜上所述，實數a的取值范圍是．故選：A.7．若實數，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以所以所以令，則即所以令，令解得，令解得，所以在單調遞增，單調遞減，，要使成立，即，則當且僅當，所以解得，所以，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選:A.8．若函數，滿足恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【詳解】解：因為，滿足恒成立，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以的最大值為，故選：C.9．已知函數，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在恒成立.當，記，所以在單調遞增，，故故，所以，故選：C10．若關于x的不等式在上恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】依題意，，則（*）．令，則（*）式即為．又在上恒成立，故只需在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，解得．故選：D.題型三函數零點問題11．函數的零點所在的大致區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以函數單調遞增，又因為，，，所以函數在內存在唯一零點.故選:B12．函數有三個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，據此可得函數在處取得極大值，在處取得極小值，結合題意可得：，解得：，所以實數的取值范圍是.故選：B．13．已知函數，若恰有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】恰有兩個零點,即恰有兩個實數根，由于，所以恰有兩個實數根等價于恰有兩個實數根，令，則，當時，，故當此時單調遞增，當，此時單調遞減，故當時，取極小值也是最小值，且當時，，當時，，且單調遞增，在直角坐標系中畫出的大致圖象如圖：要使有兩個交點，則，故選：D14．已知函數，，，則函數的零點個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】當時，，所以不是函數的零點，因為，所以，所以為偶函數，當時，，，，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在時取得最大值，所以當時，有唯一零點，又函數為偶函數，其圖象關于軸對稱，所以在時，還有一個零點，綜上所述：函數的零點個數為.故選：A15．設函數，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知，，函數恰有兩個零點，因為當時，，所以是函數的一個零點，又當時，，所以當時，與，圖象必有一個交點，由于，當時，，所以函數在上單調遞增，當時，，當時，，當時，，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，有最小值為，所以，函數圖象如圖，由圖可知，若與，圖象必有一個交點，則，故選：B第二部分課堂達標一、單選題1．已知函數存在減區間，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題可知,因為函數存在減區間,則有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在單調遞減,單調遞增,所以,因為有解,所以,解得.故選:D.2．已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】先用導數證明這兩個重要的不等式①，當且僅當時取“=”，函數遞減，函數遞增故時函數取得最小值為0故，當且僅當時取“=”②，當且僅當時取“=”，函數遞增，函數遞減，故時函數取得最大值為0，故，當且僅當時取“=”故故選：C3．函數在區間(0,1)內的零點個數是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】恒成立，所以單調遞增，故函數在區間(0,1)內的零點個數1個.4．設函數的導函數為，若在其定義域內存在，使得，則稱為“有源”函數.已知是“有源”函數，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，∴，由是“有源”函數定義知，存在，使得，即有解，記，所以a的取值范圍是就是函數的值域，則，當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，所以，所以，即a的取值范圍是.故選：A5．若函數有極值點，，且，則關于x的方程的不同實數根個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】，對于有是方程的兩根令，則，，，不妨設，利用有兩根，所以，根據三次函數的性質，可以畫出的圖像，如圖所示，又因為，所以由圖可知，有1個解，有2個解故選：A．6．已知不等式對任意恒成立，則實數a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，，不等式對任意恒成立可轉化為對任意時，所以，解得.故選：C.7．已知函數，若關于的方程僅有一個實數解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：函數的定義域為對函數求導：令，可知令，可知或所以在和上單調遞減，在上單調遞增.故在時，有極小值為令則方程化成令，則，，即，根據圖像可知此時只有一個解，排除A；令，則，或（舍去），根據圖像可知此時只有一個解，排除C；令，則，或（舍去），根據圖像可知此時有兩個解，故排除D；故選：B8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，設，，則即時，為增函數，時，為減函數，所以，即，即，令，，則，則在上單調遞增，則，即，即，綜上所述.故選：A.二、多選題9．已知函數的圖像為曲線C，下列說法正確的有（

）A．，都有兩個極值點B．，都有零點C．，曲線C都有對稱中心D．，使得曲線C有對稱軸【答案】ABC【詳解】A：，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，因此是函數的極大值點，是函數的極小值點，因此本選項正確；B：當時，，當時，，而函數是連續不斷的曲線，所以一定存在，使得，因此本選項正確；C：假設曲線C的對稱中心為，則有化簡，得，因為，所以有，因此給定一個實數，一定存在唯一的一個實數與之對應，因此假設成立，所以本選項說法正確；D：由上可知當時，，當時，，所以該函數不可能是關于直線對稱，因此本選項說法不正確，故選：ABC10．對于函數，下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個不同的零點C．D．若在上恒成立，則【答案】AC【詳解】A選項，，定義域為，，令，解得，當時，，∴函數在上單調遞增，當時，，∴函數在上單調遞減，∴函數在時取得極大值也是最大值，故A對；B選項，∵時，，，，當時，，如圖所示：

∴函數有且只有唯一一個零點，故B錯；C選項，∵當時，為單調遞減函數，∴，∵，所以，故C對；D選項，若在上恒成立，即在上恒成立，由，則，故D錯．故選：AC．三、填空題11．已知函數，若，使成立，則實數的取值范圍是.【答案】【詳解】因為，所以當時，，則函數在上單調遞增，所以，即因為，使成立，所以，即實數的取值范圍是.故答案為：.12．已知函數，若函數有四個零點，則實數a的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意知，函數，可得，所以函數為奇函數，由題意知時，有兩個根，即在上有兩個根，設，則，當時，；時，，所以在區間上是增函數，在上是減函數，且當時，函數取得最大值，最大值為，當時，，時，，所以函數的圖象如圖所示，由函數圖象，可得，即.故答案為：.四、解答題13．已知函數，當時，函數取得極值.(1)若在上為增函數，求實數m的取值范圍；(2)若時，方程有兩個根，求實數m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，因為時，取到極值，所以，解得.又當時，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，故當時，函數取得極值，符合題意.要使在上為增函數，則或，所以或.即實數的取值范圍為.（2）令，由（1）得，且，故，，則，當時，令，解得，令，解得，所以的遞增區間為，遞減區間為，故，而，，故.要使有兩個根，則.即實數的取值范圍為.14．已知函數，若的最大值為(1)求的值；(2)若在上恒成立，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）易知函數的定義域為，根據題意可得，令，得，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減；所以，解得（2）由（1）知，因為，所以可化為，設，所以，則在上恒成立，即可得在上單調遞減，，因此的取值范圍是15．已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；(3)當時，判斷在零點的個數，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)僅有一個零點，理由見解析；【詳解】（1）由可得，此時切線斜率為，而；所以切線方程為，即；即曲線在點處的切線方程為；（2）根據題意，若在上單調遞增，即可得在上恒成立，即恒成立；令，則；顯然在上滿足，而恒成立，所以在上恒成立；即在單調遞增，所以；所以即可；因此實數的取值范圍為.（3）令，即可得；構造函數，，易知在上恒成立，即在上單調遞增，如下圖中實曲線所示：又函數恒過，且，易知，所以函數在處的切線方程為；又，所以（圖中虛線）在范圍內恒在（圖中實直線）的上方；所以由